浙江省臺(tái)州市十校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

浙江省臺(tái)州市十校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后可確定復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.2.已知三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，若，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)量積的定義計(jì)算．【詳解】故選：C．3.內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由面積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得.故選：B4.已知向量，且，則實(shí)數(shù)=A. B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，，因?yàn)?，所以，解得，故選C.考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算.5.如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）.A.12 B.12C.6 D.【答案】D【解析】【分析】求出直觀圖面積，根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系即可得答案.【詳解】因?yàn)?，由斜二測(cè)畫法可知，則，故等腰直角三角形，故，故矩形的面積為，所以原圖形的面積是，故選：D6.已知圓錐的底面圓半徑為，側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓錐側(cè)面展開圖得圓錐母線，高，再由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，則，所以，所以圓錐的高，圓錐的體積為.故選：C7.窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進(jìn)入室內(nèi).如圖1，這是一個(gè)外框?yàn)檎诉呅?，中間是一個(gè)正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長(zhǎng)都是4.如圖2，是中間正方形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，是外框正八邊形上的一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義，結(jié)合線段長(zhǎng)即可得解.【詳解】記正八邊形右下角的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接，由題意易得是等腰直角三角形，，則，不妨設(shè)，由于題目要求的最大值，故只考慮的情況，過(guò)作，垂足為，則，又，所以，顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故選：A.8.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合正余弦定理求得角，繼而由結(jié)合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得的范圍，即可求得答案.【詳解】由，由正弦定理得,即有，而，則，又，由正弦定理?余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理有：，即，，是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若復(fù)數(shù)滿足，則是純虛數(shù)【答案】AD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)判斷ABD；虛數(shù)無(wú)法比較大小判斷C.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D正確；故選：AD10.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由余弦定理與數(shù)量積的定義計(jì)算；B選項(xiàng)，由大角對(duì)大邊和正弦定理判斷；C選項(xiàng)，由正弦定理解三角形；D選項(xiàng)，由正弦定理與二倍角公式化簡(jiǎn)后判斷．【詳解】對(duì)于A，，而，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于B，中，若，則，由正弦定理得：（為的外接圓半徑），故，B選項(xiàng)正確，對(duì)于C，由正弦定理，得，由，則或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于D，若，則，即，得或，故或，為等腰三角形或直角三角形，D選項(xiàng)正確.故選：BD11.在正四面體中，若，為的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.正四面體的體積為B.正四面體外接球的表面積為C.如果點(diǎn)在線段上，則的最小值為D.正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓柱的側(cè)面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展開側(cè)面，要使最小，只需共線，結(jié)合余弦定理求其最小值，根據(jù)正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱底面圓與其中截面正三角形關(guān)系求半徑、體高，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求側(cè)面積最大值.【詳解】由正四面體各棱都相等，即各面都正三角形，故棱長(zhǎng)為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯(cuò)誤；由題設(shè)，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們?cè)谕粋€(gè)平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個(gè)平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長(zhǎng)為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：BCD非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．12.平面向量中，已知，，且，則與的夾角為______，向量的坐標(biāo)為______.【答案】①.##②.【解析】【分析】首先求出，設(shè)與的夾角為，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，從而確定，則為方向上的單位向量，從而得到，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，且，設(shè)與的夾角為，則，解得，又，所以，即與的夾角為，所以與共線同向，又，所以為方向上的單位向量，即.故答案為：；13.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，即即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足設(shè)，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離數(shù)形結(jié)合可知的最大值故答案為：14.若為的重心，，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，再由均值不等式即可求出的最小值.【詳解】如圖，,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù).（1）若，求復(fù)數(shù)和；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再求出復(fù)數(shù)，再求出模長(zhǎng)；（2）由純虛數(shù)的實(shí)部為零，虛部不為零求出結(jié)果即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橛?得.所以，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.16.已知向量，，，且，．（1）求與；（2）若，，求向量與的夾角的大?。敬鸢浮浚?），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平行、垂直的坐標(biāo)表示列方程，由此求得，進(jìn)而求得與.（2）利用向量夾角公式計(jì)算出，進(jìn)而求得向量與的夾角的大小.【詳解】（1）由得，，所以，即，由得，，所以，即.（2）由（1）得，，所以，，，所以，所以向量，的夾角為.17.如圖，AB是圓柱一條母線，BC過(guò)底面圓心O，D是圓O上一點(diǎn)．已知，（1）求該圓柱的表面積；（2）將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所圍成的幾何體的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出柱的底面圓的半徑即可求解；（2）繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為兩個(gè)圓錐的體積之差，結(jié)合圓錐體積公式求解即可【小問(wèn)1詳解】由題意知AB是圓柱的一條母線，BC過(guò)底面圓心O，且，可得圓柱的底面圓的半徑為，則圓柱的底面積為，圓柱的側(cè)面積為所以圓柱的表面積為．【小問(wèn)2詳解】由線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，所以以繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：．18.在中，設(shè)A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.（1）求的大??；（2）若，求邊長(zhǎng)的取值范圍；（3）若，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）已知條件由正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，可得的大??；（2）由三角形兩邊之和大于第三邊和余弦定理結(jié)合基本不等式，可得邊長(zhǎng)的取值范圍；（3）由余弦定理和重要不等式得，代入面積公式求的最大值.【小問(wèn)1詳解】在中，，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以可化為，即．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】由三角形兩邊之和大于第三邊可得：，即．由余弦定理得：，即．由基本不等式可得：，所以即，所以．綜上所述：．所以邊長(zhǎng)的取值范圍為．【小問(wèn)3詳解】由余弦定理得，由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即最大值.19.如圖，點(diǎn)P，Q分別是矩形ABCD的邊DC，BC上的兩點(diǎn)，，．（1）若，，，求的范圍；（2）若，求的最小值；（3）若，連接AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，Q為BC的中點(diǎn)，試探究線段AB上是否存在一點(diǎn)H，使得最大．若存在，求BH的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）借助向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式計(jì)算即可得；（2）建立平面直角坐標(biāo)系后借助三角函數(shù)與基本不等式計(jì)算即可得（3）建立平面直角坐標(biāo)系后，將最大轉(zhuǎn)化為最大，借助計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由，，故，，則，，由，故