福建省永泰縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGE4PAGE3福建省永泰縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)

A． B． C． D．下列各式正確的是

A． B．

C． D．下列命題中正確的是

A．側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體

B．三棱錐的三個(gè)側(cè)面不行能都是直角三角形

C．圓臺(tái)的隨意兩條母線延長后肯定交于一點(diǎn)

D．有兩個(gè)面平行且相像，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知成角，且的大小分別為2和4，則的大小為

A．2 B． C． D．6已知向量，若，則的面積等于

A．3 B． C． D．斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完備的“黃金螺旋”，右圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)為邊的正方形依序拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．假如用圖中接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的表面積為

A． B．

C． D．第四屆數(shù)字中國建設(shè)峰會(huì)將于2024年4月25日至26日在福州舉辦，福州市以此為契機(jī)，加快推動(dòng)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，某縣區(qū)域地面有四個(gè)5G基站．已知兩個(gè)基站建在江的南岸，距離為；基站在江的北岸，測(cè)得，則兩個(gè)基站的距離為

A． B． C． D．正方形的邊長為，中心為．過的直線與邊分別交于點(diǎn)，點(diǎn)滿意條件：，則的最小值為

A．0 B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．下列命題正確的是

A．若復(fù)數(shù)滿意，則是純虛數(shù)

B．若互為共軛復(fù)數(shù)，則

C．是復(fù)數(shù)的三角形式

D．“復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)”的充要條件為“”已知平面對(duì)量向量

A．若，則

B．若，則在方向上的投影向量是

C．與的夾角為銳角，則的取值范圍為

D．若的夾角為，則已知為的重心，，則的可能取值為

A． B．1 C． D．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，若，點(diǎn)在邊上，且，是的外心．則下列推斷正確的是

A． B．的外接圓半徑為

C． D．的最大值為2第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿意，則與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離的最大值為．如圖，是平面四邊形的直觀圖，若是邊長為2的正方形，則四邊形的周長為．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，若，則的取值范圍為．已知是平面上夾角為的兩個(gè)單位向量，在該平面上，且，取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（本小題滿分10分）已知復(fù)數(shù)（）．（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（本小題滿分12分）已知．（1）若三點(diǎn)共線，求滿意的等量關(guān)系．（2）在（1）條件下，求的最小值．（本小題滿分12分）問題：在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，．（1）求；（2）若的面積為，___________，求．請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答．注：如選多個(gè)條件作答，按排列最前的解法評(píng)分．（本小題滿分12分）某網(wǎng)紅景區(qū)擬開拓一個(gè)平面示意圖如圖的五邊形觀光步行道，為景點(diǎn)電瓶車專用道，．（1）求的長；（2）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得折線步行道最長（即最大）．（本小題滿分12分）如圖所示，在中，，與相交于點(diǎn)，的延長線與邊交于點(diǎn)．（1）試用表示；（2）設(shè)，求的值．（本小題滿分12分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，，．（1）若，，為邊的中點(diǎn)，求中線的長度；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值．參考答案單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)題號(hào)12345678答案CBCBABDD二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)題號(hào)9101112答案ABCABCDBC填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13． 14．16 15． 16．四、解答題(本大題共6小題，共70分)17.（本題滿分10分）解：= 1分 3分 4分是實(shí)數(shù)，所以， 5分(2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，可得，且 6分 7分又|z1|5m2＋925 8分 9分綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為． 10分18．（本題滿分12分）解：(1)∵,又 3分∵三點(diǎn)共線∴即 6分（2）∵ 8分∴ 11分∴取最小值為 12分19.（本題滿分12分）【解析】（1）由結(jié)合正弦定理可得 2分所以 3分因?yàn)?，所以?4分因?yàn)?，所以?5分[選擇條件①的答案]因?yàn)?又因?yàn)榈拿娣e為，所以， 6分所以 7分可得bc=8. 8分所以由余弦定理可得 10分即 11分解得 12分[選擇條件②的答案]又因?yàn)榈拿娣e為所以 6分所以 7分可得bc=8. 8分所以由余弦定理可得 10分即 11分解得 12分[選擇條件③的答案]由得所以 8分因?yàn)椋裕?9分．所以，即是直角三角形 10分又因?yàn)榈拿娣e為，所以， 11分所以 12分20.（本題滿分12分）解：（1）連接在中，由余弦定理得 1分∴ 2分即 3分∵在中，，，∴ 4分∴在中， 5分在中， 6分(2)在中，，.由余弦定理得 7分即 8分故 10分從而，即 11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即設(shè)計(jì)為時(shí)步行道最長 12分21.（本題滿分12分）解法一：(1)設(shè)，由＝＋＝－＋eq\f(1,2)= 1分可得＝＋λ＝ 2分由＝＋＝－＋eq\f(1,3)=可得 3分＝＋μ= 4分又與不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,3)μ，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).)) 6分所以＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5) 7分(2)由(1)知＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)∴＝－＝n－＝n(eq\f(1,5)＋eq\f(2,5))－＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)－1))＋eq\f(2n,5)· 8分又∵＝m＝m－m= 9分∵與不共線，∴ 10分解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(5,3)，))∴ 12分解法二：（1）同解法一． 7分（2）因?yàn)?8分， 9分又，所以 10分解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(5,3)，))∴ 12分22.（本題滿分12分）解：，∵，∴，.由余弦定理得 1分∵，∴ 2分（Ⅰ）法一、∵為邊的中點(diǎn)，∴，∵，， 3分，即 4分，∵，∴，∴ 5分∴中線的長為 6分法二、∵，∴，∵，∴， 3分由余弦定理，得，， 4分由余弦定理，，，∵，∴即，， 4分∴，