初中數(shù)學第四次業(yè)務學習

業(yè)務學習（4）

第四部分實施建議

一、教學建議

教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。

數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有

機會獲得直接經(jīng)驗，即從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引

導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思

想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問

題的能力、分析問題和解決問題的能力。

在數(shù)學教學活動中，教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學行為，處理好教師講

授與學生自主學習的關系，注重啟發(fā)學生積極思考；發(fā)揚教學民主，當好學生數(shù)學

活動的組織者、引導者、合作者；激發(fā)學生的學習潛能，鼓勵學生大膽創(chuàng)新與實踐;

創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素

材；關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發(fā)

展；合理地運用現(xiàn)代信息技術，有條件的地區(qū)，要盡可能合理、有效地使用計算機

和有關軟件，提高教學效益。

1.數(shù)學教學活動要注重課程目標的整體實現(xiàn)

為使每個學生都受到良好的數(shù)學教育，數(shù)學教學不僅要使學生獲得數(shù)學的知識

技能，而且要把知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面目標有機結(jié)合,

整體實現(xiàn)課程目標。

課程目標的整體實現(xiàn)需要日積月累。在日常的教學活動中，教師應努力挖掘教

學內(nèi)容中可能蘊涵的、與上述四個方面目標有關的教育價值，通過長期的教學過程,

逐漸實現(xiàn)課程的整體目標。因此，無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類

教學活動，不僅要重視學生獲得知識技能，而且要激發(fā)學生的學習興趣，通過獨立

思考或者合作交流感悟數(shù)學的基本思想，引導學生在參與數(shù)學活動的過程中積累基

本經(jīng)驗，幫助學生形成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的學習習

慣。

例如，關于“零指數(shù)”教學方案的設計可作如下考慮：教學目標不僅要包括了

解零指數(shù)幕的“規(guī)定”、會進行簡單計算，還要包括感受這個“規(guī)定”的合理性，并

在這個過程中學會數(shù)學思考、感悟理性精神(參見例81)。

2.重視學生在學習活動中的主體地位

有效的數(shù)學教學活動是教師教與學生學的統(tǒng)一，應體現(xiàn)“以人為本”的理念，

促進學生的全面發(fā)展。

(1)學生是數(shù)學學習的主體，在積極參與學習活動的過程中不斷得到發(fā)展。

學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎上，可以通過接受學習的方式，也

可以通過自主探索等方式；學生應用知識并逐步形成技能，離不開自己的實踐；學

生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數(shù)學

思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展(參見例82)。

(2)教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發(fā)展提供

良好的環(huán)境和條件。

教師的“組織”作用主要體現(xiàn)在兩個方面：第一，教師應當準確把握教學內(nèi)容

的數(shù)學實質(zhì)和學生的實際情況，確定合理的教學目標，設計一個好的教學方案；第

二，在教學活動中，教師要選擇適當?shù)慕虒W方式，因勢利導、適時調(diào)控、努力營造

師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學習活動。

教師的“引導”作用主要體現(xiàn)在：通過恰當?shù)膯栴}，或者準確、清晰、富有啟

發(fā)性的講授，引導學生積極思考、求知求真，激發(fā)學生的好奇心；通過恰當?shù)臍w納

和示范，使學生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗、感悟思想；能關注學生的差異，

用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學

活動的針對性和有效性。

教師與學生的“合作”主要體現(xiàn)在：教師以平等、尊重的態(tài)度鼓勵學生積極參

與教學活動，啟發(fā)學生共同探索，與學生一起感受成功和挫折、分享發(fā)現(xiàn)和成果。

(3)處理好學生主體地位和教師主導作用的關系。

好的教學活動，應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統(tǒng)一。一方面，學生

主體地位的真正落實，依賴于教師主導作用的有效發(fā)揮；另一方面，有效發(fā)揮教師

主導作用的標志，是學生能夠真正成為學習的主體，得到全面的發(fā)展(參見例32,

例52)O

實行啟發(fā)式教學有助于落實學生的主體地位和發(fā)揮教師的主導作用。教師富有

啟發(fā)性的講授；創(chuàng)設情境、設計問題，引導學生自主探索、合作交流；組織學生操

作實驗、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發(fā)學生的思考，使學生

成為學習的主體，逐步學會學習。

3.注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握

“知識技能”既是學生發(fā)展的基礎性目標，又是落實“數(shù)學思考”“問題解決”

“情感態(tài)度”目標的載體。

(1)數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關

聯(lián)。

學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用

中不斷鞏固和深化。為了幫助學生真正理解數(shù)學知識，教師應注重數(shù)學知識與學生

生活經(jīng)驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動,

引導學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷。教師還應揭示知識的數(shù)

學實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學思想，幫助學生理清相關知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。

數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識

置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關

系，引導學生感受數(shù)學的整體性，體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分

析、從不同的層次進行理解。

(2)在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使

學生理解程序和步驟的道理。例如，對于整數(shù)乘法計算，學生不僅要掌握如何進行

計算，而且要知道相應的算理；對于尺規(guī)作圖，學生不僅要知道作圖的步驟，而且

要能知道實施這些步驟的理由。

基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作，

要注重訓練的實效性。教師應把握技能形成的階段性，根據(jù)內(nèi)容的要求和學生的實

際，分層次地落實。

4.感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更

高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教

學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想。

例如，分類是一種重要的數(shù)學思想。學習數(shù)學的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，

如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學問題中，常

常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動

中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的

過程中如何認識對象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì)。通過多次反復的思考

和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于

學習新的數(shù)學知識，有助于分析和解決新的數(shù)學問題。

數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。幫助學生積累數(shù)學活動

經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果。數(shù)

學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程

中逐步積累的。

教學中注重結(jié)合具體的學習內(nèi)容，設計有效的數(shù)學探究活動，使學生經(jīng)歷數(shù)學

的發(fā)生發(fā)展過程，是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑。例如，在統(tǒng)計教學中，設

計有效的統(tǒng)計活動，使學生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計過程，包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示

數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息、，并利用這些信息說明問題。學生在這樣的過程中，不斷

積累統(tǒng)計活動經(jīng)驗，加深理解統(tǒng)計思想與方法。

“綜合與實踐”是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體。在經(jīng)歷具體的“綜合與實踐”

問題的過程中，引導學生體驗如何發(fā)現(xiàn)問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何

把實際問題變成數(shù)學問題，如何設計解決問題的方案，如何選擇合作的伙伴，如何

有效地呈現(xiàn)實踐的成果，讓別人體會自己成果的價值。通過這樣的教學活動，學生

會逐步積累運用數(shù)學解決問題的經(jīng)驗。

5.關注學生情感態(tài)度的發(fā)展

根據(jù)課程目標，廣大教師要把落實情感態(tài)度的目標作為己任，努力把情感態(tài)度

目標有機地融合在數(shù)學教學過程之中。設計教學方案、進行課堂教學活動時，應當

經(jīng)常考慮如下問題：

如何引導學生積極參與教學過程？

如何組織學生探索，鼓勵學生創(chuàng)新？

如何引導學生感受數(shù)學的價值？

如何使他們愿意學，喜歡學，對數(shù)學感興趣？

如何讓學生體驗成功的喜悅，從而增強自信心？

如何引導學生善于與同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意見，又能獨立思

考、大膽質(zhì)疑？

如何讓學生做自己能做的事，并對自己做的事情負責？

如何幫助學生鍛煉克服困難的意志？

如何培養(yǎng)學生良好的學習習慣？

在教育教學活動中，教師要尊重學生，以強烈的責任心，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，健

全的人格感染和影響學生；要不斷提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，善于挖掘教學內(nèi)容的教育

價值；要在教學實踐中善于用本標準的理念分析各種現(xiàn)象，恰當?shù)剡M行養(yǎng)成教育。

6.合理把握“綜合與實踐”的實施

“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。它

有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授。它是教師通過

問題引領、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動。

積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新意識是數(shù)學課程的重要目標，應

貫穿整個數(shù)學課程之中。“綜合與實踐”是實現(xiàn)這些目標的重要和有效的載體。“綜

合與實踐”的教學，重在實踐、重在綜合。重在實踐是指在活動中，注重學生自主

參與、全過程參與，重視學生積極動腦、動手、動口。重在綜合是指在活動中，注

重數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應用。

教師在教學設計和實施時應特別關注的幾個環(huán)節(jié)是：問題的選擇，問題的展開

過程，學生參與的方式，學生的合作交流，活動過程和結(jié)果的展示與評價等。

要使學生能充分、自主地參與“綜合與實踐”活動，選擇恰當?shù)膯栴}是關鍵。

這些問題既可來自教材，也可以由教師、學生開發(fā)。提倡教師研制、開發(fā)、生成出

更多適合本地學生特點的、有利于實現(xiàn)“綜合與實踐”課程目標的好問題。

實施“綜合與實踐”時，教師要放手讓學生參與，啟發(fā)和引導學生進入角色，

組織好學生之間的合作交流，并照顧到所有的學生。教師不僅要關注結(jié)果，更要關

注過程，不要急于求成，要鼓勵引導學生充分利用“綜合與實踐”的過程，積累活

動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能。

在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實

施成為提高教師自身和學生素質(zhì)的互動過程。

教師應該根據(jù)不同學段學生的年齡特征和認知水平，根據(jù)學段目標，合理設計

并組織實施“綜合與實踐”活動。

7.教學中應當注意的幾個關系

(1)“預設”與“生成”的關系

教學方案是教師對教學過程的“預設”，教學方案的形成依賴于教師對教材的理

解、鉆研和再創(chuàng)造。理解和鉆研教材，應以本標準為依據(jù)，把握好教材的編寫意圖

和教學內(nèi)容的教育價值；對教材的再創(chuàng)造，集中表現(xiàn)在：能根據(jù)所教班級學生的實

際情況，選擇貼切的教學素材和教學流程，準確地體現(xiàn)基本理念和內(nèi)容標準規(guī)定的

要求。

實施教學方案，是把“預設”轉(zhuǎn)化為實際的教學活動。在這個過程中，師生雙

方的互動往往會“生成”一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利

導，適時調(diào)整預案，使教學活動收到更好的效果。

(2)面向全體學生與關注學生個體差異的關系

教學活動應努力使全體學生達到課程目標的基本要求，同時要關注學生的個體

差異，促進每個學生在原有基礎上的發(fā)展。

對于學習有困難的學生，教師要給予及時的關注與幫助，鼓勵他們主動參與數(shù)

學學習活動，并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法，要及時地肯定他們

的點滴進步，耐心地引導他們分析產(chǎn)生困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自己去改正,

從而增強學習數(shù)學的興趣和信心。對于學有余力并對數(shù)學有興趣的學生，教師要為

他們提供足夠的材料和思維空間，指導他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學才能。

在教學活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當評價學生在解決問

題過程中所表現(xiàn)出的不同水平；問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等

要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導學生通過

與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高思維水平。

（3）合情推理與演繹推理的關系

推理貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸

進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式。

推理包括合情推理和演繹推理。教師在教學過程中，應該設計適當?shù)膶W習活動,

引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某

些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹

推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。

在第三學段中，應把證明作為探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，使學生知道合

情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式?！白C明”的教學應關注學生對證明必

要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗。證明命題時，應要求證明

過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理（參見例63）。止匕外，還可以恰當?shù)匾龑W生

探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發(fā)學生對數(shù)學證明的興

趣，發(fā)展學生思維的廣闊性和靈活性。

（4）使用現(xiàn)代信息技術與教學手段多樣化的關系

積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，合理地應用現(xiàn)代信息技術，注重信息技術

與課程內(nèi)容的整合，能有效地改變教學方式，提高課堂教學的效益。有條件的地區(qū),

教學中要盡可能地使用計算器、計算機以及有關軟件；暫時沒有這種條件的地區(qū)，

一方面要積極創(chuàng)造條件改善教學設施，另一方面廣大教師應努力自制教具以彌補教

學設施的不足。

在學生理解并能正確應用公式、法則進行計算的基礎上，鼓勵學生用計算器完

成較為繁雜的計算。課堂教學、課外作業(yè)、實踐活動中，應當根據(jù)內(nèi)容標準的要求,

允許學生使用計算器，還應當鼓勵學生用計算器進行探索規(guī)律等活動（參見例28,

例51）o

現(xiàn)代信息技術的作用不能完全替代原有的教學手段，其真正價值在于實現(xiàn)原有

的教學手段難以達到甚至達不到的效果。例如，利用計算機展示函數(shù)圖像、幾何圖

形的運動變化過程；從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖表；利用計算機的隨

機模擬結(jié)果，引導學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發(fā)生的概率；等等。在應

用現(xiàn)代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計。必要的板書有利于實

現(xiàn)學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內(nèi)容的脈絡。

二、評價建議

評價的主要目的是全面了解學生數(shù)學學習的過程和結(jié)果，激勵學生學習和改進

教師教學。評價應以課程目標和內(nèi)容標準為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學課程的基本理念，全面

評價學生在知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)。

評價不僅要關注學生的學習結(jié)果，更要關注學生在學習過程中的發(fā)展和變化。

應采用多樣化的評價方式，恰當呈現(xiàn)并合理利用評價結(jié)果，發(fā)揮評價的激勵作用，

保護學生的自尊心和自信心。通過評價得到的信息，可以了解學生數(shù)學學習達到的

水平和存在的問題，幫助教師進行總結(jié)與反思，調(diào)整和改進教學內(nèi)容和教學過程。

1.基礎知識和基本技能的評價

對基礎知識和基本技能的評價，應以各學段的具體目標和要求為標準，考查學

生對基礎知識和基本技能的理解和掌握程度，以及在學習基礎知識與基本技能過程

中的表現(xiàn)。在對學生學習基礎知識和基本技能的結(jié)果進行評價時，應該準確地把握

“了解、理解、掌握、應用”不同層次的要求。在對學生學習過程進行評價時，應

依據(jù)“經(jīng)歷、體驗、探索”不同層次的要求，采取靈活多樣的方法，定性與定量相

結(jié)合、以定性評價為主。

每一學段的目標是該學段結(jié)束時學生應達到的要求，教師需要根據(jù)學習的進度

和學生的實際情況確定具體的要求。例如，下表是對第一學段有關計算技能的基本

要求，這些要求是在學段結(jié)束時應達到的，評價時應注意把握尺度，對計算速度不

作過高要求。

表1第一學段計算技能評價要求

學習內(nèi)容速度要求

20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算8~10題/分

百以內(nèi)加減法口算3?4題/分

三位數(shù)以內(nèi)的加減法筆算2?3題/分

兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算02題/分

一位數(shù)除兩位或三位數(shù)的除法筆算1?2題/分

教師應允許學生經(jīng)過較長時間的努力，隨著數(shù)學知識與技能的積累逐步達到學

段目標。在實施評價時，可以對部分學生采取“延遲評價”I的方式，提供再次評價

的機會，使他們看到自己的進步，樹立學好數(shù)學的信心。

2.數(shù)學思考和問題解決的評價

數(shù)學思考和問題解決的評價要依據(jù)總目標和學段目標的要求，體現(xiàn)在整個數(shù)學

學習過程中。

對數(shù)學思考和問題解決的評價應當采用多種形式和方法，特別要重視在平時教

學和具體的問題情境中進行評價。例如，在第二學段，教師可以設計下面的活動，

評價學生數(shù)學思考和問題解決的能力：

用長為50厘米的細繩圍成一個邊長為整厘米數(shù)的長方形，怎樣才能使面積達到

最大？

在對學生進行評價時，教師可以關注以下幾個不同的層次：

延遲評價是指在平時學習過程中，對尚未達到目標要求的學生，可暫時不給明確的評價結(jié)果，給學生更多的機會，當取得較好的

成績時再給予評價，以保護學生學習的積極性。

第一，學生是否能理解題目的意思，能否提出解決問題的策略，如通過畫圖進

行嘗試；

第二，學生能否列舉若干滿足條件的長方形，通過列表等形式將其進行有序排

列；

第三，在觀察、比較的基礎上，學生能否發(fā)現(xiàn)長和寬變化時，面積的變化規(guī)律,

并猜測問題的結(jié)果；

第四，對猜測的結(jié)果給予驗證；

第五，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)和提出一般性問題，如，猜想當長和寬的變化不限于整厘

米數(shù)時，面積何時最大。

為此，教師可以根據(jù)實際情況，設計有層次的問題評價學生的不同水平。例如,

設計下面的問題：

(1)找出三個滿足條件的長方形，記錄下長方形的長、寬和面積，并依據(jù)長或

寬的長短有序地排列出來。

(2)觀察排列的結(jié)果，探索長方形的長和寬發(fā)生變化時，面積相應的變化規(guī)律。

猜測當長和寬各為多少厘米時，長方形的面積最大。

(3)列舉滿足條件的長和寬的所有可能結(jié)果，驗證猜測。

(4)猜想：如果不限制長方形的長和寬為整厘米數(shù)，怎樣才能使它的面積最大？

教師可以預設目標：對于第二學段的學生，能夠完成第(1)(2)題就達到基本

要求，對于能完成第(3)(4)題的學生，則給予進一步的肯定。

學生解決問題的策略可能與教師的預設有所不同，教師應給予恰當?shù)脑u價。

3.情感態(tài)度的評價

情感態(tài)度的評價應依據(jù)課程目標的要求，采用適當?shù)姆椒ㄟM行。主要方式有課

堂觀察、活動記錄、課后訪談等。

情感態(tài)度評價主要在平時教學過程中進行，注重考查和記錄學生在不同階段情

感態(tài)度的狀況和發(fā)生的變化。例如，可以設計下面的評價表，記錄、整理和分析學

生參與數(shù)學活動的情況。這樣的評價表每個學期至少記錄1次，教師可以根據(jù)實際

需要自行設計或調(diào)整評價的具體內(nèi)容。

表2參與數(shù)學活動情況的評價表

學生姓名：時間：活動內(nèi)容：

評價內(nèi)容主要表現(xiàn)

參活動

思考問題

與他人合作

表達與交流

教師可以根據(jù)實際情況設計類似的評價表，也可以根據(jù)需要設計學生情感態(tài)度

的綜合評價表。

4.注重對學生數(shù)學學習過程的評價

學生在數(shù)學學習過程中，知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的

表現(xiàn)不是孤立的，這些方面的發(fā)展綜合體現(xiàn)在數(shù)學學習過程之中。在評價學生每一

個方面表現(xiàn)的同時，要注重對學生學習過程的整體評價，分析學生在不同階段的發(fā)

展變化。評價時應注意記錄、保留和分析學生在不同時期的學習表現(xiàn)和學業(yè)成就。

例如，可以設計下面的課堂觀察表用于記錄學生在課堂中的表現(xiàn)，積累起來，

以便綜合了解學生的學習表現(xiàn)以及變化情況。觀察表中的項目可以根據(jù)實際需要自

行調(diào)整，隨時記錄學生在課堂教學中的表現(xiàn)。教師可以有計劃地每天記錄幾位同學

的表現(xiàn)，保證每學期每位同學有3?5次的記錄；也可以根據(jù)實際情況記錄某些同學

的特殊表現(xiàn)，如提出或回答問題具有獨特性的同學、在某方面表現(xiàn)突出的同學、或

在某方面需要改進的同學。經(jīng)過一段時間的積累，對于學生平時數(shù)學學習的表現(xiàn),

就會有一個較為清晰具體的了解。

表3課堂觀察表

上課時間：科目：內(nèi)容：

學王李陳

濤明虎

項E

課堂參與

提出或回答問

題

合作與交流

課堂練習

知識技能的掌

握

獨立思考

其他

說明：記錄時，可以用3表示優(yōu)，2表示良，1表示一般，等等。

5.體現(xiàn)評價主體的多元化和評價方式的多樣化

評價主體的多元化是指教師、家長、同學及學生本人都可以作為評價者，可以

綜合運用教師評價、學生自我評價、學生相互評價、家長評價等方式，對學生的學

習情況和教師的教學情況進行全面的考查。例如，每一個學習單元結(jié)束時，教師可

以要求學生自我設計一個“學習小結(jié)”，用合適的形式（表、圖、卡片、電子文本等）

歸納學到的知識和方法，學習中的收獲，遇到的問題，等等。教師可以通過學習小

結(jié)對學生的學習情況進行評價，也可以組織學生將自己的學習小結(jié)在班級展示交流,

通過這種形式總結(jié)自己的進步，反思自己的不足以及需要改進的地方，汲取他人值

得借鑒的經(jīng)驗。條件允許時，可以請家長參與評價。

評價方式多樣化體現(xiàn)在多種評價方法的運用，包括書面測驗、口頭測驗、開放

式問題、活動報告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、成長記錄等等（參見例83）。

在條件允許的地方，也可以采用網(wǎng)上交流的方式進行評價。每種評價方式都具有各

自的特點，教師應結(jié)合學習內(nèi)容及學生學習的特點，選擇適當?shù)脑u價方式。例如，

可以通過課堂觀察了解學生學習的過程與學習態(tài)度，從作業(yè)中了解學生基礎知識與

基本技能掌握的情況，從探究活動中了解學生獨立思考的習慣和合作交流的意識，

從成長記錄中了解學生的發(fā)展變化。

6.恰當?shù)爻尸F(xiàn)和利用評價結(jié)果

評價結(jié)果的呈現(xiàn)應采用定性與定量相結(jié)合的方式。第一學段的評價應當以描述

性評價為主，第二學段采用描述性評價和等級評價相結(jié)合的方式，第三學段可以采

用描述性評價和等級（或百分制）評價相結(jié)合的方式。

評價結(jié)果的呈現(xiàn)和利用應有利于增強學生學習數(shù)學的自信心，提高學生學習數(shù)

學的興趣，使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生的發(fā)展。評價結(jié)果的呈現(xiàn)，應該

更多地關注學生的進步，關注學生已經(jīng)掌握了什么，獲得了哪些提高，具備了什么

能力，還有什么潛能，在哪些方面還存在不足，等等。

例如，下面是對某同學第二學段關于“統(tǒng)計與概率”學習的書面評語：

王小明同學，本學期我們學習了收集、整理和表達數(shù)據(jù)。你通過自己的努力，

能收集、記錄數(shù)據(jù)，知道如何求平均數(shù)，了解統(tǒng)計圖的特點，制作的統(tǒng)計圖很出色,

在這方面表現(xiàn)突出。但你在使用語言解釋統(tǒng)計結(jié)果方面還存在一定差距。繼續(xù)努力,

小明！評定等級：Bo

這個以定性為主的評語，實際上也是教師與學生的一次情感交流。學生閱讀這

一評語，能夠獲得成功的體驗，樹立學好數(shù)學的自信心，也知道自己的不足和努力

方向。

教師要注意分析全班學生評價結(jié)果隨時間的變化，從而了解自己教學的成績和

問題，分析、反思教學過程中影響學生能力發(fā)展和素質(zhì)提高的原因，尋求改善教學

的對策。同時，以適當?shù)姆绞?，將學生一些積極的變化及時反饋給學生。

7.合理設計與實施書面測驗

書面測驗是考查學生課程目標達成狀況的重要方式，合理地設計和實施書面測

驗有助于全面考查學生的數(shù)學學業(yè)成就，及時反饋教學成效，不斷提高教學質(zhì)量。

(1)對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價，必須準確把握內(nèi)容標準中

的要求。例如，對于一元二次方程根與系數(shù)關系的考查，內(nèi)容標準中的要求是“了

解”，并不要求應用這個關系解決其他問題，設計測試題目時應符合這個要求。

內(nèi)容標準中的選學內(nèi)容，不得列入考查(考試)范圍。

對基礎知識和基本技能的考查，要注重考查學生對其中所蘊涵的數(shù)學本質(zhì)的理

解，考查學生能否在具體情境中合理應用。因此，在設計試題時，應淡化特殊的解

題技巧，不出偏題怪題。

(2)在設計試題時，應該關注并且體現(xiàn)本標準的設計思路中提出的幾個核心詞:

數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模

型思想，以及應用意識和創(chuàng)新意識。

(3)根據(jù)評價的目的合理地設計試題的類型，有效地發(fā)揮各種類型題目的功能。

例如，為考查學生從具體情境中獲取信息的能力，可以設計閱讀分析的問題；為考

查學生的探究能力，可以設計探索規(guī)律的問題；為考查學生解決問題的能力，可以

設計具有實際背景的問題；為了考查學生的創(chuàng)造能力，可以設計開放性問題。

(4)在書面測驗中，積極探索可以考察學生學習過程的試題，了解學生的學習

過程。

三、教材編寫建議

數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實

現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。

數(shù)學教材的編寫應以本標準為依據(jù)。教材所選擇的學習素材應盡量與學生的生

活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實相聯(lián)系，應有利于加深學生對所要學習內(nèi)容的數(shù)

學理解。教材內(nèi)容的呈現(xiàn)要體現(xiàn)數(shù)學知識的整體性，體現(xiàn)重要的數(shù)學知識和方法的

產(chǎn)生、發(fā)展和應用過程；應引導學生進行自主探索與合作交流，并關注對學生人文

精神的培養(yǎng)；教材的編寫要有利于調(diào)動教師的主動性和積極性，有利于教師進行創(chuàng)

造性教學。

內(nèi)容標準是按照學段制訂的，并未規(guī)定學習內(nèi)容的呈現(xiàn)順序。因此，教材可以

在不違背數(shù)學知識邏輯關系的基礎上，根據(jù)學生的數(shù)學學習認知規(guī)律、知識背景和

活動經(jīng)驗，合理地安排學習內(nèi)容，形成自己的編排體系，體現(xiàn)出自己的風格和特色。

1.教材編寫應體現(xiàn)科學性

科學性是對教材編寫的基本要求。教材一方面要符合數(shù)學的學科特征，另一方

面要符合學生的認知規(guī)律。

(1)全面體現(xiàn)本標準提出的理念和目標

教材的編寫應以本標準為依據(jù)，在準確理解的基礎上，全面體現(xiàn)和落實本標準

提出的基本理念和各項目標。

(2)體現(xiàn)課程內(nèi)容的數(shù)學實質(zhì)

教材中學習素材的選擇，圖片、情境、實例與活動欄目等的設置，拓展內(nèi)容的

編寫，以及其他課程資源的利用，都應當與所安排的數(shù)學內(nèi)容有實質(zhì)性聯(lián)系，有利

于提高學生對數(shù)學實質(zhì)的理解，有利于提高學生對所學內(nèi)容的興趣。

(3)準確把握內(nèi)容標準要求

本標準對于義務教育階段的數(shù)學教學內(nèi)容有明確和具體的目標要求，教材的編

寫應遵循學生的認知規(guī)律，準確地把握“過程目標”和“結(jié)果目標”要求的程度。

例如，關于距離的概念，在第二學段要求“知道”兩點間的距離，在第三學段要求

“理解”兩點間距離的意義，“能”度量兩點間的距離。在編寫相關內(nèi)容時，一方面

要把握好“知道”與“理解”“能”之間程度的差異，另一方面也要注意內(nèi)容之間的

銜接。

(4)教材的編寫要有一定的實驗依據(jù)

教材的內(nèi)容、實例的設計、習題的配置等，要經(jīng)過課堂教學的實踐檢驗，特別

是新增的內(nèi)容要經(jīng)過較大范圍的實驗，根據(jù)實踐的結(jié)果推敲可行性，并不斷改進與

完善。

2.教材編寫應體現(xiàn)整體性

教材編寫應當體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注

重體現(xiàn)學生學習的整體性。

(1)整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心

教材的整體設計要體現(xiàn)內(nèi)容領域的核心。本標準在設計思路中提出了幾個核心

詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、

模型思想，以及應用意識和創(chuàng)新意識，它們是義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的核心，

也是教材的主線。因此，教材應當圍繞這些核心內(nèi)容進行整體設計和編排。

例如，在方程、不等式和函數(shù)的各部分內(nèi)容編排中，應整體考慮模型思想的體

現(xiàn)，突出建立模型、求解模型的過程。

再例如，推理能力包括合情推理和演繹推理，無論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”

還是“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容編排中，都要盡可能地為學生提供觀察、操作、歸納、

類比、猜測、證明的機會，發(fā)展學生的推理能力。

(2)整體考慮知識之間的關聯(lián)

教材的整體設計要呈現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的關聯(lián)。一些數(shù)學知識之間存在邏輯

順序，教材編寫應有利于學生感悟這種順序。一些知識之間存在著實質(zhì)性的聯(lián)系，

這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領域。例如，在“數(shù)與代數(shù)”

的領域內(nèi)，函數(shù)、方程、不等式之間均存在著實質(zhì)性聯(lián)系；此外，代數(shù)與幾何、統(tǒng)

計之間也存在著一定的實質(zhì)性聯(lián)系。

幫助學生理解類似的實質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學教學的重要任務。為此，教材在內(nèi)容

的素材選取、問題設計和編排體系等方面應體現(xiàn)這些實質(zhì)性聯(lián)系，展示數(shù)學知識的

整體性和數(shù)學方法的一般性。

(3)重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則

數(shù)學中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理

解和掌握的，如，分數(shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等。因此，

教材在呈現(xiàn)相應的數(shù)學內(nèi)容與思想方法時，應根據(jù)學生的年齡特征與知識積累，在

遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則。螺旋上升是指在深度、廣

度等方面都要有實質(zhì)性的變化，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求。

例如，函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，也是義務教育階段學生比較難理解和

掌握的數(shù)學概念之一，本標準在三個學段中均安排了與函數(shù)關聯(lián)的內(nèi)容目標，希望

學生能夠逐漸加深對函數(shù)的理解。因此，教材對函數(shù)內(nèi)容的編排應體現(xiàn)螺旋上升的

原則，分階段逐漸深化。依據(jù)內(nèi)容標準的要求，教材可以將函數(shù)內(nèi)容的學習分為三

個主要階段：

第一階段，通過一些具體實例，讓學生感受數(shù)量的變化過程、以及變化過程中

變量之間的對應關系，探索其中的變化規(guī)律及基本性質(zhì)，嘗試根據(jù)變量的對應關系

作出預測，獲得函數(shù)的感性認識。

第二階段，在感性認識的基礎上，歸納概括出函數(shù)的定義，并研究具體的函數(shù)

及其性質(zhì)，了解研究函數(shù)的基本方法，借助函數(shù)的知識和方法解決問題等，使得學

生能夠在操作層面認識和理解函數(shù)。

第三階段，了解函數(shù)與其他相關數(shù)學內(nèi)容之間的聯(lián)系(例如，與方程之間、不

等式之間的聯(lián)系)，使得學生能夠一般性地了解函數(shù)的概念。

(4)整體性體現(xiàn)還應注意以下幾點

配置習題時應考慮其與相應內(nèi)容之間的協(xié)調(diào)性。一方面，要保證配備必要的習

題幫助學生鞏固、理解所學知識內(nèi)容；另一方面，又要避免配置的習題所涉及的知

識超出相應的內(nèi)容要求。

教材內(nèi)容的呈現(xiàn)既要考慮不同年齡學生的特點，又要使整套教材的編寫體例、

風格協(xié)調(diào)一致。

數(shù)學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地

介紹有關背景知識，包括數(shù)學在自然與社會中的應用、以及數(shù)學發(fā)展史的有關材料,

幫助學生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學的作用，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，感受數(shù)學家治

學的嚴謹，欣賞數(shù)學的優(yōu)美。例如，可以介紹《九章算術》、珠算、《幾何原本》、機

器證明、黃金分割、CT技術、布豐投針等。

3.教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應體現(xiàn)過程性

教材編寫不是單純的知識介紹，學生學習也不是單純地模仿、練習和記憶。因

此，教材應選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設計必要的數(shù)學活動，讓學生

通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用。恰當?shù)刈?/p>

學生經(jīng)歷這樣的過程，對于他們理解數(shù)學知識與方法、形成良好的數(shù)學思維習慣和

應用意識，提高解決問題的能力有著重要的作用。

(1)體現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程

在設計一些新知識的學習活動時，教材可以展現(xiàn)“知識背景一知識形成一揭示

聯(lián)系”的過程。這個過程要有利于激發(fā)學習興趣，理解數(shù)學實質(zhì)，發(fā)展思考能力，

了解知識之間的關聯(lián)。例如，分數(shù)、負數(shù)和無理數(shù)的引入都可以體現(xiàn)這樣的過程。

(2)反映數(shù)學知識的應用過程

教材應當根據(jù)課程內(nèi)容，設計運用數(shù)學知識解決問題的活動。這樣的活動應體

現(xiàn)“問題情境一建立模型一求解驗證”的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關

的知識技能，感悟數(shù)學思想、積累活動經(jīng)驗；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、

分析和解決問題的能力，增強應用意識和創(chuàng)新意識。

每一冊教材至少應當設計一個適用于“綜合與實踐”學習活動的題材，這樣的

題材可以以“長作業(yè)”的形式出現(xiàn)，將課堂內(nèi)的數(shù)學活動延伸到課堂外，經(jīng)歷收集

數(shù)據(jù)、查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動。

提倡在教材中設計更為豐富的“綜合與實踐”活動題材，供教師選擇。

4.呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應貼近學生現(xiàn)實

素材的選用應當充分考慮學生的認知水平和活動經(jīng)驗。這些素材應當在反映數(shù)

學本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學生的現(xiàn)實，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)

學知識與方法的過程。學生的現(xiàn)實主要包含以下三個方面一：

(1)生活現(xiàn)實

在義務教育階段的數(shù)學課程中，許多內(nèi)容都可以在學生的生活實際中找到背景。

第一學段，學生所感知的生活面較窄，從他們身邊熟悉的、有趣的事物中選取

學習素材，容易激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣，使他們感受到數(shù)學就在自己的身邊，也

易于他們理解相關的數(shù)學知識，體會到數(shù)學的作用。

第二學段、第三學段，學生的活動空間有了較大的擴展，他們感興趣的問題已

拓展到客觀世界的許多方面，他們逐漸關注來源于自然、社會中更為廣泛的現(xiàn)象和

問題，對具有一定挑戰(zhàn)性的內(nèi)容表現(xiàn)出更大的興趣。因此，教材所選擇的素材應盡

量來源于自然、社會中的現(xiàn)象和問題。如與現(xiàn)實生活有關的圖片和圖形(照片、簡

單的模型圖、平面圖、地圖等)，以使學生感受到數(shù)學的價值和趣味。

(2)數(shù)學現(xiàn)實

隨著數(shù)學學習的深入，學生所積累的數(shù)學知識和方法就成為學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,

這些現(xiàn)實應當成為學生進一步學習數(shù)學的素材。選用這些素材，不僅有利于學生理

解所學知識的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關數(shù)學知識之間的內(nèi)在關聯(lián)，有利于學生

從整體上理解數(shù)學，構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。例如，因式分解知識的引入可以借助整數(shù)

的分解，平行四邊形概念的引入可以借助三角形，等等。

(3)其他學科現(xiàn)實

數(shù)學的許多內(nèi)容與其他學科知識有著密切的聯(lián)系，隨著學生學習的深入，其他

學科的知識也就成為學生的“現(xiàn)實”，教材在選擇數(shù)學學習素材時應當予以關注。

5.教材內(nèi)容設計要有一定的彈性

按照本標準要求，教材的編寫要面向全體學生，也要考慮到學生發(fā)展的差異，

在保證基本要求的前提下，體現(xiàn)一定的彈性，以滿足學生的不同需求，使不同的人

在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，也便于教師發(fā)揮自己的教學創(chuàng)造性。例如：

(1)就同一問題情境提出不同層次的問題或開放性問題。

(2)提供一定的閱讀材料，包括史料、背景材料、知識應用等，供學生選擇閱

讀。

(3)習題的選擇和編排突出層次性，設置鞏固性問題、拓展性問題、探索性問

題等；凡不要求全體學生掌握的習題，需要明確標出。

(4)在設計綜合與實踐活動時，所選擇的課題要使所有的學生都能參與，不同

的學生可以通過解決問題的活動，獲得不同的體驗。

(5)編入一些拓寬知識或者方法的選學內(nèi)容，增加的內(nèi)容應注重于介紹重要的

數(shù)學概念、數(shù)學思想方法，而不應該片面追求內(nèi)容的深度、問題的難度、解題的技

巧。

(6)設計一些課題和閱讀材料，引導學生借助算盤、函數(shù)計算器、計算機等工

具，進行探索性學習活動。

6.教材編寫要體現(xiàn)可讀性

教材應具備可讀性，易于學生接受，激發(fā)學生學習興趣，為學生提供思考的空

間。教材可讀與否，對不同學段的學生具有不同的標準。因此，教材的呈現(xiàn)應當在

準確表達數(shù)學含義的前提下，符合學生年齡特征，從而有助于他們理解數(shù)學。

對于第一學段的學生，可以采用圖片、游戲、卡通、表格、文字等多種方式，

直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現(xiàn)素材，提高他們的學習興趣。

對于第二學段的學生，由于他們具備了一定的文字理解和表達能力，所以教材

的呈現(xiàn)應在運用學生感興趣的圖片、表格、文字等形式的同時、逐漸增加數(shù)學語言

的比重。

對于第三學段的學生，隨著數(shù)學學習、語言學習的深入，他們使用文字和數(shù)學

符號的能力已經(jīng)有了一定程度的發(fā)展。教材的呈現(xiàn)可以將實物照片、圖形、圖表、

文字、數(shù)學符號等多種形式結(jié)合起來。

四、課程資源開發(fā)與利用建議

數(shù)學課程資源是指應用于教與學活動中的各種資源。主要包括文本資源一一如

教科書、教師用書，教與學的輔助用書、教學掛圖等；信息技術資源一一如網(wǎng)絡、

數(shù)學軟件、多媒體光盤等；社會教育資源一一如教育與學科專家，圖書館、少年宮、

博物館，報紙雜志、電視廣播等；環(huán)境與工具一一如日常生活環(huán)境中的數(shù)學信息，

用于操作的學具或教具，數(shù)學實驗室等；生成性資源一一如教學活動中提出的問題、

學生的作品、學生學習過程中出現(xiàn)的問題、課堂實錄等。

數(shù)學教學過程中恰當?shù)氖褂脭?shù)學課程資源，將在很大程度上提高學生從事數(shù)學

活動的水平和教師從事教學活動的質(zhì)量。教材編寫者、教學研究人員、教師和有關

人員應依據(jù)本標準，有意識、有目的地開發(fā)和利用各種課程資源。

1.文本資源

關于教科書、教師用書的開發(fā)，參見“教材編寫建議”。

學生學習輔助用書主要是為了更好地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動力，幫助學

生理解所學內(nèi)容，鞏固相關技能，開拓數(shù)學視野，進而滿足他們學習數(shù)學的個性化

需求。這一類用書的開發(fā)不能僅僅著眼于解題活動和技能訓練，單純服務于應試。

更重要的，還應當開發(fā)多品種、多形式的數(shù)學普及類讀物，使得學生在義務教育階

段能夠有足夠的機會閱讀數(shù)學、了解數(shù)學、欣賞數(shù)學。

教師教學輔助用書主要是為了加深教師對于教學內(nèi)容的理解，加強教師對于學

生學習過程的認識，提高教師采用有效教學方法的能力。為此，在編制教學輔助用

書時，提倡以研討數(shù)學教學過程中的問題為主線，賦予充分的教學實例，注重數(shù)學

教育理論與教學實踐的有機結(jié)合，使之成為提高教師專業(yè)水準的有效讀物。

2.信息技術資源

信息技術能向?qū)W生提供并展示多種類型的資料，包括文字、聲音、圖像等，并

能靈活選擇與呈現(xiàn)；可以創(chuàng)設、模擬多種與教學內(nèi)容適應的情境；能為學生從事數(shù)

學探究提供重要的工具；可以使得相距千里的個體展開面對面交流。信息技術是從

根本上改變數(shù)學學習方式的重要途徑之一，必須充分加以應用。

信息技術資源的開發(fā)與利用需要關注三個方面:

其一，將信息技術作為教師從事數(shù)學教學實踐與研究的輔助性工具。為此，教

師可以通過網(wǎng)絡查閱資料、下載富有參考價值的實例、課件，并加以改進，使之適

用于自身課堂教學；可以根據(jù)需要開發(fā)音像資料，構(gòu)建生動活潑的教學情境；還可

以設計與制作有關的計算機軟件、教學課件，用于課堂教學活動研究等。

其二，將信息技術作為學生從事數(shù)學學習活動的輔助性工具。為此，可以引導

學生積極有效地將計算器、計算機用于數(shù)學學習活動之中，如，在探究活動中借助

計算器（機）處理復雜數(shù)據(jù)和圖形，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學規(guī)律；使用有效的數(shù)學軟

件繪制圖形、呈現(xiàn)抽象對象的直觀背景，加深對相關數(shù)學內(nèi)容的理解；通過互聯(lián)網(wǎng)

搜尋解決問題所需要的信息資料，幫助自己形成解決問題的基本策略和方法等。

其三，將計算器等技術作為評價學生數(shù)學學習的輔助性工具。為此，應當積極

開展基于計算器環(huán)境的評價方式與評價工具研究，如：哪些試題或評價任務適宜在

計算器環(huán)境下使用，哪些不適宜，等等。

總之，一切有條件和能夠創(chuàng)造條件的地區(qū)和學校，都應積極開發(fā)與利用計算機

（器）、多媒體、互聯(lián)網(wǎng)等信息技術資源，組織教學研究人員、專業(yè)技術人員和教師

開發(fā)與利用適合自身課堂教學的信息技術資源，以充分發(fā)揮其優(yōu)勢，為學生的學習

和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學習工具和評價工具；為學生提供探索復

雜問題、多角度理解數(shù)學的機會、豐富學生的數(shù)學視野、提高學生的數(shù)學素養(yǎng)；為

有需要的學生提供個體學習的機會，以便于教師為特殊需要的學生提供幫助；為教

育條件欠發(fā)達地區(qū)的學生提供教學指導和智力資源，更有效地吸引和幫助學生進行

數(shù)學學習。

值得注意的是，教學中應有效地使用信息技術資源，發(fā)揮其對學習數(shù)學的積極

作用，減少其對學習數(shù)學的消極作用。例如，不應在數(shù)學教學過程中簡單地將信息

技術作為縮短思維過程、加大教學容量的工具；不提倡用計算機上的模擬實驗來代

替學生能夠操作的實踐活動；也不提倡利用計算機演示來代替學生的直觀想象，弱

化學生對數(shù)學規(guī)律的探索活動。同時，學校之間要加強交流，共享資源，避免相關

教學資源的低水平重復，也可以積極引進國外先進的教育軟件，并根據(jù)本學校學生

的特點加以改進。

3.社會教育資源

在數(shù)學教學活動中，應當積極開發(fā)利用社會教育資源。例如，邀請有關專家向

學生介紹數(shù)學在自然界、科學技術、社會生活和其他學科發(fā)展中的應用，幫助學生

體會數(shù)學的價值；邀請教學專家與教師共同開展教學研究，以促進教師的專業(yè)成長。

學校應充分利用圖書館、少年宮、博物館、科技館等，尋找合適的學習素材，

如，學生感興趣的自然現(xiàn)象、工程技術、歷史事件、社會問題、數(shù)學史與數(shù)學家的

故事和其他學科的相關內(nèi)容，以開闊學生的視野，豐富教師的教學資源。

報紙雜志、電視廣播和網(wǎng)絡等媒體常常為我們提供許多貼近時代、貼近生活的

有意義話題，教師要從中充分挖掘適合學生學習的素材，向?qū)W生介紹其中與數(shù)學有

關的欄目，組織學生對某些內(nèi)容進行交流，以增強學生學習數(shù)學的興趣，提高學生

運用數(shù)學解決問題的能力。

4.環(huán)境與工具

教師應當充分利用日常生活環(huán)境中與數(shù)學有關的信息，開發(fā)成為教學資源。教

師應當努力開發(fā)制作簡便實用的教具和學具，有條件的學?？梢越ⅰ皵?shù)學實驗室”

供學生使用，以拓寬他們的學習領域，培養(yǎng)他們的實踐能力，發(fā)展其個性品質(zhì)與創(chuàng)

新精神，促進不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。

5.生成性資源

生成性資源是在教學過程中動態(tài)生成的，如，師生交互、生生交流過程中產(chǎn)生

的新情境、新問題、新思路、新方法、新結(jié)果等。合理地利用生成性資源有利于提

高教學有效性。

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附錄

附錄1有關行為動詞的分類

本標準中有兩類行為動詞，一類是描述結(jié)果目標的行為動詞，包括“了解、理

解、掌握、運用”等術語。另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經(jīng)歷、體驗、

探索”等術語。這些詞的基本含義如下。

了解：從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據(jù)對象的特征，從具

體情境中辨認或者舉例說明對象。

理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。

掌握：在理解的基礎上，把對象用于新的情境。

運用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。

經(jīng)歷：在特定的數(shù)學活動中，獲得一些感性認識。

體驗：參與特定的數(shù)學活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一些經(jīng)驗。

探索：獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學活動，理解或提出問題，尋求解決問

題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識。

說明：在本標準中，使用了一些詞，表述與上述術語同等水平的要求程度。這些詞

與上述術語之間的關系如下：

(1)了解

同類詞：知道，初步認識。

實例：知道三角形的內(nèi)心和外心；能結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù)。

(2)理解

同類詞：認識，會。

實例：認識三角形；會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。

(3)掌握

同類詞:能。

實例：能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置。

(4)運用

同類詞：證明。

實例：證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。

(5)經(jīng)歷

同類詞：感受，嘗試。

實例：在生活情境中感受大數(shù)的意義；嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題。

(6)體驗

同類詞：體會。

實例：結(jié)合具體情境，體會整數(shù)四則運算的意義。

附錄2內(nèi)容標準及實施建議中的實例

第一學段(「3年級)略

第二學段(4?6年級)略

第三學段(7?9年級)

數(shù)與代數(shù)

例47災害應對預案。

一次水災中，大約有20萬人的生活受到影響。如果災情持續(xù)一個月，大約需要

籌集多少頂帳篷？多少噸糧食？

［說明］解決此問題需要在一定的假設條件下，進行有理數(shù)的運算，最后給出估

計。

例如，假定一頂帳篷可以住10個人，需要2萬頂；假如要保證一個家庭住一頂

帳篷，每個家庭4口人，需要5萬頂。假定平均每人每天需要0.4千克糧食，可以

估計出每天需要的糧食數(shù)，10天需要的和一個月需要的糧食數(shù)。

例48估計鋁與。.5比哪個大？與L。比呢?

例49計算：(1)V12+V8xV6;(2)

［說明］運用二次根式的加、減、乘、除運算法則進行二次根式的四則運算，根號下

僅限于數(shù)，不要求進行根號下含字母的二次根式的四則運算，如◎,2而北4--等。

yja

例50結(jié)合實例解釋3a。

［說明］希望學生理解用字母表示的代數(shù)式是有一般意義的。a可以表示數(shù)量，

例如葡萄的價格是每千克3元，則3a表示買a千克的金額；a可以表示長度，例如,

一個等邊三角形邊長為a,則3a表示這個三角形的周長，等等。

例51利用公式證明例29所顯示的運算規(guī)律。

［說明］在第二學段的學習中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如下的運算規(guī)律：

15X15=1X2X100+25=225,

25X25=2X3X100+25=625,

35X35=3X4X100+25=1225。

觀察后，我們猜測：如果用字母a代表一個正整數(shù)，則有如下規(guī)律：

(aX10+5-=〃l)x100+25。

但這樣的猜測是正確的嗎？需要給出證明：

0x10+5)2=”2x10()+2axl0x5+25="(a+1)x100+25。

這是一個由具體數(shù)值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程?？?/p>

以讓學生感悟，有些問題是可以通過一般性的證明來驗證自己所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，感悟

數(shù)學的嚴謹性，增加學習數(shù)學的興趣。

例52在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿

數(shù)加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子？

［說明］這個問題與例32是相同的。事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。

在第二學段討論過的方法是基于四則運算，還可以用一元一次方程的方法或二元一

次方程組的方法解決。啟發(fā)學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比

較，加深對于模型的理解。

利用一元一次方程解決此問題時，可以引導學生通過具體列表的方式找出規(guī)律、

建立方程，這樣利于學生理解方程的意義，體會建模的過程。假設椅子數(shù)為a,則凳

子數(shù)為16-a,把例32中的表移過來并用字母代替：

椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)

a=1616-a=04a+3(16-a)=64

a=1516-a=14a+3(16-a)=63

a=1416-a=24a+3(16-a)=62

這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60,可以通過嘗試的方法，解得才12,也

可以解方程求解。

對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設椅子數(shù)為a,凳子數(shù)為8,可以

得到兩個方程a+Z>=16和4K3k60,用代入法得到4/3(16-a)=60,求解得到a=12

和ZF4O

從上面的討論可以看到，用四則運算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用

二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較繁瑣。

在教學過程中，可以結(jié)合具體的教學內(nèi)容使用這個例子，最后進行比較，啟發(fā)

學生思考。

例53估計方程/+2%-10=0的解。

［說明］估計方程的解，不僅僅在于求解，也有利于學生直觀地探究方程的性質(zhì),

初步感悟，通過代入數(shù)值進行計算也是求方程解的有效途徑。一般來說，如果把一

個數(shù)代入方程左邊得到的值為負，把另一個數(shù)代入得到的值為正，則在這兩個數(shù)之

間可能有方程的解。根據(jù)這個原理，用二分法可以估計方程的解。

分析這個一元二次方程，當X的絕對值較大時，方程的左邊必然為正，如-5和

3；當x的絕對值較小時，方程的左邊必然為負，如2。那么，在-5和2之間，以及

在2和3之間方程可能有解。進一步，用同樣的道理可以將解的范圍縮小，使我們

估計的解盡可能精確，如選-5和2的中間值-1.5代入方程的左邊進行計算，如果得

到的值為正，則在T.5和2之間有解，否則在-5和-1.5之間有解。可以借助計算器

來完成上述的計算過程。

進一步，教師引導學生用公式法解出方程的解，然后借助計算器求解的近似值,

并將得出的近似值與前面的估計值進行比較。

例54小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2

元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？

［說明］對于初中的學生，這個問題是生活常識，但希望學生能通過這個例子學

會用數(shù)學的思維方式看待生活中的問題。

這是一個求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計算，有

助于學生直觀理解不等式。

假設買a支鉛筆，8塊橡皮，可以得到不等式

0.5a+0.4Z?<2o

當八1時，計算得到入守=3.75,則這樣計算，可以建立下面

的表格:

a01234

b53210

金額21.71.81.90

根據(jù)上面的表格，小麗可以選擇適當?shù)馁徺I方案。

例55小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按

原速返回。父親在報亭看了10分報紙后，用15分返回家。下面的圖形中哪一個表

示父親離家后的時間與距離之間的關系？哪一個圖形是表示母親的行走過程？

圖14

例56某書定價8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表

示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關系。

［說明］這是一個分段函數(shù)，函數(shù)的三種表示法均適用于這個例子。一般來說，

列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數(shù)應當畫圖，并且關注分段點處函數(shù)

的變化情況。

可以分組討論三種方法，然后讓學生分析比較。

例57甲乙兩地相距20千米。小明上午8：30騎自行車由甲地去乙地，平均車速為

8千米/時；小麗上午10：00坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為40千米/時。

分別表示兩個人所用時間與距離的函數(shù)關系，并回答誰先到達乙地。

［說明］問題的要點是同時分析兩個函數(shù)關系?？梢詥l(fā)學生用各種方法來解答

第二個問題，在分析、總結(jié)學生的解答時，可以把兩個函數(shù)的圖像放在一起進行直

觀比較。

例58溫度的計量。

世界上大部分國家都使用攝氏(°C),但美、英等國的天氣預報仍然使用華氏(

F)o兩種計量之間有如下對應:

℃01020304050

°F32506886104122

(1)在平面直角坐標系中描述相應的點，觀察這些點是否在一條直線上。

(2)如果兩種計量之間的關系是一次函數(shù)，請給出該一次函數(shù)表達式。

(3)求出華氏0度時攝氏是多少度。

(4)華氏溫度的值與對應的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？

［說明］在表中，兩個變量對應數(shù)值的差之比是一個常數(shù)，所以兩個變量之間是

一次函數(shù)關系。攝氏從0度開始，設為橫坐標方便。但在求華氏。度對應的攝氏溫

度時，需要通過函數(shù)值來反求自變量的值。在平面直角坐標系中，該一次函數(shù)的圖

像與直線夕=x的交點處的值就是華氏溫度的值與攝氏溫度的值相等時的值。

圖形與幾何

例59從一個側(cè)面為正方形的長方體實物中抽象出長方體、長方形、正方形、線段

和頂點。

［說明］學生在日常生活中見到的物體都是立體的，而在紙上畫出的圖形都是平面

的，這是一類很重要的抽象。特別是把物體表面分解，有利于培養(yǎng)學生的空間觀念。

例60證明：兩直線平行，則同位角相等。

圖15

［說明］考慮到學生的實際情況，在教學過程中，給出下面證明方法的時間可以

酌情處理。

這個證明可以利用反證法完成，一方面使學生了解結(jié)論的證明，另一方面可以

幫助學生了解反證法。如圖15所示，我們希望證明：如果4夕〃"，那么N1=N2。

假設N1WN2,過點。作直線，B',使9=/2。根據(jù)“兩條直線被第三條

直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這個基本事實，可得"B'//CD0

這樣，過點。就有兩條直線49,A'B'平行于切，這與基本事實“過直線外一點有

且僅有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明N1WN2的假設是不對的，于是有N1

=N2。

例61直觀闡述基本事實：兩組對應邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

［說明］雖然基本事實是不需要證明的，但是啟發(fā)學生進行直觀分析、探索結(jié)論

的合理性。

圖16-1圖16-2

如圖16T所示，一個三角形由六個元素構(gòu)成，即三條邊和三個角，因此，兩個

三角形如果三條邊和三個角分別相等，則這兩個三角形全等。問題是，最少幾個元

素就可以確定三角形從而構(gòu)成全等條件呢？

觀察圖16-1中的如果對圖中的邊比■“視而不見”，這樣，對N8和NC

也就“視而不見”了（如圖16-2）,此時△4%的形狀和大小并不改變。這就是說，

AB,4。兩條邊及它們的夾角確定了的形狀和大小，于是可以推斷，兩邊以及

這兩邊的夾角可以確定一個三角形。因此，可以認同“兩邊及其夾角分別相等的兩

個三角形全等”這個基本事實。

另外，也可以用圖形運動（疊合）的方法確認“兩邊及其夾角分別相等的兩個

三角形全等”這個結(jié)論。

對于基本事實“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”的直觀分析可以借助

下面的圖17T和圖17-2O

圖17-2

可以進一步引導學生思考，為什么“三個角分別相等的兩個三角形全等”不能

成為基本事實。

對于以上事實的認可，也可以從六個元素中的一個出發(fā)，即由少到多進行考慮,

通過畫圖探索出需要幾個元素即可確定一個三角形。

例62根據(jù)性質(zhì)對平行四邊形、矩形、菱形、正方形分類

［說明］在第一和第二學段都討論過分類的問題，通過分類有助于學生把握問題

本質(zhì)，了解研究對象的共性與差異。特別是對于幾何圖形分類，有利于培養(yǎng)幾何直

觀性和思維的層次性。

分類的關鍵在于確定分類的標準，在不同的標準下可能會有不同的分類結(jié)果。

一般來說，分類標準可以由粗到細，即由一個特征發(fā)展到多個特征（參見例21）。針

對本問題把圖形分為兩類（其中一類可以是空的，在具