高中數(shù)學(xué)人教A必修第一冊同步練習(xí)：第五章 習(xí)題課 三角恒等變換的應(yīng)用

習(xí)題課三角恒等變換的應(yīng)用

課后篇鞏固提升

…“―基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練

1.函數(shù)/(x)=sinxcosx+cos2x-l的值域?yàn)?)

rV2+1V2-i'B片與］

AA——

C.f-1,01D?[嗚

|解析"幻二sinxcosx+cos2x-l

1.cl+cos2x

=-sm2x+---1

2

=-1sinc2x+l-cos2cx-l-

=ysin(2x+g-1,

因?yàn)?1Wsin(2%+：)W1,所以yW.

H]A

2.已知a滿足sina=",則cosQ+—cos(}a)=()

AZB壟C-ZD-壟

18181818

|解析|cos(；+a)C0SQ-a)=C0S】cos(；-a)=singa)cos=|sin^-2a=jcos2a=1(l-

2sin2a)=1(1-2x以=看故選A.

拜A

3.設(shè)。=2sinl3。cos13°3=Jtan；：則有()

l+tan213N2

A.c<a<bB.a<h<cC.h<c<aD.a<c<h

解析因?yàn)閍=2sin13°cos13°=sin26°,b-2tan1^---=tan26°,c=l~c---=sin25°,且正弦函數(shù)

1+tan13°7,

y=sinx在區(qū)間［0身上單調(diào)遞增，所以a>c;在區(qū)間［。圖上tana>sin%所以所以c<a<b故選A.

答案k

4.（多選題）（2020福建福州一中高一期末）以下函數(shù)在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增的有（）

A.y=sinx+cosxB.y=sinJt-cosx

C.y=sinxcosxD.y=^^

?Jcosx

，當(dāng)xe（0,p時(shí)/+/（：*）,所以函數(shù)在區(qū)間（0,p

|解析忖于A選項(xiàng),y=sinx+cos

上不單調(diào);

對于B選項(xiàng),y=sinx-cosx=V2sin(x-3),

(HH)

時(shí),X/

當(dāng)XGZ'4'

所以函數(shù)在區(qū)間（0,p上單調(diào)遞增；

對于C選項(xiàng),y=sinxcosx=；sin2x,當(dāng)（0J時(shí),2xG（0,7t）,所以函數(shù)在區(qū)間（0弓）上不單調(diào);

對于D選項(xiàng)，當(dāng)（°，P時(shí)J=1^=tanx,

所以函數(shù)在區(qū)間（o,毅上單調(diào)遞增.

答案|BD

5.已知函數(shù)y（x）=sin%x的最小正周期為兀，則co=.

|解析|由"TX-^）=sin2cox=-|cos2GX+2,因此工二兀，解得co=±\.

鹿土1

6.已知函數(shù)所靠翼篇.

（1）求_/（-巖）的值;

⑵當(dāng)xW［。，今）吐求函數(shù)g（x）=g/（x）+sin2x的最大值和最小值.

(1+COS2X)2-2COS2X-1

魁（1求》）=

sin(J+x)sin(J-x)

_cos22x

sin(^+x)cos(^+x)

_2COS22X2cos22%

=2cos2x,

sin(^+2x)cos2x

所以/（-巖）=2cos（.詈）=2cos=V3.

（2）g（x）=cos2x+sin2x=V2sin^2x+胃

因?yàn)樗?x+2e[PY）?

所以當(dāng)時(shí),g（x）max=魚，

o

當(dāng)X=0時(shí),g（X）min=L

…“一能力提升練

1.（多選題）（2020山東棗莊高一期末）設(shè)函數(shù)./U）=sin（2r+，+以＜2%+，,則加）（）

A.是偶函數(shù)

B.在區(qū)間（0,?單調(diào)遞減

C.最大值為2

D.其圖象關(guān)于直線x=]對稱

|解析|/（x）=sin（2x+；）+cos（2x+；）

=V2sin（2x+7+7）=V2cos2x.

44

J（-x）=V2cos（-2x）=V2cos（2x）Y尤）,故?x）是偶函數(shù),A正確；

:'xe（0,p,所以2xW（0,兀）,因此危）在區(qū)間（0,p上單調(diào)遞減,B正確；

人1）=&8$2丫的最大值為&《不正確；

當(dāng)時(shí)段）二夜832乂/=?近，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，因此函數(shù)圖象關(guān)于對稱,D正確.

答案|ABD

2.已知函數(shù)於＞=sinx+Acosx的圖象的一個(gè)對稱中心是點(diǎn)雋,0）,則函數(shù)g（x）=/sin工cosx+sin%的圖象

的一條對稱軸是直線（）

A.x=^B.x二號C.x=^D.x=-^

6333

|解析|因?yàn)楹瘮?shù)危）=sinx+Acosx的圖象的一個(gè)對稱中心是點(diǎn)管,0）,所以乂號）二0,即sin癡s$0,解

得2二?B,故^（x）=-V3sin工cosx+sin?%,整理得g（x）=-sin卜％+塔）+盤所以對稱軸直線方程為

2x+?=E+?（%￡Z）,當(dāng)k=-\時(shí),一條對稱軸是直線尢=三

bL3

小D

3.(2019山西孝義一模)已知函數(shù)段)=2倔in竽-cos竽+2cos2竿(co>0)的周期為得當(dāng)xSLo弓」時(shí)，函數(shù)

雙天)寸a)+機(jī)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

|解析|由函數(shù)外)=2V5sin竽cos與+2cos?竽(①>0),

可得兀0二百sincox+coscwx+1

=2sinQx+D+1.

o

：7W的周期為票.:如=知，可得0=3,

5(i)5

?VW=2sin(3x+j)+1.

o

當(dāng)XG[o,1時(shí),3x+*[,!]次x)的圖象與函數(shù)y=-m的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn).

?：2x；+lW-m〈2xl+1,即2W-/"<3,

?：實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?3,?2].

gg(-3,-2]

4.已知函數(shù)/(x)=4tanxsin(5?x)cos(%q)—V3.

⑴求?r)的定義域與最小正周期；

⑵討論在區(qū)間[q上的單調(diào)性.

網(wǎng)(1VU)的定義域?yàn)?H]+kn,kezj.

X^)=4tanxcosxcos(%《)—>/3

=4sinxcos卜—V3

=4sinxQcosx+當(dāng)sinx)—V3

=2sinxcosx+2>/3sin2x-V3

=sin2x+V3(l-cos2x)-V3

=sin2x-V3cos2jv=2sin(2x?g).

所以?v)的最小正周期T=—=n.

⑵令z=2x?,函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是+2k嗎+2則#匕.由仁+2%后您?<

3+2械%G2,得哈+航0:二三+面,%^2.

設(shè)A=［-；用，8=匕1今+EWxW.+E,AGZ）,易知AfW=［*用.所以，當(dāng)xG1；同時(shí)危）在區(qū)

間［*用上單調(diào)遞增,在區(qū)間［￡,*］上單調(diào)遞減.

…一素養(yǎng)培優(yōu)練

（2019上海閔行區(qū)高一模擬）

如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形ABCD的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（RtAEFG,E是直角頂點(diǎn)）來處

理污水，管道越長，污水凈化效果越好，設(shè)計(jì)要求管道的接口E是A8的中點(diǎn),F、G分別落在A。、BC

上，且4B=20m,40=10百m,設(shè)NGE8=4

（1）試將污水管道的長度/表示成8的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）當(dāng)e為何值時(shí)，污水凈化效果最好，并求此時(shí)管道的長度.

解I）由題意,/GEB=（9,NGEF=9O°,

則NAEF=90°-9.

:是A8的中點(diǎn)48=20m^4D=10V3m.

"G嗯聲=1010

cos(90°-e)sin。

10

???FGZEG2+EF2=

cos0sin0"

則/=名+懸+—%，定義域，

1Q(singos)+1