考研數(shù)學(xué)高數(shù)基礎(chǔ)講義

考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)講義

目錄

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)......................................................1

§1.1函數(shù)................................................................1

§1.2極限................................................................6

§1.3連續(xù)...............................................................20

第二章一元函數(shù)微分學(xué).......................................................26

§2.1導(dǎo)數(shù)與微分.........................................................26

§2.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.........................................................43

第三章一元函數(shù)積分學(xué)......................................................49

§3.2定積分和反常積分...................................................63

§3.3有關(guān)變限積分和積分證明題...........................................69

§3.4定積分的應(yīng)用.......................................................72

第四章常微分方程..........................................................77

§4.1基本概念和一階微分方程.............................................77

§4.2特殊的高階微分方程.................................................83

,,§43微?方程的應(yīng)用.....................................................90

§5.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性.......................................91

§5.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分...........................................94

§5.4多元函數(shù)的極值與最值..............................................101

高等數(shù)學(xué)

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

§1.1函數(shù)

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

設(shè)D是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)劃/,對(duì)每一個(gè)xeD,都能對(duì)應(yīng)惟一的

一個(gè)實(shí)數(shù)y,則這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)劃，稱(chēng)為定義在D上的一個(gè)函數(shù)，記為月（x）,稱(chēng)x為函數(shù)的自

變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，D稱(chēng)為函數(shù)的定義域，并把實(shí)數(shù)集

z={y\y=/de。}

稱(chēng)為函數(shù)的值域。

2.分段函數(shù)

如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示，而要用兩上或兩個(gè)以

上的表達(dá)式來(lái)表示。這類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。

例如

x+1%<-1

y=/'（x）=-1<%<1

xX>\

%

是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)，X=-l和x=l,它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討

論函數(shù)詞X）在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、

右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域

內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。

3.隱函數(shù)

形如y=/（x）的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)，由方程F（x,y）=0確定的y=兆）稱(chēng)為隱函數(shù)，有些隱

函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是一個(gè)單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。

4.反函數(shù)

如果產(chǎn)女工）可以解出x=qp（y）是一個(gè)函數(shù)（單值），則稱(chēng)它為負(fù)的的反函數(shù)，記以

X=。有時(shí)也用y=J-|（%）表示。

二、基本初等函數(shù)

1.常值函數(shù)y=C（常數(shù)）

2.第函數(shù)y=xa（a常數(shù)）

3.指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,常數(shù)）

y=ex（e=2.7182...,無(wú)理數(shù)）

4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=|Ogx（a>o,a^\常數(shù)）

1

高等數(shù)學(xué)

常用對(duì)數(shù)y=bg

自然對(duì)數(shù)y=\ogex=\nx

5.三角函數(shù)y=sinx;y=cosx;y=tanx;y=cotx;y=secx;y=escx.

6反三角函數(shù)y~arcsinx\y=arccosx;y=arctanx;y=arccotx.

基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像非常重要，影響深遠(yuǎn)。例如以后經(jīng)常會(huì)用

11

limarctanx；limarctanx:limex；limex；limInx等等，就需要對(duì)y=arctanx,

x->+Q0

xf。XTO+xf(TxfCT

y=ex,y=\nx的圖像很清晰。

三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)

設(shè)y=/(?)定義域u

〃=g(x)定義域x,值域u*

如果L/*uU,貝y=/靜)]是定義在X上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其中"稱(chēng)為中間變量。

2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個(gè)分析表達(dá)式表示的函數(shù)稱(chēng)

為初等函數(shù)。

四、函數(shù)的幾種性質(zhì)

1.有界性：設(shè)函數(shù)月(x)在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M,使xeX都有/(x)<M，則

稱(chēng)y(x)在X上是有界的。

2.奇偶性：設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì)xeX，都有/(-x)=-/(x),則稱(chēng)/(x)

在X上是奇函數(shù)；若對(duì)x，都有/(-x)=/(x),則稱(chēng)/(x址上是偶函數(shù)。奇函

X

數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

3.單調(diào)性：設(shè)/(在X上有定義，若對(duì)任意x,eXx2eXx,<

x)x2都有

/'(lx)<f(x2)Iff(x)>,次(稱(chēng)/(X)在上是單調(diào)增加的U單調(diào)減少的」I；若

X)J1X

對(duì)任2意/eX,xqX,x都尊f(x)</(x)l[f(x)>/(*)」，則稱(chēng)/(x)在X

上是單調(diào)不減U單調(diào)不增」I。

(注意：有些書(shū)上把這里單調(diào)增加稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱(chēng)為單調(diào)增加。)

4.周期性：設(shè)/(在X上有定義，如果存在常數(shù)7*0,使得任意xeX

x)2

高等數(shù)學(xué)

x+TeX，都有/(x+T)=/(，則稱(chēng)/(是周期函數(shù)，稱(chēng)7為/(x的周期。)

“)由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期1)一般我們把其中的最小正周期稱(chēng)為周期。

(乙)典型例題

一、求函數(shù)的定義域

【例1】求函數(shù)/(x)=lnlnlnx+100-x2的定義域。

解InInInx要有定義，x>e,

100-x2要有定義，X2<100,X<10,

因此，/(的定義域?yàn)閑,

x)(]

[例2]￡?=x-U的定義域。

x+nx-5

解x-x要有定義，工之1和1=

0

1要有定義，xw5,xw4,xw6,

Inx-5

因此，定義域?yàn)?D1,u4,u5,u6,oo

{}[4)(5)(6)(+)

2

【例3】設(shè)/(x)的定義域?yàn)閇-a,司(a>0),求/(x-)1的定義域。

解要求一。工工-1<a,PWl-a<x<\+a,

當(dāng)a>IW,V1-<0,/.x?1+Q,則x<1+a

當(dāng)0<a<1時(shí)，1-a>0,/.l-a<x<1+a

也即1一1+a或一-1-a

.10,<x<2

設(shè)式求/(x)=g(2x)+g(x-1的定義域，并求)

122,<x<4

解g(的定義域?yàn)?4,,要求042x44,則04x42；要求OWx-144,

3

高等數(shù)學(xué)

二、求函數(shù)的值域

1

【例1】求歹=/、的值域。

解我們先求出反函數(shù)，它的定義域就是原來(lái)函數(shù)的值域。

2131,

331MT=3

WTin

y

1

x=31+3，它的定義域歹＞0,且ywl

Iny

所以原來(lái)函數(shù)的值域?yàn)椋?,l）D（l,E）

三、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式

1.已知兀0和g（x）,求f[躍x)].

X1

[例I]已知求/

-/(x)-lJ

(%)=x—1

x11=x-l(xw1)

解/(x)-l=

x-1x-1

1x-1X-1

于是，J/(1)=(xH1,"2)

./(x)-lJ(1)—1x-2

X

【例2J設(shè)/(x)=，求/"("/(x))]=f"(x)

1+N

n重復(fù)合

f(x)XNX

解fx)=f[.f%+x2

1+/14-X22/

(x)]1+

2((x)

X

X(x)

若A，則A1w=k—1+

+2

221+kx

(x)\+kxi+z1+kx

(x)

X

2

l+(%+l)X

X

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)正整數(shù)

2

]+nr

2.已知以刈和y[g（x）]，求yU）.

【例1】設(shè)/(e*+l)=e2x+e+X,求兀V）.

4

高等數(shù)學(xué)

解令，x=ln(w-1)

f(u)=(w-1)4(w-1)+ln(w-1)="2一〃+]n(〃-1)

于是/(x)=x2-x+ln(x-l)

【例2】已知/'(e*)=xeT，且/(1)=0,求於).

解令七=/,x=ln/,因此/'(e、)=f\t)=ln?,

t

112

f(x)-/(1)="J，力=?詔tt

，In212

1

,:/(l)=0，二/(x)=ln2x

2

四、有關(guān)四種性質(zhì)

【例1】設(shè)尸(x)=/(x),則下列結(jié)論正確的是().

(A)若/(x)為奇函數(shù)，則尸(x)為偶函數(shù)

(B)若於)為偶函數(shù)，貝IJ尸(x)為奇函數(shù)

(C)若/(x)為周期函數(shù)，則尸(x)為周期函數(shù)

(D)若｛丫)為單調(diào)函數(shù)，則尸(x)為單調(diào)函數(shù)

解(B)不成立，反例/(x)=x2,尸(X)=+1

3

(C)不成立，反例f(x)=cosx+1,F(x)=sinx+x

2

(D)不成立，反例/(x)=2x,F(x)=x在(-oo,+oo)內(nèi)

(A)成立。

證明F(x)=F(0)+f/⑺血,/為奇函數(shù)，

F(-x)=F(0)+』。f(t)dt=F(O)+J；/(_”)/_“)

=？(0)+〕。fWdu=F(x)如)為偶函數(shù)。

1f5x-x2

【例2】求/=_Jx[x+(e-e)ln(x+

x+l)]dx.

X-X-XX

2

網(wǎng)fG)=e-《是奇函數(shù)，??./1(-x)=e-e=-f(x),/(x)=ln(x4-

x+1)12

是奇函數(shù)，22

??//。匕\2八(x+l)-x

,((2-9=ln(-x+x+1)=,

In人1人?i

5

高等數(shù)學(xué)

=In1-ln(x+x+1)=-/2(x)

因此x(ex-e)ln(x+2x+1)是奇函數(shù)。

于是/=f]X&+O=?Jx7

【例3]兩個(gè)甯通函數(shù)芝和是否仍是周期函數(shù)？

解不一定

xx

(1)f(x)=sin+cos

123

xx

x

fx)=sin周期為4n,/2()=cOS周期為6n

1(23

4兀和6兀的最小公倍數(shù)為12K,，f(x)是以12n為周期的函數(shù)

(2)f(x)=sin2x+cosnx

f(lx)=sin2x周期為ir,f2(x)=c周期為2

OSTtX

和2沒(méi)有最小公倍數(shù)，/./(x)不是周期函數(shù)

(3)/(x)=sin2x+(1-sin2x)

f(lx)=sin周期為n,/2(x)=l-sin2x周期為兀

2x

雖然f./2(x)不但都是周期函數(shù)，面且它們的周期有最小公倍數(shù)。

但是/(x)=f](x)+/2(x)=1,卻不是周期函數(shù)。(因?yàn)闆](méi)有最小正周期。)

【例4]設(shè)/(x),g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f\x)g(x)-f(x}g'(x)<0,則

當(dāng)a<x<h時(shí)，下列結(jié)論成立的是()

(A)f(x)g(h)>f(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>〃b)g(b)(D)f(x)g(x)>/(a)g(a)

/WI；,

解/、f="、"'a)ga)_/(x)g'(x)]<°,；?J(x單調(diào)減少

...Lg(x)Jg2(x)g(x)

f(x)f(b)

于是x<b,則有/>小，故(A)成立。

g(x)g(b)

§1.2極限

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

6

一、極限的概念與基本性質(zhì)

1.極限的定義

(1)limx.=(稱(chēng)數(shù)列{x}?收斂于

AA)

任給￡>0,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，就有x〃一力<￡.

(2)limf(x)=A

X->+0O

任給￡>0,存在正整數(shù)X,當(dāng)x>X時(shí)，就有f(x)-A<E.

(3)1沛f(.x)=A

X—>-?>

任給￡>0,存在正整數(shù)X,當(dāng)x<-X時(shí)，就有/(x)—4<8.

(4)Hm/(%)=4

.r-^oo

任給￡>0,存在正整數(shù)X,當(dāng)|x|>X時(shí)，就有f(x)-A<s.

(5)lim/"(x)=A

XT%

任給￡>0,存在正數(shù)B,當(dāng)0<x-x<5時(shí)，就有<￡。

o

(6)limf(x)=A(用f(x0+0表

f+

示))

任給￡>0,存在正數(shù)3,當(dāng)0<x—x午3時(shí)，就有f(x)-A<€

(7)limf(x)=A(用/(x-0表

?f

示))

任給￡>0,存在正數(shù)3,當(dāng)-6<x-x5,0時(shí)，就有f(x)-A<￡o

其中/(#+稱(chēng)為/(無(wú))在。處右極限值,/(研一稱(chēng)為/(*)x

0)X0)n處左極限值°°

有時(shí)我們用lim./(x)=J表示上述六類(lèi)函數(shù)的極限，它具有的性質(zhì)，上述六類(lèi)函數(shù)極

限皆具有這種性質(zhì)。有時(shí)我們把x行，即數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特)

例，以便于討論。

2.極限的基本性質(zhì)

定理(極限的惟一性)設(shè)lim/(x)=/l,lim/(x)=8,即A=B.

1

(極限的不等式性質(zhì))設(shè)lim/(x)=/,limg(x)=8

定理

2若x變化一定以后，總有/(x)>g(%),貝|J428

7

高等數(shù)學(xué)

反之，4>8,則x變化一定以后，有-/(x)>g(x)

(注：當(dāng)g(x)=0,8=°情形也稱(chēng)為極限的保號(hào)性)

定理3(極限的局部有界性)設(shè)lim/(x)=4,則當(dāng)x變化一定以后，f(x有界的。)

定理設(shè)lim/(x)=y4,limg(x)=8

4

<1)lim[[/(x)+g(J)1=A+B

則

(2)lim[[/(x)-g(x])]=

⑶lim[[/(x)ig(x])]=A\B

/(x)z、

(4)limA(BH0)

g(x),

⑸lim的(“]=11(4>0)

A

二、無(wú)窮小量/

1.無(wú)窮小量定義：若lim/(x)=0>則稱(chēng)/(x為無(wú)窮小量)

11

(注：無(wú)窮小量與x的變化過(guò)程有關(guān)，hm，當(dāng)x-8時(shí)為無(wú)窮小量，而xf%

x-??X=0X0

1

或其他時(shí)，不是無(wú)窮小量)

X

2.無(wú)窮大量定義：任給M>0,當(dāng)x變化一定以后，總有/(x),則稱(chēng)/(x

為)

無(wú)窮大量，記lim/(x)=oo。

3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：在x的同一個(gè)變化過(guò)程中，若/(x為無(wú)窮大量，則)

,,為無(wú)窮小量，若/(x)為無(wú)窮小量且/(X)H0,則:、為無(wú)窮大量。

ff\x)

X)

(4.無(wú)窮小量與極限的關(guān)系

limf{x)=A/(x)=J+6r(x)其中l(wèi)imx)=0

5.兩個(gè)無(wú)窮小量的比較

/、/\/(x)

設(shè)lim/(x)=0,limg(工)=0,Ji.lim-I

g(x)

(1)/=o,稱(chēng)/(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小量，記以/(x)=o[|y&/)]

8

高等數(shù)學(xué)

稱(chēng)8（是比/（x低階的無(wú)窮小量，）

x）

⑵/*0,稱(chēng)/（x）與g（x是同階無(wú)窮小量。）

⑶/=1,稱(chēng)/（X）與g（是等價(jià)無(wú)窮小量，記以./'（X）~g（

X）X）

6.常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮爾量7

sinx~xtan,arcsinxF'i呼用寸~

?1x

1-?）sx~22x：e-1~x]n,（1+x）~x",（1+x）Gia為實(shí)常數(shù)）。

7."無(wú)窮小量的重要性質(zhì)

有界變量乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量。

三、求極限的方法

1.利用極限的四則運(yùn)算和輕指數(shù)運(yùn)算法則

2.兩個(gè)準(zhǔn)則

即陰其罪顆邨然頗海度與。,2，〃（n為正整數(shù)），則limx?=A存在且A>

m

x+ln

（2）若>x?（n為正整數(shù)），又x?<w（n為正整數(shù)），wnimxn=A存在且A<

準(zhǔn)則2（更逼定理）設(shè)g（x）4/（x）<h（x,）

若limg（x）=Z,limh{x）=A,貝Ulim/（x）=A

3.兩個(gè)重要公式

sinx

公式

lim

「J

公式;limkIrl-e；lim(l+v)'=e

H-4OO\Iv-M)

1+

u/

4.用無(wú)窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小量代換

5.用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小量更深刻）

x2X

當(dāng)x->o時(shí)el+x++”++o

2!n\

3^2n+l

xx、/、+o2/1+1)

sinx=x-++”+(T)

3!5!⑵+1)!x

2n

x2X4x

+O

cosx=1-+

(2〃)！

2!4!

23

xV,?+1X

ln(l+x)=x-+")+O

23n

9

高等數(shù)學(xué)

2M+1

XXZX

arctanx=x-+—+(—1)

35

/、a

aa-1)2,n

(1+x)=1+ax+(x+++o((a為實(shí)常數(shù))

2!

6.洛必達(dá)法則

I。型設(shè)(1)lim/(x)=0limg(x)=

法則

\oo/

1

(2)X變化過(guò)程中，/'(X)，，g(x)皆存

在

f(x)

(3)lim=A(或8)

g'(x)

則lim(或00)

g(x)

/<x)/(x)

(注：如果lim):不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出lim不存在且不是

g'(x)g(x)

無(wú)窮大量情形)

00.

法則型|設(shè)(1)lim/(x)=oolimg(x)=oo

2

I00

x/化過(guò)程中，f'(x)''g(x)

(2)皆存

在

lim7,？=1

(或8)

g'(x)

/(x)_.

則(或00)

limg(x)

7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

基本公式」1mz'?+&)-/⑴

/'1)u■如果存在

—AxJ1

8.利用定積分定義求極限

1”k1

基本公式：lim〃Z/?

/(x)如果存在

"T0°k=■\\\n//dx

9.其他綜合方法0

10.求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法

(乙)典型例題

10

高等數(shù)學(xué)

一、通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限

1]設(shè)4H0,b片0,求lim""'"+4r+"+a,x+a

【例xlu

mnXT8n-1

b,A+初+”+b]X+Z>o

X

加m-

解lima/+

x—bxn+b

nn-\t+”+6儼+4

X

-I-m

X+“+Q

=limxl

XT8b"+b.i+“+6JI

(0當(dāng)初<〃時(shí)

當(dāng)機(jī)=〃時(shí)

口仞

loo

當(dāng)用>〃時(shí)

【例2]設(shè)。。0,尸<1,求lim(a+ar+H4-ar)

"->8

解lim(Q+ar+"+ar

〃一>cc

特例:

解例2中取a=，r=~

_33

4

3

解分子、分母用3滁之，原式=

(注：主要用當(dāng)尸<1時(shí)，limr=0)

w-?(K

11

高等數(shù)學(xué)

1

[例4]設(shè)/是正整數(shù)，求limE

“T8A=1k(k+I)

”1

特例：(1)limZ>zr,n=13=1)

…k=ik(k+D

1I

=i(/=2)

或"+2)=[+

2/

4.11\+d?1+(M-1)(/I

[例6]設(shè)d>0為常數(shù)，求lim],2+“2++

解原式=lim/1+1(=

-2{[+〃一M}2

|?2I

特例：(<7=1)limI.2+2+"+I=

n1.

II3?2M-1I2

(d=2)limI24-2++

zt〃n

【例7】求下列各極限

1+x—l-x31+X-3l-X

(1)lim(2)lim

XTOxATOX

(+-2-1

解(1)解一原式=lim1x)-(l-x)-2

XTO

x(1+x+1-

x)

12

高等數(shù)學(xué)

解二原式=1

l+x-l)(IT）"交小談代換［im

2xI

X-=1

.v->0xx->02

x

1

21+X1-x

解三用洛必達(dá)法則1,原式=lim=1

.v->0

（2）解一原式=“l(fā)im卜,+"+&+決\\匕?=3

解:類(lèi)似（1）中解二用等價(jià)無(wú)窮小量代換

解三類(lèi)似（1）中解三用洛必達(dá)法則

【例81求下列極限

(I)設(shè)r<1,lim(l+r)(l+r)"(1+r")

解（1）分子分母都乘1-r,則原式=lim

n->x1—r

(2)I郴

nn

二、用兩個(gè)要要啥2

XxX

【例1】求limcos。cys

it〃e22”

COS

解當(dāng)x=0時(shí)，原式=1

?XXX?X

2sin〃coscoscos

當(dāng)xM時(shí)，原式=lim/2242"/

2”sin%

n

2

cos”x

cos

lim“cos24

x

sinx..sinxn

=hm=lim2

n—>oo.Xn-^x>Xxx

2sinn

T2n

13

高等數(shù)學(xué)

X

2n

Vlim=1

n-*x>.X

sin

2n

[例2]求、列極限

解⑴

lim(l-x)*lim[1+(-x)]

XT°=XfO

(2)解?i

lim(l+x)x(

x->0

4

(i)lim(l+tanx)co,x(2)limxX-1(3)lim(cosx)cot

XTOXT】x->0

解(1)令tanx=/則cotx=，當(dāng)x->0時(shí)ff

0

81X

于是lim(l+tanx)=lim(l+=e

x->0iO

(2)令x-1=，貝ijx=1+7,當(dāng)；r—>1時(shí)、/-?0

limxz=lim(l+/)尸lim|[(I+T)J

于是

Il/->0/->0L

COS2A：

(3)lim(cosx)=]im(l-sin,x嚴(yán)？*=Ij用111+(-si；2

三、用夾逼定理求極限

1352?-1

【例”求,即(21/6"2〃)

“135.2M-124.2n

解令A(yù)X=II,

'?"2462nn352〃+1

1

2

則°<nx<，于是°<x

2/7+1

〃<x?y?=

由夾逼定理可知limx?=0,于是原極限為0.

x-xo2

14

高等數(shù)學(xué)

[例2]求下列極限

1)(2)

2

limZ"2+kfA=l+n+k

n—xx)

k=\

1n

<

2421

n+n*=in+kn+1

解(1)V

nn1

而=lim1,=lim=1

limn2+n//—>>?1limn2+1“T81

1+1+

n-xx)，182

nn

由夾逼定理可知

n—>QO2

limX*=ln+k

1+2+”+〃k1+2+”+〃

(2)???區(qū)<

22/+〃+1

n+〃+〃k=\+n+k

〃(勿+1)

1+2+”+n1

而lim=lim2

n—X?n1+2n"->8H(/?+2)2

1+2+”+nn(n+1)1

limlim/722

/t-x?"2+%+1n->?+〃+12

則夾逼定理可知k

2

limZis*=in+n+k2

四、用定積分定義求數(shù)列的極限

n

[例1]求2

limZ"廿k=in~+k?

n2nn2

2<

分析如果還想用夾逼定理中方法來(lái)考慮2n2