新高考數(shù)學一輪復習第9章 第04講 拓展一 非線性經(jīng)驗回歸方程 精講（教師版）

第04講拓展一：非線性經(jīng)驗回歸方程(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：指數(shù)型題型二：對數(shù)型題型三：冪函數(shù)型第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：非線性經(jīng)驗回歸當經(jīng)驗回歸方程并非形如SKIPIF1<0(SKIPIF1<0）時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程，當兩個變量不呈線性相關關系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉換方式總結如下：曲線方程變換公式變換后的線性關系式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗回歸模型轉化為線性經(jīng)驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；6.得出結果后分析殘差圖是否有異常．知識點二：非線性經(jīng)驗回歸類型非線性回歸方程主要分為三大類，指數(shù)型，對數(shù)型，冪函數(shù)型，做題關鍵在于變量之間的轉換1、指數(shù)型：①類型一，SKIPIF1<0，處理方式是對方程兩邊取對數(shù)（具體取什么對數(shù)觀察參考數(shù)據(jù)，自然對數(shù)和常用對數(shù)用的較多），比如e為底數(shù)，取ln，則現(xiàn)在方程變?yōu)镾KIPIF1<0，，將SKIPIF1<0進行換元，SKIPIF1<0，則非線性回歸方程變成線性回歸直線方程SKIPIF1<0；②類型二，SKIPIF1<0，此為類型一的變式，多了常數(shù)項部分，常見的變化形式為SKIPIF1<0（具體取什么對數(shù)觀察參考數(shù)據(jù)，自然對數(shù)和常用對數(shù)用的較多），令SKIPIF1<0，則非線性回歸方程變成線性回歸直線方程SKIPIF1<02、對數(shù)型：①類型一，形如SKIPIF1<0，則令SKIPIF1<0，則非線性回歸方程變成線性回歸直線方程SKIPIF1<0②類型二，SKIPIF1<0，兩邊同時消掉對數(shù)，（取什么底數(shù)判斷方法同上）取SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則非線性回歸方程變成線性回歸直線方程SKIPIF1<03、冪函數(shù)型：①類型一，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等等，處理方式是將方程中冪函數(shù)部分換成一個新變量，比如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后將非線性回歸方程變成線性回歸直線方程SKIPIF1<0②類型二，SKIPIF1<0，做法同指數(shù)型，變化方式為兩邊取對數(shù)（底數(shù)判斷方式同上）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則非線性回歸方程變成線性回歸直線方程SKIPIF1<0第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：指數(shù)型典型例題例題1．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）用模型SKIPIF1<0擬合一組數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，得變換后的線性回歸方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7【答案】B【詳解】由已知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0滿足線性回歸方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時線性回歸方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可將此式子化為指數(shù)形式SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，因為模型為模型SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B.例題2．（2022·廣西桂林·模擬預測（文））一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0和溫度SKIPIF1<0有關，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，可用模型SKIPIF1<0擬合，設SKIPIF1<0，其變換后的線性回歸方程為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然常數(shù)，則SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0變換后，得到SKIPIF1<0，根據(jù)題意SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是回歸方程為SKIPIF1<0一定經(jīng)過SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例題3．（2022·河南商丘·高二期末（文））SKIPIF1<0網(wǎng)絡是指第五代移動網(wǎng)絡通訊技術，它的主要特點是傳輸速度快，峰值傳輸速度可達每秒鐘數(shù)十SKIPIF1<0.作為新一代移動通訊技術，它將要支持的設備遠不止智能手機，而是會擴展到未來的智能家居，智能穿戴等設備.某科技創(chuàng)新公司基于領先技術的支持，經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該公司1月份至6月份的經(jīng)濟收入SKIPIF1<0（單位：萬元）關于月份SKIPIF1<0的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖.月份SKIPIF1<0123456收入SKIPIF1<0611233772124(1)根據(jù)散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均為常數(shù)）哪一個更適合作為經(jīng)濟收入SKIPIF1<0關于月份SKIPIF1<0的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）？(2)根據(jù)（1）的結果及表中數(shù)據(jù)，求出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程（結果保留兩位小數(shù)）；(3)根據(jù)（2）所求得的回歸方程，預測該公司7月份的經(jīng)濟收入（結果保留兩位小數(shù)）.參考公式及參考數(shù)據(jù)：回歸方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估計公式為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.545.53.3417.5393.510.63239.85其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【答案】(1)SKIPIF1<0更適合(2)SKIPIF1<0(3)239.85萬元（1）由散點圖可知，SKIPIF1<0更適合作為經(jīng)濟收入y關于月份x的回歸方程類型.（2）SKIPIF1<0的兩邊取自然對數(shù)，得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以經(jīng)濟收入y關于月份x的回歸方程為SKIPIF1<0.（3）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.預測該公司7月份的經(jīng)濟收入約為239.85萬元.例題4．（2022·福建三明·高二期末）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長．已知某地區(qū)2014年底到2021年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：年份（年）20142015201620172018201920202021年份代碼SKIPIF1<012345678保有量SKIPIF1<0/千輛1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70(1)根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0哪一個更適合作為SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結果建立SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程；(2)假設每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同．若2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預計到2026年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%．試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），…，（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），其經(jīng)驗回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)2028年底新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車(1)根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應選擇的函數(shù)模型是SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(2)設傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為r，依題意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設從2021年底起經(jīng)過x年后的傳統(tǒng)能源汽車保有量為y千輛，則有SKIPIF1<0，設從2021年底起經(jīng)過x年后新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車，則有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故從2021年底起經(jīng)過7年后，即2028年底新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二期末）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖：由此散點圖可得，下面四個回歸方程類型中最適宜作為年銷售量y與年宣傳費x的回歸方程類型是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】從散點圖看出，樣本點分布在開口向右的拋物線（上支）附近,上升的趨勢比較平緩，因此對于A，圖象是直線，不適合；對于B，SKIPIF1<0時對應曲線是開口向上的拋物線，右側部分上升趨勢較快，不適合；對于C，SKIPIF1<0時對應曲線是開口向右的拋物線，上支部分上升趨勢較平緩，適合題意；對于D,對應曲線是指數(shù)型曲線，SKIPIF1<0時上升趨勢是越來越快，不適合，故選：C．2．（2022·全國·高二課時練習）一組數(shù)據(jù)如下表所示：SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知變量SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則預測SKIPIF1<0的值可能為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】將式子兩邊取對數(shù)，得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，根據(jù)已知表格數(shù)據(jù)，得到SKIPIF1<0的取值對照表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上述表格可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用回歸直線過樣本中心點，即可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，解得SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·黑龍江·尚志市尚志中學高二階段練習）近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用SKIPIF1<0表示活動推出的天數(shù)，SKIPIF1<0表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示：表1：SKIPIF1<01234567SKIPIF1<0611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖1所示的散點圖.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<062.141.54253550.123.47其中SKIPIF1<0參考公式：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計分別為SKIPIF1<0.(1)根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0(SKIPIF1<0均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次SKIPIF1<0關于活動推出天數(shù)SKIPIF1<0的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結果及表1中的數(shù)據(jù)，求SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；【答案】(1)SKIPIF1<0適宜(2)SKIPIF1<0，3470(3)1.66元(1)根據(jù)散點圖判斷，SKIPIF1<0適宜作為掃碼支付的人數(shù)SKIPIF1<0關于活動推出天數(shù)SKIPIF1<0的回歸方程類型;(2)∵SKIPIF1<0，兩邊同時取常用對數(shù)得:SKIPIF1<0;設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把樣本中心點SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程式:SKIPIF1<0;把SKIPIF1<0代入上式:SKIPIF1<0;活動推出第8天使用掃碼支付的人次為SKIPIF1<0;4．（2022·江西·南城縣第二中學高二階段練習（理））為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x/天123456繁殖個數(shù)y/個612254995190(1)用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預報變量，SKIPIF1<0與y=SKIPIF1<0哪一個作為繁殖的個數(shù)y關于時間x變化的回歸方程類型為最佳？（給出判斷即可，不必說明理由）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.562．833.5317.5596.50512.04其中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)根據(jù)（1）的判斷最佳結果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程．參考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】(1)選y=SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由散點圖看出樣本點分布在曲線周圍，不是直線周圍，于是選擇y=SKIPIF1<0(2)由（1）可知y=SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0題型二：對數(shù)型典型例題例題1．（2022·河南鄭州·高二期末（文））目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在黨中央的正確領導下，全國人民團結一心，使我國疫情得到了有效的控制．為了應對最新型的奧密克戎病毒，各大藥物企業(yè)積極投身到新疫苗的研發(fā)中．某藥企為評估一款新藥的藥效和安全性，組織一批志愿者進行臨床用藥實驗，結果顯示臨床療效評價指標SKIPIF1<0的數(shù)量SKIPIF1<0與連續(xù)用藥天數(shù)SKIPIF1<0具有相關關系．剛開始用藥時，指標SKIPIF1<0的數(shù)量SKIPIF1<0變化明顯，隨著天數(shù)增加，SKIPIF1<0的變化趨緩．根據(jù)志愿者的臨床試驗情況，得到了一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示連續(xù)用藥SKIPIF1<0天，SKIPIF1<0表示相應的臨床療效評價指標SKIPIF1<0的數(shù)值．該藥企為了進一步研究藥物的臨床效果，建立了SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的線性回歸方程：SKIPIF1<0；模型②：由樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線：SKIPIF1<0的附近，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程；(2)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，說明哪個模型的預測值精度更高、更可靠；(3)根據(jù)（2）中精確度更高的模型，預測用藥一個月后，臨床療效評價指標SKIPIF1<0相對于用藥半個月的變化情況（一個月以30天計，結果保留兩位小數(shù)）．回歸模型模型①模型②殘差平方和SKIPIF1<0102.2836.19參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析(3)用藥一個月后，療效評價指標相對于用藥半個月提高17.33(1)解：由題意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，模型②中y關于x的回歸方程SKIPIF1<0；(2)由表格中的數(shù)據(jù)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以模型①的SKIPIF1<0小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好；(3)根據(jù)模型②，當連續(xù)用藥30天后，SKIPIF1<0，連續(xù)用藥15天后，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴用藥一個月后，療效評價指標相對于用藥半個月提高17.33．例題2．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中模擬預測（理））受北京冬奧會的影響，更多人開始關注滑雪運動，但由于室外滑雪場需要特殊的氣候環(huán)境，為了滿足日益增長的消費需求，國內(nèi)出現(xiàn)了越來越多的室內(nèi)滑雪場.某投資商抓住商機，在某大學城附近開了一家室內(nèi)滑雪場.經(jīng)過6個季度的經(jīng)營，統(tǒng)計該室內(nèi)滑雪場的季利潤數(shù)據(jù)如下：第SKIPIF1<0個季度123456季利潤SKIPIF1<0（萬元）2.23.64.34.95.35.5根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得到的一些統(tǒng)計量如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04.30.5101.414.11.8表中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若用方程SKIPIF1<0擬合該室內(nèi)滑雪場的季利潤SKIPIF1<0與季度SKIPIF1<0的關系，試根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出該方程；(2)利用（1）中得到的方程預測該室內(nèi)滑雪場從第幾個季度開始季利潤超過6.5萬元；附：線性回歸方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)第12個；(3)分布列見解析，期望為2.（1）由SKIPIF1<0，先求y關于u的線性回歸方程SKIPIF1<0.由已知數(shù)據(jù)得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以y關于u的回歸方程為SKIPIF1<0，故y關于x的回歸方程為SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故預測從第12個季度開始季利潤超過6.5萬元；同類題型歸類練1．（2022·福建省尤溪第一中學高二期末）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在黨中央的正確領導下，全國人民團結一心，使我國疫情得到了有效的控制．其中，各大藥物企業(yè)積極投身到新藥的研發(fā)中．汕頭某藥企為評估一款新藥的藥效和安全性，組織一批志愿者進行臨床用藥實驗，結果顯示臨床療效評價指標A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關關系．剛開始用藥時，指標A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩．根據(jù)志愿者的臨床試驗情況，得到了一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，4，5，…，10，SKIPIF1<0表示連續(xù)用藥i天，SKIPIF1<0表示相應的臨床療效評價指標A的數(shù)值．該藥企為了進一步研究藥物的臨床效果，建立了y關于x的兩個回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：SKIPIF1<0；模型②：由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線：SKIPIF1<0的附近，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關于x的回歸方程；(2)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，說明哪個模型的預測值精度更高、更可靠．(3)根據(jù)（2）中精確度更高的模型，預測用藥一個月后，療效評價指標相對于用藥半個月的變化情況（一個月以30天計，結果保留兩位小數(shù)）．回歸模型模型①模型②殘差平方和SKIPIF1<0102.2836.19附：樣本SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，n）的最小二乘估計公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；相關指數(shù)SKIPIF1<0，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)回歸模型②刻畫的擬合效果更好(3)17.33(1)由題意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，模型②中y關于x的回歸方程SKIPIF1<0；(2)由表格中的數(shù)據(jù)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以模型①的SKIPIF1<0小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好；(3)根據(jù)模型②，當連續(xù)用藥30天后，SKIPIF1<0，連續(xù)用藥15天后，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴用藥一個月后，療效評價指標相對于用藥半個月提高17.33．2．（2022·全國·高二課時練習）發(fā)展扶貧產(chǎn)業(yè)，找準路子是關鍵，重慶市石柱土家族自治縣中益鄉(xiāng)華溪村不僅找準了路，還將當?shù)卮蛟斐闪朔N植中藥材黃精的產(chǎn)業(yè)示范基地．通過種植黃精，華溪村村民的收入逐年遞增．以下是2014年至2020年華溪村村民每戶平均可支配收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份2014201520162017201820192020年份代碼SKIPIF1<01234567每戶平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）4152226293132根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制如圖所示的散點圖：(1)根據(jù)散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0哪一個更適宜作為每戶平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）關于年份代碼SKIPIF1<0的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由），并建立SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程（結果保留1位小數(shù)）；(2)根據(jù)（1）建立的回歸方程，試預測要到哪一年華溪村的每戶平均可支配收入才能超過35（千元）；參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<022.71.2759235.113.28.2其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．參考公式：線性回歸方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0更適宜作為每戶平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）關于年份代碼SKIPIF1<0的回歸方程模型，SKIPIF1<0；(2)到2022年每戶平均可支配收入才能超過35（千元）；(3)SKIPIF1<0.(1)解：根據(jù)題中散點圖，得SKIPIF1<0更適宜作為每戶平均可支配收入SKIPIF1<0（千元）關于年份代碼SKIPIF1<0的回歸方程模型．由已知數(shù)據(jù)，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程為SKIPIF1<0(2)解：由題知，令SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故當SKIPIF1<0時，即到2022年每戶平均可支配收入才能超過35（千元）．題型三：冪函數(shù)型典型例題例題1．（2022·全國·高二期末）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費SKIPIF1<0(單位：千元)對年銷售量SKIPIF1<0(單位：t)的影響，對近8年的年宣傳費SKIPIF1<0和年銷售量SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖：由此散點圖可得，下面四個回歸方程類型中最適宜作為年銷售量SKIPIF1<0與年宣傳費SKIPIF1<0的回歸方程類型是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】從散點圖看出，樣本點分布在開口向右的拋物線（上支）附近,上升的趨勢比較平緩，因此對于A，圖象是直線，不適合；對于B，SKIPIF1<0時對應曲線是開口向上的拋物線，右側部分上升趨勢較快，不適合；對于C，SKIPIF1<0時對應曲線是開口向右的拋物線，上支部分上升趨勢較平緩，適合題意；對于D,對應曲線是指數(shù)型曲線，SKIPIF1<0時上升趨勢是越來越快，不適合，故選：C．例題2．（2022·河南信陽·高二期末（文））設關于某產(chǎn)品的明星代言費SKIPIF1<0（百萬元）和其銷售額SKIPIF1<0（千萬元），有如下表的統(tǒng)計表格：SKIPIF1<012345合計SKIPIF1<0（百萬元）1.261.441.591.711.827.82SKIPIF1<0（百萬元）2.002.994.025.006.0320.04SKIPIF1<0（百萬元）3.204.806.507.508.0030.00SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表中SKIPIF1<0．(1)在坐標系中，作出銷售額y關于廣告費x的回歸方程的散點圖；(2)根據(jù)散點圖指出：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0哪一個適合作銷售額SKIPIF1<0關于明星代言費SKIPIF1<0的回歸方程（不需要說明理由），并求出此回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，其回歸線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0適合，SKIPIF1<0（1）解：散點圖如下：（2）根據(jù)散點圖可知，SKIPIF1<0適合作銷售額y關于明星代言費x的回歸類方程；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是y關于w的線性回歸方程，由已知條件得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故回歸方程為：SKIPIF1<0例題3．（2022·四川雅安·高二期末（理））某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點圖如下(1)請根據(jù)散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中哪一個更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程，并預測第196天這株幼苗的高度（結果保留整數(shù)）．附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01402856283【答案】(1)SKIPIF1<0更適宜(2)SKIPIF1<0；預測第196天幼苗的高度大約為29cm(1)根據(jù)散點圖，SKIPIF1<0更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型；(2)令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0構造新的成對數(shù)據(jù)，如下表所示：KIPIF1<01234567y0479111213容易計算，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．通過上表計算可得：因此SKIPIF1<0∵回歸直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故y關于SKIPIF1<0的回歸直線方程為SKIPIF1<0從而可得：y關于x的回歸方程為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以預測第196天幼苗的高度大約為29cm．例題4．（2022·遼寧·高二階段練習）某企業(yè)積極響應“碳達峰”號召，研發(fā)出一款性能優(yōu)越的新能源汽車，備受消費者青睞.該企業(yè)為了研究新能源汽車在某地區(qū)每月銷售量SKIPIF1<0（單位：千輛）與月份SKIPIF1<0的關系，統(tǒng)計了今年前5個月該地區(qū)的銷售量，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表中SKIPIF1<0.(1)根據(jù)散點圖判斷兩變量SKIPIF1<0的關系用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0哪一個比較合適？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程（SKIPIF1<0的值精確到SKIPIF1<0），并預測從今年幾月份起該地區(qū)的月銷售量不低于SKIPIF1<0萬輛？附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線方程SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘法估計分別為SKIPIF1<0.【答案】(1)見解析(2)見解析(1)SKIPIF1<0比較合適(散點圖中點的分布不是一條直線,相鄰兩點的縱坐標的差值是增大趨勢,所以SKIPIF1<0比較合適)(2)設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0先建立y關于t的回歸方程SKIPIF1<0則SKIPIF1<0所以y關于t的回歸方程為SKIPIF1<0，因此y關于x的回歸方程為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故估計從今年8月份起該地區(qū)的月銷售量不低于SKIPIF1<0萬輛.同類題型歸類練1．（2022·山東聊城·高二期末）網(wǎng)民的智慧與活力催生新業(yè)態(tài)，網(wǎng)絡購物，直播帶貨，APP買菜等進入我們的生活，改變了我們的生活方式，隨之電信網(wǎng)絡詐騙犯罪形勢也非常嚴峻.自“國家反詐中心APP”推出后，某地區(qū)采取多措并舉的推廣方式，努力為人民群眾構筑一道防詐反詐的“防火墻”.經(jīng)統(tǒng)計，該地區(qū)網(wǎng)絡詐騙月報案數(shù)與推廣時間有關，并記錄了經(jīng)推廣x個月后月報案件數(shù)y的數(shù)據(jù).x（個）1234567y（件）891888351220200138112(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0SKIPIF1<0哪一個適宜作為回歸方程模型？根據(jù)判斷結果，求出y關于x的回歸方程；(2)分析該地區(qū)一直推廣下去，兩年后能否將網(wǎng)絡詐騙月報案數(shù)降至75件以下.參考數(shù)據(jù)（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)兩年后網(wǎng)絡詐騙月報案數(shù)能降至75件以下(1)由表中數(shù)據(jù)可得SKIPIF1<0更適宜.SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，設y關于t的線性回歸方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故y關于x的回歸方程為SKIPIF1<0(2)由回歸方程SKIPIF1<0可知，隨x的增大，y逐漸減少，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故兩年后網(wǎng)絡詐騙月報案數(shù)能降至75件以下.2．（2022·湖北·高二期末）快遞業(yè)的迅速發(fā)展導致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈．某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本SKIPIF1<0（單位：元）與當天攬收的快遞件數(shù)即攬件量SKIPIF1<0（單位：千件）之間的關系，對該網(wǎng)點近SKIPIF1<0天的每日攬件量SKIPIF1<0（單位：千件）與當日收發(fā)一件快遞的平均成本SKIPIF1<0（單位：元）（SKIPIF1<0）的數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到散點圖及一些統(tǒng)計量的值．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)根據(jù)散點圖判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0哪一個更適宜作為SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程類型？并根據(jù)判斷結果及表中數(shù)據(jù)求出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程；(2)已知該網(wǎng)點每天的攬件量SKIPIF1<0（單位：千件）與單件快遞的平均價格SKIPIF1<0（單位：元）之間的關系是SKIPIF1<0，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的經(jīng)驗回歸方程解決以下問題：①預測該網(wǎng)點某天攬件量為SKIPIF1<0千件時可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格SKIPIF1<0為何值時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預報值最大？附：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其經(jīng)驗回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0更適宜作為SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程類型，SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0元；②單件快遞的平均價格SKIPIF1<0元時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預報值最大.(1)由散點圖可知：SKIPIF1<0更適宜作為SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程類型；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的經(jīng)驗回歸方程為：SKIPIF1<0.(2)設收發(fā)SKIPIF1<0千件快遞獲利SKIPIF1<0千元，則SKIPIF1<0；①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即該網(wǎng)點某天攬收SKIPIF1<0件快遞可獲得的總利潤約為SKIPIF1<0元．②SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；SKIPIF1<0單件快遞的平均價格SKIPIF1<0元時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預報值最大.3．（2022·河北承德·高二階段練習）某制造企業(yè)從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽查了1000件，經(jīng)檢驗，其中一等品有800件，二等品有150件，次品有50件.若銷售1件該產(chǎn)品，一等品的利潤為200元，二等品的利潤為100元，次品直接銷毀，虧損200元.(1)用樣本估計總體，估計該制造企業(yè)隨機銷售1件產(chǎn)品的利潤的期望值.(2)根據(jù)統(tǒng)計，該制造企業(yè)在2021年12月至2022年5月的產(chǎn)量SKIPIF1<0（萬件）與月份編號（記2021年12月，2022年1月，SKIPIF1<0編號分別為SKIPIF1<0近似滿足關系式SKIPIF1<0，相關統(tǒng)計量的值如下：SKIPIF1<0.根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程，并估計該制造企業(yè)2022年8月份的利潤為多少萬元.（結果精確到SKIPIF1<0）附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計分別為SKIPIF1<0【答案】(1)165元(2)SKIPIF1<0