人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)8.6.2 直線與平面垂直 第1課時(shí) 直線與平面垂直的判定 同步練習(xí)(含答案)

人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)8.6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定同步練習(xí)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.直線a與平面α所成的角為50°,直線b∥a,則直線b與平面α所成的角為 ()A.40° B.50° C.90° D.150°2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直線,給出下列命題:①m⊥n,m∥α,α∥β?n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α∥β?n⊥β;③m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n;④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β.其中正確的是 ()A.①② B.②③C.①④ D.③④3.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 ()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.若一條直線與一個(gè)平面成72°角,則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成角中最大角為 ()A.72° B.90° C.108° D.180°5.如圖L8-6-10所示,若斜線段AB的長(zhǎng)度是它在平面α上的射影BO的長(zhǎng)度的2倍,則AB與平面α所成的角是 ()圖L8-6-10A.60° B.45°C.30° D.120°6.如圖L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,點(diǎn)P在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法中正確的是 ()圖L8-6-11A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心7.如圖L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,則 ()圖L8-6-12A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E為CD的中點(diǎn),則 ()A.A1E⊥DD1 B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1 D.A1E⊥DB1二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)9.如圖L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時(shí),有A1C⊥B1D1.(注:填上你認(rèn)為正確的一種情況即可,不必考慮所有可能的情況)

圖L8-6-1310.平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O,點(diǎn)P在平行四邊形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是.

11.底面邊長(zhǎng)為a的正四棱錐的體積與棱長(zhǎng)為a的正方體體積相等,則正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值為.

12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為.

三、解答題(本大題共2小題,共20分)13.(10分)如圖L8-6-14,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形(1)求證:AB⊥平面PBC;(2)求點(diǎn)P到平面ABC的距離.圖L8-6-1414.(10分)如圖L8-6-15所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,BD的中點(diǎn).(1)求證:AF⊥平面BB1D1D;(2)求異面直線EF與BC所成的角的正切值.圖L8-6-1515.(5分)如圖L8-6-16,已知三棱錐A-BCD的所有棱長(zhǎng)均相等,點(diǎn)E滿足CE=3EB,點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng).設(shè)EP與平面BCD所成的角為θ,則sinθ的最大值為.

圖L8-6-1616.(15分)已知AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在的平面,D,E分別是VA,VC的中點(diǎn).(1)判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系,并說明理由;(2)當(dāng)△VAB是邊長(zhǎng)為22的正三角形時(shí),求四面體V-DEB的體積.

參考答案與解析1.B[解析]若兩條直線平行,則它們與同一平面所成的角相等.因?yàn)橹本€a與平面α所成的角為50°,直線b∥a,所以直線b與平面α所成的角為50°.故選B.2.D[解析]若m⊥n,m∥α,α∥β,則n∥β或n與β相交,故①錯(cuò)誤;若m⊥n,m⊥α,α∥β,則n∥β或n?β,故②錯(cuò)誤;若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n,故③正確;若m⊥α,m∥n,α∥β,則n⊥β,故④正確.故選D.3.C[解析]∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.4.B[解析]當(dāng)這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線l與這條直線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直時(shí),直線l與這條直線垂直,所成的角為直角.又因?yàn)閮芍本€所成角的取值范圍為[0°,90°],所以直線l與這條直線所成角的最大值為90°.故選B.5.A[解析]∠ABO即是AB與平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.故選A.6.A[解析]由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,則PA⊥平面PEF,則PA⊥EF.由題意知PO⊥平面AEF,則PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O(shè)為△AEF的垂心.故選A.7.D[解析]取AC的中點(diǎn)O,連接OB,OE,記OE與AD的交點(diǎn)為F,則OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB?平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴AOAE=CDAC,即1AE=CD2,∴AE·CD=28.B[解析]連接AE.因?yàn)锳B=2AD,E為CD的中點(diǎn),所以ABAD=ADDE=2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因?yàn)锳1A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E9.AC⊥BD(或四邊形ABCD為菱形)10.垂直[解析]∵PA=PC,O是AC的中點(diǎn),∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.11.32[解析]記該正四棱錐為S-ABCD,設(shè)其高SO=h,則13a2·h=a3,可得h=3a.因?yàn)樵撜睦忮F的側(cè)棱與底面所成的角為∠SCO,且OC=a2,所以tan∠SCO=3aa12.33[解析]如圖所示,連接BD,與AC交于點(diǎn)O,連接D1O,過點(diǎn)D作DE⊥D1O.易知BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角.由題意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1與平面ACD1所成的角為∠DD1O.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則在Rt△DD1O中,sin∠DD1O=DOD1O=213.解:(1)證明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB?平面PBC,BC?平面PBC,∴AB⊥平面PBC.(2)設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h.由(1)知AB⊥平面PBC,由VP-ABC=VA-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·即13×12×1×2×h=13×12×2×2×32×1則點(diǎn)P到平面ABC的距離為3.14.解:(1)證明:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,因?yàn)镕為BD的中點(diǎn),所以AF⊥BD.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,AF?平面ABCD,所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D,DB?平面BB1D1D,DD1?平面BB1D1D,所以AF⊥平面BB1D1D.(2)連接D1B,D1C,如圖所示.因?yàn)镋,F分別為DD1,BD的中點(diǎn),所以EF∥D1B,故異面直線EF與BC所成的角即為∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1,D1C?平面D1DCC1,所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC=D1CBC15.223[解析]依題意可知,該幾何體為正四面體.設(shè)頂點(diǎn)A在底面上的射影是O,則O是底面的中心,連接OB,過P作PH∥AO,交OB于H,連接HE.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為4a,PB=x(0<x≤4a).在三角形PBE中,∠PBE=π3,由余弦定理得PE=x2+a2-ax.因?yàn)锳O⊥平面BCD,PH∥AO,所以PH⊥平面BCD,所以PH⊥HE,所以∠PEH是直線EP與平面BCD所成的角θ.在三角形AOB中,AO=(4a)2-(433a)

2=463a,又PHAO=x4a,所以PH=616.解:(1)DE⊥平面VBC,證明如下:∵AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),∴AC⊥BC.∵過動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在的平面,AC?平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.∵D,E分別是VA,VC的中點(diǎn),∴DE∥AC,