考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷7（共187題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷7（共8套）（共187題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、1．B、．C、．D、一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：這是一個型未定式，使用洛必達(dá)法則，有故選B．2、設(shè)f(x)是(—∞，+∞)上的連續(xù)奇函數(shù)，且滿足｜f(x)｜≤M，其中常數(shù)M＞0，則函數(shù)F(x)=是(—∞，+∞)上的A、有界奇函數(shù)．B、有界偶函數(shù)．C、無界偶函數(shù)．D、無界奇函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：首先，由于被積函數(shù)是(一∞，+∞)上的偶函數(shù)，故F(x)是(一∞，+∞)上的奇函數(shù)．其次，對任何x≥0，有利用F(x)的對稱性，當(dāng)x≤0時上面的不等式也成立．從而，函數(shù)F(x)還是(一∞，+∞)上的有界函數(shù)．故應(yīng)選A．3、設(shè)f(x)是以3為周期的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(—1)=1，則I==A、—4．B、4．C、．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：注意f’(x)也以3為周期，f’(一1)=f’(2)，利用導(dǎo)數(shù)可求得極限故應(yīng)選C．4、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上可積，且滿足f(x)=6x2—2x∫02f(x)dx+3∫01f(x)dx，則函數(shù)f(x)的解析式是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由題設(shè)可令∫02f(x)dx=A，∫0af(x)dx=B，代入即知f(x)滿足關(guān)系式f(x)=6x2—2Ax+3B，于是又有A=∫02f(x)dx=∫02(6x2—2Ax+3B)dx=16—4A+6B，B=∫01f(x)dx=∫01(6x2—2Ax+3B)dx=2一A+3B．從而A，B滿足方程組解之可得A=5，B=．從而函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=6x2—10x+．故應(yīng)選B．5、設(shè)f(x)=+a(a為常數(shù))，則A、當(dāng)a＜—3或a＞0時，f(x)不可能無零點．B、當(dāng)a=0時，f(x)不可能僅有一個零點．C、當(dāng)a=一3時，f(x)不可能僅有一個零點．D、當(dāng)—3＜a＜0時，f(x)不可能僅有兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：f(x)=+a有零點等價于曲線y=一與直線y=a有交點現(xiàn)列表格標(biāo)出y’的正負(fù)號區(qū)間，相應(yīng)地得到g(x)的單調(diào)性區(qū)間：所以g(x)在(一∞，一3)和(3，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，在(一3，3)內(nèi)單調(diào)減少，y=g(x)在每個單調(diào)性區(qū)間上與直線y=a是否相交取決于a值是否介于單調(diào)性區(qū)間端點的函數(shù)值或極限值之間．故還要算出：=0．g(3)=一3．并且g(x)取最小值g(3)．綜上計算結(jié)果結(jié)合y=g(x)的圖形(如右圖所示)，可得①當(dāng)a＞0時，f(x)有兩個零點；②當(dāng)a=0時，f(x)只有一個零點x=0；③當(dāng)一3＜a＜0時，f(x)僅有兩個零點；④當(dāng)a=—3時，f(x)只有一個零點x=3；⑤當(dāng)a＜一3時，f(x)沒有零點．應(yīng)選A．6、微分方程y"—4y’=2cos22x的特解可設(shè)為_________.A、Ax+B1cos4x+B2sin4x．B、A+B1cos4x+B2sin4x．C、B1cos22x+B2sin22x．D、B1cos4x+B2sin4x．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：方程右端的非齊次項f(x)=2cos22x=1+cos4x，相應(yīng)齊次方程的特征方程是λ2—4λ=0．特征根λ1=0，λ2=4．利用解的疊加原理：相應(yīng)于非齊次項f1(x)=1，有形式為y1*(x)=Ax(λ1=0為單特征根)的特解，A為待定常數(shù)；相應(yīng)于非齊次項f2(x)=cos4x，有形式為y2*(x)=B1cos4x+B2sin4x的特解，B1，B2為待定常數(shù)．因此，原方程的特解可設(shè)為Ax+B1cos4x+B2sin4x．應(yīng)選A．7、設(shè)A=，B是2階矩陣，且滿足AB=B，k1，k2是任意常數(shù)，則B=________。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由AB=B有(A—E)B=0，因而B的列向量是齊次方程組(A—E)x=0的解．又那么齊次方程組(A一e)x=0的基礎(chǔ)解系是(一1，1)T，所以應(yīng)選D．8、已知α1，α2，α3，α4是3維非零向量，則下列命題中錯誤的是A、如果α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關(guān)．B、如果α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性相關(guān)，那么α1，α2，α4也線性相關(guān)．C、如果α3不能由α1，α2線性表出，α4不能由α2，α3線性表出，則α1可以由α2，α3，α4線性表出．D、如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，則α4可以由α1，α2，α3線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正確．應(yīng)選B．關(guān)于(A)：如果α1，α2，α3線性無關(guān)，又因α1，α2，α3，α4是4個3維向量，它們必線性相關(guān)，而知α4必可由α1，α2，α3線性表出．關(guān)于(C)：由已知條件，有(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．若r(α2，α3)=1，則必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，與條件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，從而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4線性表出．關(guān)于(D)：經(jīng)初等變換有(α1，α1+α2，α2+α3)_(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，從而r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．因而α4可以由α1，α2，α3線性表出．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知是f(x)當(dāng)x≥1時的一個原函數(shù)，則∫1ex2f’(x)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2．知識點解析：由題設(shè)知10、設(shè)函數(shù)f(x)在點x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足3x≤f(x)≤x2+x+1，則曲線y=f(x)在點x=1處的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=3x．知識點解析：為求y=f(x)在x=1處的切線方程，先求f(1)與f’(1)．在3x≤f(x)≤x2+x+1中取x=1，可得f(1)=3．由此可知f’(1)=3，所以曲線y=f(x)在點x=1處的切線方程為y=f(1)+f’(1)(x一1)=3+3(x一1)，即y=3x．11、曲線y=xe—x(0≤x＜+∞)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得延展到無窮遠(yuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：所求體積為12、已知當(dāng)x＞0時函數(shù)f(x)一sin(sinx)與x4是等價無窮小量，則f(x)的帶皮亞諾余項的四階麥克勞林公式是f(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由題設(shè)知當(dāng)x→0時f(x)一sin(sinx)=x4+o(x4)．下求sin(sinx)的四階麥克勞林公式．而sin3x=[x+o(x2)]3=x3+3x2.o(x2)+3x.o(x4)+o(x6)=x3+0(x4)，13、=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：14、與矩陣A=可以交換的矩陣是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中t，u是任意實數(shù)．知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)≠0，且，求證：存在常數(shù)C，使得f(x)=Cg(x)(∈(a，b))；(Ⅱ)設(shè)f(x)在(—∞，+∞)二階可導(dǎo)，且f(x)≤0，f"(x)≥0(x∈(—∞，+∞))．求證：f(x)為常數(shù)(x∈(—∞，+∞))．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)即證f(x)／g(x)在(a，b)為常數(shù)．由知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)滿足∫0xf(t一x)dt=—+e—x—1(x∈(—∞，+∞))．(Ⅰ)討論f(x)在(—∞，+∞)是否存在最大值或最小值，若存在則求出；(Ⅱ)求y=f(x)的漸近線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求出f(x)的表達(dá)式．上式中令x=0，等式顯然成立．又兩邊求導(dǎo)得f(—x)=一x一e—x．因此，f(x)=x—ex，x∈(一∞，+∞)．下面討論八z)的最值問題．由→f(0)=一1是f(x)在(一∞，+∞)的最大值．f(x)在(一∞，+∞)無最小值．→x→∞時有漸近線y=x．又f(x)無間斷點，且→y=f(x)無其他漸近線．知識點解析：暫無解析17、一質(zhì)量為M、長為l的均勻桿AB吸引著一質(zhì)量為m的質(zhì)點C，此質(zhì)點C位于桿AB的中垂線上，且與AB的距離為a．試求：(Ⅰ)桿AB與質(zhì)點C的相互吸引力；(Ⅱ)當(dāng)質(zhì)點C在桿A8的中垂線上從點C沿y軸移向無窮遠(yuǎn)處時，克服引力所做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)假定桿AB與質(zhì)點C的位置如圖所示，根據(jù)對稱性，引力F是沿y軸負(fù)方向的。由于桿AB的線密度為M／l，于是，位于[x，x+dx]上微元的質(zhì)量即為，它與質(zhì)點C的引力在y軸方向的分力為知識點解析：暫無解析18、已知y*(x)=xe—x+e—2x，y*(x)=xe—x+xe—2x，y*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二階線性常系數(shù)微分方程y"+py’+qy=f(x)的三個特解．(Ⅰ)求這個方程和它的通解；(Ⅱ)設(shè)y=y(x)是該方程滿足y(0)=0，y’(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由線性方程解的疊加原理→y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e—2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe—2x均是相應(yīng)的齊次方程的解，它們是線性無關(guān)的．于是該齊次方程的特征根是重根A=一2相應(yīng)的特征方程為(A+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．原方程為y"+4y’+4y=f(x)．①由于y’(x)=xe—x是它的特解，求導(dǎo)得y*’(x)=e—x(1一x)，y*’(x)=e—x(x一2)．代入方程①得e—x(x一2)+4e—x(1一x)+4xe—x=f(x)→f(x)=(x+2)e—x→原方程為y"+4y’+4y=(x+2)e—x，其通解為y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2為常數(shù)．不必由初值來定C1，C2，直接將方程兩邊積分得知識點解析：暫無解析19、(Ⅰ)求累次積分．(Ⅱ)設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=1+∫01f(y)f(y一x)dy，求I=∫01f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將J表成知識點解析：暫無解析20、設(shè)u=f(2x+3y，z)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而z=z(x，y)是由方程z+lnz—=1確定并滿足z(0，0)=1的函數(shù)，求．結(jié)果用f’i(0，1)，f"ij(0，1)表示(i，j=1，2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：u與x，y的變量依賴關(guān)系如圖，其中z與x，y的函數(shù)關(guān)系由以下方程確定：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f’(x)＞0．(Ⅰ)證明至少存在一點ξ∈(a，b)，使∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)；(Ⅱ)對(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令φ(x)=f(b)(x一a)+f(a)(b一x)一∫abf(x)dx(0≤x≤b)，即證φ(x)在(a，b)零點．因f(x)在[a，b]→f(a)＜f(x)＜f(b)(x∈(a，b))→f(a)(b一a)＜∫abf(x)dx＜f(b)(b一a)φ(a)=f(a)(b一a)一∫abf(x)dx＜0，φ(b)=f(b)(b一a)一∫abf(x)dx＞0，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)=0，即∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b一ξ)．Ⅱ由上式知∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)[(b一a)一(ξ一a)]，從而知識點解析：暫無解析22、已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T線性表出．(Ⅰ)求a1，a2，a3，a4應(yīng)滿足的條件；(Ⅱ)求向量組α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關(guān)組，并把其他向量用該極大線性無關(guān)組線性表出；(Ⅲ)把向量β分別用α1，α2，α3，α4和它的極大線性無關(guān)組線性表出．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4線性表出，即方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．對增廣矩陣作初等行變換，有①所以向量β可以由α1，α2，α3，α4線性表出的充分必要條件是：α1—α2+α3—α4=0．(Ⅱ)向量組α1，α2，α3，α4的極大線性無關(guān)組是：α1，α2，α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．②(Ⅲ)方程組①的通解是：x1=a1一a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=a3—3t，x4=t，其中t為任意常數(shù)，所以β=(α1一a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+ta4，其中t為任意常數(shù)．由②把α4代入，得β=((a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)α2+a3α3．知識點解析：暫無解析23、已知矩陣，試判斷矩陣A和B是否相似，若相似則求出可逆矩陣P，使P—1AP=B，若不相似則說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由矩陣A的特征多項式得到矩陣A的特征值是λ1=3，λ2=λ3=一1．由矩陣B的特征多項式=(λ一3)(λ+1)2，得到矩陣B的特征值也是λ1=3，λ2=λ3=一1．當(dāng)λ=一1時，由秩知(一E—A)x=0有2個線性無關(guān)的解，即λ=一1時矩陣A有2個線性無關(guān)的特征向量，矩陣A可以相似對角化．而(一E一B)x=0只有1個線性無關(guān)的解，即λ=一1時矩陣B只有1個線性無關(guān)的特征向量，矩陣B不能相似對角化．因此矩陣A和B不相似．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，而向量β2不能南α1，α2，α3線性表示，則對于任意常數(shù)k，必有A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)．B、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)．C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關(guān)．D、α1，α2，α3，kβ1+kβ2線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：6、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為奇函數(shù)的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由題設(shè)，逐一分析4個選項，由于f(x)的奇偶性未給定，所以(A)、(B)的奇偶性不確定．設(shè)則因此f3(x)為奇函數(shù)．設(shè)f4(x)=則因此f4(x)為偶函數(shù)，綜上，選(C)．7、A、a＝1，b＝0B、a＝0，b＝－2C、a＝0，b＝1D、a＝1，b＝－2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：暫無解析8、_______.A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識點解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：14、已知y1＝e3x－xe2x，y2＝ex－xe2x，y3＝－xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程滿足條件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝1的解為y＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填e3x－ex－xe2x．知識點解析：[詳解]由已知條件有y1—y3＝e3x，y2－y3＝ex，顯然y1－y3，y2－y3線性無關(guān)，所以該二階常系數(shù)非齊次線性微分方程方程的通解為y＝C1e3x＋C2ex－xe2x，C1，C2為任意常數(shù)．由y｜x＝0＝O，有C1＋C2＝0，由y’｜x＝0＝1，有3C1＋C2—1＝1，解得C1＝1，C1＝－1，故該方程滿足條件y｜x＝00，y’x＝0＝1的解為y＝e3x－ex－xe2x．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：此題用分塊積分法，如圖所示知識點解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)(2E—C－1B)AT＝C－1，其中E是4階單位矩陣，AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，，求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)得C(2E—C－1B)AT＝E，即(2C—B)AT＝E．由于2C—B＝，｜2C—B｜＝1≠0，故2C—B可逆．于是A＝E(2C－B)－1]T＝[(2c－B)T]－1知識點解析：將已知矩陣化簡，再利用逆矩陣的性質(zhì)求A．22、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)z＝xy×yx；(2)z＝(x2＋y2)tan(xy)．標(biāo)準(zhǔn)答案：本例中的自變量x和y在表達(dá)式中呈對稱性．(1)對x求偏導(dǎo)數(shù)時，視式中之y為常量．知識點解析：暫無解析設(shè)X～b(25，p1)，Y～b(25—X，p2)，求：23、已知X=k(k=0，1，2，…，25)時，Y的條件分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、(X，Y)的分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、E[Y|X]，E[Y2|X]；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、EY，DY.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)，g(x)=∫01-cosxtant2dt，則當(dāng)x→0時，f(x)是g(x)的()A、高階無窮小。B、低階無窮小。C、同階而非等價無窮小。D、等價無窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由洛必達(dá)法則和等價無窮小替換得其中，x→0時，ln(1+sin2x2)～x4，tan(1-cosx)2～(1-cosx)2～(x2)2，故選B。2、設(shè)f’(x0)=0，f”(x0)＞0，則必存在一個正數(shù)δ，使得()A、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)上是凹的。B、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0+δ上是凸的。C、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0]上單調(diào)減少，而在[x0，x0+δ)上單調(diào)增加。D、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0]上單調(diào)增加，而在[x0，x0+δ上單調(diào)減少。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：已知由極限的不等式性質(zhì)可知，存在δ＞0，當(dāng)x∈(x0-δ，x0+δ)且x≠x0時，。因此，當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時,f’(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時,f’(x)＞0。又f(x)在x=x0連續(xù)，所以f(x)在(x0-δ，x0]上單調(diào)減少，在[x0，x0+δ)上單調(diào)增加，故選C。3、設(shè)u(x，y)在點M0(x0，y0)處取極大值，并且均存在，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：令f(x)=u(x，y0)，由已知x=x0是f(x)的極大值點，故有同理，令g(y)=u(x0，y)，且y=y0是g(y)的極大值點，故有故選C。4、以下四個命題，正確的個數(shù)為()①設(shè)f(x)是(-∞，+∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，則∫-∞+∞f(x)dx必收斂，且∫-∞+∞f(x)dx=0。②設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，且存在，則∫-∞+∞f(x)dx必收斂，且∫-∞+∞f(x)dx=。③若∫-∞+∞f(x)dx與∫-∞+∞g(x)dx都發(fā)散，則∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必發(fā)散。④若∫-∞0f(x)dx與∫0+∞f(x)dx都發(fā)散，則∫-∞+∞f(x)dx未必發(fā)散。A、1個。B、2個。C、3個。D、4個。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：∫-∞+∞f(x)dx收斂存在常數(shù)a，使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收斂，此時∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx。設(shè)f(x)=x，則f(x)是(-∞，+∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，且。但是∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=-∞，∫0+∞f(x)dx=∫-∞+∞xdx=+∞，故∫-∞+∞f(x)dx發(fā)散，這表明命題①，②，④都不是真命題。設(shè)f(x)=x，g(x)=-x，由上面討論可知∫-∞+∞f(x)dx與∫-∞+∞g(x)dx都發(fā)散，但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收斂，這表明命題③是真命題。故選A。5、設(shè)y1=ex/2+e-x+ex，y2=2e-x+ex，y3=ex/2+ex是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解，則該方程的通解是()A、y=C1ex/2+C2e-x+2ex/2+e-x+ex。B、y=C1ex/2+C2e-x+2ex/2+e-x。C、y=C1e-x+C2ex+3ex/2。D、y=C1ex/2+C2e-x+2ex。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由解的結(jié)構(gòu)定理，知y1-y3=e-x是對應(yīng)的齊次方程的解。y1-y2=ex/2-e-x也是對應(yīng)的齊次方程的解，從而y=ex/2是齊次方程的解，且ex/2與e-x線性無關(guān)，即對應(yīng)的齊次方程的通解為y=C1ex/2+C2e-x。比較四個選項，只有A選項符合非齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，故選A。6、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的()A、充分必要條件。B、充分條件但非必要條件。C、必要條件但非充分條件。D、既非充分又非必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：充分性：因為f(0)=0，所以即F(x)在x=0處可導(dǎo)。必要性：設(shè)F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0處可導(dǎo)。因f(x)可導(dǎo)，所以f(x)｜sinx｜在x=0處可導(dǎo)，由此可知即f(0)=-f(0)，所以f(0)=0。故選A。7、設(shè)A，B，C是n階矩陣，并滿足ABAC=E，則下列結(jié)論中不正確的是()A、ATBTATCT=E。B、BAC=CAB。C、BA2C=E。D、ACAB=CABA。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由ABAC=E知矩陣A，B，C均可逆，那么由ABAC=EABA=C-1CABA=E。從而(CABA)T=ET，即ATBTATCT=E，故選項A正確。由ABAC=E知A-1=BAC，由CABA=E知A-1=CAB，從而BAC=CAB，故選項B正確。由ABAC=ECABA=EACAB=E，故選項D正確。由排除法可知，選C。8、設(shè)矩陣，則下列矩陣中與矩陣A等價、合同但不相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由可知，矩陣A的特征值是3，-3，0，故r(A)=2，二次型xTAx的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1。選項A中的矩陣的秩為1，不可能與矩陣A等價；選項B中矩陣的特征值為1，4，0，正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0，與矩陣A既不合同也不相似，但等價(因為秩相等)；選項C中矩陣的特征值為3，-3，0，與矩陣A不僅等價、合同，而且也是相似的，不符合題意；對于選項D，記其矩陣為D，則有可知D的特征值是1，-1，0，xTAx與xTDx的正、負(fù)慣性指數(shù)一樣，所以它們合同但不相似(因為特征值不同)，故選D。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、已知f(x)=∫0x(x-t)2g(t)dt，且g(t)在R上連續(xù)，g(1)=5，則f(3)(1)=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識點解析：由變限求導(dǎo)的法則有f’(x)=2∫0x(x-t)g(t)dt，f”(x)=2∫0xg(t)dt，f(3)(x)=2g(x)，所以f(3)(1)=10。10、設(shè)方程確定y為x的函數(shù)，其中t為參變量，則=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：當(dāng)t=0時，可得x=0，。在兩個方程中對t求導(dǎo)，得：11、設(shè)函數(shù)S(x)=∫0x｜cost｜dt。則=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：對于任意的x∈(nπ，(n+1)，π)，有∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt≤∫0(n+1)π｜cost｜dt，而∫0nπ｜cost｜dt=2n∫0π/2costdt=2n，∫0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，所以當(dāng)n→∞時，x→+∞，所以由極限的夾逼準(zhǔn)則有。12、曲線在點(1，1，-2)處的法平面方程為＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：2x-3y+z+3=0知識點解析：在所給的兩個曲面方程兩邊對x求導(dǎo)得曲線在(1，1，-2)處的切向量為，因此所求的法平面方程為即2x-3y+z+3=0。13、設(shè)A為n階實對稱正交矩陣，且1為A的r重特征根，則｜3E-A｜=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：22n-r知識點解析：由于A為n階實對稱正交矩陣，所以A可以相似對角化，且｜A｜=±1。由A可以相似對角化可知，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=diag(1，1，…，1，-1，-1，…，-1)，其中1有r個，-1有n-r個。所以｜3E-A｜=｜P(3E-P-1AP)P-1｜=｜P｜｜3E-P-1AP｜｜P-1｜=｜3E-P-1AP｜，注意到3E-P-1AP是對角矩陣，對角線上有r個2，n-r個4，所以｜3E-A｜=2r4n-r=22n-r。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、已知，試確定常數(shù)a，b的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)V(t)是曲線在x∈[0，t]的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，求常數(shù)c使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線在x∈[0，t]的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為解得c=1。知識點解析：暫無解析16、求函數(shù)f(x，y)=x2+xy+y2在閉區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所給的區(qū)域D是閉區(qū)域(包括邊界)，故屬于混合型的情況。先考慮函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)部{(x，y)｜x2+y2＜1}的極值，這屬于無條件極值，解線性方程組得x=0，y=0。在(0，0)點，有f”xx=2＞0，f”xy=1，f”yy=2，因為f”xxf”yy-f”yy＞0，所以(0，0)點是函數(shù)的極小值點，極小值為f(0，0)=0。再考慮函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D的邊界{(x，y)｜x2+y2=1}上的極值，這是條件極值問題，作拉格朗日函數(shù)L(x，y，t)=x2+xy+y2-t(x2+y2-1)，求偏導(dǎo)得方程組將第一式乘以x，第二式乘以y然后相加，結(jié)合第三式得到f(x，y)=t(x2+y2)=t。由x2+y2=1可知，二元一次方程組有非零解，故系數(shù)行列式等于零，即4t2-8t+3=0，解得。由于連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可取到最大值和最小值，故f(x，y)在邊界上的最大值為，最小值為。綜上所述，f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值為，最小值為0。知識點解析：暫無解析17、求雙曲線xy=2，xy=1與直線y=2x，y=x所圍圖形的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，先作出曲線所圍成的平面圖形，由對稱性可知，圖形在第一、三象限是全等的，故只需考慮第一象限即可。作變量替換，令xy=u，y=νx，則原區(qū)域中第一象限的部分被一一對應(yīng)地映為D1={(u，ν)｜1≤u≤2，1≤ν≤2}，這時有，于是雅可比行列式故所求的面積為。知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)，數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜1且xn+1=f(xn)。(Ⅰ)證明f(x)在(-1，1)上有且只有一個零點；(Ⅱ)數(shù)列{xn}是否收斂，若收斂，求出極限；若不收斂，請說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意到函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，1)上零點的情況：設(shè)0≤x＜1，因，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，而f(0)=0，f(1)=1，故0≤f(x)＜1且f(x)有且只有一個零點，該零點就是x=0。由對稱性可知，在(-1，0)上f(x)不存在零點，故f(x)在(-1，1)上有且只有一個零點。(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，0＜xn＜1，n=1，2，3，…。xn+1-xn=f(xn)-xn故{xn}單調(diào)遞減有界，所以收斂。在xn+1=1-兩邊同時取極限，得(舍去，因為{xn}單調(diào)遞減)。知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是連續(xù)函數(shù)，求f(x)的表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt可知f(0)=0，且f(x)可導(dǎo)。方程兩邊對x求導(dǎo)，得f’(x)=cosx-∫0xf(t)dt，且f’(0)=1，由f(x)連續(xù)可知f’(x)可導(dǎo)，再對上式求導(dǎo)，得f”(x)+f(x)=-sinx，該二階非齊次線性微分方程對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為λ2+1=0，解得λ=±i，所以齊次微分方程的通解為F(x)=C1sinx+C2cosx，由于i是特征方程的根，所以設(shè)特解為f*(x)=x(Acosx+Bsinx)，代入f”(x)+f(x)=-sinx可得A=，B=0。故通解為f(x)=C1sinx+C2cosx+xcosx，代入初值f(0)=0和f’(0)=1可得C1=，C2=0。故f(x)=(sinx+xcosx)。知識點解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)上可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對于任意正數(shù)a，b，總存在x1，x2∈(0，1)，使得成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：只需證明即可。因a，b均為正數(shù)，所以有。又因為f(0)=0，f(1)=1，所以，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，必存在ξ∈(0，1)，使得成立，于是有在[0，ξ]與[ξ，1]上分別使用拉格朗日中值定理，得f(ξ)-f(0)=f’(x1)ξ，x1∈(0，ξ)，f(1)-f(ξ)=f’(x2)(1-ξ)，x2∈(ξ，1)，知識點解析：暫無解析21、設(shè)A=(aij)n×n的秩為n，求齊次線性方程組Bx=0的一個基礎(chǔ)解系，其中B=(aij)r×n，r＜n。標(biāo)準(zhǔn)答案：因為r(A)=n，即｜A｜≠0，所以r(B)=r，則Bx=0的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為n-r。由r(A)=n，可得A的伴隨矩陣A*的r(A*)=n，令由于r(A*)=n，所以r(ηr+1，…，ηn)=n-r，而由于所以Bηi=0(i=r+1，…，n)。即ηr+1，…，ηn都是Bx=0的解，故ηr+1，…，ηn是Bx=0的一個基礎(chǔ)解系。知識點解析：暫無解析22、已知，且A的行和相等。(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)A能否相似對角化，若能，請求出正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣，若不能，請說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于矩陣行和相等，且第三行的行和為5，所以有1+a+2=5，2+b+a=5，解得a=2，b=1。(Ⅱ)將a和b的值代入矩陣得可知A是實對稱矩陣，故A一定可以相似對角化。由｜λE-A｜=0可得(λ+1)2(λ-5)=0，解得λ=-1(二重根)和5。由(-E-A)x=0可得線性方程組的基礎(chǔ)解系為(1，0，-1)T，(0，1，-1)T，即特征值-1所對的兩個線性無關(guān)的特征向量為α1=(1，0，-1)T，α2=(0，1，-1)T。又因矩陣A的行和為5，所以特征值5對應(yīng)的一個特征向量為α3=(1，1，1)T。將上述三個向量正交化，得β1=(1，0，-1)T，β3=(1，1，1)T，將其單位化即得正交矩陣知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知當(dāng)x→0時，函數(shù)f(x)=x2-tanx2與cxk是等價無窮小量，則()A、c=1，k=3。B、c=-1，k=3。C、c=，k=6。D、c=，k=6。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由麥克勞林公式可知比較分子、分母的系數(shù)可知，c=，k=6。故選C。2、函數(shù)在(-∞，+∞)上()A、連續(xù)。B、可導(dǎo)。C、有可去間斷點。D、有跳躍間斷點。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：注意到當(dāng)x≠0時，函數(shù)f(x)是連續(xù)的，此時也是可導(dǎo)的；但函數(shù)f(x)在x=0處無意義，所以在x=0處，f(x)不連續(xù)，也不可導(dǎo)，且只有x=0是其間斷點，而故x=0是f(x)的可去間斷點。故選C。3、設(shè)D是由拋物線y=x2與曲線圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：積分區(qū)域D如右圖所示：可知兩曲線的交點為(-1，1)和(1，1)。若先對y積分，再對x積分，則雖然積分區(qū)域關(guān)于y軸對稱，但f(x，y)的奇偶性并不清楚，故選項A不對。若先對x積分，再對y積分，則故選B。4、函數(shù)在(0，0)點()A、不連續(xù)且不可偏導(dǎo)。B、連續(xù)但不可偏導(dǎo)。C、可偏導(dǎo)且可微。D、可偏導(dǎo)但不可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于，所以f(x，y)在(0，0)點連續(xù)。由定義可知同理可得f’y(0，0)=0，故f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)。因f(△x，△y)-f(0，0)-f’x(0，0)△x-f’y(0，0)△y=f(△x，△y)，但(實際上當(dāng)△y→0+時，極限為1；當(dāng)△y→0-時，極限為-1)，故f(x，y)在(0，0)處不可微。故選D。5、設(shè)函數(shù)，則()A、f(x)在x=0處的左、右極限均存在。B、f(x)在x=0處的左、右極限均不存在。C、∫-11f(x)dx收斂。D、∫-11f(x)dx發(fā)散。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：顯然，x=0是被積函數(shù)的唯一瑕點(奇點)，故將積分區(qū)間分開，即∫-11f(x)dx=∫-10f(x)dx+∫01f(x)dx，注意到∫-10f(x)dx=-e1/x｜-10=e-1，但∫01f(x)dx=-e1/x｜01=+∞，所以反常積分∫-11f(x)dx發(fā)散。故選D。6、函數(shù)()A、有一個駐點。B、有兩個極值點。C、有一個拐點。D、在整個定義域上凹凸性不變。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：函數(shù)的定義域是除了x=-1的全體實數(shù)，對其求導(dǎo)，可知導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，即x=1和x=-3，故函數(shù)有兩個駐點。函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)是可知y”只有一個無定義的點x=-1，沒有零點，且y”(1)＞0，y”(-3)＜0，故x=1是極小值點，x=-3是極大值點，即函數(shù)有兩個極值點。注意到x=-1不是定義域的內(nèi)點，所以x=-1不是函數(shù)的拐點，故函數(shù)不存在拐點，但是y”在x=-1的左、右兩側(cè)符號相反，所以x=-1是函數(shù)凹凸性的分界點，即當(dāng)x＜-1時，函數(shù)是凸的，當(dāng)x＞-1時，函數(shù)是凹的。故選B。7、設(shè)三維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，k，l為任意實數(shù)，則向量組后kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1()A、線性相關(guān)性只與k有關(guān)。B、線性相關(guān)性只與l有關(guān)。C、線性相關(guān)性與k和l都有關(guān)。D、無論k和l取何值，總是線性相關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于α1，α2，α3線性無關(guān)，可以把α1，α2，α3看作一組基，則(kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1)=(α1，α2，α3)且=k3-l3當(dāng)且僅當(dāng)k=l時行列式為零，此時kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1線性相關(guān)。故選C。8、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2+2x1x3+2x2x3是正定的，則()A、a＜-2。B、-2＜a＜-1。C、a＞0。D、a＞1。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為，因其是正定的，所以其順序主子式全大于零，即一階順序主子式a＞0；二階順序主子式=a2-1＞0，即a＞1或a＜-1；三階順序主子式=(a-1)2(a+2)＞0，即a＞-2。取交集，得a＞1。故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)函數(shù)f(x)在x=4處連續(xù)，且，則曲線y=f(x)在點(4，f(4))處的切線方程是＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=4x-12知識點解析：令5-x=4+△x，則△x=1-x，代入可得所以曲線y=f(x)在點(4，f(4))處的切線方程是y=f’(4)(x-4)+f(4)，即y=4x-12。10、設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u=f(x，xy，xyz)，則=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：xf’3+x2yf”32+x2yzf”33知識點解析：由u=f(x，xy，xyz)可知=xyf’3，則=xf’3+xy(xf”32+xzf”33)=xf’3+x2yf”32+x2yzf”33。11、設(shè)微分方程的通解為，則φ(x)=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由方程的通解，將其代入原微分方程得。12、，則∫01xf(x)dx=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、曲線(0≤x≤1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算公式可得14、設(shè)A是三階矩陣，且特征值為λ1=1，λ2=-1，λ3=2，A*是A的伴隨矩陣，E是三階單位陣，則=＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：211知識點解析：由A的特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=2，可知｜A｜==-2，｜A*｜=｜A｜3-1=4。注意到是六階方陣，所以=-26·(-2)3｜A*｜=211。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f’(x)連續(xù)f(0)=0,f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0xtf(t2-x2)dt，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)～xn，求n及f’(0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=t2-x2，則F(x)=∫0xtf(t2-x2)=∫0xf(t2-x2)d(t2-x2)由洛必達(dá)法則得因為f(0)=0，故當(dāng)n=4時，由導(dǎo)數(shù)的定義有所以f’(0)=-4。知識點解析：暫無解析16、求函數(shù)f(x，y)=sinx+siny-sin(x+y)在閉區(qū)域D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}上的最值。標(biāo)準(zhǔn)答案：由得到cosx=cosy=cos(x+y)。在閉區(qū)域的內(nèi)部考慮，可得x=y=2π-x-y，即是函數(shù)在閉區(qū)域內(nèi)部唯一的駐點，且。在閉區(qū)域的邊界上，當(dāng)x=0或y=0或x+y=2π時，都有f(x，y)=0。由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)必存在最值的性質(zhì)，可知函數(shù)的最大值為，最小值為0。知識點解析：暫無解析17、計算，其中區(qū)域D由曲線和x軸圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖中陰影部分：單位圓x2+y2=1將區(qū)域D分成兩部分，單位圓x2+y2=1內(nèi)的部分記作D1，單位圓x2+y2=1外的部分記作D2，則知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=kx-arctanx(0＜k＜1)。證明：存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)μ=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式。試確定m，n的值，使等式在變換ξ=x+my，η=x+ny下簡化為。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲線y=f(x)與直線x=1，y=0圍成的平面圖形的面積為2。(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(Ⅱ)a取何值時，此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將，這是一階線性微分方程，由一階線性微分方程的通解公式得由y=f(x)與x=1，y=0圍成的平面圖形的面積為2可知，注意到在(0，1)內(nèi)需f(x)＞0成立，故還需確定a的取值范圍。①當(dāng)a=0時，f(x)=4x，滿足題意；②當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)開口向上，只需對稱軸即可，即0＜a≤4；③當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)開口向下，對稱軸，只需f(1)≥0，即-8≤a＜0；綜上所述，f(x)=ax2+(4-a)x且-8≤a≤4。(Ⅱ)y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為V(a)=π∫01f2(x)dx由得a=-5∈[-8，4]，而實際問題總是存在最值，所以當(dāng)a=-5時，旋轉(zhuǎn)體的體積最小。知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)單調(diào)增加，所以f(ξ2)≥f(ξ1)，故I≥0，得證。因為f(x)單調(diào)增加，所以上式定積分中f(x)≥f(t)，由定積分的性質(zhì)可知f’(x)≥0，即F(x)也單調(diào)增加，故F(b)≥F(a)=0，得證。知識點解析：暫無解析22、線性方程組，的系數(shù)矩陣的秩為2，求c及方程組的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：將增廣矩陣施以初等行變換得因系數(shù)矩陣的秩為2，所以，即c=6。此時，增廣矩陣可化為得到同解方程組令x2=x4=0，得特解η=(-17，0，14，0)T；分別令x2=1，x4=0和x2=0，x4=2，得到對應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系ξ1=(-9，1，7，0)T，ξ2=(-8，0，7，2)T，故原方程組的通解為x=k1(-9，1，7，0)T+k2(-8，0，7，2)T+(-17，0，14，0)T，k1，k2為任意實數(shù)。知識點解析：暫無解析23、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交變換矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f的矩陣，特征方程為｜λE-A｜=(λ-2)(λ2-6λ+9-a2)=0，由標(biāo)準(zhǔn)形可知，A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5。將λ=1代入特征方程，得a2-4=0，由a＞0可知a=2，此時解(λiE-A)x=0，得到特征值λi(i=1，2，3)對應(yīng)的特征向量分別為α1=(0，1，-1)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，1)T。由于實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交，故只需將α1，α2，α3單位化，故所用的正交變換矩陣為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程x3一ax2y2+by3=0所確定，要使x=1是y=y(x)的駐點，且曲線y=y(x)通過點(1，1)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：利用題設(shè)：點(1，1)在曲線上，且該點又是y=y(x)的駐點，即滿足y′(1)=0，聯(lián)立兩個關(guān)于a和b的方程組求之．解因y=y(x)過點(1，1)，故1一a+b=0，a—b=1．①又因x=1是y=y(x)的駐點，則y′(1)=0．先求y′(x)．在x3—ax2y2+by3=0兩邊對x求導(dǎo)，得到且(1，1)是其駐點，故y′∣x=1=0，即聯(lián)立式①、式②解得2、設(shè)，則在點x=a處()．A、f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f′(a)≠0B、f(x)取得極大值C、f(x)取得極小值D、f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：利用極限的保號性和極值的定義判別之．解由題設(shè)有由極限的保號性知，存在x=a的右鄰域(a，a+δ1)(δ1＞0)，使f(x)一f(a)＜0，即f(x)＜f(a)，也存在x=a的左鄰域(a一δ2，a)(δ＞0)，使f(x)一f(a)＜0，即f(x)＜f(a)．由極值的定義知，f(a)為f(x)的極大值．3、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，則()．A、f′(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點B、f′(x)在(a，b)內(nèi)只有一個零點C、f′(x)在(a，b)內(nèi)至少有一個零點D、f′(x)在(a，b)內(nèi)零點個數(shù)不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因f(a)=f(b)，首選羅爾定理證之，再用反證法證明f′(x)只有一個零點．解因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，由羅爾定理知，至少存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0．如果f′(x)在(a，b)內(nèi)有兩個零點ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)，則函數(shù)f′(x)在[ξ1，ξ2]上仍滿足羅爾定理條件，則在ξ1，ξ2之間存在已，使f″(ξ3)=0，這與在[a，b]上．f″(x)≠0矛盾．4、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(x)≥0．記則()．A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I2＜I3＜I1D、I1＜I3＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：三個積分I1，I2，I3的積分區(qū)間不一樣，且被積函數(shù)的中間變量不一樣，需通過變量代換化成一樣來比較．解在I1中，令x=sint，當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，．且dx=costdt．因此在I1中，令x=tant，當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，，且dx=sec2tdt，當(dāng)時，sect＞1，從而有sec2t＞1．因此于是有I3＜I1＜I2．5、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)滿足，且f(x，0)=1，f′y(x，0)=x，則f(x，y)=()．A、1一xy+y2B、1+xy+y2C、1一x2y+y2D、1+x2y+y2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先在方程兩邊對y積分，再利用f′y(x，0)=x及f(x，0)=0確定相應(yīng)常數(shù)．解在方程兩邊對y積分得由f(x，0)=x知C(x)=x，即再積分得f(x，y)=y2+xy+C1(x)，再由f(x，0)=1知C1(x)=1．于是f(x，y)=1+xy+y2．6、設(shè)A、1B、C、D、e一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：將f(x)代入得到二重積分，畫出積分區(qū)域(見下圖)，且調(diào)換積分次序求出二重積分．又因已知被積分函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)也可用分部積分法直接計算．解一積分區(qū)域如上圖所示．交換積分次序，得解二因已知被積函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)故可使用分部積分法求之．7、設(shè)A是三階實對稱矩陣，λ1，λ2，λ3是3個非零特征值，且滿足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b．若kA+E為正定矩陣，則參數(shù)k應(yīng)滿足()．A、k＞一1／aB、k＞aC、k＞bD、k＜一1／b標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因A有特征值λ1，λ2，λ3，則kA+E有特征值kλi+1(i=1，2，3)．又kA+E正定，則參數(shù)k應(yīng)滿足解由題設(shè)有a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，故當(dāng)時，由上式知從而當(dāng)時，kA+E為正定矩陣．8、已知λ1=2，λ2=1，λ3=一1為三階矩陣A的3個特征值，對應(yīng)特征向量為α1，α2，α3．令P=[2α2，3α3，一α1]，則P-1(A+2E)P=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍然是屬于該特征值的特征向量．解一因α1，α2，α3為A的3個不同特征值的特征向量，故線性無關(guān)，且它們都是齊次方程的解．而2α2，3α3，一α1仍然分別為齊次方程的解，且它們線性無關(guān)，故它們也為A的3個不同特征值的特征向量．于是令P=[2α2，3α3，一α1]，有故P-1(A+2E)P=P-1AP+2P-1EP解二由A的特征值λ2=1，λ3=一1，λ3=2，得到A+2E的3個不同的特征值μ2=1+2=3，μ3=一1+2=1，μ1=2+2=4，因而A+2E可相似對角化，且二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：用湊微分及分部積分法求之．解10、設(shè)，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：注意到為常數(shù)，由此可先將求出．再求f(x)．解在式①兩邊同乘cosx，再在[0，π]上積分得到故從而11、設(shè)f(x)為可導(dǎo)的以4為周期的周期函數(shù)，且，則曲線y=f(x)在點(—4，0)處的法線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：首先要了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．在幾何上，函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率，因而y=f(x)過其上一點(x0，f(x0))的切線方程和法線方程分別為解因f(x)為導(dǎo)數(shù)的以4為周期的周期函數(shù)，則f′(x)也是以4為周期的可導(dǎo)函數(shù)，即f′(一4)=f′(0)．而故f′(一4)=3，所以法線方程為12、已知標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：先求出k，將其代入所求極限，用等價無窮小代換求之．k可用公式求之．解由得到13、已知的值等于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：所求積分既是無窮限的反常積分，又是帶瑕點x=0的無界函數(shù)的反常積分．使用其定義，利用已知結(jié)果及分部積分法求之．解由分部積分公式得注意．這是常用結(jié)論應(yīng)記?。?4、設(shè)，B為三階非零矩陣，且滿足BA=0，則當(dāng)λ滿足_______時，B的秩恰為1．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠一2知識點解析：因B為三階非零矩陣．故秩(B)≥1．下面只證秩(B)≤1．這就需要利用條件BA=O去證明．解由題設(shè)知秩(B)≥1，又由Ba=O知，秩(A)+秩(B)≤3，即秩(B)≤3一秩(A)．當(dāng)λ≠一2時，秩(A)=2，于是有秩(B)≤3—2=1，從而秩(B)=1．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，若在(0，1)內(nèi)有x12，使證明：在(0，1)內(nèi)存在ξ1，ξ2，使f′(ξ1)≥f′(ξ2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：要產(chǎn)生兩個中值點ξ1與ξ2滿足f′(ξ1)≥f′(ξ1)，一般要使用兩次中值定理．如果令x0=(x1+x2)／2，則有2f(x0)≥f(x1)+f(x2)，即(x0)一f(x1)≥f(x2)一f(x0)．不等式兩邊的差值就是使用拉格朗日中值定理的信號．這樣問題就解決了．證令，移項有f(x0)一f(x1)≥f(x2)一f(x0)．①利用拉格朗日中值定理，有f(x0)一f(x1)=f′(ξ1)(x0一x1)②f(x2)一f(x0)=f′(ξ2)(x2一x0)③將式②、式③代入式①，有f′(ξ1)(x0—x1)≥f′(ξ2)(x2—x0)，因x0—x1=x2—x0，故有f′(ξ1)≥f′(ξ2)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)0＜a＜b，f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x)≠0，求證：存在ε，η∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：將待證等式改寫為等式右邊啟示我們應(yīng)對f(x)及l(fā)nx在[a，b]上使用柯西中值定理．于是上式右邊還表示可對f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．于是證由拉格朗日中值定理知，存在ε∈(a，b)，使又由柯西中值定理知，存在η∈(a，b)，使綜合式①、式②即得知識點解析：暫無解析17、設(shè)y=y(x)由確定，求當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)答案：，因而為求，需先求出，需將x的表示式通過變量代換化為變上限t的函數(shù)．解設(shè)于是再對3ty+ysint一ey一t2=0求，于是有故知識點解析：暫無解析18、設(shè)，其中φ為可微函數(shù)，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：給出確定隱函數(shù)的函數(shù)方程，要想到作一個方程F(x，y，z)=0確定該函數(shù)，然后再用其公式求出解令，則故于是知識點解析：暫無解析19、求星形線的質(zhì)心．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用曲線質(zhì)心坐標(biāo)的計算公式直接計算．一定要記住質(zhì)心坐標(biāo)的計算公式．解設(shè)該曲線的全長為z，質(zhì)心為，則曲線的質(zhì)心坐標(biāo)計算公式為可用上述公式計算曲線的質(zhì)心，其中ds為弧微分．當(dāng)s∈[0，ι]時，對應(yīng)于，于是因此，代入上式得同理，可求得則于是，所求曲線的質(zhì)心為知識點解析：暫無解析20、設(shè)g(x)＞0為已知連續(xù)函數(shù)，在圓域D={(x，y)∣x2+y2≤a2(a＞0)}上計算積分：其中λ，μ為正常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所給二重積分的被積函數(shù)的形式使人易想到積分區(qū)域D是否有關(guān)于y=x的對稱性．事實上，所給區(qū)域D關(guān)于y=x對稱，利用此對稱性可簡化計算．解由于積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，故對連續(xù)函數(shù)f(x，y)，有因此故于是有知識點解析：暫無解析21、設(shè)(Ⅰ)求f(x)在(0，+∞)上的最小值點；(Ⅱ)判斷f(x)在(0，+∞)上是否存在最大值?并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：為求f(x)在(0，+∞)上的最小值點，首先求出f(x)在(0，+∞)上的分段函數(shù)的形式，然后按求最小值的一般方法求出其最小值點．解(Ⅰ)由定積分的幾何意義知，(這是以原點為圓心，半徑為z的圓在第一象限部分的面積)．再用分段積分法求f(x)表達(dá)式中的另一積分：當(dāng)0＜x＜1時，當(dāng)x≥1時，于是為求f(x)在(0，+∞)上的最小值，先求f′(x)．由于故f(x)在內(nèi)單調(diào)減少，而在上單調(diào)增加．所以f(x)的最小值是，則f(x)在(0，+∞)上的最小值點是(Ⅱ)由于所以f(x)在(0，+∞)上不存在最大值．知識點解析：暫無解析22、已知三階矩陣B≠0，且B的每一個列向量都是以下方程組的解：(Ⅰ)求λ值；(Ⅱ)證明∣B∣=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組AX=0有非零解，秩(A)＜3，則其三階子行列式必等于0，從而求出λ．可用反證法證明∣B∣=0．解(Ⅰ)因B≠0，故B中至少有一個非零列向量，于是推出所給齊次方程組AX=0有非零解，故其系數(shù)矩陣的秩(A)＜3，則其三階子式必等于0，即(Ⅱ)因B的每一列向量都是方程組的解，故有AB=O．由A≠O，則必有∣B∣=0．事實上，若∣B∣≠0，則B可逆，在AB=O兩邊右乘B-1必有ABB-1=OB-1，A=0，這與A≠0的事實矛盾，故∣B∣=0．知識點解析：暫無解析23、已知a1=[1，3，5，一1]T，a2=[2，7，a，4]T，a3=[5，17，一1，7]T．(Ⅰ)若a1，a2，a3線性相關(guān)，求a的值；(Ⅱ)當(dāng)a=3時，求與a1，a2，a3都正交的非零向量a4；(Ⅲ)當(dāng)a=3時，證明a1，a2，a3，a4可表示任一個四維列向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義求之；(Ⅱ)按齊次線性方程組求解的方法求之．(Ⅲ)歸結(jié)證明對任意四維向量α，方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α總有解．解(Ⅰ)由α1，α2，α3線性相關(guān)，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于所以a=一3．(Ⅱ)設(shè)α4=[x1，x2，x3，x4]T，則有<α1，α4>=0，<α2，α4>=0，<α3，α4>=0，即而所以X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，一6，0，1]，其中k≠0為任意常數(shù)．(Ⅲ)由于所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一四維列向量必可由α1，α2，α3，α4線性表出．或由(Ⅰ)知α=3時，α1，α2，α3必線性無關(guān)，那么如果k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用α4T左乘上式兩端并利用α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0，有k4α4Tα4=0，故必有k4=0．于是k1α1+k2α2+k3α3=0，從而α1，α2，α3，α4必線性無關(guān)．而5個四維向量必線性相關(guān)，因此任一個四維列向量都可由α1，α2，α3，α4線性表出．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)，則()．A、B、a=0，b=一2C、D、a=1，b=一2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：利用等價無窮小代換及分項求其極限．解(用到等價無窮小代換x—ln(1+x)～x2／2(x→0))．當(dāng)a一1=0時，．2、設(shè)則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但f′(x)在x=0處不連續(xù)D、可導(dǎo)且f′(x)在x=0處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：先考察在x=0處f(x)是否可導(dǎo)，若可導(dǎo)，進一步討論f′(x)在x=0處的連續(xù)性．否則，只考察連續(xù)性即可．解當(dāng)x＞0時，當(dāng)x＜0時，故所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f′(x)在x=0處連續(xù)．3、有一橢圓形薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直立于液體中，而其短軸與液面相齊，液體的比重為r，則液體對薄板的側(cè)壓力為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先寫出側(cè)壓力微元(元素)，然后在[0，a]上對其積分即可．解取坐標(biāo)系如下圖所示．橢圓方程為在小區(qū)間[x，x+dx]上對應(yīng)的小橫條薄板，液體對應(yīng)的壓力為dP=壓強×面積=r·x·2ydx=于是液體對薄板的側(cè)壓力為4、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：四個反常積分容易使人想到用下述結(jié)論判別：若a＞0，則當(dāng)p＞1時收斂，當(dāng)p≤1時發(fā)散．但要注意上面的下限a＞0．而現(xiàn)在a等于0，故不能用上述結(jié)論判斷，而只能用定義判別．解而因而(C)中積分發(fā)散．5、函數(shù)u=sinxsinysinz滿足的條件極值為()．A、1B、0C、1／6D、1／8標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：寫出拉格朗日函數(shù)，分別對各個變量求出偏導(dǎo)數(shù)，聯(lián)立解得條件極值點．解僅D入選．設(shè)則由式①與式②得到tany=tanx，由式②與式③得tanz=tany．因而tanx=tany=tanz，而，故x=y=z．因而為條件極值點．于是所求的條件極值為6、y″+2y′一3y=e2x的特解為()．A、B、C、一e2xD、e2x標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：求出特征根確定特解形式，代入原方程即可得到正確選項．解由r2+2r一3=(r+3)(r一1)=0易求得其特征根為λ1=一3，λ2=1．由于λ=2不是特征根，可設(shè)特解為y*=Ae2x，代入原方程得，即特解為．故僅A入選．7、已知三階矩陣A的特征值為1，2，一1，則矩陣B=(2A*)-1(其中A*為A的伴隨矩陣)的特征值為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先找出矩陣B與A之間的關(guān)系，然后求出其特征值之間的關(guān)系．也可利用矩陣特征值的關(guān)系求之．解一而∣A∣=1×2×(一1)=一2，即，故B的三個特征值分別為．解二∣A∣=一2，A的特征值為1，2，一1，故A*的特征值為2A*的特征值為2(一2)=一4，2·1=2，2·2=4．則(2A*)-1的特征值為．僅B入選．8、設(shè)A=[α1，α2，α3，α4]，且η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，1，0，1]T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則()．A、α1，α3線性無關(guān)B、α2，α4線性無關(guān)C、α4能被α2，α3線性表示D、α1，α2，α3線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：將η1，η2代入Ax=0得到α1，α2，α3，α4之間的線性關(guān)系，再利用叩η1，η2為Ax=0的基礎(chǔ)解系，得到秩(A)=2．利用這些便可判別選項的正確性．解因為η1，η2為齊次線方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，可知基礎(chǔ)解系含有n一r=2個向量，其中，n=4為齊次方程組未知量的個數(shù)，r為系數(shù)矩陣A的秩，所以r一n一2=2．因此A=[α1，α2，α3，α4]中任意3個向量都線性相關(guān)，故(D)不正確．由Aη2=0得α2+α4=0，可見α2，α4線性相關(guān)，故(B)不正確．再由α2+α4=0可知，α4可以被α2線性表示，則α4可被α2，α3線性表示，故(C)正確．由Aη1=0，得α1+α2+α3+α4=0．又由Aη2=0得α2+α4=0，所以α1+α3=0．于是α1，α3線性相關(guān)，故(A)不正確．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)u=sin(xy+3z)，其中z=z(x，y)由方程yz2一xz2=1確定，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：先由方程yz2一xz2=1求出，將其代入中即可求出解在方程yz2一xz2=1兩邊對x求偏導(dǎo)得2yzz′x—z3一3xz2z′x=0，整理得所以把z′x代入上式得10、質(zhì)量為M，長為L的均勻桿AB吸引著質(zhì)量為m的質(zhì)點C，C位于AB的延長線上并與近端距離為a．已求得桿對質(zhì)點C的引力其中k為引力常數(shù)，現(xiàn)將質(zhì)點C在桿的延長線上從距離近端r0處移至無窮遠(yuǎn)處時，其引力做的功為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：只需將引力在[r0，+∞)上積分即可．解以AB為x軸，近端點為原點，正x軸指向C．C的坐標(biāo)為x，則桿對C的引力于是，C從r0處移至無窮遠(yuǎn)時，引力做的功11、微分方程xy(5)一y(4)=0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：先令y(4)=p，則原方程可化為降價的微分方程xp′一p=0．求出其通解p=c1x，即y(4)=c1x，再連續(xù)積分4次即可求出所求的通解．解令y(4)=p，則原方程化為可降價的方程：xp′一p=0．分離變量，得到．兩邊積分易求出其通解為p=c1x，則y(4)=c1x．此又為可降價的微分方程，連續(xù)積分4次即得所求通解為12、設(shè)z=f(x+y，xy)=x2+y2一xy，則dz=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2xdx一3dy知識點解析：題目所給的函數(shù)不是f(x，y)，應(yīng)先求出f(x，y)，再求dz．解應(yīng)由題設(shè)先求f(x，y)．因f(x+y，xy)=x2+y2一xy=(x+y)2一3xy，所以f(x，y)=x2一3y．從而f′x(x，y)=2x，f′y(x，y)=一3．于是dz=2xdx一3dy．13、設(shè)A，B均為三階方陣，λ1=1，λ2=2，λ3=一2為A的三個特征值，∣B∣=一3，則行列式∣2A*B+B∣=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：—315知識點解析：利用矩陣行列式等于其特征值之積的結(jié)論求之．解由題設(shè)知∣A∣=λ1λ2λ3=4，A*的特征值分別為則μ1=一4，μ2=一2，μ3=2．而矩陣2A*+E的特征值為2μi+1，即一7，一3，5，故行列式∣2A*+E∣=(一7)×(一3)×5=105，從而行列式∣2A*B+B∣=∣(2A*+E)B∣=∣2A*+E∣∣B∣=105×(—3)=—315．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、(Ⅰ)求極限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2；(Ⅱ)利用(1)中結(jié)果求標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)式中出現(xiàn)正整數(shù)n和指數(shù)函數(shù)，恒等變形，設(shè)法使用以aix一1～xlnai求之．解而(Ⅱ)利用(Ⅰ)中結(jié)果即得知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)，g(z)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，證明存在ξ∈(a，b)，使標(biāo)準(zhǔn)答案：從待證等式出現(xiàn)b一a因子，使人聯(lián)想到應(yīng)用拉格朗日中值定理證之．但輔助函數(shù)如何找?可將待證等式右端中的ξ換為x，去掉導(dǎo)數(shù)符號就可得到輔助函數(shù)F(x)證令顯然F(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件．因而對F(x)在[a，b]上使用該定理得到：存在ξ∈(a，b]使F(b)一F(a)=(b一a)F′(ξ)．②注意到將其代入式②，則式①成立．證畢．知識點解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且證明：(Ⅰ)若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)；(Ⅱ)若f(x)為非增，則F(x)為非減．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用偶函數(shù)的定義證之；(Ⅱ)只需證明F′(x)≥0．證(Ⅰ)由于f(一x)=f(x)，則故F(x)也是偶函數(shù)．(Ⅱ)由于f(x)非增，則所以F(x)為非減函數(shù)．知識點解析：暫無解析17、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求區(qū)域內(nèi)的極值，再求邊界上的極值，通過比較即得閉區(qū)域上的最值．解由方程組得x=0(0≤y≤6)及點(4，0)，(2，1)．點(4，0)及線段x=0在D的邊界上，且f(2，1)=4．在邊界x+y=6上，y=6一x，代入f(x，y)中，得z=2x2一12x2(0≤x≤6)．由z′=6x2一24x=0得x=0，x=4．當(dāng)x=0時，y=6，f(0，6)=0．當(dāng)x=4時，y=2，f(4，2)=一64．經(jīng)比較，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=一64．注意求連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)在有界閉區(qū)域D上最值的步驟如下：(1)求D內(nèi)的駐點(即方程組f′x=0，f′y=0的解)及不可導(dǎo)點(即f′x與f′y不存在的點)；(2)將D的邊界線方程代入z=f(x，y)中將其化為一元函數(shù)，求出其極值可疑點(即z′=0的根及使z′不存在的點)；(3)求出上述所有點處對應(yīng)的函數(shù)值，比較其大小，可得f(x，y)在D上的最大值與最小值．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)為可微函數(shù)，且f(0)=0，f′(0)=2，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：先將二重積分化為二次積分，其中內(nèi)積分為變上限t的積分，再用等價無窮小代換、洛必達(dá)法則求之．解因知識點解析：暫無解析19、設(shè)z=z(x，y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足(Ⅰ)作自變量與因變量變換：u=x+y，v=x—y，w=xy—z．將z所滿足的方程變換為w關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)滿足的方程．(Ⅱ)求z=z(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則將分別用叫關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)表示，由方程①可得到w關(guān)于u，v的偏導(dǎo)數(shù)所滿足的微分方程，解此方程即可求得z(x，y)．解(Ⅰ)z=xy一w，由復(fù)合函數(shù)微分法則得到代入原方程，得即(Ⅱ)解上述方程②，對u積分得再對u