考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷9（共202題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷9（共9套）（共202題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，f(0)=0，常數(shù)n為正奇數(shù)．并設(shè)則正確的是()A、F(x)在(一∞，0)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增，在(0，+∞)內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)增．B、F(x)在(一∞)，0)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增，在(0，+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減．C、F(x)在(一∞，0)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減，在(0，+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增．D、F(x)在(一∞，0)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減，在(0，+∞)內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)減．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，0＜t＜x，0＜f(t)＜f(x)，0＜tnf(t)＜xnf(x)，從而F’(x)＞0．當(dāng)x＜0時(shí)，x＜t＜0，xn＜tn＜0，f(x)＜f(t)＜0，于是tnf(t)＜xnf(x)，∫0x[xnf(x)一tnf(t)]dt＜0，從而F’(x)＜0．故選(C)．2、設(shè)an＞0(n=1，2，…)，下述命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：在(C)的條件下，必有從而推知級(jí)數(shù)發(fā)散．(A)的反例：但發(fā)散；(B)的反例：收斂．但當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，的反例見(A)的反例．3、設(shè)D={(x，y)|x2+y2＞0}，l是D內(nèi)的任意一條逐段光滑的簡(jiǎn)單封閉曲線，則下列第二型曲線積分必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于(A)和(B)，令通過具體計(jì)算，易知(0，0))．所以當(dāng)l不包含(0，0)在其內(nèi)部時(shí)，(B)不正確．若取l為x=cost，y=sint，t從0到2π，則(A)中所以(A)不正確．對(duì)于(C)和(D)，令通過具體計(jì)算，也有(當(dāng)(x，y)≠(0，0))．當(dāng)l不包含(0，0)在其內(nèi)部時(shí)，(D)不正確，若取l為x=cost，y=sint，不妨認(rèn)為t從一π到π，則所以對(duì)于D內(nèi)任意l，(C)正確．4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由上、下限知，積分區(qū)域D=D1∪D2={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}∪{(x，y)|lny≤x≤1，l≤y≤e}={(x，y)|0≤y≤ex，0≤x≤1}，5、設(shè)A是3×3矩陣，β1，β2，β3是互不相同的3維列向量，且都不是方程組Ax=0的解，記B=(β1，β2，β3)，且滿足r(AB)＜r(A)，r(AB)＜r(B)．則r(AB)等于()A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：已知βi(i=1，2，3)都不是Ax=0的解，即AB≠O，r(AB)≥1．又r(AB)6、設(shè)A，B均是n(n＞0)階方陣，方程Ax=0和BX=0g相同的基礎(chǔ)解系考ξ1，ξ2，ξ3，則下列方程組中也以ξ1，ξ2，ξ3為基礎(chǔ)解系的是()A、(A+B)X=0．B、(AB)X=0．C、(BA)X=0．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：AX=0和BX=0有相同的基礎(chǔ)解系，是同解方程．顯然ξ1，ξ2，ξ3也滿足又因沒有比AN=0(或BX=0)更多的解．故AX=0，BX=0和均是同解方程．應(yīng)選(D)．對(duì)(A)，取B=一A，AX=0和一AX=0同解．但(A+B)X=OX=0，任何X均是解，顯然和AX=0(BX=0)不同解．對(duì)(B)，(AB)X=A(BX)=0，r(AB)≤r(B)，(AB)X=0可能會(huì)有更多的線性無關(guān)解．故不成立．(C)理由同(B)．7、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，則隨機(jī)變量|X|的概率密度為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先求Y=|X|的分布函數(shù)再求密度函數(shù)．Y=|X|≥0．當(dāng)y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y)==0；當(dāng)y≥0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y)=P{|X|≤y}=P{－y≤X≤y)=∫－yyf(x)dx=∫－y0f(x)dx+∫0yf(x)dx=一∫0yf(x)dx+∫0yf(x)dx.8、設(shè)總體X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2為樣本方差，則下列正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由X～N(0，σ2)，有Xi～N(0，σ2)，(A)不正確，因?yàn)?B)不正確，因?yàn)榕cS2獨(dú)立，則二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f"(x0)=2，則標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)y=y(x)是由方程y3+xy+x2一2x+1—0確定并且滿足y(1)=0的函數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：題中所給方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有3y2y’+xy’+y+2x一2=0，得11、設(shè)l為圓周(a＞0)一周，則空間第一型曲線積分∮x2ds=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由輪換對(duì)稱性知，而∮1ds為l的全長(zhǎng)，l是平面x+y+z=a上的圓周，點(diǎn)O到此平面的距離為，所以l的半徑12、設(shè)S為球面x2+y2+z2=R2被錐面截下的小的那部分，并設(shè)其中A，B，R均為正常數(shù)且A≠B，則第一型曲面積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：球面與錐面的交線在xOy平面上的投影曲線的方程為(A+1)x2+(B+1)y2=R2，則相應(yīng)的投影區(qū)域?yàn)镈={(x，y)|(A+1)x2+(B+1)y2≤R2}．球面方程(上部)為13、設(shè)f(x)=x3一6x2+11x一5，則f(A)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：E知識(shí)點(diǎn)解析：因A～A，可知存在可逆矩陣P，使得P－1AP=A，A=PAP－1．f(A)=(PAP－1)3一6(PAP－1)2+llPAP－1－5E=P(A3一6A2+11A一5E)P－114、設(shè)隨機(jī)變量且X與Y的相關(guān)系數(shù)為則P{X=Y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)有向曲面S：z=x2+y2，x≥0，z≤1，法向量與z軸正向夾角為銳角．求第二型曲面積分標(biāo)準(zhǔn)答案：D1=((y，z)|y2≤z≤1)，D2=((z，x)|x2≤z≤1，x≥0}。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)z=z(z，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試確定常數(shù)a與b，使得經(jīng)變換u=x+ay，υ=x+by，可將z關(guān)于x、y的方程化為z關(guān)于u、υ的方程并求出其解z=z(z+ay，x+by)．標(biāo)準(zhǔn)答案：z與x，y的復(fù)合關(guān)系如圖所示：代入所給方程，得按題意，應(yīng)取1—4a+3a2=0，1—4b+3b2=0，2—4(a+6)+6ab≠0．其中φ(υ)為υ的任意的可微函數(shù)．于是x=∫φ(υ)dυ+ψ(u)=Ф(υ)+ψ(u)，其中ψ(u)為u的任意的可微函數(shù)，Ф(υ)為φ(υ)的一個(gè)原函數(shù)．由于Ф與ψ的任意性，所以兩組解其實(shí)是一樣的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)以為正常數(shù)，f(x)=xea一aex—x+a．證明：當(dāng)x＞以時(shí)，f(x)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(a)=0，f’(x)=ea—aex一1，f"(x)=一aex＜0．以下證明f’(a)＜0．令φ(a)=f’(a)=ea一aea一1，φ(a)|a=0=0，φ’(a)=一aea＜0，所以φ(a)＜0(a＞0)，即f’(a)＜0(a＞0)．將f(x)在x=a處按二階泰勒公式展開：證畢．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、(Ⅰ)證明如下所述的型洛必達(dá)(L’Hospital)法則：設(shè)②存在x0的某去心鄰域時(shí)，f’(x)與g’(x)都存在，且g’(x)≠0；(Ⅱ)請(qǐng)舉例說明：若條件③不成立，但仍可以存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令在區(qū)間[x0，x]上F(x)與G(x)滿足柯西中值定理?xiàng)l件，于是有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求平面P的方程，已知P與曲面z=x2+y2相切，并且經(jīng)過直線L：標(biāo)準(zhǔn)答案：經(jīng)過直線的平面束方程為6y+z+1+λ(x一5y一z一3)=0，即λx+(6—5λ)y+(1一λ)z+l一3λ=0．它與曲面z=x2+y2相切，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0，z0)．于是該曲面在點(diǎn)M處的法向量為n=(2x0，2y0，一1)．從而此外，點(diǎn)M(x0，y0，z0)還應(yīng)滿足z0=x02+y02，(**)及λx0+(6—5λ)y0+(1一λ)z0+1—3λ=0．(***)將(*)、(**)、(***)聯(lián)立，解得λ=2，(x0，y0，z0)=(1，一2，5)，或，(x0，y0，z0)=(4，1，17)．于是得兩個(gè)平面方程：2x一4y—z一5=0，8x+2y—z一17=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A，B是n階矩陣．(Ⅰ)A是什么矩陣時(shí)，若AB=A，必有B=E．A是什么矩陣時(shí)，有B≠E，使得AB=A；(Ⅱ)設(shè)求所有的B，使得AB=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，若AB=A，兩邊左乘A－1，必有B=E；當(dāng)A不可逆時(shí)，有B≠E，使得AB=A．因A不可逆時(shí)Ax=0有非零解，設(shè)Aξi=0(i=1，2，…，n)，合并得A(ξ1，ξ2，…，ξn)=0．令(ξ1，ξ2，…，ξn)=B—E即B=(ξ1，ξ2，…，ξn)+E≠E，則A(B—E)=0，得AB=A，其中B—E≠0，B≠E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是n階正定矩陣，x是n維列向量，E是n階單位矩陣，(Ⅰ)計(jì)算PW；(Ⅱ)寫出二次型|f=|W|的矩陣表達(dá)式，并討論f的正定性．標(biāo)準(zhǔn)答案：=(一1)n|A|，A－1x=(一1)nxT|A|A－1x=(一1)nxTA*x．由A是正定矩陣知，|A|＞0，且A的特征值λi＞0(i=1，2，…，n)，A*的特征值為＞0(i=1，2，…，n)．故A*也是正定矩陣，故當(dāng)n=2k時(shí)，f=(一1)2kxTA*x=xTA*x是正定二次型；當(dāng)n=2k+1時(shí)，f=(一1)2k+1，A*x=一xTA*x是負(fù)定二次型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=Ae(B－x)(一∞＜x＜+∞)，且有EX=2DX．試求：(Ⅰ)常數(shù)A，B的值；(Ⅱ)E(X2+eX)的值；(Ⅲ)的分布函數(shù)FY(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知隨機(jī)變量X的概率密度為X1，X2，…，Xn為X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．(Ⅰ)求未知參數(shù)α的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)α的矩估計(jì)是否為α的無偏估計(jì)?標(biāo)準(zhǔn)答案：再求α的最大似然估計(jì)量．似然函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列無窮小中階數(shù)最高的是()．A、ex一etanxB、C、ln(1+x)-sinxD、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：ex一etanx=etanx(ex-tanx一1)～x—tanx，2、下列命題正確的是()．A、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則一定存在δ＞0，在|x—x0|＜δ內(nèi)f(x)可導(dǎo)B、若f(x)在x0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ內(nèi)f(x)連續(xù)C、D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在x0處連續(xù)，且存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)任意的a≠0，因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x)在x=a處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，即x=0是f(x)唯一的連續(xù)點(diǎn)和可導(dǎo)點(diǎn)，(A)，(B)不對(duì)；所以f(x)在x=0處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，(C)不對(duì)；因?yàn)閒(x)在x0處連續(xù)且在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，所以由微分中值定理有f(x)一f(x0)=f’(ξ)(x—x0)或其中ξ介于x0與x之間，兩邊取極限得存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)，且f’(x0)=選(D)．3、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)M0(x0，y0)處可偏導(dǎo)是函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)M0(x0，y0)處連續(xù)的()．A、充分必要條件B、充分但非必要條件C、必要但非充分條件D、既不充分又不必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x，y)=顯然fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，即f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可偏導(dǎo)，因?yàn)椴淮嬖冢詅(x，y)在點(diǎn)(0，0)不連續(xù)；令．顯然f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，因?yàn)椴淮嬖?，根?jù)對(duì)稱性也不存在，即f(x，y)在(0，0)處不可偏導(dǎo)，所以f(x，y)在點(diǎn)M0(x0，y0)處可偏導(dǎo)既非f(x，y)在點(diǎn)M0(x0，y0)連續(xù)的充分條件又非必要條件，選D4、當(dāng)x=一2時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)的收斂半徑為()．A、R=2B、R=4C、R=1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x=一2時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為4．而且逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑，又的收斂半徑為所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=2，選A5、設(shè)A為可逆矩陣，令則A-1P1100AP2-1等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P1=E23，因?yàn)镋ij-1=Eij，所以Eij2=E，即P1100=E．P2=E13(4)，因?yàn)镋ij-1(k)=Eij(一k)，所以P2-1=于是A-1P1100AP21=P2-1，選B6、設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=2，λ3=4，對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，令P=(一3ξ2，2ξ1，5ξ3)，則P-1(A*+2E)P等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A*+2E對(duì)應(yīng)的特征值為μ1=10，μ2=一2，μ3=0，對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，則一3ξ2，2ξ1，5ξ3仍然是A*+2E的對(duì)應(yīng)于特征值μ2=一2，μ1=10，μ3=0的特征向量，于是有P-1(A*+2E)P=選B7、設(shè)隨機(jī)變量X在(-1，1)上服從均勻分布，令Y=X2，則X與Y()．A、獨(dú)立且不相關(guān)B、不獨(dú)立且相關(guān)C、不獨(dú)立且不相關(guān)D、獨(dú)立且相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄在(一1，1)上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為fX(x)=由E(X)=0，E(XY)=E(X3)=0，得Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0，則X與Y不相關(guān)，對(duì)任意的x0∈(0，1)，P{X≤x0，Y≤x0}=P{X≤x0}P{Y≤x0}=P{一1＜X≤x0}P因?yàn)镻{X≤x0，Y≤x0}≠P{X≤x0)P{Y≤x0}，所以X與Y不獨(dú)立，選C8、設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，(X1，X2，…，Xn)為總體的簡(jiǎn)單樣本，，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄1，X2，…，Xn與總體服從相同的分布，所以(A)不對(duì)；顯然所以(B)不對(duì)；由相互獨(dú)立，則，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線在t=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)Ω={(x，y，z)|x2+y2+(z一1)2≤1，x≥0，y≥0}，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè),f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、微分方程y"一3y’+2y=2ex滿足的特解為_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=一3ex+3e2x一2xex知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，y"一3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解為y0(x)=Axex，代入原方程為A=-2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x一2xex由得y(0)=0,y’(0)=1，代入通解得C1=一3，C2=3，特解為y=-3ex+3e2x一2xex．13、已知三階方陣A，B滿足關(guān)系式E+B=AB，A的三個(gè)特征值分別為3，一3，0，則|B-1+2E|=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為3，一3，0，所以A—E的特征值為2，一4，一1，從而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E，即B與A—E互為逆陣，則B的特征值為．B-1的特征值為2，一4，一1，從而B-1+2E的特征值為4，一2，1，于是|B-1|+2E|=一8．14、設(shè)X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中E(X)=μ，D(X)=σ2，令U=則ρUV=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(0)=0，f’(0)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：令則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)an=∫0nπ｜Sinx｜dx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：an=∫0nπx|sinx|dx=∫0πx|sinx|dx+∫π2πx|sinx|dx+…∫(n-1)πnπx|sinx|dx=π+3π+…+(2n一1)π=n2π，則令得收斂半徑為R=1，當(dāng)x=±1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算曲面積分(1一xy)dydz+(x+1)ydzdx一4yz2dxdy，其中∑是弧段(1≤x≤3)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面，∑上任一點(diǎn)的法向量與x軸正向夾角大于標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面∑：x=y2+z2+1(1≤x≤3)，補(bǔ)充曲面∑0：x=3(y2+z2≤2)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)可導(dǎo)，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，證明：存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分，得∫01f’(x)dx=xf(x)|01-∫01f(x)dx=一∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=一2．由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x—1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f’(η)(x一1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得|f(x)dx=|f’(η)(x一1)dx=一2．因?yàn)閒’(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x一1)≤m(x一1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)==r＜n，其中．(Ⅰ)證明方程組AX=b有且僅有n—r+1個(gè)線性無關(guān)解；(Ⅱ)若有三個(gè)線性無關(guān)解，求a，b及方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η0為AX=b的特解，顯然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0為AX=b的一組解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0?上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因?yàn)閎≠0時(shí)，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因?yàn)棣?，ξ2，…，ξn-r為AX=0的基礎(chǔ)解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r線性無關(guān)．若γ0，γ1，…，γn-r+1為AX=b的線性無關(guān)解，則ξ1=γ1一γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1一γ0為AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，則k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1一(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．因?yàn)棣?，γ1，…，γn-r+1線性無關(guān)，所以k1=k2…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1為AX=0的線性無關(guān)解，矛盾，故方程組AX=b恰有n一r+1個(gè)線性無關(guān)解．(Ⅱ)令化為AX=β．因?yàn)锳X=β有三個(gè)非零解，所以AX=0有兩個(gè)非零解，故4一r(A)≥2，r(A)≤2，又因?yàn)閞(A)≥2，所以r(A)==2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)隨機(jī)變量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的密度函數(shù)fz(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：X，Y的邊緣密度分別為因?yàn)閄，Y獨(dú)立，所以(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)z(z)=0；當(dāng)0≤x＜1時(shí)，F(xiàn)z(z)=∫0zdx∫0z-xe-ydy=∫0z(1一ex-z)dx=z-ez(ez-1)=z+e-z一1；當(dāng)z≥1時(shí)，F(xiàn)z(z)=∫01dx∫0z-xdy=∫01(1一ex-z)dx=1一e-z(e一1)=1+e-x一e1-z，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=其中θ＞一1是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．(Ⅰ)求θ的矩估計(jì)量；(Ⅱ)求θ的最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)E(x)=∫01x(θ+1)xθdx=得參數(shù)的矩估計(jì)量為(Ⅱ)記樣本觀察值為x1，x2，…，xn，似然函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)，則x→0時(shí)f(x)是g(x)的A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階而非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是考察如下的型極限，由洛必達(dá)法則與等價(jià)無窮小因子替換得其中用了下面的等價(jià)無窮小因子替換：x→0時(shí)ln(1+sin2x2)～sin2x2～x4tan(1－cosx)2～(1－cosx)2～故應(yīng)選(B)．2、設(shè)g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x)，f’(1)=1，g(1)=，則g(1)=A、1B、0C、2D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=(ln(1+g(x))+1)2－1f’(x)=2[ln(1+g(x))+1]．令x=1[ln(1+g(1))+1]g’(1)代入已知值得1=[ln(1+g(1))+1]．即g(1)=ln(1+g(1))g(1)=0選(B)．3、設(shè)f(x，y)=((x，y)≠(0，0))，f(0，0)=0，則f(x，y)在(0，0)處A、不連續(xù)B、連續(xù)，但C、連續(xù)且但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：即f’x(0，0)，f’y(0，0)均現(xiàn)考察選(C)．4、設(shè)y=f(x)在[1，3]上單調(diào)，導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，反函數(shù)為x=g(y)，且f(1)=1，f(3)=2，，則=_______·A、1／3B、5／3C、5／2D、1／2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選(C)．5、設(shè)A，B，C是，n矩陣，并滿足ABAC=E，則下列結(jié)論中不正確的是A、ATBTATCT=EB、BAC=CABC、BA2C=ED、ACAB=CABA標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這一類題目要注意的是矩陣乘法沒有交換律、有零因子、沒有消去律等法則．由ABAC=E知矩陣A，B，C均可逆，那么由ABAC=EABA=C－1CABA=E．從而(CABA)T=ET，即ATBTATCT=E，故(A)正確．由ABAC=層知A－1=BAC，由CABA=E知A－1=CAB，從而BAC=CAB，故(B)正確．由ABAC=ECABA=EACAB=E，故(D)正確．由排除法可知，(C)不正確，故選(C)．6、設(shè)矩陣，則下列矩陣中與矩陣A等價(jià)、合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：可知矩陣A的特征值是3，－3，0，故秩r(A)=2，二次型xTAx的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1．(A)中矩陣的秩為1，不可能與矩陣A等價(jià)；(C)中矩陣的特征值為3，－3，0，與矩陣A不僅等價(jià)、合同，而且也是相似的，不符合題意．對(duì)于(D)，記其矩陣為D，由可知D的特征值為1，－1，0．xTAx與xTDx的正、負(fù)慣性指數(shù)一樣，所以它們合同但不相似(因?yàn)樘卣髦挡煌?，符合題意，故應(yīng)選(D)．注意，(B)中矩陣的特征值為1，4，0，正慣性指數(shù)p=2，負(fù)慣性指數(shù)q=1，與A既不合同也不相似，但等價(jià)(因?yàn)橹认嗟?．7、盒中盛有10個(gè)分幣，其中含有0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，…，10個(gè)銅幣是等可能的，現(xiàn)向盒中放入一個(gè)銅幣，然后隨機(jī)從盒中取出一個(gè)分幣，則這個(gè)分幣為銅幣的概率是A、5／10B、6／10C、5／11D、6／11標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：用全概率公式．設(shè)盒中有i個(gè)銅幣的事件為A2(i=1，2，…，11)，B為取到銅幣的事件，則故應(yīng)選(D)8、設(shè)總體X的方差存在，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值和樣本方差分別為，S2，則EX2的矩估計(jì)量是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩估計(jì)量的定義來選擇正確的選項(xiàng)．由于EX2=DX+(EX)2，而DX與EX的矩估計(jì)量分別是所以EX2的矩估計(jì)量為．故選(B)二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)曲線Γ的極坐標(biāo)方程是r=eθ(0≤θ≤π)，則Γ上與直線y+x=1平行的切線的直角坐標(biāo)方程是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=－x．知識(shí)點(diǎn)解析：Γ的參數(shù)方程是x=eθcosθ，Y=eθsinθ(0≤θ≤π)Γ上點(diǎn)處的切線斜率為10、設(shè)u(x，y)滿足=y2，則M(x，y)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ycos2x+y2sin2x．知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)y任意給定時(shí)，這是二階線性常系數(shù)齊次方程特征方程λ2+4=0特征根λ=±2i，通解為u(x，y)=c1(y)cos2x+c2(y)sin2x．由u(0，y)=yc1(y)=y．由｜x=0=y2[－2c1(y)sin2x+2c2(y)cos2x]｜x=0=2c2(y)=y2c2(y)=y2．因此u(x，y)=ycos2x+y2sin2x．11、設(shè)有擺線L(－π≤θ≤π)，則L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積A=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是由參數(shù)方程給出的曲線．由于x’(0)=1－cosθ，y’(0)=sinθ，則按旋轉(zhuǎn)面面積計(jì)算公式，可得該旋轉(zhuǎn)面的面積12、設(shè)對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有其中f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則f’(x)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由于所給曲面積分的被積函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由高斯公式可得其中Ω為S所圍成的空間區(qū)域，當(dāng)S取外側(cè)面時(shí)，上述三重積分前取“+”號(hào)；當(dāng)S取內(nèi)側(cè)面時(shí)，上述三重積分前取“－”號(hào)．由于曲面S任意，因此空間區(qū)域Ω也為任意，根據(jù)“若f(x，y，z)為連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意的空間區(qū)域Ω都有f(x，y，z)dxdydz=0，則f(x，y，z)≡0．”可知[f’(x)－1]=0，因x>0，則f’(x)=1．13、已知，則A－1=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、假設(shè)每次試驗(yàn)只有成功與失敗兩種結(jié)果，并且每次試驗(yàn)的成功率都是p(0標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識(shí)點(diǎn)解析：首先求出X的概率分布，再用期望定義求解p的值．依題意X取值為2，3，…，且P{X=n}=pqn－1+qpn－1，(q=1－p)三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)證明定積分等式(Ⅱ)求數(shù)列極限J=limJn標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這里就是要對(duì)定積分Jn作恒等變形．用分部積分法得(Ⅱ)直接計(jì)算不易實(shí)現(xiàn)，先作恒等變形即題(Ⅰ)中的方法得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求常數(shù)k的取值范圍，使得f(x)=kln(1+x)－arctanx當(dāng)x>0時(shí)單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：x∈(0，+∞)時(shí)f(x)單調(diào)增加f’(x)≥0(x∈(0，+∞))且在(0，+∞)的子區(qū)間上f’(x)≠0．f(x)=kln(1+x)－arctanx則若k≤0，則f’(x)<0(x>0)，于是只需考察k>0的情形．令g(x)=kx2－x+k－1，則當(dāng)x>0時(shí)f’(x)與g(x)同號(hào)．由于g(x)滿足由此可見g(x)在(0，+∞)上的最小值為使必須且只需正數(shù)k滿足即使得f(x)=kln(1+x)－arctanx當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)增函數(shù)的k是大于或等于的一切正數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)u=f(xy，x2－y2，x)，其中函數(shù)f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求：(Ⅰ)du；(Ⅱ)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用一階全微分形式不變性，直接求全微分得du=f’1．d(xy)+f’2．d(x2－y2)+f’3．dx=f’1．(ydx+xdy)+2f’2．(xdx－ydy)+f’3．dx=(yf’1+2xf’2+f’3)dx+(xf’1－2yf’2)dy．(Ⅱ)由du表達(dá)式中dx的系數(shù)可得u’x=yf’1+2xf’2+f’3．上式再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，即得u"xy=y(f’1)’y+2x(f’2)’y+(f’3)’y+f’1．由于f’1=f’1(xy，x2－y2，x)，f’2=f’2(xy，x2－y2，x)，f’3=f’3(xy，x2－y2，x)，它們?nèi)允菑?fù)合函數(shù)，求它們關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)與求f(xy，x2－y2，x)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)的方法是相同的，同樣由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法有(f’1)’y=xf"11－2yf"12，(f’2)’y=xf"21－2yf"22，(f’3)’y=xf"31－2yf"32．代入u"xy的表達(dá)式，并利用f"12=f"21(因?yàn)樗鼈冞B續(xù))，得u"xy=y(xf"11－2yf"12)+2yf"21－2yf"22)+xf"31－2yf"32+f’1=xyf"11+2(x2－y2)f"12－4xyf"22+xf"31－2yf"32+f’1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求空間曲線積分J=∫Ly2dx+xydy+xzdz，其中L是圓柱面x2+y2=2y與平面y=z－1的交線，從戈軸正向看去取逆時(shí)針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：L的方程是L的參數(shù)方程是x=cost，y=1+sint，z=2+sint．按L的定向t從0到2π，于是代公式得J=[(1+sint)2(－sint)+(1+sint)cos2t+(2+sint)cos2t]dt=(－2sin2t+3cos2t)dt=π，其中(－sint－sin3t+2sintcos2t)dt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)Fn(x)=，x∈[0，+∞)，其中，n=1，2，3，…為任意自然數(shù)，f(x)為[0，+∞)上正值連續(xù)函數(shù)，求證：(Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零點(diǎn)xn；(Ⅱ)ln(1+xn)收斂；(Ⅲ)Fn(x)=+∞標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Fn(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)（也就必然連續(xù)），又Fn(x)在[0，+∞)單調(diào)上升Fn(x)在(0，+∞)有唯一零點(diǎn)，就是這個(gè)xn．(Ⅱ)在前面的證明中已得估計(jì)式ln(1+xn)～xn(n→∞)(Ⅲ)前面已導(dǎo)出知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知4元齊次線性方程組的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求齊次方程組(i)的解；(Ⅲ)求齊次方程(ii)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)榉匠探M(i)的解全是(ii)的解，所以(i)與(iii)同解．那么(i)和(iii)的系數(shù)矩陣有相同的秩如a=0，則r(A)=1，而r(B)=2，所以下設(shè)a≠0．由于因?yàn)閍和a－1不能同時(shí)為0，故秩r(A)=3．又當(dāng)a=時(shí)，r(B)=3，此時(shí)(i)與(iii)同解．則通解是kη，其中k為任意實(shí)數(shù)．(Ⅲ)由于x1+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系為η1=(－1，1，0，0)T，η2=(－1，0，1，0)T，η3=(0，0，0，1)T，則通解是k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3是任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知三元二次型xTAx的平方項(xiàng)系數(shù)均為0，設(shè)α=(1，2，－1)T且滿足Aα=2α．(Ⅰ)求該二次型表達(dá)式；(Ⅱ)求正交變換x=Qy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用坐標(biāo)變換；(Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)據(jù)已知條件，有解出a12=2，a13=2，a23=－2，所以xTAx=4x1x2+4x1x3－4x2x3．得矩陣A的特征值為2，2，－4．得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；得λ=－4的特征向量α3=(－1，1，1)T．將α1，α2正交化．令β1=α1，則再對(duì)β1，β2，α3單位化，有xTAx=(Ⅲ)因?yàn)锳+kE的特征值為k+2，k+2，k－4，所以當(dāng)k>4時(shí)，矩陣A+kE正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)離散型二維隨機(jī)變量(X，Y)的取值為(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2}=，P{Y=y1｜X=x2}=，P{X=x1｜Y=y1}=，試求：(Ⅰ)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布；(Ⅱ)X與Y的相關(guān)系數(shù)ρxy；(Ⅲ)條件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，隨機(jī)變量X與Y的可能取值分別為x1，x2與y1，y2，且P{X=x1}=1－P{X=x2}=1－=1／4又題設(shè)P{X=x1｜Y=y1}=1／4，于是有P{X=x1｜Y=y1}=P{X=x1}，即事件{X=x1}與事件{Y=y1}相互獨(dú)立，因而{X=x1}的對(duì)立事件{X=x2}與{Y=y1}獨(dú)立，且{X=x1}與{Y=y1}的對(duì)立事件{Y=y2}獨(dú)立；{X=x2}與{Y=y2}獨(dú)立，即X與Y相互獨(dú)立．(Ⅰ)因x與y獨(dú)立，所以有P{Y=y1}=P{Y=y1｜X=x2}=2／3；P{Y=y2}=1－P{Y=y1}=1／3；P{X=x1，Y=y1}=P{X=x1}P{Y=y1}=；P{X=x1，Y=y2}=P{X=x1}P{Y=y2}=；P{X=x2，Y=y1}=P{X=x2}P{Y=y1}=；P{X=x2，Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=；或P{X=x2，Y=y2}=1－；于是(X，Y)的聯(lián)合概率分布為(Ⅱ)由(Ⅰ)知X與Y獨(dú)立，因此它們的相關(guān)系數(shù)ρXY=0．(Ⅲ)因X與Y獨(dú)立，所以P{Y=yj｜X=x1}=P{Y=yj}，j=1，2，于是有P{Y=y1｜X=x1}=P{Y=y1}=2／3，P{Y=y2｜X=x1=P{Y=y2}1／3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)取得首次成功為止，設(shè)每次試驗(yàn)的成功率都是p(0標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，試驗(yàn)總體X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X=m}=pqm－1，其中m=1，2，…，q=1－p．題中數(shù)據(jù)就是從總體X中取出的樣本值，樣本容量n=10．其未知參數(shù)p的矩估值與q的最大似然估計(jì)值待求．(Ⅰ)試驗(yàn)成功率p的矩估計(jì)量，相應(yīng)矩估計(jì)值為(Ⅱ)最大似然函數(shù)L(x1，…，x10；p)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)，則于是試驗(yàn)成功率p的最大似然估計(jì)值，根據(jù)最大似然估計(jì)的不變性，其試驗(yàn)失敗率q的最大似然估計(jì)值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)且>0，則>0，h1>0，h2>0，有A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是比較三個(gè)數(shù)的大小問題．已知f"(x)>0f’(x)單調(diào)上升，于是設(shè)法轉(zhuǎn)化為比較導(dǎo)數(shù)值．這是可以辦到的，只要對(duì)上述兩個(gè)改變量之比用拉格朗日中值定理：由f’(x)在(－∞，+∞)單調(diào)上升f’(ξ)＜f’(x)＜f’(η)．因此選(B)．2、下列二元函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處可微的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題中的這4個(gè)函數(shù)均有f(0，0)=0．按可微定義，若f(0，0)=0，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，且=0f(△x，△y)=o(ρ)(ρ→0)=o(1)，即無窮小量(ρ→0)，其中ρ=(B)中的f(x，y)滿足：因此，(B)中的f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微．故應(yīng)選(B)．3、已知累次積分，其中a>0為常數(shù)，則，可寫成A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是把極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換成Oxy直角坐標(biāo)系下的累次積分的問題．先將I表成I=．由D的極坐標(biāo)表示，0≤r≤arcosθ即r2=x2+y2≤arcosβθ=ax，若是先y后x的積分順序，則D：0≤x≤a，于是故應(yīng)選C4、下列命題①若>1，則an發(fā)散②若(a2n－1+a2n)收斂，則an收斂③若an>0，<1(n=1，2，…)，則an收斂④設(shè)an>0(n=1，2，…)，并存在極限nan若an收斂，則an=中正確的是A、①，③B、②，③C、②，④D、①，④標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：這4個(gè)命題中有兩個(gè)正確，兩個(gè)錯(cuò)誤，因此只需斷定其中的兩個(gè)是正確的或錯(cuò)誤的即可．易知命題②是錯(cuò)誤的，即添加了括號(hào)后的級(jí)數(shù)(a2n－1+a2n)=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…收斂，推不出原級(jí)數(shù)收斂．例如an=(－1)n=－1+1－1+1－…發(fā)散，但(a2n－1+a2n)=[(－1)2n－1+(－1)2n]=0收斂．命題③也是錯(cuò)誤的．對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)an，<1，不能保證<1，可能有=1，此時(shí)比值判別法失效．如an=發(fā)散．因此①，④正確．故應(yīng)選(D)．5、設(shè)A是m×n矩陣，則下列4個(gè)命題①若r(A)=m，則非齊次線性方程組Ax=b必有解；②若r(A)=m，則齊次方程組Ax=0只有零解；③若r(A)=n，則非齊次線性方程組Ax=b有唯一解；④若r(A)=n，則齊次方程組Ax=0只有零解中正確的是A、①③B、①④C、②③D、②④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳是m×n矩陣，若r(A)=m，說明A的行向量組線性無關(guān)，那么它的延伸組必線性無關(guān)．所以必有=m．從而r(A)=，故線性方程組Ax=b必有解，①正確．下面只需判斷③或④正確即可．若r(A)=n，說明A的列向量組線性無關(guān)，亦即Ax=0只有零解，所以④正確，故應(yīng)選(B)．當(dāng)r(A)=m時(shí)，必有n≥m．如果m=n，則Ax=0只有零解，而m有可能是n+1，方程組Ax=b可以無解．所以③不正確．6、下列矩陣中兩兩相似的是A、A3，A4B、A1，A2C、A1，A3D、A2，A3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：判斷相似應(yīng)當(dāng)用相似的必要條件作第一輪判別．相似的必要條件是：特征值一樣，秩相等，…A3，A4雖特征值一樣，但秩不相等，所以不相似．A1與A1或A2與A3雖秩相等但特征值不一樣，因此不相似．用排除法知應(yīng)選(C)．實(shí)際上，A1，A3的特征值都是3，0，0，且r(0E－A1)=1，r(0E－A3)=1，則n－r(0E－A1)=3－1=2，n－r(0E－A3)=3－1=2，說明齊次方程組(0E－A1)x=0與(0E－A3)x=0都有兩個(gè)線性無關(guān)的解，即對(duì)應(yīng)于λ=0，矩陣A1和A3都有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以矩陣A1和A3都與對(duì)角矩陣相似，從而A1與A3相似．7、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)為F(x)，則隨機(jī)變量X=min{X1，X2}的分布函數(shù)為A、F2(x)B、2F(x)－F2(x)C、F(x)－F2(x)D、1－F(x)+F2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題可用分布函數(shù)的性質(zhì)排除(C)、(D)．因?yàn)閇F(x)－F2(x)]=0≠1，[1－F(x)+F2(x)]=1≠0．但對(duì)于(A)與(B)，則無法用分布函數(shù)的性質(zhì)來判定，因?yàn)樗鼈兌伎梢宰鳛槟硞€(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，故需通過計(jì)算來判定．F(x)=P{X≤x}=P{min(X1，X2)≤x}=1－P{min(X1，X2)>x}=1－P{X1>x，X2>x}=1－P{X1>x}．P{X2>x}=1－(1－P{X1≤x})(1－P{X2≤x})=1－[1－F(x)]2=2F(x)－F2(x)，故選(B)．8、設(shè)X1，X2，…，Xn+1是取自正態(tài)總體N(0，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，則=A、B、C、kσ2D、σ2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于X1，X2，…，Xn+1相互獨(dú)立，當(dāng)i≠j時(shí)，cov(Xi，Xj)=0；當(dāng)i=j時(shí)，cov(Xi，Xi)=σ2，所以．故選(B)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且f(0)=8，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令t=cosx+2cosx=t－2，cos2x=(t－2)2，sin2x=1－(t－2)2，tan2x=(t－2)－2－1f’(t)=(t－2)－2－1+3－3(t－2)2=2+(t－2)－2－3(t－2)2f(t)=2t－(t－2)－1－(t－2)3+Cf(x)=2x－－(x－2)3+C由f(0)=+8+C=8C=因此f(x)=2x－－(x－2)3－10、設(shè)u=u(x，Y)滿足+2xu(x，Y)=x，則u(x，Y)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，c(y)為y的任意函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是一元函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．當(dāng)y任意給定時(shí)就是一階線性常微分方程兩邊乘e∫2xdx=得對(duì)x積分得11、設(shè)有曲面S：x2+Y2=a2(0≤z≤a)，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)下圖用S的方程簡(jiǎn)化被積表達(dá)式，并注意S關(guān)于yz平面，zx平面均對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)x，y均為偶函數(shù)，于是其中S1=S∩{x≥0，y≥0}，投影yz平面上，12、設(shè)，B是3階非零矩陣，滿足BA=0，則矩陣B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中k1，k2，k3不全為0知識(shí)點(diǎn)解析：由BA=0知r(B)+r(A)≤3．又由B≠0知r(B)≥1．顯然A中有2階子式非0，知r(A)≥2．故必有r(A)=2，r(B)=1．因ATBT=0，所以齊次線性方程組ATx=0的解就是B的行向量．又由可知ATx=0的通解為k(－1，1，1)T．13、設(shè)隨機(jī)變量，且滿足條件P{X1+X2=0}=1，則P{X1=X2}=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知P{X1+X2≠0}=0，而p{X1+X2≠0}=P{X1=－1，X2=－1}+P{X1=－1，X2=0}+P{X1=0，X2=－1}+P{X1=0，X2=1}+P{X1=1，X2=1}=0，所以等式中的各項(xiàng)概率都等于零，再根據(jù)Xi的分布，可以求得(X1，X2)的聯(lián)合分布表(如下所示)，從而算得P{X1=X2}=P{X1=－1，X2=－1}+P{X1=0，X2=0}+P{X1=1，X2=1}=1／2三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)14、設(shè)α≥5為常數(shù)，m為何值時(shí)極限存在并求此極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)m≤0時(shí)I=－∞，極限不存在．m>0時(shí)I為∞－∞型極限，改寫成I=x[xam－1(1+8x4－α+2x－α)m－1]當(dāng)αm－1>0時(shí)I=+∞，αm－1<0時(shí)I=－∞，極限均不存在，于是必須有αm－1=0，即m=此時(shí)I=x[(1+84－α+2x－α)m－1]=[x．m(8x4－α+2x－α)](等價(jià)無窮小因子替換)=(8mx5－α+2mx1－α)因此，僅當(dāng)m時(shí)極限I存在，且α=5，m=時(shí)I=α>5，m=時(shí)I=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求函數(shù)在[0，1]區(qū)間上的最大值標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=(x(1－x)2)n=qn(x)，x∈[0，1]q’(x)=x(1－x)2，顯然該級(jí)數(shù)在x∈[0，1]收斂，即f(x)定義在[0，1]上，求q(x)在[0，1]上的最大值可得f(x)在[0，1]上的最大值．q’(x)=(1－x)2－2x(1－x)=(1－x)(1－3x)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，其中(Ⅰ)求dz．(Ⅱ)求曲面z=z(x，y)上任意點(diǎn)(x，y，z)處的切平面方程及該切平面在Oz軸上的截距標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將方程兩邊求全微分得(Ⅱ)切平面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(X，Y，Z)，曲面z=z(z，y)上點(diǎn)(x，y，z)處的切平面方程是其中分別是dz中dx與dy的系數(shù)，代入得切平面方程令X=0，Y=0得因此切平面在Z軸上的截距為其中由曲面方程得=ρ+z知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、(Ⅰ)將積分表成定積分，其中0給定x[a，b]，yz平面上區(qū)域D(x)為z≤y≤x，a≤z≤x．(Ⅱ)求三重累次積分標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)交換積分次序，最后對(duì)z積分．D(x)如下圖．在D(x)上先對(duì)y積分得再交換積分次序(Ⅱ)這是三重積分的一個(gè)累次積分由累次積分限知Ω是空間區(qū)域：≤z≤1，(x，y)∈Dxy，Dxy：x2+y2≤1Ω由錐面z=與平面z=1圍成．被積函數(shù)只與p=有關(guān)，如下圖作球坐標(biāo)變換Ω的球坐標(biāo)表示：0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、(Ⅰ)設(shè)f(x)在(0，+∞)可導(dǎo)，f’(x>0(x∈(0，∈+∞))，求證f(x)在(0，+∞)單調(diào)上升．(Ⅱ)求證：在(0，+∞)單調(diào)上升，其中n為正數(shù)．(Ⅲ)設(shè)數(shù)列xn=，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對(duì)12<+∞，在[x1，x2]上可用拉格朗日中值定理得，∈(x1，x2)(0，+∞)使得(Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=ln(nx+1)(x>0)，考察(Ⅲ)用(Ⅱ)的結(jié)論對(duì)xn進(jìn)行適當(dāng)放大與縮小知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，－1，7)T，(Ⅰ)若α1，α2，α3線性相關(guān)，求a的值；(Ⅱ)當(dāng)a=3時(shí)，求與α1，α2，α3都正交的非零向量α4；(Ⅲ)當(dāng)a=3時(shí)，證明α1，α2，α3，α4可表示任一個(gè)4維列向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)α1，α2，α3線性相關(guān)秩r(α1，α2，α3)<3．由于所以a=－3．(Ⅱ)設(shè)α4=(x1，x2，x3，x4)T，則有(α1，α4)=0，(α2，α4)=0，(α3，α4)=0，即所以α4=k(19，－6，0，1)T，其中k≠0．(Ⅲ)由于｜α1，α2，α3，α4｜=－12×348k≠0．所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一4維列向量必可由α1，α2，α3，α4線性表出．或者由(Ⅰ)知a=3時(shí)，α1，α2，α3必線性無關(guān)，那么：若k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用左乘上式兩端并利用α1=α2=α3=0，有k4α4=0，又α4≠0，故必有k4=0．于是k1α1+k2α2+k3α3=0．由α1，α2，α3線性無關(guān)知必有k1=0，k2=0，k3=0，從而α1，α2，α3，α4必線性無關(guān)．而5個(gè)4維列向量必線性相關(guān)，因此任一個(gè)4維列向量都可由α1，α2，α3，α4線性表出．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、有甲、乙、丙三個(gè)口袋，其中甲袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，2個(gè)黑球；丙袋裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球．現(xiàn)任取一袋，從中任取2個(gè)球，用X表示取到的紅球數(shù)，Y表示取到的白球數(shù)，Z表示取到的黑球數(shù)，試求：(Ⅰ)(X，y)的聯(lián)合分布；(Ⅱ)cov(X，Y)+cov(Y，Z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的聯(lián)合分布，即有從而(X，Y)與(Y，Z)的聯(lián)合分布與邊緣分布可列表如下：于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY－EXEY)+(EYZ－EYEZ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A，B是同階正定矩陣，則下列命題錯(cuò)誤的是()．A、A-1也是正定矩陣B、A*也是正定矩陣C、A+B也是正定矩陣D、AB也是正定矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：7、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)隨機(jī)變量X與y滿足等式P{Y=aX+6}=1，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρw為()A、1B、一1C、D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)求解．由條件P{Y=aX+b}=1，得Y=aX+b，于是cov(X，Y)=cov(X，aX+b)=acov(X，X)=aDX；DY=D(aX+b)=a2DX，所以二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：1/3知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(x)==_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1-1知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：π/4知識(shí)點(diǎn)解析：14、(2001年試題，一)設(shè)則div(gradr)｜(1,-2,2)=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：由梯度和散度的定義，有由題設(shè)則從而由對(duì)稱性易得到因此因而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、設(shè)A為n階非零矩陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)A*=AT時(shí)，證明丨A丨≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：若丨A丨=0，則AAT=AA*=丨A丨E=0．設(shè)A的行向量為ai(i=1，2，…，n)，則aiaiT=ai12+ai22+…+ain2=0(i=1，2，…，n)．于是ai=(ai1ai2<知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、飛機(jī)以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機(jī)行到原點(diǎn)時(shí)被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上點(diǎn)(x0，y0)處發(fā)射導(dǎo)彈向飛機(jī)擊去，其中x0＞0．若導(dǎo)彈的速度方向始終指向飛機(jī)，其速度大小為常數(shù)2v．(Ⅰ)求導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡滿足的微分方程及初始條件；(Ⅱ)求導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡方程及導(dǎo)彈自發(fā)射到擊中目標(biāo)所需的時(shí)間T．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)導(dǎo)彈在t時(shí)刻的坐標(biāo)為A(x(t)，y(t))，其運(yùn)行軌跡方程為y==y(x)．在某時(shí)刻t≥0，飛機(jī)的位置為B(0，vt)，因?yàn)閷?dǎo)彈的速度方向始終指向飛機(jī)，從而在t時(shí)刻，導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡曲線的切線斜率與線段AB的斜率相等，于是有兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得因?yàn)閷?dǎo)彈的速度大小為2v，所以y=y(x)所滿足的初始條件為y(x0)=0，y’(x0)=0．(Ⅱ)令，則上式可變?yōu)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)其中22、選取參數(shù)λ，使得，在區(qū)域D={(x，y)｜y>0｜內(nèi)與路徑無關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)答案：這里區(qū)域D是單連通的，P，Q在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，于是即在區(qū)域D上一2r2一λx2=r2+λy2).2(λ+1)r2=0λ=一1．因此，僅λ與λ=一1時(shí)在D內(nèi)與路徑無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、選取參數(shù)λ，使得Pdx+Qdy在D上存在原函數(shù)并求出全體原函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：只要P，Q在D上連續(xù)，則Pdx+Qdy在D上存存原函數(shù)在D內(nèi)與路徑無關(guān)．因此，由題(I)知僅λ=一1時(shí)Pdx+Qdy在D存在原函數(shù)，下求原函數(shù)u(du=Pdx+Qdy),方法1。不定積分法，由對(duì)x積分→注意再由→C’(y)=0，C(y)=C．因此求得Pdx+9dy的全體原函數(shù)為方法2。特殊路徑積分法．取(x0，y0)=(0，1)及積分路徑為折線如圖，則因此，全體原函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)a0=1，a1=7/2，an+1=-，n≥2，證明：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、三個(gè)非零向量a，b與c，則a×b+b×c+c×a=0是a、b、c共面的()A、充分非必要條件．B、必要非充分條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)a×b+b×c+c×a=0，即a×b=一b×c—c×a，于是(a×b).c=一(b×c).c一(c×a).c，混合積中有兩向量相同，則該混合積為零，所以(a×b).c=0．于是a，b，c共面．反之，設(shè)a、b、c共面，例如取a=i，b=j，c=i+j，顯然它們共面，而a×b+b×c+c×a=c×a=i×j+j×(i+j)+(i+j)×i=k一k一k=一k≠0．所以條件不必要．2、A、2．B、4．C、6．D、8．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)=x4sin+XCOSx(x≠0)，且當(dāng)x=0時(shí)，f(x)連續(xù)，則()A、f"(0)=0，f"(x)在z一0處不連續(xù)．B、f"(0)=0，f"(x)在z一0處連續(xù)．C、f"(0)=1，f"(x)在z一0處不連續(xù)．D、f"(0)=1，f"(x)在z一0處連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、空間n個(gè)點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n，n≥4．矩陣的秩記為r，則n個(gè)點(diǎn)共面的充分必要條件是()A、r=1．B、r=2．C、r=3．D、1≤r≤3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先舉例說明為什么不選(A)、(B)、(C)．例子如下：取點(diǎn)P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P3(3，3，3)，P4(4，4，4)．此4點(diǎn)在一條直線上，顯然共面．矩陣的秩為2，所以不選(A)、(C)．又如P1(1，0，0)，P2(0，0，0)，P3(0，0，1)，P4共面(共面方程x+y+z=1)，矩陣的秩為3，不選(A)、(B)．以下證明(D)是正確的．證明如下：設(shè)這n個(gè)點(diǎn)共面，則其中任取4個(gè)點(diǎn)，例如P1，P2，P3與P4也必共面．于是其中最后一個(gè)行列式為零來自于三點(diǎn)式平面方程．所以l≤r≤≤3．反之，設(shè)1≤r≤3，則A中任取一個(gè)4階矩陣，其對(duì)應(yīng)的行列式必為零，因此任意4點(diǎn)必共面，所以這n個(gè)點(diǎn)必共面．證畢．5、二次型f(x1，x2，x3)一4x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的規(guī)范形是()A、z12+z22+z32．B、z12一z22—z32．C、z12一z22．D、z12．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：用配方法化規(guī)范形．f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3=(x1－2x2+2x3)2，f的正慣性指數(shù)為1，負(fù)慣性指數(shù)為0，故選(D)．6、A、A～B，C～D．B、A～D，B～CC、A～C，B～D．D、A，B，C，D中沒有相似矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：觀察矩陣A，B，C，D知，有r(A)=r(B)=r(C)=r(D)=1，故A，B，C，D均有特征值λ=0，且因r(0E一A)=r(OE—B)=r(0E—C)一r(0E一D)=1，均對(duì)應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量(λ=0至少是二重特征值)，另一個(gè)特征值為由于A，B，C，D均可相似對(duì)角化，且A的特征值與D的特征值相同，B的特征值與C的特征值相同，故7、設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y=max{X，0)，則()A、Y為離散型隨機(jī)變量．B、Y為連續(xù)型隨機(jī)變量．C、X與Y相互獨(dú)立．D、Cov(X，Y)=標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)y≥0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y)=P{Y≤y，X≥0}+P{Y≤y，X＜0}=p{0≤X≤y}+P{X＜0)一Ф(y)－Ф(0)+Ф(0)=Ф(y)，故在y=0處不連續(xù)且不是階梯形，所以既不是離散型又不是連續(xù)型．故X與Y不獨(dú)立，選(D)．8、設(shè)隨機(jī)變量且P{X=1，Y=1)=P(X=1，Y=一1)，則X與Y()A、必不相關(guān)．B、必獨(dú)立．C、必不獨(dú)立．D、必相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)P{X=1，Y=1}=P(X=1，Y=一1}=p，則得聯(lián)合分布EY=0，E(XY)=0，Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X與Y不相關(guān)．選(A)．注意時(shí)X與Y獨(dú)立，(C)不成立．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)f(x)=cos2015x，(ancosnx+bnsinnx)是f(x)的以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，則a100=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：所以a100=0．10、微分方程滿足初始條件y|x=2=1的特解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=y2+y知識(shí)點(diǎn)解析：將x看成未知函數(shù)，寫成此為x對(duì)y的一階線性方程，又因y|x=2=1＞0，由公式得將x=2，y=1代入，得C=1．故得解x=y2+y．11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、二元函數(shù)f(x，y)=xy在點(diǎn)(e，0)處的二階(即n=2)泰勒展開式(不要求寫余項(xiàng))為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(e，0)=1，fx’(x，y)=yxy－1，fx’(e，0)=0，fy’(x，y)=xylnx，fy’(e，0)=1，fxx"(x，y)=y(y一1)xy－2，fxx"(e，0)=0，fxy"(x，y)=x－1+yxy－1lnx，fxy"(e，0)=e－1，fyy"(x，y)=xy(1nx)2，fyy"(e，0)=1．代入n=2，在點(diǎn)(e，0)處展開的泰勒公式為略去R3，得如上所填．13、若X1，X2，…，．X10為取自N(2，3)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：均獨(dú)立，所以三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)l為從點(diǎn)A(-π，0)沿曲線y=sinx至點(diǎn)B(π，0)的有向弧段，求I=∫l(e-x2sinx+3y-cosy)dx+(xsiny-y4)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：添加有向直線段y=0，自點(diǎn)B(π，0)至點(diǎn)A(一π，0)，其中自點(diǎn)B至點(diǎn)O(0，0)的有向直線段記為l1，點(diǎn)O(0，0)至點(diǎn)A的有向直線段記為l2，曲線y=sinx(一π≤x≤π)與l1和l2構(gòu)成8字形．分別圍成的兩個(gè)有界閉區(qū)域，記為D1與D2．D1的邊界走向?yàn)樨?fù)向，D2的邊界走向?yàn)檎颍筛窳止?，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x，y)在平面區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且l為D的邊界正向一周．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由格林公式，P(x，y)=(x2+y2)f’y，Q(x，y)=一(x2+y2)f’x，(Ⅱ)由(Ⅰ)并利用條件對(duì)于上面右邊第1式，由于在l上，x2+y2=1，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，極值；(Ⅱ)討論曲線y=f(x)的凹凸性，拐點(diǎn)，漸近線，并根據(jù)以上(Ⅰ)(Ⅱ)的討論結(jié)果，畫出曲線y=f(x)的大致圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)槎问絰2±x+1的判別式△=(±1)2－4=－3＜0，所以x2±x+1＞0，f(x)的定義域?yàn)?一∞，+∞)．又f(x)=f(－x)，所以f(c)為奇函數(shù)．所以當(dāng)一∞＜x＜0時(shí)，曲線y=f(x)的圖形是凸的，當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)曲線的圖形是凹的．點(diǎn)(0，f(0))為拐點(diǎn)．易知無鉛直漸近線，考慮水平漸近線：所以沿x→+∞方向有水平漸近線y=一1．由于f(x)為奇函數(shù)，所以沿x→－∞方向有一條水平漸近線y=1．其圖形如圖所示：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、(Ⅰ)設(shè)常數(shù)k＞0，證明：F(x)存在唯一的零點(diǎn)，記為xk；(Ⅱ)證明：級(jí)數(shù)收斂，且其和小于2．標(biāo)準(zhǔn)答案：故至少存在一個(gè)零點(diǎn)．又故至多存在一個(gè)零點(diǎn)，所以F(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，記為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求微分方程滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此為原方程化為當(dāng)x=0時(shí)，y=1，y’=1．代入得1=1(1+C1)，所以C1=0．于是得p2=y4，p=y2(因y=1時(shí)y’=1，取正號(hào))，故再分離變量，積分得=x+C2，將x=0時(shí)y=1代入得C2=一1，從而得特解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)，X是2階方陣．(Ⅰ)求滿足Ax一XA=0的所有X；(Ⅱ)方程Ax一XA=E，其中E是2階單位矩陣，問方程是否有解．若有解，求滿足方程的所有X，若無解，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)用待定元素法求X．設(shè)代入方程，則各元素為零，得齊次線性方程組對(duì)系數(shù)矩陣B作初等行變換得基礎(chǔ)解系α1=(2，2，1，0)T，α2=(1，0，0，1)T，通解為=k1α1+k2α2=，其中k1，k2是任意常數(shù)．則，其中k1，k2是任意常數(shù)．得線性非齊次方程顯然，方程組中第1個(gè)和第4個(gè)方程是矛盾的，故Ax—xA=E無解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3)(Ⅰ)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作正交變換；(Ⅱ)求該二次型；(Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)條件故B的3個(gè)列向量都是Ax=0的解向量，也是A的對(duì)應(yīng)λ=0的特征向量，其中線性無關(guān)且正交，=ξ1+ξ2，故λ=0至少是二重特征值．又因另一個(gè)特征值是λ3=2，故λ1=λ2=0是二重特征值．因A是實(shí)對(duì)稱矩陣，故對(duì)應(yīng)λ3=2的特征向量應(yīng)與ξ1，ξ2正交，設(shè)ξ3=(x1，x2，x3)T，則有故存在正交變換x=Qy，其中(Ⅱ)先求二次型對(duì)應(yīng)矩陣，因故所求二次型為f(x1，x2，x3)=(x12+x22+4x32+2x1x2－4x1x3－4x2x3)=(x1+x2－2x3)2．(Ⅲ)由(Ⅱ)得二次型f(x1，x2，x3)=(x12+x22+4x32+2x1x2－4x1x3－4x2x3)=(x1+x2－2x3)2，若f(x1，x2，x3)=1，得x1+x2－2x3=表示兩個(gè)平行平面．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A，B是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量證明：隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：P{X=1}=P(A)，P{X=2}==1一P(A)，P{Y=1}=P(B)，P{Y=2}=1一P(B)，由數(shù)學(xué)期望的定義，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)某種電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì))T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其中λ＞0未知．從這批器件中任取n只在時(shí)刻t=0時(shí)投入獨(dú)立壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到預(yù)訂時(shí)間T0結(jié)束，此時(shí)有k(0＜k＜n)只器件失效．(Ⅰ)求一只器件在時(shí)間T0未失效的概率；(Ⅱ)求λ的最大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)記T的分布函數(shù)為F(t)，一只器件在t=0時(shí)投入試驗(yàn)，則在時(shí)間T0以前失效的概率為P{T≤T0}=F(T0)=1－e－λT0，在時(shí)間T－1未失效的概率為P{T＞T－1}=1一F(T－1)=e－λT0．(Ⅱ)考慮事件A={試驗(yàn)直至?xí)r間T0為止，有K只器件失效，而有N－K只未失效}的概率．由于各只器件的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，因此事件A的概率為L(zhǎng)(λ)=Cnk(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k，這就是所求的似然函數(shù)．取對(duì)數(shù)得lnL(λ)一1nCnk+kln(1一e－λT0)+(n－k)(一λT0)．令解得A的最大似然估計(jì)值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f’(x)在區(qū)間[0，4]上的圖形如右圖，則f(x)A、在(0，2)單調(diào)上升且為凸的，在(2，4)單調(diào)下降且為凹的．B、在(0，1)，(3，4)單調(diào)下降，在(1，3)單調(diào)上升，在(0，2)是凹的，而在(2，4)是凸的．C、在(0，2)單調(diào)上升且是凹的，在(2，4)單調(diào)下降且是凸的．D、在(0，1)，(3，4)單調(diào)下降，在(1，3)單調(diào)上升，在(0，2)是凸的，而在(2，4)是凹的．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：如右圖，當(dāng)x∈(0，1)或x∈(3，4)f時(shí)，f’(x)<0→f(x)在(0，1)，(3，4)單調(diào)下降；當(dāng)x∈(1，3)時(shí)f’(x)>0→f(x)在．(1，3)單調(diào)上升．又f’(x)在(0，2)單調(diào)上升→f(x)在(0，2)是凹的；f’(x)在(2，4)單調(diào)下降→f(x)在(2，4)是凸的．因此，應(yīng)選B．6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：7、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：8、(2001年試題，3)設(shè)．f(0)=0，則f(x)在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為()．A、存在B、存在C、存在D、存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)已知f(0)=0，則由導(dǎo)數(shù)定義f(x)在x=0處可導(dǎo)的充要條件是極限存在且有限，設(shè)f’(0)f’(0)∈R．關(guān)于選項(xiàng)為A。因?yàn)橹荒艽_定f’(0+0)存在，無法確定f’(0—0)存在，因而A不一定成立．關(guān)于選項(xiàng)為B，因而B正確．關(guān)于選項(xiàng)為C，由存在不能確定是否存在，因此C也被排除掉.關(guān)于選項(xiàng)為D，由存在不能肯定存在，所以也就無法推出存在，綜上，選B．實(shí)際上，當(dāng)h→0時(shí)，知A和C不正確；取,則其在x=0處不可導(dǎo)，但排除選項(xiàng)為D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、微分方程xy’+y=0滿足條件y(1)=1的解是y=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1/x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：(c-b)a知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)f(x)＝xn，則fˊ(x)＝nxn－1，因而fˊ(1)＝n，則點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝n(x－1)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：本題有以下兩種較為簡(jiǎn)單的解法：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(2005年試題，16)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意。令t=x2，不妨考察。有因?yàn)樗运缘氖諗堪霃綖?，原冪級(jí)數(shù)收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(一1，1)．再求和函數(shù)f(x)．把所給級(jí)數(shù)分成兩部分，其中再