考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共276題）

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共9套）（共276題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)則f(χ)在點(diǎn)χ＝0處【】A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)，則在點(diǎn)χ＝1處【】A、不連續(xù)．B、連續(xù)但不可導(dǎo)．C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)．D、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(0)＝0，則f(χ)在點(diǎn)χ＝0可導(dǎo)的充要條件為【】A、f(1－cosh)存在．B、f(1－eh)存在．C、f(h－sinh)存在．D、[f(2h)－f(h)]存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析4、若f(1＋χ)＝af(χ)總成立，且f′(0)＝b．(a，b為非零常數(shù))則f(χ)在χ＝1處【】A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f′(1)＝a．C、可導(dǎo)且f′(1)＝b．D、可導(dǎo)且f′(1)＝ab．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)函數(shù)f(χ)在點(diǎn)χ－a處可導(dǎo)，則函數(shù)｜f(χ)｜在點(diǎn)χ＝a處不可導(dǎo)的充分條件是：【】A、f(a)＝0且f′(a)＝0．B、f(a)＝0，且f′(a)≠0．C、f(a)＞0，f′(a)＞0．D、f(a)＜0，且f′(a)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(χ)可導(dǎo)，且F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)，則f(0)＝0是F(χ)在χ＝0處可導(dǎo)的()條件．【】A、充分且必要．B、充分非必要．C、必要非充分．D、非充分非必要．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)f(χ)的導(dǎo)數(shù)在χ＝a處連續(xù)，又＝－2，則【】A、χ＝a是f(χ)的極小值點(diǎn)．B、χ＝a是f(χ)的極大值點(diǎn)．C、(a，f(a))是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．D、χ＝a不是f(χ)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)y＝f(χ)滿足f〞(χ)＋2f′(χ)＋＝0，且f′(χ0)＝0，f(χ)在【】A、χ0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加．B、χ0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少．C、χ0處取得極小值．D、χ0處取極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(χ)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f′(0)＝0，＝－1，則【】A、f(0)是f(χ)極小值．B、f(0)是f(χ)極大值．C、(0，f(0)是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．D、f(0)不是f(χ)的極值，(0，f(0))也不是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析10、曲線y＝(常數(shù)a≠0)(－∞＜χ＜＋∞)【】A、沒有漸近線．B、只有一條漸近線．C、有兩條漸近線．D、是否有漸近線與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)11、設(shè)f′(3)＝2．則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f′(a)＝b，f(a)＝1，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：eb知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(1＋χ)－3f(1－χ)＝8χ(1＋｜χ｜)，則f′(1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f′(1)＝2，存在，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由方程ln(χ2＋y2)＝y(tǒng)sinχ＋χ所確定，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)，其f(χ)可導(dǎo)且f′≠0，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：暫無解析17、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、已知＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(χ)＝χ(χ－1)(χ－2)…(χ－n)，則f′(0)＝_______，f(n+1)(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－1)nn!，(n＋1)!知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由y＝tan(χ＋y)所確定，試求y′＝_______，y〞＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由方程χsiny－eχ＋ey＝0所確定，求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由所確定，求＝_______＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，2(t－1)(t2＋1)知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)由所確定，求＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)＝，求f(n)(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)ysin4χ＋cosχ4，求y(n)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－4n-1sin(4χ＋(n－1))知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、在半徑為A的球中內(nèi)接一正圓錐，試求圓錐的最大體積為＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0處可導(dǎo)，則必有()A、f(0)=0B、f(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)一f’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于2、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(一δ，δ)內(nèi)有定義，若當(dāng)x∈(一δ，δ)時(shí)，恒有｜f(x)｜≤x2，則x=0必是f(x)的()A、間斷點(diǎn)B、連續(xù)，但不可導(dǎo)的點(diǎn)C、可導(dǎo)的點(diǎn)，且f’(0)=0D、可導(dǎo)的點(diǎn)，且f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題意可知f(0)=0，=0，故f’(0)=0．3、設(shè)f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，則f(x)在(一∞，0)內(nèi)的單調(diào)性和圖形的凹凸性是()A、單調(diào)增，凸B、單調(diào)減，凸C、單調(diào)增，凹D、單調(diào)減，凹標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)＞0→f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增；f"(x)＜0→f(x)在(0，+∞)內(nèi)為凸曲線．由f(x)=f(一x)→f(x)關(guān)于y軸對稱→f(x)在(一∞，0)內(nèi)單調(diào)減，為凸曲線，選(B)．4、設(shè)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)與xk是同階無窮小，則k等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：用洛必達(dá)法則，=f’(0)≠0，所以k=3，選(C)．其中①F’(x)=[x2∫0xf(f)dt一∫0xt2f(t)dt]’=2x∫0xf(t)dt；②洛必達(dá)法則的使用邏輯是“右推左”，即右邊存在(或?yàn)闊o窮大)，則左邊存在(或?yàn)闊o窮大)，本題邏輯上好像是在“左推右”，事實(shí)上不是，因?yàn)?f’(0)存在，即最右邊的結(jié)果存在，所以洛必達(dá)法則成立．5、設(shè)g(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且g(0)=g’(0)=0，設(shè)則f(x)在x=0處()A、不連續(xù)B、連續(xù)，但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)D、可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：所以導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)．6、曲線y=，當(dāng)x→∞時(shí)，它有斜漸近線()A、y=x+1B、y=一x+1C、y=一x一1D、y=x一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因此有斜漸近線y=一x一1，應(yīng)選(C)．7、當(dāng)x＞0時(shí)，曲線y=xsin()A、有且僅有水平漸近線B、有且僅有鉛直漸近線C、既有水平漸近線，也有鉛直漸近線D、既無水平漸近線，也無鉛直漸近線標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：=1，由漸近線的求法可得正確選項(xiàng)．8、曲線y=()A、沒有漸近線B、僅有水平漸近線C、僅有鉛直漸近線D、既有水平漸近線，也有鉛直漸近線標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：=+∞，由漸近線的求法可得正確選項(xiàng)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)y=則y’=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)y=ln(1+3一x)，則dy=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y’=[ln(1+3一x)]’=一11、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+y+cosxy=0確定，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，可得12、設(shè)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：13、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：cost2dt一2x2cosx4知識點(diǎn)解析：=cost2dt一2x2．cosx4．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)14、設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)，證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(x，f(x0))為拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：n為奇數(shù)，令n=2k+1，構(gòu)造極限但x→x0+時(shí)，f"(x)＞0；x→x0一時(shí)，f"(x)＜0，故(x0，f(x0))為拐點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求函數(shù)f(x)=nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一x)n一1，f"(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n一2．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求曲線y=ex上的最大曲率及其曲率圓方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’=ex，y"=ex得曲線y=ex上任意點(diǎn)P(x，y)處的曲率知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)由點(diǎn)A從靜止開始作直線運(yùn)動至點(diǎn)B停止，兩點(diǎn)A，B間距離為1，證明：該質(zhì)點(diǎn)在(0，1)內(nèi)總有一時(shí)刻的加速度的絕對值不小于4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為y=y(t)，0≤t≤1，則有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，試證：在[a，b]內(nèi)存在ξ，使得f(ξ)=．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分別為f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②……m≤f(xn)≤M，(n)①+②+…+(n)→mn≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[一1，1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，證明：在[一1，1]內(nèi)存在ξ，使得f"(ξ)=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．試證：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，則f(x)在[0，2]上連續(xù)，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，m≤≤M，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)η∈[0，2]，使得f(η)==1，于是便有f(η)=1=f(3)，滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，證明：(1)在(a，b)內(nèi)，g(x)≠0；(2)在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)c∈(a，b)，g(C)=0．由g(a)=g(C)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上兩次運(yùn)用羅爾定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，對g’(x)在[ξ1，ξ2]上運(yùn)用羅爾定理，可得g"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(C)≠0．(2)F(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x)在[a，b]上運(yùn)用羅爾定理，F(xiàn)(a)=0，F(xiàn)(b)=0．故．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、在區(qū)間[0，a]上｜f"(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值．證明：｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值，不妨設(shè)f’(C)=0．f’(x)在[0，c]與[c，a]之間分別使用拉格朗日中值定理，f’(C)一f’(0)=cf"(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)一f’(C)一(a一c)f"(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以｜f’(0)｜+｜f’(a)｜=c｜f"(ξ1)｜+(a一c)｜f"(ξ2)｜≤cM+(a一c)M=aM．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[1，2]上可導(dǎo)，證明：ξ∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：把所證等式ξ改為x，得xf’(x)一f(x)=f(2)一2f(1)，F(xiàn)(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由羅爾定理，ξ∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0．證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)=1，且f"(x)＞0，證明：f(x)＞x．標(biāo)準(zhǔn)答案：因=1，得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二階可導(dǎo)，故f(x)在x=0處的一階泰勒公式成立，f(x)=f(0)+f’(0)x+≤(ξ介于0與x之間)．因f"(x)＞0，故f(x)＞x，原命題得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=g(a)=0，證明：ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a點(diǎn)展開泰勒公式．F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+F"(ξ)(x一a)2(a＜ξ＜x)．①令x=b，代入①式，則F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+F"(ξ)(b一a)。(a＜ξ＜b)．②因f(a)=f(b)=g(a)=0，則F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’(a)=f’(b)=0，證明：ξ∈(a，b)，使｜f"(ξ)｜≥｜f(b)一f(a)｜。標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)在x=a，x=b展開泰勒公式．故原命題得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)=arcsinx，ξ為f(x)在閉區(qū)間[0，t]上拉格朗日中值定理的中值點(diǎn)，0＜t＜1，求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(x)=arcsinx在[0，t]上連續(xù)，在(0，r)內(nèi)可導(dǎo)，對它用拉格朗日中值定理，得知識點(diǎn)解析：暫無解析29、若函數(shù)φ(x)及ψ(x)是n階可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0時(shí)，φ(n)(z)＞ψ(n)(x)．試證：當(dāng)x＞x0時(shí)，φ(x)＞ψ(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u(n一1)(x)=φ(n一1)(x)一ψ(n一1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)＞0，且u(n一1)(x0)=0，所以u(n一1)(x)＞0，即當(dāng)x＞x0時(shí)，φ(n一1)(x)＞ψ(n一1)(x)．同理u(n一2)(x)=φ(n一2)(x)一ψ(n一2)(x)＞0．歸納有u(n一3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，當(dāng)x＞x0時(shí)，φ(x)＞ψ(x)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且f"(x)＜0．試證：(1)若x0∈(a，b)，則對于(a，b)內(nèi)的任何x，有f(x0)≥f(x)一f(x0)(x—x0)，當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)等號成立；(2)若x1，x2，…，xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，n一1)，則，其中常數(shù)ki＞0(i=1，2，…，n)且∑ki=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將f(x)在x0點(diǎn)泰勒展開，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x一x0)2，ξ在x0與x之間．由已知f"(x)＜0，x∈(a，b)得(x一x0)2≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)等號成立)于是f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x一x0)，即f(x0)≥f(x)一f’(x0)(x—x0)(當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)等號成立)．(2)因?yàn)閤1=∈(a，b)．取x0=，對xi(i=1，2，…，n)利用(1)的結(jié)果有f(x0)≥f(xi)一f(x0)(xi一x0)，i=1，2，…，n，當(dāng)且僅當(dāng)xi=x0時(shí)等號成立．而x0≠x1且x0≠xn，將上面各式分別乘以ki(i=1，2，…，n)后再求和，有知識點(diǎn)解析：暫無解析31、若x＞一1，證明：當(dāng)0＜α＜1時(shí)，有(1+x)α＜1+αx；當(dāng)α＜0或α＞1時(shí)，有(1+x)α＞1+αx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(1+x)α則有f’(x)=α(1+x)α一1，f"(x)=α(α—1)(1+x)α一2，由f(x)的泰勒展開式f(x)=f(0)+f(0)x+，ξ∈(0，1)，可知當(dāng)x＞一1，0＜α＜1時(shí)，α(α一1)＜0，1+ξ＞0．故＜0，所以f(x)α＜1+αx．同理可證當(dāng)x＞一1，α＜0或α＞1時(shí)，有(1+x)α＞1+αx．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、求證：當(dāng)x＞0時(shí)，有不等式arctanx+．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)ψ(x)在[a，b]上連續(xù)，且ψ(x)＞0，則函數(shù)y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的圖形()A、在(a，b)內(nèi)為凸B、在(a，b)內(nèi)為凹C、在(a，b)內(nèi)有拐點(diǎn)D、在(a，b)內(nèi)有間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：先將φ(x)利用|x—t|的分段性分解變形，有φ(x)=∫ax(x一t)ψ(t)dt+∫xb(t一x)ψ(t)dt=s∫axψ(t)dt一∫axtψ(t)dt+∫xbtψ(t)dt—x∫xbψ(t)dt．因?yàn)棣?t)在[a，b]上連續(xù)，所以φ(x)可導(dǎo)，因而答案不可能是(D)．為討論其余三個(gè)選項(xiàng)，只需求出φ"(x)，討論φ"(x)在(a，b)內(nèi)的符號即可．因φ’(x)=∫axψ(t)dt一∫xbψ(t)dt，φ"(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的圖形為凹．直選(B)．2、f(x)=F(x)=∫-1xf(t)dt，則()A、F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)B、F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函數(shù)C、F(x)在(一∞，+∞)上不連續(xù)D、F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，但不是f(x)的原函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：請看通常的解法：求積分并用連續(xù)性確定積分常數(shù)，可得所以F’+(0)≠F’-(0)．根據(jù)原函數(shù)定義，F(xiàn)(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函數(shù)．請考生看看，我們還有更好的方法解決這個(gè)問題嗎?事實(shí)上，由于f(x)有第一類間斷點(diǎn)，所以F(x)必然不是其原函數(shù)，而變限積分存在就必連續(xù)，所以答案自然選擇(D)．3、則在(一∞，+∞)內(nèi)，下列正確的是()A、f(x)不連續(xù)且不可微，F(xiàn)(x)可微，且為f(x)的原函數(shù)B、f(x)不連續(xù)，不存在原函數(shù)，因而F(x)不是f(x)的原函數(shù)C、f(x)和F(x)均為可微函數(shù)，且F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)D、f(x)連續(xù)，且F’(x)=f(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：可以驗(yàn)證x=0為f(x)的第二類間斷點(diǎn)，因?yàn)椋汗蕏=0為f(x)的第二類振蕩間斷點(diǎn)，可能存在原函數(shù)．通過計(jì)算故F(x)可微．即F’(x)=f(x)，故(A)正確．4、設(shè)F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()A、為正常數(shù)B、為負(fù)常數(shù)C、恒為零D、不為常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因esinxsinx是以2π為周期的周期函數(shù)，所以又esinxcos2x≥0，故選(A)．5、設(shè)f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，則∫a+kla+(k+l)lf(x)dx之值()A、僅與a有關(guān)B、僅與a無關(guān)C、與a及k都無關(guān)D、與a及k都有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)是以l為周期的周期函數(shù)，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此積分與a及k都無關(guān)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、∫0+∞xe-xdx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：原積分=一∫0+∞xde-x=xe-x|0+∞+∫0+∞e-xdx=∫0+∞e-xdx=一e-x|0+∞=1．7、設(shè)f(x)連續(xù)，則(∫0x[sin2∫0tf(u)du]dt)=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：sin2∫0xf(u)du知識點(diǎn)解析：∫0x[sin2∫0tf(u)du]dt是形如∫0xφ(t)dt形式的變上限積分，由8、設(shè)兩曲線y=f(x)與y=∫0arctanx在點(diǎn)(0，0)處有相同的切線，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：由已知條件知f(0)=0，f’(0)==1，故得9、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：顯然積分難以積出．考慮積分中值定理，其中ξx介于a，a+a之間．所以10、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(t)dt=x，則f(7)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：要從變上限積分得到被積函數(shù)，可以對變限積分求導(dǎo)．等式兩邊對x求導(dǎo)得f(x3一1).3x2=1，f(x3一1)=令x=2，即得f(7)=11、設(shè)f(3x+1)=則∫01f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令3x+1=t，所以12、設(shè)=∫-∞atetdt，則a=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：所以ea=(a一1)ea，a=2．13、設(shè)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則∫1exf’(x)dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫1exf’(x)dx=∫1exdf(x)=[xf(x)]|1e一∫1ef(x)dx．14、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、已知I(α)=求積分∫-32I(α)dα．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)α≠0，±1時(shí)，(2)當(dāng)α=1時(shí)，(3)當(dāng)α=一1時(shí)，(4)當(dāng)α=0時(shí)，I(α)=∫0πsinxdx=2．綜上，知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求不定積分∫(arcsinx)2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值·標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=2x一t，則t=2x一u，dt=一du．當(dāng)t=0時(shí)，u=2x；當(dāng)t=x時(shí)，u=x．故∫0xtf(2x一t)dt=一∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=arctanx2，兩邊對x求導(dǎo)，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x).2一xf(x)]=，知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f"(x)＞0．又設(shè)u(t)在區(qū)間[0，a](或[a，0])上連續(xù)，試證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件f"(x)＞0，想到將f(x)在某x0處展成拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式，然后丟棄f"(ξ)得到一個(gè)不等式以處理之．由泰勒公式f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f"(ξ)(x—x0)2≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，ξ介于x與x0之間．以x=u(t)代入并兩邊對t從0到a積分，其中暫設(shè)a＞0，于是有∫0af(u(t))dt≥af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a)．若a＜0，則有∫0af(u(t))dt≤af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f(x)≠0．試證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：取x0∈(a，b)如分析中所說，有在區(qū)間[a，x0]與[x0，b]上對f(x)分別用拉格朗日中值公式，有記ψ(x)=(b-x)(x-a)=-x2+(a+b)x一ab，a＜x＜b．max{ψ(x)}=所以知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1．試證明：(1)存在x1∈[0，1]使得|f(x1)|＞4；(2)存在x2∈[0，1]使得|f(x2)|=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)若|f(x)|≡M，由f(x)的連續(xù)性知要么f(x)≡M，要么f(x)≡一M均與∫01f(x)dx=0不符．故必存在x0∈[0，1]使|f(x0)|＜M所以從而知M＞4．由于|f(x)|在[0，1]上連續(xù)，故至少存在一點(diǎn)x1∈[0，1]使|f(x1)|=M＞4．(2)若對一切x∈[0，1]均有|f(x)|＞4．由連續(xù)性知，要么一切x∈[0，1]均有f(x)＞4，要么f(x)＜一4．均與∫01f(x)dx=0不符．故知至少存在一點(diǎn)x3∈[0，1]使|f(x3)|＜4，從而知存在x2∈[0，1]使|f(x2)|=4．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)．試證明：存在ξ，η∈(a，b)，使標(biāo)準(zhǔn)答案：將∫abf(t)dt看成變限函數(shù)，用泰勒公式，設(shè)法消去式中不出現(xiàn)的項(xiàng)即可．(1)令將φ(x)在x=x0處展開成泰勒公式至n=2，有因f(x)在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，(f"(ξ1)+f"(ξ2))介于f"(ξ1)與f"(ξ2)之間，故知存在ξ∈[ξ1，ξ2](或ξ∈[ξ2，ξ1])使于是知存在ξ∈(a，b)使(2)用常數(shù)k值法，令有F(a)=0，F(xiàn)(b)=0，所以存在η1∈(a，b)使F’(η1)=0，即化簡為f(η)一f(a)一f’(η1)(η1一a)一6K(η1一a)2=0.又由泰勒公式有f(a)=f(η1)+f’(η1)(a一η1)+f"(η)(a一η1)2，a＜η＜η1．由上述兩式即可得，存在η∈(a，b)使即(2)成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、(1)設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，試證明：∫0xf(t)dt可以表示為一個(gè)以T為周期的函數(shù)ψ(x)與kx之和，并求出此常數(shù)k；(2)求(1)中的(3)以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，g(x)=x一[x]，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)證明能取到常數(shù)k使∫0xf(t)dt一kx為周期T即可．(1)得到的表達(dá)式去求即可得(2)．但請讀者注意，一般不能用洛必達(dá)法則求此極限，除非f(x)恒為常數(shù)．對于(3)，由于g(x)不連續(xù)，如果要借用(1)的結(jié)論，需要更深一層的結(jié)論(見下面的[注])．由于g(x)可以具體寫出它的分段表達(dá)式，故可直接積分再用夾逼定理即得．(1)令φ(x)=∫0xf(t)dt—kx，考察ψ(x+T)一ψ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx=∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT．對于其中的第二個(gè)積分，作積分變量代換，命t=u+T，有∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du，①于是ψ(x+T)-ψ(x)=∫0Tf(t)dt一kT可見，ψ(x)為T周期函數(shù)的充要條件是即證明了∫0xf(t)dt可以表示成其中ψ(x)為某一周期T的函數(shù)．(2)由(1)，因ψ(x)為連續(xù)的周期函數(shù)，故ψ(x)在(一∞，+∞)上有界，從而(3)設(shè)n≤x＜n+1，由n≤x＜n+1，有由夾逼定理知知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)在區(qū)間[e，e2]上，數(shù)p，q滿足條件px+q≥lnx，求使得積分I(p，q)=(px+q—lnx)dx取得最小值的p，q的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：要使最小，直線y=px+q應(yīng)與曲線y=lnx相切，從而可得到p，q的關(guān)系，消去一個(gè)參數(shù)．通過積分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的極值點(diǎn)p0，然后再求出q的值．或?qū)，q都表示成另一個(gè)參數(shù)t的函數(shù)形式，求出I(t)的極值點(diǎn)后，再求出p，q的值．設(shè)直線y=px+q與曲線y=lnx相切于點(diǎn)(t，lnt)，則有知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)一∫0nf(x)dx(n=1，2，…)．(1)證明：(2)證明：反常積分∫1+∞f(x)dx與無窮級數(shù)同斂散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由f(x)單調(diào)減少，故當(dāng)k≤x≤k+1時(shí)，f(k+1)≤f(x)≤f(k)．兩邊從k到k+1積分，得∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k)dx，即f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k)．即{an}有下界．又an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx≤0，即數(shù)列{an}單調(diào)減少，所以存在．(2)由于f(x)非負(fù)，所以∫1xf(t)dt為x的單調(diào)增加函數(shù)．當(dāng)n≤x≤n+1時(shí)，∫1nf(t)dt≤∫1xf(t)dt≤∫1n+1f(t)dt，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)xOy平面上有正方形D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)及直線l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求∫0xS(t)dt(x≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知所以，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，∫0xS(t)dt=∫1xS(t)dt+∫1xS(t)dt=當(dāng)x＞2時(shí)，∫0xS(t)dt=∫02S(t)dt+∫2xS(t)dt=x一1．因此，∫0xS(t)dt=知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，0＜a＜b，且收斂，其中常數(shù)A＞0．試證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求曲線的一條切線l，使該曲線與切線l及直線x=0，x=2所圍成圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：又S"(1)＞0，故t=1時(shí)，S取最小值，此時(shí)l的方程為知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0，x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：V=π∫0π(sinx+1)2dx=知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)．則在x=a處()A、f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f’(a)≠0．B、f(x)取得極大值．C、f(x)取得極小值．D、f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：利用賦值法求解．取f(x)一f(a)=一(x一a)2，顯然滿足題設(shè)條件，而此時(shí)f(x)為一開口向下的拋物線，必在其頂點(diǎn)x=a處取得極大值，故選B．2、設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則()A、f(1)是f(x)的極大值．B、f(1)是f(x)的極小值．C、(1,f(1))是曲線f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)．D、f(1)不是f(x)的極值，(1,f(1))也不是曲線f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：選取特殊f(x)滿足:則f(x)滿足題中條件，且f(x)在x=1處取極小值，而其余均不正確．故選B．3、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()A、若存在，則f(0)=0．B、若存在，則f(0)=0．C、若存在，則f’(0)存在．D、若存在，則f’(0)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題主要考查的是可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系．由于已知條件中含有抽象函數(shù)，因此本題最簡便的方法是用賦值法，可以選取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)f(x)判斷．取特殊函數(shù)f(x)=｜x｜，則但f(x)在x=0不可導(dǎo)，故選D．4、設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，則()A、f’+(a)=0．B、f’+(a)≥0．C、f’+(a)<0．D、f’+(a)≤0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)定義及題設(shè)得，故選D．5、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f(x)＞0，則不等式成立的條件是()A、f’(x)＞0,f’’(x)＜0．B、f’(x)＜0,f’’(x)＞0．C、f’(x)＞0,f’’(x)＞0．D、f’(x)＜0,f’’(x)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：不等式的幾何意義是：矩形面積＜曲邊梯形面積＜梯形面積，要使上面不等式成立，需要過點(diǎn)(a,f(a))平行于x軸的直線在曲線y=f(x)的下方，連接點(diǎn)(a,f(a))和點(diǎn)(b,f(b))的直線在曲線y=f(x)的上方(如圖2—3)．當(dāng)曲線y=f(x)在[a，b]是單調(diào)上升且是凹時(shí)有此性質(zhì)．于是當(dāng)f’(x)＞0,f’’(x)＞0成立時(shí)，上述條件成立，故選C．6、設(shè)f(x)=3x3+x2｜x｜，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n為()A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于3x3任意階可導(dǎo)，本題實(shí)質(zhì)上是考查分段函數(shù)x2｜x｜在x=0處的最高階導(dǎo)數(shù)的存在性．事實(shí)上，由可立即看出f(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)為零，三階導(dǎo)數(shù)不存在，故選C．7、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)可導(dǎo)，x0≠0，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn)，則()A、x0必是f’(x)的駐點(diǎn)．B、(一x0，一f(x0))必是y=一f(一x)的拐點(diǎn)．C、(一x0，一f(一x0))必是y=-f(x)的拐點(diǎn)．D、對任意x＞x0與x＜x0，y=f(x)的凸凹性相反．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：從幾何上分析，y=f(x)與y=一f(一x)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱．x0≠0，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn)，則(一x0，一f(x0))是y=一f(一x)的拐點(diǎn)．故選B．8、設(shè)函數(shù)f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1處連續(xù)，則φ(1)=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()A、充分必要條件．B、必要但非充分條件．C、充分但非必要條件．D、既非充分也非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于且由函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件為f-’(1)=f+’(1)，可得一3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，故選A．9、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，則下述命題中正確的是()A、若f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對一切x∈(一∞，+∞)，都有f’(x)＞0．B、若f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，則f’(x0)=0．C、若f’’(x0)=0，則(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)．D、若f’(x0)=0,f’’(x0)=0,f’’’(x0)≠0，則x0一定不是f(x)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：若在(一∞，+∞)上f’(x)＞0，則一定有f(x)在(一∞，+∞)上單調(diào)增加，但可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上單調(diào)增加，可能有f’(x)≥0．例如f(x)=x3在(一∞，+∞)上單調(diào)增加，f’(0)=0．故不選A．f(x)若在x0處取得極值，且f’(x0)存在，則有f’(x0)=0，但當(dāng)f(x)在x0處取得極值，在x0處不可導(dǎo)，就得不到f’(x0)=0，例如f(x)=｜x｜在x0=0處取得極小值，它在x0=0處不可導(dǎo)，故不選B．如果f(x)在x0處二階導(dǎo)數(shù)存在，且(x0,f(x0))是曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)，則f’’(x0)=0，反之不一定，例如f(x)=x4在x0=0處f’’(0)=0，但f(x)在(一∞，+∞)沒有拐點(diǎn)，故不選C．由此選D．10、已知f(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且則在點(diǎn)x=0處f(x)()A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(0)≠0．C、取得極大值．D、取得極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因當(dāng)x→0時(shí)，從而可取f(x)=x2，顯然滿足題設(shè)條件．而f(x)=x2在x=0處取得極小值，故選D．11、設(shè)[0，4]區(qū)間上y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖2—1所示，則f(x)()A、在[0，2]單調(diào)上升且為凸的，在[2，4]單調(diào)下降且為凹的．B、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的．C、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的．D、在[0，2]單調(diào)上升且為凹的，在[2，4]單調(diào)下降且為凸的．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x∈(0，1)或(3，4)時(shí)f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降．當(dāng)x∈(1，3)時(shí)f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]單調(diào)上升．又f’(x)在[0，2]單調(diào)上升，那么f(x)在[0，2]是凹的．f’(x)在[2，4]單調(diào)下降，那么f(x)在[2，4]是凸的．故選B．12、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，則f(0)=0是．F(x)在x=0處可導(dǎo)的()A、充分必要條件．B、充分條件但非必要條件．C、必要條件但非充分條件．D、既非充分條件也非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：令φ(x)=f(x)｜sinx｜，顯然φ(0)=0．由于而由φ(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是φ+’(0)與φ+’(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，則必有φ+’(0)=φ+’(0)；若φ+’(0)=一f(0)，即有f(0)=一f(0)，從而f(0)=0．因此f(0)=0是φ(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件，也是F(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件．故選A．13、曲線漸近線的條數(shù)為()A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題的解題思路是，先利用曲線漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后再分別判斷．所以y=0是曲線的水平漸近線；所以x=0是曲線的垂直漸近線；所以y=x是曲線的斜漸近線．故選D．14、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則()A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(0)不是f(x)的極值，(0,f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：根據(jù)極限的保號性，由可知，存在x=0的某鄰域UR(0)，使對任意x∈Uδ(0)，都有即f’’(x)＞0．從而函數(shù)f’(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加．于是當(dāng)x＜0時(shí)，有f’(x)＜f’(0)=0；當(dāng)x＞0時(shí)f’(x)＞f’(0)=0，由極值的第一判定定理可知f(x)在x=0處取得極小值．故選B．15、曲線()A、既有垂直又有水平與斜漸近線．B、僅有垂直漸近線．C、只有垂直與水平漸近線．D、只有垂直與斜漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)?一∞，一3)∪[0，+∞)，且只有間斷點(diǎn)x=一3，又，所以x=一3是曲線的垂直漸近線．x＞0時(shí)，因此是曲線的斜漸近線(x→一∞)．故選A．16、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(0)不是f(x)的極值，(0,f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：在題設(shè)等式兩端對x求導(dǎo)，得f’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1．令x=0，可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)連續(xù))．又f’’(0)=0，由拐點(diǎn)的充分條件可知，(0,f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．故選C．17、設(shè)，則()A、f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加．B、f(x)在[1，+∞)單調(diào)減少．C、f(x)在[1，+∞)為常數(shù)．D、f(x)在[1，+∞)為常數(shù)0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：按選項(xiàng)要求，先求f’(x)．又f(x)在[1，+∞)連續(xù)，則．故選C．18、設(shè)在[0，1]上f’’(x)＞0，則f’(0)f’(1)f(1)一f(0)或f(0)一f(1)的大小順序是()A、f’(1)＞f’(0)>f(1)-f(0)．B、f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)．C、f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)．D、f’(1)＞f(0)一f(1)＞f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知f’’(x)＞0，x∈[0，1]，所以函數(shù)f’(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，又由拉格朗日定理，可得f(1)一f(0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．因此有f’(0)＜f’(ξ)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)．故選B．19、設(shè)則()A、F(x)在x=0點(diǎn)不連續(xù)．B、F(x)在x=0點(diǎn)不可導(dǎo)．C、F(x)在x=0點(diǎn)可導(dǎo)，F(xiàn)’(0)=f(0)．D、F(x)在x=0點(diǎn)可導(dǎo)，但F’(0)≠f(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：不必求出F(x).利用已知結(jié)論判斷,設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，則F(x)=∫x0xf(t)dt在[a，b]可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)(x∈[a，b])，x0是[a，b]某定點(diǎn)．由于F+’(0)≠F-’(0)，所以F(x)在x=0不可導(dǎo)，故選B．20、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=f(一x)，當(dāng)x＜0時(shí)有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0．B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0．C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0．D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(x)=f(一x)可知,f(x)為偶函數(shù)，因偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，即f’(x)為奇函數(shù)f’’(x)為偶函數(shù)，因此當(dāng)x＜0時(shí)，有f’(x)＜0,f’’(x)＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有f’(x)＞0,f’’(x)＞0．故選C．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、曲線的斜漸近線方程為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：結(jié)合斜漸近線方程公式．因?yàn)?2、設(shè)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：先考查φ(x)的可導(dǎo)性并求導(dǎo)．φ(x)在x=0處的左導(dǎo)數(shù)為φ(x)在x=0處的右導(dǎo)數(shù)為所以φ’(0)=0．因此23、曲線的水平漸近線方程為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：直接利用曲線的水平漸近線的定義求解．由于因此曲線的水平漸近線為24、曲線的斜漸近線方程為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)所求斜漸近線方程為y=ax+b．因?yàn)樗运笮睗u近線方程為25、設(shè)y=sin4x，則y(n)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：先將原式分解為26、曲線處的切線方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：在點(diǎn)在曲線方程兩端分別對x求導(dǎo)，得因此，所求的切線方程為27、曲線的過原點(diǎn)的切線是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+25y=0與x+y=0知識點(diǎn)解析：顯然原點(diǎn)(0，0)不在曲線上，首先需求出切點(diǎn)坐標(biāo)．把(0，0)代入上式，得x0=一3或x0=一15．則斜率分別為所以切線方程為x+25y=0與x+y=0．28、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x一1知識點(diǎn)解析：由題干可知，所求切線的斜率為1．由得x=1，則切點(diǎn)為(1，0)，故所求的切線方程為y—0=1.(x一1)，即y=x一1．29、曲線戈y=1在點(diǎn)D(1，1)處的曲率圓方程是_____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：(x一2)2+(y一2)2=2知識點(diǎn)解析：由題干可知，三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)30、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)f’(0)≠0，當(dāng)h→0時(shí)，若af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h)，試求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知，知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)e＜a＜b＜e2，證明.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1．證明：32、存在ξ∈(0，1)，使得f(f)=1一ξ；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一1+x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=一1＜0，F(xiàn)(1)=1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1一ξ．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：在[0，ξ]和[ξ，1]上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b)，證明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)一g(x)，由題設(shè)有F(A)=F(B)=0．又f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)具有相等的最大值，不妨設(shè)存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得若x1=x2，令c=x1，則F(C)=0．若x1＜x2，因F(x1)=g(x1)一g(x1)≥0，F(xiàn)(x1)=f(x2)一g(x2)≤0，從而存在c∈[x1，x2]c(a，b)，使F(C)=0．在區(qū)間[a，c]，[c，b]上分別利用羅爾定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ)=F’(ξ)=0．再對F’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)c(a，b)，有F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析35、(1)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b—a)．(2)證明：若函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，在(0，δ)(δ＞0)內(nèi)可導(dǎo)，且，則f+’(0)存在，且f+’(0)=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)作輔助函數(shù)易驗(yàn)證φ(x)滿足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且根據(jù)羅爾定理，可得在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使φ’(ξ)=0，即所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)．(2)任取x0∈(0，δ)，則函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[0，x0]上連續(xù)，開區(qū)間(0，x0)內(nèi)可導(dǎo)，因此由拉格朗日中值定理可得，存在ξx0∈(0，x0)c(0，δ)，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定，其中ψ(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求函數(shù)ψ(t).標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，g(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且=0，又f’(x)=，則()．A、x=0是f(x)的極大值點(diǎn)B、x=0是f(x)的極小值點(diǎn)C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’’(x)=-4x+g(x)，f’’(0)=0，f’’’(x)=-4+g’(x)，f’’’(0)=-4＜0，因?yàn)?，所以存在δ?，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＜0，從而當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，f’’(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f’’(x)＜0，選(C)．2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=0，即f’’(0)=0．又=-1＜0，由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，有＜0，即當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，f’’(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f’’(x)＜0．所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選(C)．3、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’’(x)=1-2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，由極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，f’’’(x)＞0，再由’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選(C)．4、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f’’(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定為最值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不對；若最大值在端點(diǎn)取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．5、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+，其中ξ介于a與x之間．而，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)閒’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點(diǎn)是唯一的，選(B)．6、設(shè)k＞0，則函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，由f’(x)=得x=e，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f’(x)＜0，由駐點(diǎn)的唯一性知x=e為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，最大值為f(e)=k＞0，又，于是f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、設(shè)f(x)=在x=1處可微，則a=________，b=________標(biāo)準(zhǔn)答案：2,-1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=1處可微，所以f(x)在x=1處連續(xù)，于是f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1處可微得a=2，所以a=2，b=-1．8、設(shè)F(x)=(x2-t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)～x2，則f’(0)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：F(x)=因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)～x2，所以9、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上可導(dǎo)，，則a=______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：，由f(x)-f(x-1)=f’(ξ)，其中ξ介于x-1與x之間，令x→∞，由=e2，即e2a=e2，所以a=1．10、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣铡?x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+fy[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．11、曲線的斜漸近線為______標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x-4知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’+(a)f’-(b)＜0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根據(jù)極限的保號性，由f’+(a)=＞0，則存在δ＞0(δ＜b-a)，當(dāng)0＜x-a＜δ時(shí)，即f(x)＞f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f’-(6)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)內(nèi)取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)為f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[0，2]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一先作一個(gè)函數(shù)P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=f(2)=，P(1)=f(1)．則P(x)=令g(x)=f(x)-P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導(dǎo)，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=a＜b=f(b)．證明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令h=，因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端點(diǎn)介值定理和函數(shù)單調(diào)性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得f(c1)-f(a)=f’(ξ1)(c1-a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)-f(c1)=f’(ξ2)(c2-c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)-f(cn-1)=f’(ξn)(b-cn-1)，ξn∈(cn-1，b)，從而有知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，f’(x)≠0，且與x=φ(y)互為反函數(shù)，求φ’’(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楹瘮?shù)的一階導(dǎo)數(shù)與其反函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)，所以φ’(y)=知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且．證明：f’(x0)=M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)-f(x0)=f’(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0與x之間，則=M，即f’(x0)=M．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x-1)2f’(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導(dǎo)．由f(0)=f(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ=(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)2f’’(x)，所以2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)2f’’(ξ)=0，整理得f’’(ξ)=知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)-0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端點(diǎn)介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：19、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=，則F(a)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(f)(b-a)=0，即f(c)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令h(x)=exf(x)，因?yàn)閔(a)=h(c)=(n)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)-f(η1)=0，f’(η2)-f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)a1＜a2＜…n，且函數(shù)f(x)在[a1，a2]上n階可導(dǎo)，c∈[a1，a2]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．證明：存在ξ∈(a1，an)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)c=ai(i=1，2，…，n)時(shí)，對任意的ξ∈(a1，an)，結(jié)論成立；設(shè)c為異于a1，a2，…，an的數(shù)，不妨設(shè)a1＜c＜a2＜…＜an．令k=構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，顯然φ(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由羅爾定理，存在，φ’(x)在(a1，an)內(nèi)至少有n個(gè)不同零點(diǎn)，重復(fù)使用羅爾定理，則φ(n-1)(x)在(a1，an)內(nèi)至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，設(shè)為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以f(ξ)=n!k，從而有知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f’’(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+，其中ξ介于x與x+h之間．由已知條件得f’(x+θh)h=f’(x)h+，或f’(x+θh)-f’(x)=兩邊同除以h，得知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0．證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在區(qū)間[0，1]上取到最大值M和最小值m，對f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0與x之間)兩邊積分得由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求的最大項(xiàng)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(x≥1)，由f(x)=，令f’(x)=0得x=e．當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f’(x)＜0，則x=e為f(x)的最大點(diǎn)，于是因?yàn)橹R點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)x3-3xy+y3=3確定隱函數(shù)y=y(x)，求y=y(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：x3-3xy+y3=3兩邊對x求導(dǎo)得3x2-3y-3xy’+3y2y=0，因?yàn)閥’’(-1)=1＞0，所以x=-1為極小點(diǎn)，極小值為y(-1)=1；因?yàn)橹R點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在｜x｜＜δ內(nèi)有定義且｜f(x)｜≤x3，則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：顯然f(0)=0，且=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)．又由｜f(x)｜≤x2得0≤≤｜x｜，根據(jù)夾逼定理得，即f’(0)=0，選(C)．2、設(shè)y=y(x)由x=確定，則f’’(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，由3、設(shè)函數(shù)f(x)=則在點(diǎn)x=0處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)?f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)；4、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)f(x)=，而f(x)在x=0處不可導(dǎo)，(A)不對；5、設(shè)f(x)｜x3-1｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)g(1)=0，f’-(1)=.(x2+x+1)g(x)=0，因?yàn)閒’-(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，因?yàn)閥’-(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導(dǎo)，應(yīng)選(C)．6、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由得f(0)=0，由極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，，從而f(x)＞0=f(0)，由極值的定義得f(0)為極小值，應(yīng)選(D)．7、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(-δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)=所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，f(x)＜f(0)；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f(x)＞f(0)，應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、設(shè)y=x5+5x-tan(x2+1)，則y’=________標(biāo)準(zhǔn)答案：5x4+5xln5-2xsec2(x2+1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(x)一階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=1，則=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則=_____標(biāo)準(zhǔn)答案：10f(a)f’(a)知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是11、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由得f(0)=0，f’(0)=1，于是12、曲線在點(diǎn)(0，1)處的法線方程為__________標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-2x+1．知識點(diǎn)解析：在點(diǎn)(0，1)處t=0，，則對應(yīng)點(diǎn)處法線的斜率為-2，所以法線方程為y-1=-2(x-0)，即y=-2x+1．13、設(shè)f(x)=ln(2x2-x-1)，則f(n)(x)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1)，f’(x)=14、y=ex在x=0處的曲率半徑為R=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：y’(0)=1，y’’(0)=1，則曲線y=ex在x=0處的曲率為三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、設(shè)f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g(shù)’(a)存在，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=｜x-a｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，討論f’(a)的存在性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=-g(a)得f’(a)=-g(a)；由=g(a)得f’(a)=g(a)，當(dāng)g(a)=0時(shí)，由f’-(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a處可導(dǎo)且f’(a)=0；當(dāng)g(a)≠0時(shí)，由f’-(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a處不可導(dǎo)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)y=，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y=，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)，求y’．標(biāo)