考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共126題）

考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1（共4套）（共126題）考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x，y)=，則f(x，y))在(0，0)處()．A、對x可偏導(dǎo)，對y不可偏導(dǎo)B、對x不可偏導(dǎo)，對y可偏導(dǎo)C、對x可偏導(dǎo)，對y也可偏導(dǎo)D、對x不可偏導(dǎo)，對y也不可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為不存在，所以f(x，y)在(0，0)處對x不可偏導(dǎo)；因為=0，所以f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處對y可偏導(dǎo)，應(yīng)選(B)．2、設(shè)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，則()．A、f(x，y在(x0，y0)處連續(xù)B、存在C、f(x，y)在(x0，y0)處可微D、存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：多元函數(shù)在一點可偏導(dǎo)不一定在該點連續(xù)，(A)不對；函數(shù)在(0，0)處可偏導(dǎo)，但不存在，(B)不對；f(x，y)在(x0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，(C)不對，應(yīng)選(D)，事實上由f’x(x0，y0)=f(x0，y0)=f(x0，y0)．3、設(shè)f(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=一3，則函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為=一3，根據(jù)極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時，有＜0，而x2+1一xsiny＞x2一x+1=所以當(dāng)0＜＜δ時，有f(x，y)一f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在點(0，0)處取極大值，選(A)．4、設(shè)f(x，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=一3，則f(x，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為=一3，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時，＜0．因為當(dāng)0＜＜δ時，|x|+y2＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處取極大值，選(A)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz|e，0=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：x=e，y=0時，z=1．x=zey+z兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得，將x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得，將x=e，y=0，z=1代入得，故dz(e，0)=8、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)z=f(x，y)=x2arctan=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、設(shè)f(x，y)滿足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，則f(x，y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+xy+1．知識點解析：由=2y+φ1(x)，因為f’y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即=2y+x，再由=2y+x得f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，因為f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．11、z=f(xy)+yg(x2+y2)，其中f，g二階連續(xù)可導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：+y2f"(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g"(x2+y2)．知識點解析：+2xyg’(x2+y2)，+y2f"(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g"(x2+y2)．12、設(shè)u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1．知識點解析：13、設(shè)z=，其中f(u)可導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2z．知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)14、設(shè)u=xyz，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)z=yf(x2一y2)，其中f可導(dǎo)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：=2xyf’(x2一y2)，=f(x2一y2)一2y2f’(x2一y2)，則=2yf’(x2一y2)，f(x2一y2)一2yf’(x2一y2)=f’(x2一y2)=知識點解析：暫無解析16、已知u(x，y)=，其中f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xuxx"+yuxy"。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)u=f(x+y，x2+y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=f’1+2xf’2f’1+2yf’2=f"11+2xf"12+2f’2+2x(f"21+2xf"22)=f"11+4xf"12+4x2f"22+2f’2，=f"11+2yf"12+2f’2+2y(f"21+2yf"22)=f"11+4yf"12+4yzf"22+2f’2，則=2f"11+4(x+y)f"12+4(x2+y2)f"22+4f’2．知識點解析：暫無解析18、設(shè)z=f[xg(y)，x—y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g二階可導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=g(y)f’1+f’2，=g’(y)f’1+g(y)[xg’(y)f"11一f"12]+xg’(y)f"21一f"22=g’(y)f’1+xg’(y)g(y)f"11+[xg’(y)一g(y)]f"12一f"22.知識點解析：暫無解析19、設(shè)z=z(x，y)由ryz=x+y+z確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令F=xyz一x一y一z，知識點解析：暫無解析20、舉例說明多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)不一定連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x，y)=顯然f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，但不存在，所以f(x，y)在點(0，0)處對x不可偏導(dǎo)，由對稱性，f(x，y)在點(0，0)處對y也不可偏導(dǎo)．設(shè)因為所以f(x，y)在點(0，0)處可偏導(dǎo)，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．因為不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x，y)=討論函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以不存在，故函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)，因為所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處對x，y都可偏導(dǎo)．知識點解析：暫無解析22、討論f(x，y)=在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以=0=f(0，0)，即函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，因為所以f’x(0，0)=0，根據(jù)對稱性得f’y(0，0)=0，即函數(shù)f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．△z一f’x(0，0)x一f’y(0，0)y=f(x，y)一f’x(0，0)x一f’y(0，0)y=因為不存在，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x，y)=試討論f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性和可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0=f(0，0)得f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．由得f’x(0，0)=0，由f(x，y)在(0，0)可偏導(dǎo)，即f(x，y)在(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析24、設(shè)z=f(e’sint，tant)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=et(sint+cost)f’1+f’2sec2t知識點解析：暫無解析25、設(shè)z=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)z=f(t，et)dt，f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)u=，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所確定，其中f是可微函數(shù)，計算并化成最簡形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2+y2+z2=xyf(22)兩邊對x求偏導(dǎo)得2x+=yf(z2)+2xyzf’(z2)解得x2+y2+z2一xyf(z2)兩邊對y求偏導(dǎo)得2y+=xf(z2)+2xyzf’(z2)解得知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，υ)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且z=f(2x一y)+g(x，xy)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=2f’(2x一y)+g’1(x，xy)+yg’2(x，xy)，=一2f"(2x一y)+xg"12(x，xy)+g’2(x，xy)+xyg"22(x，xy)．知識點解析：暫無解析30、設(shè)z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，υ)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=f’1exsiny+2xf’2，=f’1exosy+exsiny(f"11excosy+2y"12)+2x(f"21ercosy+2yf"22)=f"1excosy+f"11e2xsin2y+2ex(ysiny+xcosy)f"12+4xyf"22．知識點解析：暫無解析31、設(shè)z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，υ，ω)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=2xf’1+yf’2+f’3，=2x(2yf"11+xf"12)+f’2+y(2y"21+xf"22)+2yf"31+xf"32=4xyf"11+2(x2+y2)f"12+f’2+xyf"22+2yf"31+xf"32．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=()．A、f2’+xf11"+(x+z)f12"+xzf22"B、xf12"+xzf22"C、f2’+x12"+xzf22"D、xzf22"標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：=xf"12+f’2+xzf"22，選(C)．2、函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)可偏導(dǎo)是函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)連續(xù)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：如f(x，y)=在點(0，0)處可偏導(dǎo)，但不連續(xù)；又如f(x，y)=在(0，0)處連續(xù)，但對x不可偏導(dǎo),選(D)．3、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零B、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)大于零C、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)小于零D、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：可微函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零，選(A)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、設(shè)z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、設(shè)y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2確定的隱函數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、設(shè)z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=確定的函數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、設(shè)y=y(x)由x一∫1x+ye一t2dt=0確定，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e一1．知識點解析：當(dāng)x=0時，y=1，x一∫1x+ye一t2dt=0兩遍求導(dǎo)得8、設(shè)z=z(x，y)由z+e2=xy2確定，則dz=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z+ez=xy2兩邊求微分得d(z+ez)=d(xy)2，即dz+ezdz=y2dx+2xydy解得9、設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求偏導(dǎo)得10、設(shè)z=xy+，其中f可導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：z+xy．知識點解析：11、由方程xyz+確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的微分為dz=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：dx一知識點解析：把(1，0，一1)，代入上式得dz=dx一12、設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，一1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1．知識點解析：fx’(x，y，z)=，x+y+z+xyz=0兩邊對x求偏導(dǎo)得，將x=0，y=1，z=一1代入得，解得fx’(0，1，一1)=1．13、設(shè)f(x，y)可微，且f’1(一1，3)=一2，f’2(一1，3)=1，令z=f(2x一y，)，則dz|1，3=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一7dx+3dy．知識點解析：則dz|(1，3)=一7dx+3dy．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、設(shè)z=z(x，y)由z一yz+yez一x一y=0確定，求及dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程x一yz+yez一x一y=0兩邊對x求偏導(dǎo)得方程x一yz+yez一x一y=0兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析15、設(shè)z=f[x一y+g(x一y一z)]，其中f，g可微，求標(biāo)準(zhǔn)答案：等式z=f(x一y+g(x一y一z))兩邊對x求偏導(dǎo)得等式z=f(x一y+g(x一y一z))兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析16、設(shè)u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)確定的x，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)xy=xf(z)+yg(z)，且zf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x．y的函數(shù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析18、設(shè)z=f(x，y)由方程z一y一z+xez一y一z=0確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：對z一y一x+xez一y一x=0兩邊求微分，得dz一dy一dx+ez一y一xdx+xez一y一x(dz一dy一dx)=0，解得知識點解析：暫無解析19、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy一y=0與ez一xz=0確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：方程exy一y=0兩邊對x求導(dǎo)得方程ez一xz=0兩邊對x求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析20、設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(z+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得知識點解析：暫無解析21、設(shè)y=f(x，t)，其中￡是由G(x，y，t)=0確定的x，y的函數(shù)，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=f(x，t)與G(x，y，t)=0兩邊對x求導(dǎo)得解得知識點解析：暫無解析22、設(shè)且F可微，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對x求偏導(dǎo)得兩邊對y求偏導(dǎo)得知識點解析：暫無解析23、設(shè)變換可把方程，求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u，υ作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z=f(u，υ)，則有將上述式子代入方程根據(jù)題意得解得a=3．知識點解析：暫無解析24、設(shè)z=[x+φ(x一y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，φ二階可導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：z=f[x+φ(x一y)，y]兩邊對y求偏導(dǎo)得=一f’1．φ’+f’2，=一(一f"11φ’+f"12)φ’+f’1φ"一f"21φ’+f"22=f"11(φ’)2一2φ’f"+f’1φ"+f"22．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x+y，x一y)=c2一y2+，求f(u，υ)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：令，從而f(u，υ)=uυ+于是知識點解析：暫無解析26、求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：二元函數(shù)f(x，y)的定義域為D={(x，y|y＞0}，因為AC一B2＞0且A＞0，所以為f(x，y)的極小點，極小值為知識點解析：暫無解析27、試求z=f(x，y)=x3+y3—3xy在矩形閉域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2)上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)(x，y)在區(qū)域D內(nèi)時，在L1:y=一1(0≤x≤2)上，z=z3+3x一1，因為z’=3x2+3＞0，所以最小值為z(0)=一1，最大值為z(2)=13；在L2:y=2(0≤x≤2)上，z=x3—6x+8，由z’=3x2一6=0得x=，z(0)=8，2()=8，z(2)=4；在L3：x=0(一1≤y≤2)上，z=y3，由z’=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(一1≤y≤2)上，z=y3—6y+8，由z’=3y2一6=0得y=，z(一1)=13，z()=8一4，z(2)=4．故z=x3+y3—3xy在D上的最小值為一1，最大值為13．知識點解析：暫無解析28、平面曲線L:繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為S，求曲面S的內(nèi)接長方體的最大體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面為根據(jù)對稱性，設(shè)內(nèi)接長方體在第一卦限的頂點坐標(biāo)為M(x，y，z)，則體積為V=8xyz．令由由實際問題的特性及點的唯一性，當(dāng)時，內(nèi)接長方體體積最大，最大體積為知識點解析：暫無解析29、設(shè)某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x件和y件，利潤函數(shù)為L(x，y)=6x一x2+16y一4y2—2(萬元)．已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時，每件產(chǎn)品都要消耗原料2000kg，現(xiàn)有該原料12000kg，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時總利潤最大？最大利潤是多少？標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意，即求函數(shù)L(x，y)=6x一x2+16y—4y2—2在0＜x+y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一駐點為(3，2)，令F(x，y，λ)=6x一x2+16y—4y2一2+λ(x+y一6)，由根據(jù)題意，x，y只能取正整數(shù)，故(x，y)的可能取值為L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故當(dāng)x=3，y=2時利潤最大，最大利潤為23萬元．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)則f(x，y)在點O(0，0)處()A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：｜f(x，y)－0｜=所以f(x，y)=0，f(x，y)在點O處連續(xù)，排除(A)，(B)．下面考查(C)．所以fˊx(0，0)=0，fˊy(0，0)=0．若在點O(0，0)處可微，則應(yīng)有△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)==fˊx(0，0)△x+fˊy(0，0)△y+o(ρ)(其中ρ=)=o(ρ)．但是上式并不成立，事實上，所以f(x，y)在點O(0，0)處不可微，故應(yīng)選(C)．2、二元函數(shù)，其中m，n為正整數(shù)，函數(shù)在(0，0)處不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在，則m，n需滿足()A、m≥2，n＜2B、m≥2，n≥2C、m＜2，n≥2D、m＜2，n＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)(x，y)沿y=kx(k≠0)趨向點(0，0)時，當(dāng)m≥2，n≥2時，k取不同值，上式結(jié)果不唯一，所以函數(shù)在(0，0)處極限不存在，故函數(shù)不連續(xù)．又因為fˊx(0，0)==0，同理可得fˊy(0，0)=0，故偏導(dǎo)數(shù)存在．當(dāng)n＜2時，有n=1，因而，函數(shù)f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．同理，當(dāng)m＜2時，函數(shù)f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．綜上，應(yīng)選(B)．3、函數(shù)z=f(x，y)=在(0，0)點()A、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在B、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微C、可微D、偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：從討論函數(shù)是否有偏導(dǎo)數(shù)和是否可微入手．由于=0，所以fˊx(0，0)=0，同理fˊy(0，0)=0．令α=△z－fˊx(0，0)△x－fˊy(0，0)△y=當(dāng)(△x，△y)沿y=x趨于(0，0)點時≠0，即α不是ρ的高階無窮小，因此f(x，y)在(0，0)點不可微，故選(B)．4、函數(shù)x3+y3－3x2－3y2的極小值點是()A、(0，0)B、(2，2)C、(0，2)D、(2，0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由=3x2－6x=0和=3y2－6y=0，可得到4個駐點(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．在(0，2)點和(2，0)點，均有AC－B2＜0，因而這兩個點不是極值點．在(0，0)點，AC－B2=36＞0，且A=－6＜0，所以(0，0)點是極大值點．在(2，2)點，AC－B2=36＞0，且A=12＞0，所以(2，2)點是極小值點，故選(B)．5、函數(shù)，則極限()A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：當(dāng)xy≠0時，0≤≤｜x｜+｜y｜，當(dāng)(x，y)→(0，0)時，由夾逼準(zhǔn)則，可得極限值為0．6、設(shè)函數(shù)z=1－，則點(0，0)是函數(shù)z的()A、極小值點且是最小值點B、極大值點且是最大值點C、極小值點但非最小值點D、極大值點但非最大值點標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由極值點的判別條件可知．7、設(shè)f(x，y)=arcsin，則fˊx(2，1)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：fˊx(2，1)=8、zˊx(x0，y0)=0和zˊy(x0，y0)=0是函數(shù)z=z(x，y)在點(x0，y0)處取得極值的()A、必要條件但非充分條件B、充分條件但非必要條件C、充要條件D、既非必要也非充分條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：若z=z(x，y)=，則(0，0)為其極小值點，但zˊx(0，0)，zˊy(0，0)均不存在．9、函數(shù)不連續(xù)的點集為()A、y軸上的所有點B、x=0，y≥0的點集C、空集D、x=0，y≤0的點集標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：當(dāng)x≠0時，f(x，y)為二元連續(xù)函數(shù)，而當(dāng)．所以，(0，y0)為f(x，y)的連續(xù)點，故此函數(shù)的不連續(xù)點的集合為φ．10、函數(shù)在點(0，0)處()A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：取y=kx，可得f(x，y)在(0，0)處不連續(xù)．由偏導(dǎo)數(shù)定義，可得f(x，y)在(0，0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)11、函數(shù)f(x，y)=ln(x2+y2－1)的連續(xù)區(qū)域是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2+y2＞1知識點解析：一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．12、設(shè)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點解析：本題屬于基本計算，考研中多次考過這種表達(dá)式．13、若函數(shù)2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C在點(－2，3)處取得極小值－3，則常數(shù)a、b、c之積abc=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：30知識點解析：由極值的必要條件知在點(－2，3)處，zˊx=0，zˊy=0，從而可分別求出a、b、c之值．14、設(shè)u=x4+y4-4x2y2，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：12x2－8y2知識點解析：因=4x3－8xy2，故=12x2－8y2．15、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－sinθ知識點解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ，=－sinθ．16、設(shè)則fˊx(0，1)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：fˊx(0，1)==1．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)17、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x，y)=，－∞＜x＜+∞，y＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題形式上的研究對象是多元函數(shù)，事實上，問題的主體知識是一元函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)問題，需要考生在計算的全過程中把握住“誰是變量”．知識點解析：暫無解析18、試分析下列各個結(jié)論是函數(shù)z=f(x，y)在點P0(x0，y0)處可微的充分條件還是必要條件．(1)二元函數(shù)的極限存在；(2)二元函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某個鄰域內(nèi)有界；(3)(4)F(x)=f(x0，y0)在點x0處可微，G(y)=f(x0，y)在點y0處可微；(5)(6)標(biāo)準(zhǔn)答案：結(jié)論(1)～(4)中每一個分別都是z=f(x，y)在點P0(x0，y0)處可微的必要條件，而非充分條件．而結(jié)論(5)是其既非充分也非必要條件，結(jié)論(6)是其充分非必要條件．因z=f(x，y)在點P0(x0，y0)處可微，故z=f(x，y)在點P0(x0，y0)處連續(xù)，即f(x，y)=f(x0，y0)，則極限f(x，y)必存在，于是z=(x，y)在點P0(x0，y0)某鄰域內(nèi)有界．結(jié)論(3)表示一元函數(shù)F(x)=f(x，x0)在x0處連續(xù)，G(y)=f(x0，y)在y0處連續(xù)，它是二元函數(shù)z=f(x，y)在點P0(x0，y0)處連續(xù)的必要條件，而非充分條件．而z=f(x，y)在點P0(x0，y0)處連續(xù)又是其可微的必要條件，且非充分條件．只要在z=f(x，y)在P0(x0，y0)的全微分定義△z=A△x+B△y+o(ρ)，ρ=中取特殊情況，分別令△y=0與△x=0即證得結(jié)論(4)．結(jié)論(5)的[fˊx(x，y0)－fˊx(x0，y0)]=0表示偏導(dǎo)函數(shù)fˊx(x，y)在y=y0時的一元函數(shù)fˊx(x，y0)在x0處連續(xù)，它僅是二元偏導(dǎo)函數(shù)fˊx(x，y)在P0(x0，y0)處連續(xù)的一個必要條件，對[fˊy(x0，y)－fˊy(x0，y0)]=0有類似的結(jié)果．而z=f(x，y)在P0(x0，y0)處可微又是fˊx(x，y)，fˊy(x，y)在P0(x0，y0)處連續(xù)的另一個必要條件，所以結(jié)論(5)既不是充分條件也不是必要條件．結(jié)論(6)的等價形式是△z=f(x，y)－f(x0，y0)=o(ρ)，ρ=，它是相應(yīng)全微分定義中A=0，B=0的情形，則結(jié)論(6)是其可微的充分非必要條件．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，且其中a，b，c為常數(shù)．(1)討論f(x，y)在點(0，0)處是否可微，若可微則求出df(x，y)｜(0,0)；(2)討論f(x，y)在點(0，0)處是否取極值，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)(x，y)→(0，0)時，ln(1+x2+y2)～x2+y2，[f(x，y)－a－bx－cy]=0=>f(x，y)=a．由f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性即得f(0，0)=f(x，y)=a．再由極限與無窮小的關(guān)系可知，=1+o(1)(其中o(1)為當(dāng)(x，y)→(0，0)時的無窮小量)，則f(x，y)－f(0，0)－bx－cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=o(ρ)(ρ=→0)，即f(x，y)－f(0，0)=bx+cy+o(ρ)(ρ→0)．由可微性概念=>f(x，y)在點(0，0)處可微且df(x，y)｜(0，0)=bdx+cdy．(2)由df(x，y)｜(0，0)=bdx+cdy可知，=c．于是當(dāng)b，c不同時為零時，f(x，y)在點(0，0)處不取極值．當(dāng)b=c=0時，由于又由極限保號性可知，δ＞0，當(dāng)0＜x2+y2＜δ2時，＞0，即f(x，y)＞f(0，0)，因此f(x，y)在點(0，0)處取極小值．知識點解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fˊx(0，0)=a，fˊy(0，0)=b，且φ(t)=f(t，t2)]，求φˊ(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，v)，φˊ(t)=fˊ1(u，v)+fˊ2(u，v)=fˊ1(u，v).1+fˊ2(u，v).[fˊ1(t，t2).1+fˊ2(t，t2).2t]=fˊ1[t，f(t，t2)]+fˊ2[t，f(t，t2)].[fˊ1(t，t2)+fˊ2(t，t2).2t]，所以φˊ(0)=fˊ1(0，0)+fˊ2(0，0).[fˊ1(0，0)+fˊ2(0，0).2.0]=a+b(a+0)=a(1+b)。知識點解析：暫無解析21、設(shè)z=f(xy)+yφ(x+y)，其中f及φ二階可導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=xy，v=x+y，則z=f(u)+yφ(v)．由于f及φ二階可微，而u=xy，v=x+y均為初等函數(shù)，故滿足這里先求較為簡便一些．由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得知識點解析：暫無解析22、已知z=，其中a＞0，a≠1，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)z=，其中f，g均可微，計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f(u，v)+g(ω)，u=xy，v=，ω=，則知識點解析：暫無解析24、設(shè)u=，其中函數(shù)f，g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)z=f(2x－y)+g(x，xy)，其中函數(shù)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：=2fˊ+gˊu+ygˊv，=－2fˊˊ+xgˊˊuv+xygˊˊvu+gˊv．知識點解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程u=φ(u)+∫xyP(t)dt確定u是x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φˊ(u)連續(xù)，且φˊ(u)≠1．求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(u)，可得在方程u=φ(u)+∫xyP(t)dt兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得由此得．于是知識點解析：暫無解析27、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)和z=z(x)分別由方程exy－y=0和ez－xz=0所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：方程exy－y=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有方程ez－xz=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有[．于是知識點解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(u)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z=滿足等式．(1)驗證fˊˊ(u)+=0；(2)若f(1)=0，fˊ(1)=1，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求二元復(fù)合函數(shù)z=f()的二階偏導(dǎo)數(shù)中必然包含fˊ(u)及fˊˊ(u)，將的表達(dá)式代入等式=0中，就能找出fˊ(u)與fˊˊ(u)的關(guān)系式．(2)解可降階的二階線性微分方程的通解和特解．在方程fˊˊ(u)+=0中，令fˊ(u)=g(u)，則fˊˊ(u)=gˊ(u)，方程變?yōu)間ˊ(u)+=0，這是可分離變量微分方程，解得g(u)=，即fˊ(u)=，由初值條件ˊ(1)=1得C1=1，所以，f1(u)=，兩邊積分得f(u)=lnu+C2．由初值條件f(1)=0得C2=0，所以f(u)=lnu．知識點解析：暫無解析30、設(shè)，求常數(shù)a，使標(biāo)準(zhǔn)答案：所以a=1．知識點解析：暫無解析31、已知函數(shù)u=u(x，y)滿足方程．試選擇參數(shù)a，b，利用變換u(x，y)=v(x，y)eax+by均將原方程變形，使新方程中不出現(xiàn)一階偏導(dǎo)數(shù)項．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式u(x，y)=v(x，y)eax+by兩邊同時求偏導(dǎo)數(shù)，由題意可知，應(yīng)令2a+k=0，－2b+k=0，解得，原方程變?yōu)橹R點解析：暫無解析32、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值、最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組得x=0(0≤y≤b)及點(4，0)，(2，1)。而點(4，0)及線段x=0(0≤y≤b)在D的邊界上，只有點(2，1)在D內(nèi)部，可能是極值點．fˊˊxx=8y－6xy－2y2，fˊˊxy=8x－3x2－4xy，fˊˊyy=－2x2．在點(2，1)處，A==－6，B==－4，C==－8，B2－AC=－32＜0，且A＜0，因此點(2，1)是z=f(x，y)的極大值點，極大值f(2，1)=4．在D的邊界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在邊界x+y=6上，y=6－x代入f(x，y)中得，z=2x3－12x2(0≤x≤6)．由zˊ=6x2－24x=0得x=0，x=4．在邊界x+y=6上對應(yīng)x=0，4，6處z的值分別為：z｜x=0=2x3－12x2｜x=0=0，z｜x=4=2x3－12x2｜x=4=－64，z｜x=6=2x3－12x2｜x=6=0因此知z=f(x，y)在邊界上的最大值為0，最小值為f(4，2)=－64．將邊界上最大值和最小值與駐點(2，1)處的值比較得，z=f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=－64．知識點解析：暫無解析33、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R萬元與電臺廣告費x1萬元及報紙廣告費用x2萬元之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式：R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22．(1)在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；(2)若提供的廣告費用為1．5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)利潤函數(shù)為z=f(x1，x2)=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22－(x1+x2)=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22．由函數(shù)z=f(x1，x2)在(0．75，1．25)的二階導(dǎo)數(shù)為由于B2－AC=64－80=－16＜0，A=－4＜0，所以函數(shù)z=f(x1，x2)在(0．75，1．25)處達(dá)到極大值，也即最大值．所以投入電臺廣告費0．75萬元，報紙廣告費1．25萬元時，利潤最大．(2)若廣告費用為1．5萬元，則需求利潤函數(shù)z=f(x1，x2)在x1+x2=1．5時的條件極值．構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x1，x2，λ)=15+13x1+31x2－8x1x2－2x12－10x22+λ(x1+x2－1．5)，由方程組得x1=0，x2=1．5．即將廣告費1．5萬元全部用于報紙廣告，可使利潤最大．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、極限()A、等于0B、不存在C、等于D、存在，但不等于也不等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)取y=kx時，與k有關(guān)，故極限不存在．2、設(shè)u=arcsin()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：將x視為常數(shù)，屬基本計算．3、極限()A、等于0B、不存在C、等于D、存在且不等于0及標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：取y=x，則=0；取y=x2，則，故原極限不存在．4、設(shè)u=f(r)，而r=，f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：屬基本計算，考研計算中?？歼@個表達(dá)式．5、考慮二元函數(shù)f(x，y)的下面4條性質(zhì)：①f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)；②f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；③f(x，y)在點(x0，y0)處可微；④f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在．若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：本題考查圖1．4-1中因果關(guān)系的認(rèn)知：6、設(shè)函數(shù)u=u(x，y)滿足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則uˊˊ11(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：等式u(x，2x)=x兩邊對x求導(dǎo)得uˊ1+2uˊ2=1，兩邊再對x求導(dǎo)得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2兩邊對x求導(dǎo)得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②將②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=uˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．7、利用變量代換u=x，v=，可將方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由復(fù)合函數(shù)微分法，于是8、若函數(shù)u=，其中f是可微函數(shù)，且=G(x，y)u，則函數(shù)G(x，y)=()A、x+yB、x－yC、x2－y2D、(x+y)2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)t=，則u=xyf(t)，9、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，則()A、a=2，b=－2B、a=3，b=2C、a=2，b=2D、a=－2，b=2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上兩式分別對y，x求偏導(dǎo)得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于連續(xù)，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．10、設(shè)u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則u(x，y)的()A、最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部B、最大值點和最小值點必定都在D的邊界上C、最大值點在D的內(nèi)部，最小值點在D的邊界上D、最小值點在D的內(nèi)部，最大值點在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令，由于B2－AC＞0，函數(shù)u(x，y)不存在無條件極值，所以，D的內(nèi)部沒有極值，故最大值與最小值都不會在D的內(nèi)部出現(xiàn)．但是u(x，y)連續(xù)，所以，在平面有界閉區(qū)域D上必有最大值與最小值，故最大值點和最小值點必定都在D的邊界上．11、設(shè)函數(shù)z=(1+ey)cosx－yey，則函數(shù)z=f(x，y)()A、無極值點B、有有限個極值點C、有無窮多個極大值點D、有無窮多個極小值點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題是二元具體函數(shù)求極值問題，由于涉及的三角函數(shù)是周期函數(shù)，故極值點的個數(shù)有可能無窮，給判別帶來一定的難度，事實證明，考生對這類問題把握不好，請復(fù)習(xí)備考的同學(xué)們注意加強對本題的理解和記憶．由得駐點為(kπ，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①當(dāng)k=0，±2，±4，…時，駐點為(kπ，0)，從而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即駐點(kπ，0)均為極大值點，因而函數(shù)有無窮多個極大值；②當(dāng)k=±1，±3，…時，駐點為(kπ，－2)，此時A=zˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e－2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即駐點(kπ，－2)為非極值點；綜上所述，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)12、設(shè)f可微，則由方程f(cx－az，cy－bz)=0確定的函數(shù)z=z(x，y)滿足azˊx+bzˊx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：c知識點解析：本題考查多元微分法，是一道基礎(chǔ)計算題．方程兩邊求全微分，得fˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．13、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所確定，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：方程兩端對x求偏導(dǎo)數(shù)cosx+0－移項并解出即得．14、函數(shù)f(x，y，z)=－2x2在條件x2－y2－2z2=2下的極大值是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－4知識點解析：由拉格朗日乘數(shù)法即得．15、函數(shù)的定義域為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：≤｜z｜，且z≠0知識點解析：由－1≤≤1即得．16、設(shè)z=esinxy，則dz=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知識點解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，則dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)17、求f(x，y)=z+xy－x2－y2在閉區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)｝上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是閉區(qū)域上求最值的問題．由于函數(shù)f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極值：解方程組得區(qū)域D內(nèi)部唯一的駐點為．由g(x，y)=(fˊˊxy)2－fˊˊxxfˊˊyy=－3得f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極大值再求f(x，y)在閉區(qū)域D邊界上的最大值與最小值：這是條件極值問題，邊界直線方程即為約束條件．在x軸上約束條件為y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函數(shù)為F(x，y，λ)=x+xy－x2－y2+λy，解方程組得可能的極值點，其函數(shù)值為在下面邊界的端點(0，0)，(1，0)處f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面邊界的最大值為，最小值為0．同理可求出：在上面邊界上的最大值為－2，最小值為－4；在左面邊界上的最大值為0，最小值為－4；在右面邊界上的最大值為，最小值為－2．比較以上各值，可知函數(shù)f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D上的最大值為，最小值為－4．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x，y)=kx2+2kxy+y2在點(0，0)處取得極小值，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x，y)=kx2+2kxy+y2，可得fˊx(x，y)=2kx+2ky，fˊˊxx(x，y)=2k，fˊy(x，y)=2kx+2y，fˊˊyy(x，y)=2，fˊˊxy(x，y)=2k，于是，①若△=B2－AC=4k2－4k＜0且A=2k＞0，故0＜k＜1；②若△=B2－AC=4k2－4k=0，則k=0或k=1，當(dāng)k=0時，f(x，y)=y2，由于f(x，0)≡0，于是點(0，0)非極小值點．當(dāng)k=1時，f(x，y)=(x+y)2，由于f(x，－x)≡0，于是點(0，0)也非極小值點．綜上所述，k的取值范圍為(0，1)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．證明：由方程f(x，y)=0所確定的隱函數(shù)y=φ(x)在x=a處取得極值b=φ(a)的必要條件是f(a，b)=0，fˊx(a，b)=0，fˊy(a，b)≠0．且當(dāng)r(a，b)＞0時，b=φ(a)是極大值；當(dāng)r(a，b)＜0時，b=φ(a)是極小值，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是一道新穎的計算性證明題，考查抽象函數(shù)的極值判別和高階偏導(dǎo)數(shù)計算，計算量大，難度不?。畒=φ(x)在x=a處取得極值的必要條件是φˊ(a)=0．而φˊ(x)=(fˊy(x，y)≠0)．設(shè)b=φ(a)，則f(a，b)=0，=0．于是fˊx(a，b)=0，fˊy(a，b)≠0．又當(dāng)＞0時，φˊˊ(a)＜0，故b=φ(a)是極大值；當(dāng)＜0時，φˊˊ(a)＞0，故b=φ(a)是極小值．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)z=x2+y2+2x+y在區(qū)域D：x2+y2≤1上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x2+y2≤1是有界閉區(qū)域，z=x2+y2+2x+y在該區(qū)域上連續(xù)，因此一定能取到最大值與最小值．①解方程組由于(－1)2+＞1，即(－1，)不在區(qū)域D內(nèi)，舍去．②函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部無偏導(dǎo)數(shù)不存在的點．③再求函數(shù)在邊界上的最大值點與最小值點，即求z=x2+y2+2x+y滿足約束條件x2+y2=1的條件極值點．此時，z=1+2x+y．用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2－1)，解方程組所有三類最值懷疑點僅有兩個，由于，所以最小值m=1－，最大值M=1+．知識點解析：暫無解析21、求內(nèi)接于橢球面的長方體的最大體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該內(nèi)接長方體體積為v，p(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是長方體的一個頂點，且位于橢球面上，由于橢球面關(guān)于三個坐標(biāo)平面對稱，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且滿足條件=1．因此，需要求出v=8xyz在約束條件=1下的極值．設(shè)L(x，y，z，λ)=8xyz+λ(－1)，求出L的所有偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0，有①，②，③分別乘以x，y，z，有得，于是或λ=0(λ=0時，8xyz=0，不合題意，舍去)．把代入④，有－1=0，解得由題意知，內(nèi)接于橢球面的長方體的體積沒有最小值，而存在最大值，因而以點為頂點所作對稱于坐標(biāo)平面的長方體即為所求的最大長方體，體積為v=知識點解析：暫無解析22、在第一象限的橢圓+y2=1上求一點，使過該點的法線與原點的距離最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)g(x，y)=+y2－1，則有橢圓上任意一點(x，y)處的法線方程為原點到該法線的距離為d=記f(x，y)=，x＞0，y＞0，約束條件為g(x，y)=+y2－1，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根據(jù)條件極值的求解方法，先求令=0，得聯(lián)立方程組：代入③式得到：根據(jù)實際問題，距離最大的法線是存在的，駐點只有一個，所得即所求，故可斷定所求的點為知識點解析：暫無解析23、廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為p1和p2，銷售量分別為q1和q2，需求函數(shù)分別為q1=24－0．2p1和q2=10－0．05p2，總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)．試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：總收入函數(shù)為R=p1q1+p2q2=24p1－0．2p12+10p2－0．05p22．總利潤函數(shù)為L=R－C=32p1－0．2p12－0．05p22－1395+12p2．由極值的必要條件，得方程組解此方程組得p1=80，p2=120．由問題的實際含義可知，當(dāng)p1=80，p2=120時，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為=605．知識點解析：暫無解析24、在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0,y＞0，z＞0)上，求函數(shù)f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得結(jié)果證明不等式(a＞0，b＞0,c＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：作拉格朗日函數(shù)L(x，y，z，λ)=lnx+lny+31nz+λ(x2+y2+z2－5R2)，并令由前3式得x2=y2=，代入第4式得可疑點(R，R，R)，因xyz3在有界閉集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，x≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2也有最大值，而(R，R，R)唯一，故最大值為f(R，R，R)=ln(3R5)，又lnx+1ny+31nx≤ln(3R5)，xyz3≤3R5，故x2y2z6≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，則abc3≤27()5(a＞0，b＞0，c＞0)．知識點解析：暫無解析25、設(shè)討論它們在點(0，0)處的①偏導(dǎo)數(shù)的存在性：②函數(shù)的連續(xù)性；③方向?qū)?shù)的存在性；④函數(shù)的可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)①按定義易知fˊx(0，0)=0，fˊy(0，0)=0．②｜f(x,y)－0｜=→0(當(dāng)x，y)→(0，0))，所以f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．③l0==(cosα，sinα)，cos2αsin2α=cos2αsin2α(存在)．④△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=，按可微定義，若可微，則即應(yīng)有但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左邊為)，故不可微．(2)以下直接證明④成立，由此可推知①，②，③均成立．事實上，按可微的定義知，g(x，y)在點(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析26、設(shè)A，B，C為常數(shù)，B2－AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．試證明：必存在非奇異線性變換ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2為常數(shù))，將方程標(biāo)準(zhǔn)答案：代入所給方程，將該方程化為(Aλ12+2Bλ1+C)+2[λ1λ2)A+(λ1+λ2)B+C]+(Aλ22+2Bλ2+C)=0．由于B2－AC＞0，A≠0，所以代數(shù)方程Aλ2+2Bλ+C=0有兩個不相等的實根λ1與λ2．取此λ1與λ2，此時λ1λ2A+(λ1+λ2)B+C=(AC－B2)≠0，代入變換后的方程，成為=0．變換的系數(shù)行列式λ1－λ2≠0．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x，