考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷1（共274題）

考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷1（共9套）（共274題）考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、以A表示事件“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”，則其對立事件為（）A、“甲種產品滯銷，乙種產品暢銷”B、“甲、乙兩種產品均暢銷”C、“甲種產品滯銷”D、“甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”標準答案：D知識點解析：設A1={甲種產品暢銷}，A2={乙種產品滯銷}，則A=A1A2。由德摩根定律得為“甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”，故選項D正確。選項A，B中的事件與事件A都是互斥但非對立（互逆）的；選項C中事件的逆事件顯然包含事件A，故選項A，B，C都不正確。2、設A，B是任意兩個隨機事件，又知BA，且P（A）＜P（B）＜1，則一定有（）A、P（A∪B）=P（A）+P（B）B、P（A—B）=P（A）—P（B）C、P（AB）=P（A）P（B|A）D、P（A|B）≠P（A）標準答案：D知識點解析：由于BA，則A∪B=B，AB=A。當P（A）＞0，選項A不成立；當P（A）=0時，條件概率P（B|A）不存在，選項C不成立；由于任何事件概率的非負性，而題設P（A）＜P（B），故選項B不成立。對于選項D，根據(jù)題設條件0≤P（A）＜P（B）＜1，可知條件概率P（A|B）存在，并且故應選D。3、設隨機事件A與B互不相容，且P（A）＞0，P（B）＞0，則下列結論中一定成立的有（）A、A，B為對立事件B、互不相容C、A，B不獨立D、A，B相互獨立標準答案：C知識點解析：A，B互不相容，只說明AB=，但并不一定滿足A∪B=Ω，即互不相容的兩個事件不一定是對立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故）=0，但是P（A）P（B）＞0，即P（AB）≠P（A）P（B），故A與B一定不獨立，應選C。4、在最簡單的全概率公式P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）中，要求事件A與B必須滿足的條件是（）A、0＜P（A）＜1，B為任意隨機事件B、A與B為互不相容事件C、A與B為對立事件D、A與B為相互獨立事件標準答案：A知識點解析：故選項A正確。5、連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F（x）=則其中的常數(shù)a和b為（）A、a=1，b=1B、a=1，b=—1C、a=—1，b=1D、a=0，b=1標準答案：B知識點解析：（a+be—x）=a=1。F（x）為連續(xù)型隨機變量X的分布，故F（x）必連續(xù)，那么F（x）在x=0連續(xù)。所以F（x）=0，即a+b=0，b=—1，故選項B正確。6、設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則隨σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ}應該（）A、單調增大B、單調減少C、保持不變D、增減不定標準答案：C知識點解析：若X一N（μ，σ2），則～N（0，1），因此P{|X一μ|＜σ}==2Ф（1）—1。該概率值與σ無關，故選項C正確。7、設隨機變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關，fX（x）fY（y）分別表示X，Y的概率密度，則在Y=y條件下，X的條件概率密度fX|Y（x|y）為（）A、fX（x）B、fY（y）C、fX（x）fY（y）D、標準答案：A知識點解析：因為（X，Y）服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關，那么X與Y獨立，且f（x，y）=fX（x）fY（y）。則fX，Y（x|y）=故正確答案為A。8、設（X，Y）為二維隨機變量，則下列結論正確的是（）A、若X與Y不相關，則X2與Y2不相關B、若X2與Y不相關，則X與Y不相關C、若X與Y均服從正態(tài)分布，則X與Y獨立和X與Y不相關等價D、若X與Y均服從0—1分布，則X與Y獨立和X與Y不相關等價標準答案：D知識點解析：對于選項D：設X～B（1，p），Y～B（1，g），當X與Y獨立時X與Y不相關。反之，當X與Y不相關，即E（XY）=E（X）E（Y）=pq時，可得下列分布律由此可知X與Y獨立。故此時X與Y獨立和X與Y不相關等價，故選項D正確。根據(jù)不相關的性質可排除選項A和B。對于選項C，當X與Y均服從正態(tài)分布時，（X，Y）未必服從二維正態(tài)分布，故選項C不正確。9、對于任意兩隨機變量X和Y，與命題“X和Y不相關”不等價的是（）A、E（XY）=E（X）．E（Y）B、Cov（X，Y）=0C、D（XY）=D（X）．D（Y）D、D（X+Y）=D（X）+D（Y）標準答案：C知識點解析：因為Cov（X，Y）=E（XY）—E（X）E（Y）=0是“X和Y不相關”的充分必要條件，所以A與B等價。由D（X+Y）=D（X）+D（Y）的充分必要條件是Cov（X，Y）=0，可見選項B與D等價。于是，“X和Y不相關”與選項A，B和D等價。故應選C。10、設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…相互獨立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，依概率收斂于其數(shù)學期望，只要{Xn：n≥1}（）A、有相同的期望B、有相同的方差C、有相同的分布D、服從同參數(shù)p的0—1分布標準答案：D知識點解析：由于辛欽大數(shù)定律除了要求隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立的條件之外，還要求X1，X2，…，X2n，…同分布與期望存在。只有選項D同時滿足后面的兩個條件，應選D。11、設總體X服從參數(shù)為λ（λ＞0）的泊松分布，X1，X2，…，Xn（n≥2）為取自總體的簡單隨機樣本，則對應的統(tǒng)計量T1=有（）A、E（T1）＞E（T2），D（T1）＞D（T2）B、E（T1）＞E（T2），D（T1）＜D（T2）C、E（T1）＜E（T2），D（T1）＞D（T2）D、E（T1）＜E（T2），D（T1）＜D（T2）標準答案：D知識點解析：因為X服從參數(shù)為λ（λ＞0）的泊松分布，那么E（Xi）=A，D（Xi）=λ，i=1，2，…，n，則所以E（T1）＜E（T2），D（T1）＜D（T2），故選D。12、設X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N（0，σ2）的簡單隨機樣本，是樣本均值，記S12=，則可以作出服從自由度為n—1的t分布統(tǒng)計量（）A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由于不獨立，所以C和D也不正確。故選B。undefined二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)13、將一枚硬幣重復擲五次，則正、反面都至少出現(xiàn)兩次的概率為________。標準答案：知識點解析：該試驗為獨立重復試驗序列概型，記A=“正、反面都至少出現(xiàn)兩次”，X為將硬幣投擲五次正面出現(xiàn)的次數(shù)，則X—B（5，），而Y=5—X為5次投擲中反面出現(xiàn)的次數(shù)，那么A={2≤X≤5，2≤y≤5}={2≤X≤5，2≤5一X≤5}={2≤X≤5，0≤X≤3}={X=2}∪{X=3}，所以P（A）=P{X=2}+P{X=3}=14、假設盒內有10件產品，其正品數(shù)為0，1，…，10個是等可能的，今向盒內放入一件正品，然后從盒內隨機取出一件產品發(fā)現(xiàn)它是正品，則原來盒內有7件正品的概率α=________。標準答案：知識點解析：設事件Ai=“盒內原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的產品是正品”，所以A0，A1，…，A10構成一個完備事件組，依題意有所求概率P（A7|B）可直接應用貝葉斯公式：或先應用全概率公式求出P（B）=再根據(jù)條件概率定義計算出P（A7|B）。15、假設X是在區(qū)間（0，1）內取值的連續(xù)型隨機變量，而Y=1—X。已知P{X≤0．29}=0．75，則滿足P{Y≤k}=0．25的常數(shù)k=________。標準答案：0．71知識點解析：由于P{Y≤k}=P{1—X≤k}=P{X≥1—k}=1—P{X＜1—k}=0．25，所以P{X＜1—k}=1—0．25=0．75。又因P{X≤0．29}=0．75，得1—k=0．29，即k=0．71。16、設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則標準答案：知識點解析：由題設，可知17、設X是服從參數(shù)為2的指數(shù)分布的隨機變量，則隨機變量Y=X一的概率密度函數(shù)fY（y）=________。標準答案：知識點解析：X～E（2），所以其概率密度函數(shù)為fX（x）=所以FY（y）=P{Y≤y}=P{X—所以fY（y）=F’Y（y）=18、設二維隨機變量（X，Y）在xOy平面上由直線y=x與曲線y=x2所圍成的區(qū)域上服從均勻分布，則P{0＜X＜標準答案：知識點解析：由直線y=x與曲線y=x2所圍成的區(qū)域面積為A=∫01（x—x2）dx=所以（X，Y）的概率密度函數(shù)為f（x，y）=于是19、設隨機變量X服從[1，3]上的均勻分布，則標準答案：知識點解析：隨機變量X的密度函數(shù)20、設盒子中裝有m個顏色各異的球，有放回地抽取n次，每次1個球。設X表示n次中抽到的球的顏色種數(shù)，則E（X）=________。標準答案：知識點解析：令Xi=X=X1+X2+…+Xm。事件“Xi=0”表示n次中沒有抽到第i種顏色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取結果互不影響，所以有21、設隨機變量X和Y均服從B（1，）且D（X+Y）=1，則X與Y的相關系數(shù)ρ=________。標準答案：1知識點解析：根據(jù)題意可知D（X）=D（Y）=，且1=D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，Y）=+2Cov（X，Y）解得Cov（X，Y）=故相關系數(shù)三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)22、已知一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)X服從參數(shù)為0．2的泊松分布，寫出X的概率分布，并求一頁上印刷錯誤不多于1個的概率。標準答案：由題意可知，X～p（0．2），X的概率函數(shù)為將x=0，1，2，3…代入函數(shù)，可得p（0）≈0．8187，p（1）≈0．1637，p（2）≈0．0164，p（3）≈0．0011，p（4）≈0．0001，p（5）≈0。X的概率分布表如下：一頁上印刷錯誤不多于1個的概率p=p（0）+p（1）≈0．9824。知識點解析：暫無解析23、設二維離散型隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率分布為試求：（Ⅰ）X與Y的邊緣分布律，并判斷X與Y是否相互獨立；（Ⅱ）P{X=Y}。標準答案：（Ⅰ）因為邊緣分布律就是聯(lián)合分布律表格中行或列中諸元素之和，所以P1．=P2．=p3．=p4．=（Pi．=p{X=i}，p．j=P{Y=j}）假如隨機變量X與Y相互獨立，就應該對任意的i，j都有pij=Pi．P．j，而本題中p14=0，但是p1．與p．4均不為零，所以p14≠P1．P．4，故X與Y不是相互獨立的。知識點解析：暫無解析24、將三封信隨機地投入編號為1，2，3，4的四個郵筒。記X為1號郵筒內信的數(shù)目，Y為有信的郵筒數(shù)目。求：（Ⅰ）（X，Y）的聯(lián)合概率分布；（Ⅱ）Y的邊緣分布；（Ⅲ）在X=0的條件下，關于Y的條件分布。標準答案：（Ⅰ）根據(jù)題意，（X，Y）的全部可能取值為（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2），（3，1），再分別計算相應的概率。事件{X=0，Y=1}表示“三封信均投入后3個郵筒中的某一個郵筒內”。根據(jù)古典概型公式，樣本空間所含樣本點數(shù)為43=64，有利于事件{X=0，Y=1}的樣本點數(shù)為C31=3，于是類似地可以計算出各有關概率值，列表如下：（Ⅱ）從表中看出Y只取1，2，3三個可能值，相應概率分別是對表中pij的各列求和。于是Y的邊緣分布為表中最下行值。在X=0條件下，關于Y的條件分布，可以應用上述公式計算出來，列表如下：知識點解析：暫無解析25、設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為求：（Ⅰ）（X，Y）的邊緣概率密度fX（X）fY（Y）；（Ⅱ）Z=2X—Y的概率密度fZ（Z）。標準答案：（Ⅰ）已知（X，Y）的概率密度，所以關于X的邊緣概率密度（Ⅱ）設FZ（z）=P{Z≤z}=P{2X—Y≤z}，（1）當z＜0時，F(xiàn)Z（z）=P{2X—Y≤z}=0；（2）當0≤z＜2時，F(xiàn)Z（z）=P{2X—Y≤z}=z—（3）當z≥2時，F(xiàn)Z（z）=P{2X—Y≤z}=1。所以FZ（z）的即分布函數(shù)為：FZ（z）=故所求的概率密度為fZ（z）=知識點解析：暫無解析26、設隨機變量X和Y分別服從，已知P{X=0，Y=0}=求：（Ⅰ）（X，Y）的分布；（Ⅱ）X和l，的相關系數(shù)；（Ⅲ）P{X=1|X2+Y2=1}。標準答案：（Ⅰ）由已知條件及離散型隨機變量邊緣分布的性質，得知識點解析：暫無解析27、設隨機變量X與Y相互獨立且分別服從正態(tài)分布N（μ，σ2）與N（μ，2σ2），其中σ是未知參數(shù)且σ＞0，設Z=X—Y。（Ⅰ）求Z的概率密度f（z；σ2）；（Ⅱ）設Z1，Z2，…，Zn為來自總體Z的簡單隨機樣本，求σ2的最大似然估計量標準答案：（Ⅰ）因為X～N（μ，σ2），Y～N（μ，2σ2），且X與Y相互獨立，故Z=X—Y～N（0，3σ2）。所以，Z的概率密度為解得最大似然估計值為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、下列事件中與A互不相容的事件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于不可能事件φ與任何一個事件A都相互不相容，即Aφ=φ，而綜上分析，選項D正確．2、設隨機事件A與B為對立事件，0＜P(A)＜1，則一定有()A、0＜P(A∪B)＜1．B、0＜P(B)＜1．C、0＜P(AB)＜1．D、標準答案：B知識點解析：因A、B為對立事件，即A∪B=Ω，AB=φ，所以P(AB)=0，=0，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此選項A、C、D均不成立，故選B．3、在最簡單的全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+要求事件A與B必須滿足的條件是()A、0＜P(A)＜1，B為任意隨機事件．B、A與B為互不相容事件．C、A與B為對立事件．D、A與B為相互獨立事件．標準答案：A知識點解析：故選項A正確．4、在全概率公式P(B)=中，除了要求條件B是任意隨機事件及P(Ai)>0(i=1，2，…，n)之外，我們可以將其他條件改為()A、A1，A2，…，An兩兩獨立，但不相互獨立．B、A1，A2，…，An相互獨立．C、A1，A2，…，An兩兩互不相容．D、A1，A2，…，An兩兩互不相容，其和包含事件B，即標準答案：D知識點解析：如果A1，A2，…，An兩兩互不相容，則A1B，A2B，…，AnB亦兩兩互不相容，且因故應用加法與乘法兩個公式可得出全概率公式，即應選D．5、同時拋擲三枚勻稱的硬幣，正面和反面都出現(xiàn)的概率為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：設Bk表示三枚硬幣中出現(xiàn)正面硬幣個數(shù)，k=0，1，2，3，P(A)為所求概率，根據(jù)題意應選D．6、將一枚勻稱的硬幣獨立地擲三次，記事件A=“正、反面都出現(xiàn)”；B=“正面最多出現(xiàn)一次”；C=“反面最多出現(xiàn)一次”，則下列結論中不正確的是()A、A與B獨立．B、B與C獨立．C、A與C獨立．D、B∪C與A獨立．標準答案：B知識點解析：試驗的樣本空間有8個樣本點，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．顯然B與C為對立事件，且依古典型概率公式有P(BC)=P(φ)=0，P(B∪C)=P(Ω)=1．由于P(A)P(B)=即P(AB)=P(A)P(B)．因此A與B獨立，類似地A與C也獨立，又因必然事件與任何事件都獨立，因此B∪C與A也獨立，用排除法應選B．7、設當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則()A、P(C)≤P(A)+P(B)一1．B、P(C)≥P(A)+P(B)一1．C、P(C)=P(AB)．D、P(C)=P(A∪B)．標準答案：B知識點解析：由題設條件可知，于是根據(jù)概率的性質、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1故B正確．8、設A，B為隨機事件，P(A)＞0，則P(B|A)=1不等價于()A、P(A—B)=0．B、P(B—A)=0．C、P(AB)=P(A)．D、P(A∪B)=P(B)．標準答案：B知識點解析：，然而P(B一A)=P(B)一P(AB)，所以選項B正確．容易驗證其余三個選項與已知條件是等價的，事實上，9、設A、B、C為事件，P(ABC)＞0，則P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要條件是()A、P(A|C)=P(A)．B、P(B|C)=P(B)．C、P(AB|C)=P(AB)．D、P(B|AC)=P(B|C)．標準答案：D知識點解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在C發(fā)生的條件下，A與B獨立，所以“在C發(fā)生的條件下，A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率”，即P(B|AC)=P(B|C)，故選D．選項A、B、C分別是A與C、B與C、AB與C獨立的充要條件．10、設0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，則事件A和B()A、互不相容．B、相容．C、不獨立．D、獨立．標準答案：D知識點解析：根據(jù)得由上式解得P(AB)=P(A)P(B)．故選項D正確．11、袋中有5個球，其中白球2個，黑球3個，甲、乙兩人依次從袋中各取一球，記A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”．①若取后放回，此時記p1=P(A)，p2=P(B)；②若取后不放回，此時記p3=P(A)，p4=P(B)．則()A、p1≠p2≠p3≠p4．B、p1=p2≠p3≠p4．C、p1=p2=p3≠p4．D、p1=p2=p3=p4．標準答案：D知識點解析：依據(jù)取球方式知p1=p2=p3，又因為“抽簽結果與先后順序無關”，得p3=p4，所以正確答案是D．12、已知0＜P(B)＜1，且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，則下列選項成立的是()A、B、P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)．C、P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)．D、P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)．標準答案：B知識點解析：將題設條件兩邊乘以P(B)，得P[(A1+A2)|B]P(B)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B)P(B);P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)，由乘法公式可知，上式即為選項B，故選項B正確．13、連續(xù)拋擲一枚硬幣，第k次(k≤n)正面向上在第n次拋擲時出現(xiàn)的概率為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：依據(jù)題意，總共拋擲n次，其中有k次出現(xiàn)正面，余下的為n一k次反面．第n次必是正面向上，前n一1次中有n一k次反面，k一1次正面(如上圖所示)．根據(jù)伯努利公式，所以概率為14、設A、B為任意兩個事件，且，P(B)＞0，則下列選項必然成立的是()A、P(A)＜P(A|B)．B、P(A)≤P(A|B)．C、P(A)＞P(A|B)．D、P(A)≥P(A|B)．標準答案：B知識點解析：由于可得A=AB，于是P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)．故選項B正確．15、設A、B是兩個隨機事件，且＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=，則必有()A、P(A|B)=B、P(A|B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．標準答案：C知識點解析：由P(B|A)=可得化簡整理上式可得P(AB)=P(A)P(B)．即A，B相互獨立，故選項C正確．16、設A、B、C是三個相互獨立的隨機事件，且0＜P(C)＜1，則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：本題考查多個隨機事件間的獨立性的關系．由A、B、C相互獨立可知，事件A、B的和、差、積(或其逆)與事件C或C必相互獨立，因此選項A、C、D均被排除，選項B正確．17、在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的．在使用過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t0，電爐就斷電．以E表示事件“電爐斷電”，而T1≤T2≤T3≤T4為四個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則事件E=()A、{T1≥t0}．B、{T2≥t0}．C、{T3≥t0}．D、{T4≥t0}．標準答案：C知識點解析：由于T1≤T2≤T3≤T4，因此，當有兩個溫控器顯示溫度大于等于t0時，E發(fā)生，即當{T3≥t0}和{T4≥t0}發(fā)生時，E發(fā)生．又因為{T3≥t0}發(fā)生時，{T4≥t0}必發(fā)生，故選C．18、設A、B、C三個事件兩兩獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是()A、A與BC獨立．B、AB與A∪C獨立．C、AB與AC獨立．D、A∪B與A∪C獨立．標準答案：A知識點解析：經觀察，即可知由選項A能夠推得所需條件．事實上，若A與BC獨立，則有P(ABC)=P(A)P(BC)．而由題設知P(BC)=P(B)P(C)．從而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．故選A．19、對于任意兩事件A和B，與A∪B=B不等價的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選項A、B、C均與A∪B=B等價，當A≠B時，由A∪B=B不能推得選項D．這表明A∪B=B與不等價，故選D．20、將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1={擲第一次出現(xiàn)正面}，A2={擲第二次出現(xiàn)正面}，A3={正反面各出現(xiàn)一次}，A4={正面出現(xiàn)兩次}，則事件()A、A1，A2，A3相互獨立．B、A2，A3，A4相互獨立．C、A1，A2，A3兩兩獨立．D、A2，A3，A4兩兩獨立．標準答案：C知識點解析：顯然P(A1)=P(A2)=且A1與A2相互獨立．故選項C正確．21、對于任意兩事件A和B()A、若AB≠φ，則A，B一定獨立．B、若AB≠φ，則A，B有可能獨立．C、若AB=φ，則A，B一定獨立．D、若AB=φ，則A，B一定不獨立．標準答案：B知識點解析：由AB≠φ不能推得P(Ab)=P(A)P(B)，因此推不出A、B一定獨立，排除選項A．若AB≠φ，則P(AB)=0，但P(A)P(B)是否為零不能確定，因此選項C、D也不正確，故正確選項為選項B．22、某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為p(0＜p＜1)，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為()A、3p(1一p)2．B、6p(1一p)2．C、3p2(1一p)2．D、6p2(1一p)2．標準答案：C知識點解析：根據(jù)題干可知p={前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標}=C31p(1一p)2p=3p2(1一p)2，故正確答案為C．23、設事件A與事件B互不相容，則()A、B、P(AB)=P(A)P(B)．C、P(A)=1一P(B)．D、標準答案：D知識點解析：由于事件A，B互不相容，則P(AB)=0．因為P(A∪B)不一定等于1，A項錯誤；B項：當P(A)，P(B)不為0時，B不成立，B項排除；C項：只有當A，B互為對立事件的時候才成立，C項排除；故選項D正確．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)24、設工廠A和工廠B的產品的次品率分別為1％和2％，現(xiàn)從由A和B的產品分別占60％和40％的一批產品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬A生產的概率是_______．標準答案：知識點解析：設事件A={抽到的產品為工廠A生產的}，事件B={抽到的產品為工廠B生產的}，事件C={抽到的產品是次品}，則P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C|A)=0．01，P(C|B)=0．02，根據(jù)貝葉斯公式可知25、袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球，今有兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是_________。標準答案：知識點解析：設事件A={第一個人取出的球是黃色的}，事件B={第一個人取出的球是白色的}，事件C={第二個人取出的球是黃色的}，則有根據(jù)全概率公式可得P(C)=P(A).P(C|A)+P(B).P(C|B)=26、設兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)＜且已知P(A∪B∪C)=，則P(A)=_______．標準答案：知識點解析：根據(jù)加法公式有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AC)一P(AB)一P(BC)+P(ABC)，由題A，B和C兩兩獨立，ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)＜所以有P(AB)=P(AC)=P(BC)=P2(A)；P(ABC)=P(φ)=0，從而27、設兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=_______．標準答案：知識點解析：由題設，有即P(A)[1一P(B)]=[1一P(A)]P(B)，可得P(A)=P(B)．28、在區(qū)間(0，1)中隨機地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為_______．標準答案：知識點解析：這是一個幾何概型，設x，y為所取的兩個數(shù)，則樣本空間Ω={(x，y)|0＜x，y＜1}，記A={(x，y)|(x，y)∈Ω，|x—y|＜}所以其中SA，SΩ分別表示A與Ω的面積．29、設10件產品有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為______．標準答案：知識點解析：設事件A：所取的兩件產品中至少有一件是不合格品．事件B：所取的兩件都是不合格品．30、已知X，Y為隨機變量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=設A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，則P(A)=______，P(B)=______，P(C)=______．標準答案：知識點解析：首先分析事件的關系，用簡單事件運算去表示復雜事件，后應用概率性質計算概率．由于A={max(X，Y)≥0}={X，Y至少有一個大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，所以P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}一P{X≥0，Y≥0}=又{max(X，Y)＜0}{min(X，Y)＜0}，則B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=從而P(B)=根據(jù)全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}+{max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0}=C+{X≥0，Y≥0}，故31、假設盒內有10件產品，其正品數(shù)為0，1，…，10個是等可能的，今向盒內放入一件正品，然后從盒內隨機取出一個產品發(fā)現(xiàn)它是正品，則原來盒內有7個正品的概率α=_______．標準答案：知識點解析：設事件Ai=“盒內原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的產品是正品”，所以A0，A1，…A10構成一個完備事件組，依題意有所求概率P(A7|B)可直接應用貝葉斯公式：或先應用全概率公式求出P(B)=再根據(jù)條件概率定義計算出P(A7|B)．32、統(tǒng)計資料表明，男性患色盲的概率為5％，現(xiàn)有一批男士做體檢．則事件“發(fā)現(xiàn)首例患色盲的男士已檢查了30名男士”的概率α為______．標準答案：0．785知識點解析：設事件X表示發(fā)現(xiàn)首例色盲患者時已檢查過的男士數(shù)，則X服從參數(shù)為0．05的幾何分布．33、口袋中有n個球，從中取出一個再放入一個白球，如此交換進行n次，已知袋中自球數(shù)的期望值為a，那么第n+1次從袋中取出一個白球的概率為______．標準答案：知識點解析：本題主要考查事件的設定、全概概率，題中有一個完備事件組：n次交換后袋中存有白球數(shù)X(X=1，2，…，n)，因此是全概概型．設B為第n+1次從袋中取白球，Ak(k=1，2，…，n)表示n次交換后袋中的白球數(shù)，則n次交換后袋中的白球數(shù)的期望值為34、已知隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則概率=________標準答案：知識點解析：根據(jù)題設知P{X＞0}=1，P{X≤0}=0，應用全概率公式得35、如果用X，Y分別表示將一枚硬幣連擲8次正反面出現(xiàn)的次數(shù)，則t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是_______．標準答案：知識點解析：P{{X2=4Y}=P{X2=4(8一X)}=P{X2+4X一32=0}=P{(X+8)(X一4)=0}=P{X=4}=三、解答題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)36、已知P(A)=0．5，P(B)=0．7，則(I)在怎樣的條件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?(Ⅱ)在怎樣的條件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?標準答案：(I)由于因此P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，即P(AB)≤min{P(A)，P(B)}．已知P(A)=0．5，P(B)=0．7，所以P(AB)≤min{P(A)，P(B)}=P(A)=0．5，P(AB)的最大值是0．5，P(AB)=P(A)=0．5成立的條件是AB=A，即．(Ⅱ)根據(jù)概率運算的加法原理，P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．5+0．7一P(AB)=1．2一P(AB)，因此可得P(AB)=1．2一P(A∪B)．因為P(A∪B)≤1，所以P(AB)=1．2一P(A∪B)≥1．2一1=0．2，即P(AB)取得的最小值是0．2，故P(AB)=0．2成立的條件是P(A∪B)=1，即A∪B=Ω知識點解析：暫無解析37、袋中有a個白球與b個黑球．每次從袋中任取一個球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球與第一次取出的球顏色相同的概率．標準答案：設事件A1表示第一次取出的是白球，事件A2表示第二次取出的也是白球，事件B1表示第一次取出的是黑球，事件B2表示第二次取出的也是黑球．如果兩次取出的球顏色相同，則用A1A2+B1B2表示．不放回抽取屬于條件概率，根據(jù)概率運算的加法原理，有知識點解析：暫無解析38、證明：如果P(A|B)=則事件A與B是獨立的．標準答案：利用互逆事件概率和為1可證明．如果A與B是獨立的，則滿足P(A|B)=P(A)．因此P(A|B)=P(A)，所以事件A與B是獨立的．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、下列事件中與A互不相容的事件是（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于與任何一個事件A都相互不相容，即綜上分析，選項D正確。2、設當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則（）A、P（C）≤P（A）+P（B）一1B、P（C）≥P（A）+P（B）一1C、P（C）=P（AB）D、P（C）=P（A∪B）標準答案：B知識點解析：由題設條件可知CAB，于是根據(jù)概率的性質、加法公式，有P（C）≥P（AB）=P（A）+P（B）—P（A∪B）≥P（A）+P（B）—1。故B正確。3、設A、B、C三個事件兩兩獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是（）A、A與BC獨立B、AB與A∪C獨立C、AB與AC獨立D、A∪B與A∪C獨立標準答案：A知識點解析：經觀察，即可知由選項A能夠推得所需條件。事實上，若A與BC獨立，則有P（ABC）=P（A）P（BC）。而由題設知P（BC）=P（B）P（C）。從而P（ABC）=P（A）P（B）P（C）。故選A。4、設隨機變量X的密度函數(shù)為f（x）=λ＞0，則概率P{λ＜X＜λ+a}（a＞0）的值（）A、與a無關，隨λ的增大而增大B、與a無關，隨λ的增大而減小C、與λ無關，隨a的增大而增大D、與λ無關，隨a的增大而減小標準答案：C知識點解析：概率P{λ＜X＜λ+a}（a＞0），顯然與a有關，固定λ隨a的增大而增大，因而選C。事實上，由于1=∫—∞+∞f（x）dx=A∫—∞+∞e—xdx=Ae—λA=eλ，概率P{λ＜X＜λ+a}=A∫λλ+ae—xdx=eA（e—λ一e—aλ）=1一e—a，與λ無關，隨a的增大而增大，故選項C正確。5、設隨機變量X服從正態(tài)分布N（0，1），對給定的α∈（0，1），數(shù)uα滿足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜x}=α，則x等于（）A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：標準正態(tài)分布上α分位數(shù)的定義及條件P{X＞uα}=α與P{|X|＜x}=α，并考慮到標準正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可作出如圖3—2—2及圖3—2—3所示圖形。如圖3—2—3所示，根據(jù)標準正態(tài)分布的上α分位數(shù)的定義，可知，故選項C正確。6、設相互獨立的兩隨機變量x與y均服從分布B（1，），則P{x≤2Y}=（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：P{X≤2Y}=P{X=0}+P{X=1，Y=1}=+P{x=1}P{Y=1}故選項D正確。7、設隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)（）A、是連續(xù)函數(shù)B、至少有兩個間斷點C、是階梯函數(shù)D、恰好有一個間斷點標準答案：D知識點解析：考慮分布函數(shù)的連續(xù)性問題，需求出其分布函數(shù)。因為X服從指數(shù)分布，則其概率密度為其中λ＞0為參數(shù)。由分布函數(shù)的定義FY（y）=P{Y≤y}=P{min（X，2）≤y}，當y＜0時，F(xiàn)Y（y）=0；當y≥2時，F(xiàn)Y（y）=1；當0≤y＜2時，F(xiàn)Y（y）=P{min{X，2}≤y}=P{X≤y}=∫0yλe—λxxdx=1—e—λy，故因為FY（y）=1—e—2λ≠FY（2）=1，所以y=2是FY（y）的唯一間斷點，故選D。8、已知隨機變量X服從二項分布，且E（X=2．4，D（X=1．44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為（）A、n=4，p=0．6B、n=6，p=0．4．C、n，=8，p=0．3D、n=24，p=0．1標準答案：B知識點解析：因為X～B（n，p），所以E（X）=np，D（X）=np（1—p），將已知條件代入，可得解此方程組，得n=6，p=0．4，故選項B正確。9、設隨機變量X與Y相互獨立，且方差D（X）＞0，D（Y）＞0，則（）A、X與X+Y一定相關B、X與X+Y一定不相關C、X與XY一定相關D、X與XY—定不相關標準答案：A知識點解析：直接根據(jù)計算協(xié)方差來判斷，已知X與y獨立，故Cov（X，Y）=0，Cov（X，X+Y）=Cov（X，X）+Cov（X，Y）=D（X）＞0。所以X與X+Y一定相關，應選A。又由于Cov（X，XY）=E（X2Y）—E（X）．E（XY）故選項C、D有時成立，有時不成立。10、設隨機變量X～t（n）（n＞1），Y=則（）A、Y～χ2（n）B、Y～χ2（n—1）C、Y～F（n，1）D、Y～F（1，n）標準答案：C知識點解析：因X～t（n），故根據(jù)t分布定義知X=其中U～N（0，1），V～χ2（n）。于是Y=～F（n，1）（F分布定義）。故選C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、設兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生日不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P（A）=________。標準答案：知識點解析：由題設，有由于A和B相互獨立，所以即P（A）[1一P（B）]=[1一P（A）]P（B），可得P（A）=P（B）。從而，且P（A）≤1，解得P（A）=12、已知事件A、B僅發(fā)生一個的概率為0．3，且P（A）+P（B）=0．5，則A，B至少有一個不發(fā)生的概率為________。標準答案：0．9知識點解析：由題設=P（A）+P（B）—2P（AB）=0．3。P（A）+P（B）=0．5，于是解得P（AB）=0．1，所以所求的概率為=1—P（AB）=1—0．1=0．9。13、已知隨機變量x的概率分布為P{x=k}=（k=1，2，3），當X=k時隨機變量Y在（0，k）上服從均勻分布，即則P{Y≤2．5}=________。標準答案：知識點解析：根據(jù)題設可知根據(jù)全概率公式，可得14、若f（x）=為隨機變量X的概率密度函數(shù)，則a=________。標準答案：知識點解析：15、設二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)為Ф（2x+1）Ф（2y—1），其中Ф（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)，則（X，Y）～N________。標準答案：知識點解析：（X，Y）的分布函數(shù)為Ф（2x+1）Ф（2y—1），所以可知X，Y獨立。根據(jù)正態(tài)分布X一N（μ，σ2）的標準化可知16、將10雙不同的鞋隨意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一雙鞋的堆數(shù)，則E（X）=________。標準答案：知識點解析：將第i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要與第一只鞋配對，只有在不同于第一只鞋剩下的19只中唯一的一只才有可能，故P{xi=1}=，也就有17、設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N（0，1），Y～N（0，2），則E（X2+Y）=________。標準答案：1知識點解析：因為X和Y相互獨立，所以X2與Y相互獨立，E（X2+Y）=E（X2）+E（Y），由于X～N（0，1），所以E（X）=0，D（X）=1。因此E（X2）=D（X）+（EX）2=1，Y～N（0，2），故E（Y）=0，所以E（X2+Y）=1。18、假設隨機變量X1，X2，…，X2n獨立同分布，且E（Xi）=D（Xi）=1（1≤i≤2n），如果Yn=則當常數(shù)C=________時，根據(jù)獨立同分布中心極限定理，當n充分大時，Yn近似服從標準正態(tài)分布。標準答案：知識點解析：記Zi=X2i—X2i—1，則Zi（1≤i≤n）獨立同分布，且E（Zi）=0，D（Zi）=2。由獨立同分布中心極限定理可得，當n充分大時，近似服從標準正態(tài)分布，所以c=19、設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N（0，2），X～N（0，3），則D（X2+Y2）=________。標準答案：26知識點解析：因X～N（0，2），故～χ2（1），所以D（X2）=8，同理D（Y2）=18。又由于X和Y相互獨立，故D（X2+Y2）=8+18=26。20、設X1，X2，…，Xn是來自參數(shù)為λ的泊松分布總體的一個樣本，則λ的極大似然估計量為________。標準答案：知識點解析：因為p（xi；λ）=P{X=xi}=（Xi=0，1，…），則極大似然估計為三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜內到達的時刻是等可能的。如果甲船的停泊時間是一小時，乙船的停泊時間是兩小時，求它們中的任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率。標準答案：設甲、乙兩艘船到達的時間分別為x，y，并把（x，y）視為直角坐標系里的一個點的坐標，則x，y滿足條件0≤x≤24，0≤y≤24。所以總的基本事件數(shù)為坐標系中邊長為24的正方形的面積，如圖3—1—4所示。用事件A表示“兩艘船中任何一艘都不需要等候碼頭空出”，則x，y滿足不等式y(tǒng)—x≥1，x—y≥2。則上述不等式組表示的區(qū)域為圖中陰影部分的面積，即事件A的基本事件數(shù)。容易求得正方形面積為S=242，陰影部分面積為×232，根據(jù)幾何概型，可得知識點解析：暫無解析22、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F（x）=求：（Ⅰ）常數(shù)A；（Ⅱ）X的密度函數(shù)f（x）；標準答案：（Ⅰ）因X是連續(xù)型隨機變量，故其分布函數(shù)F（x）在x=1處連續(xù)，即所以A=1。（Ⅱ）當x＜0時，F(xiàn)（x）=0，所以f（x）=F’（x）=0；當0≤x＜1時，F(xiàn)（x）=x2，所以f（x）=F’（x）=2x；當x≥1時，F(xiàn)（x）=1，所以f（x）=F’（x）=0。綜上所述知識點解析：暫無解析23、已知隨機變量X的概率密度（Ⅰ）求分布函數(shù)F（x）。（Ⅱ）若令y=F（X），求Y的分布函數(shù)FY（y）。標準答案：直接根據(jù)F（x）=P{X≤x}，F(xiàn)Y（y）=P{F（X）≤y}求解。（Ⅱ）令Y=F（X），則由0≤F（x）≤1及F（x）為x的單調不減連續(xù)函數(shù)知（如圖3—2—6所示），當y＜0時，F(xiàn)Y（y）=0；當y≥1時，F(xiàn)Y（y）=1；當0≤y＜時，知識點解析：暫無解析24、設隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布率及關于X和關于Y的邊緣分布率中的部分數(shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。標準答案：知識點解析：暫無解析25、已知（X，Y）在以點（0，0），（1，—1），（1，1）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布。（Ⅰ）求（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)f（x，y）；（Ⅱ）求邊緣密度函數(shù)fX（x）fY（y）及條件密度函數(shù)fX|Y（x|y），fY|X（y|x）；并問X與Y是否獨立；（Ⅲ）計算概率P{X＞0，Y＞0}，標準答案：（Ⅰ）由于以（0，0），（1，—1），（1，1）為頂點的三角形面積為1，如圖3—3—2所示，故知識點解析：暫無解析26、已知二維隨機變量（X，Y）的概率密度為（Ⅰ）試求（X，Y）的邊緣概率密度fX（x）fY（y），并問X與Y是否獨立；（Ⅱ）令Z=X—Y，求Z的分布函數(shù)Fz（z）與概率密度fZ（z）。標準答案：畫出f（x，y）非零定義域，應用定義、公式進行計算。因為fX（x）fY（y）≠f（x，y），所以X與Y不獨立。（Ⅱ）分布函數(shù)法。Z=X—Y的分布函數(shù)為由于FZ（z）為z的連續(xù)函數(shù)，除z=0外，導函數(shù)存在且連續(xù)，故知識點解析：暫無解析27、設ξ和η是獨立同分布的兩個隨機變量。已知ξ的分布律為P|ξ=i}=，i=1，2，3，又設X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}。（Ⅰ）寫出二維隨機變量（X，Y）的分布律；（Ⅱ）求E（X）。標準答案：（Ⅰ）X，Y可能的取值均為1，2，3。由題意可知X≥Y始終成立，即{X＜Y}是不可能事件，故P{X=1，Y=2}=P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=0。（X，Y）的聯(lián)合分布律如下表:知識點解析：暫無解析28、設隨機變量X的概率密度為對X獨立地重復觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y2的數(shù)學期望。標準答案：因為則有E（Y2）=D（Y）+E2（Y）=npq+（np）2=4×=5。知識點解析：暫無解析29、設某種元件的使用壽命X的概率密度為f（x；θ）=其中0＞0為未知參數(shù)。又設x1，x2，…，xn是X的一組樣本觀測值，求參數(shù)θ的最大似然估計值。標準答案：似然函數(shù)為L（θ）=L（x1，x2，…，xn；θ）=當xi＞9（i=1，2，…，n）時，L（θ）＞0，取對數(shù)，得因為=2n＞0，所以L（θ）單調增加。由于θ必須滿足xi＞θ（i=1，2，…，n），因此當θ取x1，x2，…，xn中最小值時，L（θ）取最大值，所以θ的最大似然估計值為=min{x1，x2，…，xn}。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、假設隨機變量X與Y相互獨立，X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，Y的分布律為P{Y=1}=P{Y=一1}=，則X+Y的分布函數(shù)()A、是連續(xù)函數(shù)．B、恰有一個間斷點的階梯函數(shù)．C、恰有一個間斷點的非階梯函數(shù)．D、至少有兩個間斷點．標準答案：A知識點解析：依題意要通過確定Z=X+Y分布函數(shù)FZ(z)有幾個間斷點來確定正確選項．由于FZ(z)在Z=a間斷FZ(a)一FZ(a—0)≠0P{Z=a}≠0，所以可通過計算概率P{Z=a}來確定正確選項．根據(jù)全概率公式可知，對任意的a∈R．P{X+Y=a}=P{X+Y=a，Y=1}+P{X+Y=a，Y=一1}=P{X=a一1，Y=1}+P{X=a+1，Y=-1}≤P{X=a一1}+P{X=a+1}=0，所以X+y的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，故選項A正確．2、設隨機變量X與Y相互獨立，其概率分布為則下列式子正確的是()A、X=YB、P{X=Y}=0．C、D、P{X=Y}=1．標準答案：C知識點解析：因為隨機變量X和Y可以取不同的值，所以排除選項A，D．又因為X和Y也可以取相同的值，所以排除選項B，故選項C正確．3、設隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)，邊緣分布為FX(x)和FY(y)，則概率P{X＞x，Y＞y}等于()A、1一F(x，y)．B、1—FX(x)一FY(y)．C、F(x，y)一FX(x)一FY(y)+1．D、FX(x)+FY(y)+F(x，y)一1．標準答案：C知識點解析：記事件A={X≤X}，B={Y≤Y}，則P{X＞x，Y＞y}==1一P(A∪B)=1一P(A)一P(B)+P(AB)=1一P{X≤x}一P{Y≤y}+P{X≤x，Y≤y}=1一FX(x)一FY(y)+F(x，y)，故選項C正確．4、設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，則下列服從相應區(qū)間或區(qū)域上均勻分布的是()A、X2B、X—YC、X+YD、(X，Y)．標準答案：D知識點解析：根據(jù)X，Y的獨立性可知，(X，Y)的聯(lián)合密度f(x，y)=因此(X，Y)服從區(qū)域D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}上的二維均勻分布，故選項D正確．5、設隨機變量X與Y相互獨立，其分布函數(shù)分別為FX(x)與FY(y)，則Z=max{X，Y}的分布函數(shù)FZ(z)是()A、max{FX(z)，F(xiàn)Y(z)}．B、FX(z)+FY(z)一FX(z)FY(z)．C、FX(z)FY(z)．D、標準答案：C知識點解析：FZ(z)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}.P{X≤z}=FX(z).FY(z)，故選項C正確．6、設隨機變量X1與X2相互獨立，其分布函數(shù)分別為則X1+X2的分布函數(shù)F(x)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)題意知X1，為離散型隨機變量，其分布律為F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x|X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x|X1=1}=故選項D正確．7、設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，則()A、X+Y一定服從正態(tài)分布．B、X和Y不相關與獨立等價．C、(X，Y)一定服從正態(tài)分布．D、(X，一Y)未必服從正態(tài)分布．標準答案：D知識點解析：選項A不成立，例如，若Y=一X，則X+Y=0不服從正態(tài)分布．選項C不成立，(X，Y)不一定服從正態(tài)分布，因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布．選項B也不成立，因為只有當X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時“X和Y獨立”與“X和Y不相關”二者等價．故應選D．雖然隨機變量X和一Y都服從正態(tài)分布，但是因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布，故(X，一Y)未必服從正態(tài)分布．8、已知隨機變量X1與X2相互獨立且有相同的分布：P{Xi=一1}=P{Xi=1}=(i=1，2)，則()A、X1與X1X2獨立且有相同的分布．B、X1與X1X2獨立且有不同的分布．C、X1與X1X2不獨立且有相同的分布．D、X1與X1X2不獨立且有不同的分布．標準答案：A知識點解析：根據(jù)題設知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}=又P{X1=一1，X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}=所以X1與X1X2的概率分布為從而X1與X1X2有相同的分布且相互獨立，故選項A正確。9、已知隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|一1＜x＜1，一1＜y＜1)上服從均勻分布，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)題設知(X，Y)的概率密度函數(shù)為所以選項A、B、C都不正確．故選D．10、設相互獨立的兩隨機變量X與Y，其中X～B，而Y具有概率密度f(y)=則P{X+Y≤}的值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：．X取值只能是X=0或X=1，將X=0和X=1看成完備事件組，用全概率公式有故選項A正確．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、已知隨機變量X與Y都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，如果P{max(X，Y)＞μ}=a(0＜a＜1)，則P{min(X，Y)≤μ}=______．標準答案：a知識點解析：P{max(X，Y)＞μ}=P{{X＞μ}∪{Y＞μ}}=P{X＞μ}+P{Y＞μ}一P{X＞μ，Y＞μ}==P{min(X，Y)≤μ}=a．12、假設隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立且都服從0一1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1—p(i=1，2，3，4，0＜p＜1)，已知二階行列式的值大于零的概率等于則p=______．標準答案：知識點解析：記=X1X4一X2X3，則P應使P{△＞0}=P{X1X4一X2X3＞0}=P{X1X4＞X2X3}=，因為Xi僅能取1或0，且相互獨立，故事件{X1X4＞X2X3}={X1X4=1，X2X3=0}，所以=P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=0}+P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=1}+P{X1=1，X4=1．X2=1，X3=0}=p2(1一p)2+p3(1一p)+p3(1一p)=p2(1一p2)=p2一p4，則p4一p2+13、設隨機變量X1和X2相互獨立，它們的分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，已知F1(x)=則X1+X2的分布函數(shù)F(x)=_______．標準答案：知識點解析：X1的分布函數(shù)為F1(x)，則X1～．即P{X1=0}=，P{X1=1}=根據(jù)全概率公式，可得F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x|X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x|X1=1}14、假設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，Y=|X|，則(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x，y)=______．標準答案：知識點解析：根據(jù)題意，X的概率密度函數(shù)為所以P{X＞0}=1，則F(x，y)=P{X≤x，|X|≤y}=P{X≤x，X≤y，X＞0；15、已知(X，Y)的概率分布為且P{X2+Y2=1}=0．5，則P{X2Y2=1}=_______．標準答案：0．3知識點解析：由于0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=0．6+α+β=1，即α+β=0.4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=一1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1．故α=0．3，β=0．1．那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=一1}=0．2+β=0．3．16、設二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)為φ(2x+1)φ(2y一1)，其中φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)，則(X，Y)～N(_______)．標準答案：知識點解析：(X,Y)的分布函數(shù)為φ(2x+1)φ(2y一1)，所以可知X，Y獨立．根據(jù)正態(tài)分布X～N(μ，σ2)的標準化可知17、已知隨機變量X1和X2相互獨立，且分別服從參數(shù)為λ1，λ2的泊松分布，已知P{X1+X2＞0}=1—e-1，則E(X1+X2)2=_______．標準答案：2知識點解析：已知Xi～P(λi)且X1與X2相互獨立．所以E(Xi)=D(Xi)=λi(i=1，2)，E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=E(X12)+2E(X1)E(X2)+E(X22)=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2．因為P(X1+X2＞0)=1一P(X1+X2≤0)=1—P(X1+X2=0)=1一P(X1=0，X2=0)=1一P(X1=0)P(X2=0)=所以λ1+λ2=1．故E(X1+X2)2=λ1+λ2+(λ1+λ2)2=2．18、假設隨機變量X在[一1，1]上服從均勻分布，a是區(qū)間[一1，1]上的一個定點，Y為點X到a的距離，當a=______時，隨機變量X與Y不相關．標準答案：0知識點解析：已知X～f(x)=E(X)=0，依題意Y=|X一a|，a應使E(XY)=E(X)E(Y)=0．其中19、已知隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，如果隨機變量Y=X1X2X3的方差D(Y)=則σ2=________．標準答案：知識點解析：已知隨機變量X1，X2，X3相互獨立，則X12，X22，X32相互獨立．又因E(Xi)=0，E(Xi2)=D(Xi)=σ2．故D(Y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2-E2(X1X2X3)=[EX12X22X32]一[E(X1)E(X2)E(X3)]2=E(X12)E(X22)E(X32)=(σ2)3=20、設隨機變量X和Y均服從且D(X+Y)=1，則X與Y的相關系數(shù)ρ=_____標準答案：1知識點解析：根據(jù)題意可知D(X)=D(Y)=，且三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、設ξ，η是兩個相互獨立且服從同一分布的隨機變量，已知ξ的分布率為P(ξ=i)=，i=1，2，3．又設X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)．(I)寫出二維隨機變量的分布率：(Ⅱ)求隨機變量X的數(shù)學期望E(X)．標準答案：(I)根據(jù)X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)的定義可知，P{X＜Y}=0，即P{X=1，Y=2}=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0，同時有，P{X=1，Y=1}=P{ξ=1，η=1}=P{ξ=1}.P{η=1}=，P{X=2，Y=2}=P{ξ=2，η=2}=P{ξ=2}.P{η=2}=，P{X=3，Y=3}=P{ξ=3，η=3}=P{ξ=3}.P{η=3}=，P{X=2，Y=1}=P{ξ=1，η=2}+P{ξ=2，η=1}=，P{X=3，Y=2}=P{ξ=2，η=3}+P{ξ=3，η=2}=，P{X=3，Y=1}=[]；所以所求的分布律為(Ⅱ)X的邊緣分布為因此X的數(shù)學期望為E(X)=知識點解析：暫無解析22、設隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量(X，Y)聯(lián)合分布率及關于X和關于Y的邊緣分布率中的部分數(shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0＜p＜1)，且中途下車與否相互獨立．Y為中途下車的人數(shù)，求：(I)在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；(Ⅱ)二維隨機變量(X，Y)的概率分布．標準答案：(I)P{Y=m|X=n}=Cnmpm(1一p)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…(Ⅱ)P{X=n，Y=m}=P{x=n}P{Y=m|X=n}=.Cnmpm(1一P)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…．知識點解析：暫無解析24、設二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為求：(I)系數(shù)A；(Ⅱ)(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)；(Ⅲ)邊緣概率密度；(Ⅳ)(X，Y)落在區(qū)域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6內的概率．標準答案：(I)根據(jù)分布函數(shù)的性質∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae-(2x+3y)dxdy=，解得A=6．(Ⅱ)將A=6代入得(X，Y)的聯(lián)合概率密度為所以當x＞0，y＞0時，F(xiàn)(x，y)=∫0y∫0x6e-(2x+3y)dxdy=6∫0xe-2xdx∫0ye-3ydy=(1一e-2x)(1一e-3y)，而當x和y取其它值時，F(xiàn)(x，y)=0．綜上所述，可得聯(lián)合概率分布函數(shù)為(Ⅲ)當x＞0時，X的邊緣密度為fX(x)=∫X6e-(2x+3y)dy=2e-2x，當x≤0時,fX(x)=0．因此X的邊緣概率密度為同理可得Y的邊緣概率密度函數(shù)為(IV)根據(jù)公式已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，將其轉化為二次積分，可表示為知識點解析：暫無解析25、設隨機變量X與Y獨立，X在區(qū)間[0，2]上服從均勻分布，Y服從指數(shù)分布e(2)，求：(I)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度；(Ⅱ)概率P(X≤Y)．標準答案：(I)已知X在區(qū)間[0，2]上服從均勻分布，Y服從指數(shù)分布e(2)，因此可得根據(jù)隨機變量獨立的性質，可得(Ⅱ)當x＜0或者x＞2時，f(x，y)=0，因此區(qū)域x≤y為y軸和x=2之間，且在直線y=x上方的無界區(qū)域，所以其對概率密度在積分區(qū)域上進行二重積分，所以可表示為知識點解析：暫無解析26、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為求：(I)(X，Y)的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；(Ⅱ)Z=2X一Y的概率密度fZ(z)．標準答案：(I)已知(X，Y)的概率密度，所以關于X的邊緣概率密度所以，關于Y的邊緣概率密度(Ⅱ)設FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X一Y≤z}，(1)當z＜0時，F(xiàn)Z(z)=P{2X一Y≤z}=0；(2)當0≤z＜2時，F(xiàn)Z(z)=P{2X—Y≤z}=(3)當z≥2時，F(xiàn)Z(z)=P{2X一Y≤z}=1。所以FZ(z)的即分布函數(shù)為：故所求的概率密度為：知識點解析：暫無解析27、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為(I)求P{X＞2Y}；(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度．標準答案：(I)已知X，Y的概率密度，所以P{X＞2Y}=(Ⅱ)先求Z的分布函數(shù)：(1)當z＜0時，F(xiàn)Z(0)=0；(2)當0≤z＜1時，F(xiàn)Z(z)=∫0zdy∫0z-y(2一x一y)dx=(3)當1≤z＜2時，F(xiàn)Z(z)=1一P(X+Y＞Z)=1一∫z-11dy∫z-y1(2一x一y)dx=(4)當z≥2時，F(xiàn)Z(z)=1．故Z=X+Y的概率密度為知識點解析：暫無解析28、設隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為P{X=i}=(i=一1，0，1)，Y的概率密度為fY(y)=記Z=X+Y(I)求(Ⅱ)求Z的概率密度fZ(z)．標準答案：知識點解析：暫無解析29、袋中有1個紅球，2個黑球和3個白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)．(I)求P{X=1|Z=0}；(Ⅱ)求二維隨機變量(X，Y)的概率分布．標準答案：(I)在沒有取白球的情況下取了一次紅球，根據(jù)壓縮樣本空間原則，相當于只有1個紅球，2個黑球放回摸兩次，其中摸了一個紅球．所以(Ⅱ)X，Y取值范圍為0，1，2，故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：設A={兩件產品中有一件是不合格品)，A1={兩件產品中一件是不合格品，另一件也是不合格品)，A2={兩件產品中一件是不合格品，另一件是合格品)，則A=A1∪A2，A1A2=，求概率P(A1｜A)．P(A1A)=P(A1)=P(A)=P(A1)+P(A2)=所以P(A1｜A)=故應選(C)．2、以下4個結論：(1)教室中有r個學生，則他們的生日都不相同的概率是；(2)教室中有4個學生，則至少兩個人的生日在同一個月的概率是；(3)將C，C，E，E，J，N，S共7個字母隨機地排成一行，恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是；(4)袋中有編號為1到10的10個球，今從袋中任取3個球，則3個球的最小號碼為5的概率為．正確的個數(shù)為()A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：對于4個結論分別分析如下：(1)這是古典概型中典型的隨機占位問題．任意一個學生在365天中任何一天出生具有等可能性，此問題等價于“有365個盒子，每個盒子中可以放任意多個球，求將r個球隨機放入不同的r個盒子中的概率”．設A1={他們的生日都不相同)，則P(A1)=，正確；(2)設A2={至少有兩個人的生日在同一個月)，則考慮對立事件，P(A2)=1－，正確；(3)設A3=｛恰好排成SCIENCE｝，將7個字母排成一列的一種排法看做基本事件，所有的排法：字母C在7個位置中占兩個位置，共有C72種占法，字母E在余下的5個位置中占兩個位置，共有C52種占法，字母I，N，S剩下的3個位置上全排列的方法共3！種，故基本事件總數(shù)為C72C523！=1260，而A3中的基本事件只有一個，故P(A3)=，錯誤；(4)設A4={最小號碼為5}，則P(A4)=，正確．綜上所述，有3個結論正確，選擇(C)．3、設A，B是任意兩個事件，且AB，P(B)＞0，則必有()A、P(A)≤P(A｜B)B、P(A)＜P(A｜B)C、P(A)≥P(A｜B)D、P(A)＞P(A｜B)標準答案：A知識點解析：由于AB，因此AB=A，而0＜P(B)≤1，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A｜B)≤P(A｜B)．故選(A)．4、一種零件的加工由兩道工序組成．第一道工序的廢品率為p1，第二道工序的廢品率為p2，則該零件加工的成品率為()A、1－p1－p2B、1－p1p2C、1－p1－p2+p1p2D、(1－p1)+(1－p2)標準答案：C知識點解析：設A=(成品零件}，Ai={第i道工序為成品)，i=1，2．P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2．故選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、設兩個相互獨立的事件A與B至少有一個發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=________．標準答案：知識點解析：已知事件A與B獨立，且P(A∪B)=，P(A－B)=P(B－A)，故P(A)－P(AB)=P(B)－P(AB)=>P(A)=P(B)，，所以1－P(A∪B)=即6、事件A與B相互獨立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C發(fā)生必然導致A與B同時發(fā)生，則A，B，C都不發(fā)生的概率為_________．標準答案：(1－a)(1－b)知識點解析：“事件C發(fā)生必然導致A與B同時發(fā)生”<=>AB，于是=(1－a)(1－b)．7、設事件A，B，C兩兩獨立，三個事件不能同時發(fā)生，且它們的概率相等，則P(A∪B∪C)的最大值為__________．標準答案：知識點解析：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P()=3P(A)－3[P(A)]2=故P(A∪B∪C)的最大值為8、設A，B是任意兩個事件，則=_________．標準答案：0知識點解析：9、在區(qū)間(0，1)中隨機地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于6／5”的概率為_________．標準答案：知識點解析：設A=｛兩數(shù)之和小于6／5｝，兩數(shù)分別為x，y，由幾何概率如圖3-2所示．10、一批產品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為_________．標準答案：知識點解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．則有由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2｜A1)+三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設有大小相同、標號分別為1，2，3，4，5的五個球，同時有標號為1，2，…，10的十個空盒．將五個球隨機放入這十個空盒中，設每個球放入任何一個盒子的可能性都是一樣的，并且每個空盒可以放五個以上的球，計算下列事件的概率：(1)A={某指定的五個盒子中各有一個球}；(2)B={每個盒子中最多只有一個球}；(3)C={某個指定的盒子不空}．標準答案：每個球都有10種放法，所以，基本事件總數(shù)(放法總數(shù))n=105．(1)5個球放入指定的5個盒子中，事件A包含的基本事件數(shù)為5！個，所以P(A)==0．0012；(2)事件B是從10個盒子中任選5個(共有C105種選法)，然后將選定的5個盒子中各放入一個球(共有5！種放法)，由乘法法則，事件B包含C105×5！個基本事件，所以P(B)==0．3024；(3)事件C的逆事件表示“某個指定的盒子內無球”，即“5個球都放入其他9個盒子中”，包含的基本事件數(shù)為95，所以P(C)=1－=0．40951．知識點解析：暫無解析12、設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．標準答案：設事件A=｛從10件產品中任取兩件，有i件不合格品｝，i=0，1，2．記B=A1∪A2，按題意．所求概率為P(A2｜B)．而P(A1)=，P(A2)=P(B)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=因為BA2，所以P(A2B)=P(