考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷3（共288題）

考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷3（共9套）（共288題）考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)A和B是任意兩個(gè)概率不為零的互不相容事件，則下列結(jié)論肯定正確的是（）A、不相容B、相容C、P（AB）=P（A）P（B）D、P（A一B）=P（A）標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=，所以A—B=A—AB=A—=A，從而P（A—B）=P（A），故選項(xiàng)D正確。對(duì)于選項(xiàng)A、B可舉反例排除，如取Ω={l，2，3}，A={1}，B={2}，則AB=，所以P（AB）=0，但由題設(shè)知P（A）P（B）＞0，因此選項(xiàng)C不正確。undefined2、對(duì)于任意兩事件A和B，若P（AB）=0，則（）A、B、C、P（A）P（B）=0D、P（A—B）=P（A）標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镻（A—B）=P（A）—P（AB）=P（A）。故應(yīng)選D。不難證明選項(xiàng)A、B、C不成立。設(shè)X～N（0，1），A={X＜0}，B={X＞0}，則P（AB=0，P（A）P（B）≠0且從而A項(xiàng)和C項(xiàng)不成立。若A和B互為對(duì)立事件，則故選項(xiàng)B也不成立。3、袋中有5個(gè)球，其中白球2個(gè)，黑球3個(gè)。甲、乙兩人依次從袋中各取一球，記A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。①若取后放回，此時(shí)記P1=P（A），P2=P（B）；②若取后不放回，此時(shí)記p3=P（A），p4=P（B）。則（）A、p1≠p2≠p3≠p4B、p1=p2≠p3≠p4C、p1=p2=p3≠p4D、p1=p2=p3=p4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：依據(jù)取球方式知p1=p2=p3，又因?yàn)椤俺楹灲Y(jié)果與先后順序無(wú)關(guān)”，得p3=p4，所以正確答案是D。4、在全概率公式P（B）=P（Ai）P（B|Ai）中，除了要求條件B是任意隨機(jī)事件及P（Ai）＞0（i=1，2，…，n）之外，還可以將其他條件改為（）A、A1，A2，…，An兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立B、A1，A2，…，An相互獨(dú)立C、A1，A2，…，An兩兩互不相容D、A1，An，…，An兩兩互不相容，其和包含事件B，即標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如果A1，A2，…，An兩兩互不相容，則A1B，A2B，…，AnB亦兩兩互不相容，且因應(yīng)用加法與乘法兩個(gè)公式可得出全概率公式，即應(yīng)選D。5、設(shè)X1和X2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為f1（x）和f2（x），分布函數(shù)分別為F1（x）和F2（x），則（）A、f1（x）+f2（x）必為某一隨機(jī)變量的概率密度B、F1（x）F2（x）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)C、F1（x）+F2（x）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)D、f1（x）f2（x）必為某一隨機(jī)變量的概率密度標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，有F1（x）F2（x）=P{X1≤x}P{X2≤x}=P{X1≤x，X2≤x}（因X1與X2相互獨(dú)立）。令X=max{X1，X2}，并考慮到P{X1≤x，X2≤x}=P{max（X1，X2）≤x}，可知，F(xiàn)1（x）F2（x）必為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，即FX（x）=P{X≤x}。故選項(xiàng)B正確。6、設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，42），Y～N（μ，52）；記p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，則（）A、p1=p2B、p1＞p2C、p1＜p2D、因μ未知，無(wú)法比較p1與p2的大小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：P1=P{X≤μ—4}==Ф（一1）=1一Ф（1），p2=P{y≥μ+5}=1一P{Y＜μ+5}=1一=1—Ф（1）。計(jì)算得知P1=P2，故選項(xiàng)A正確。7、已知隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D={（x，y）|—1＜x＜1，—1＜y＜1}上服從均勻分布，則（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)知（X，Y）的概率密度函數(shù)為所以選項(xiàng)A、B、C都不正確。故選D。8、設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，則（）A、X+Y一定服從正態(tài)分布B、X和Y不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)C、（X，Y）—定服從正態(tài)分布D、（X，—Y）未必服從正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A不成立，例如，若Y=—X，則X+Y=0不服從正態(tài)分布。選項(xiàng)C不成立，（X，Y）不一定服從正態(tài)分布，因?yàn)檫吘壏植家话悴荒軟Q定聯(lián)合分布。選項(xiàng)B也不成立，因?yàn)橹挥挟?dāng)X和Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時(shí)“X和Y獨(dú)立”與“X和Y不相關(guān)”二者等價(jià)。故應(yīng)選D。雖然隨機(jī)變量X和—Y都服從正態(tài)分布，但是因?yàn)檫吘壏植家话悴荒軟Q定聯(lián)合分布，故（X，—Y）未必服從正態(tài)分布。9、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布。記Y=max{X，1}，則E（Y）=（）A、1B、1+e—1C、1—e—1D、e—1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）=E（Y）=E[max{X，1}]=∫—∞+∞max{x，1}．f（x）dx=∫0+∞max{x，1}．e—Xdx=∫01e—xdx+∫1+∞xe—xdx=1+e—x。10、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，記U=X—Y，V=X+Y，則隨機(jī)變量U與V必然（）A、不獨(dú)立B、獨(dú)立C、相關(guān)系數(shù)不為零D、相關(guān)系數(shù)為零標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镃ov（U，V）=E（UV）—E（U）．E（V）=E（X2—Y2）—E（X—Y）E（X+Y）=E（X2）—E（Y2）—E2（X）+E2（Y）=D（X）—D（Y）=0。則所以U與V的相關(guān)系數(shù)為零，故選D。11、設(shè)X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為λ（λ＞0）的泊松分布，則當(dāng)n→∞時(shí)，以Ф（x）為極限的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于X1，X2，…，X2n，…相互獨(dú)立同分布，其期望和方差都存在，且E（Xi）=λ，D（Xi）=λ，根據(jù)方差與期望的運(yùn)算法則，有Ф（x）為極限，故應(yīng)選C。12、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（0，σ2），X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量（1＜i＜10）服從F分布，則i等于（）A、5B、4C、3D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，統(tǒng)計(jì)量Y～F（m，，n），所以4=解得i=2，選擇D。故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)13、甲、乙兩人輪流投籃，游戲規(guī)則規(guī)定為甲先開(kāi)始，且甲每輪只投一次，而乙每輪連續(xù)投兩次，先投中者為勝，設(shè)甲、乙每次投籃的命中率分別是p與0．5，則p=________時(shí)，甲、乙勝負(fù)概率相同。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，如果要使得甲、乙的取勝概率相同，則必定有p=（1—p）×0．5+（1—p）×0．5×0．5解得p=。所以只有當(dāng)p=時(shí)，甲、乙勝負(fù)的概率相同。14、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=i}=pi+1，i=0，1，則p=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于P{X=0}+P{X=1}=p+p2=1，所以p2+p一1=0，解得p=15、已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則概率標(biāo)準(zhǔn)答案：一e—2λ知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)知P{X＞0}=1，P{X≤0}=0，應(yīng)用全概率公式得16、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量函數(shù)y=1—e—X的分布函數(shù)為FY（y），則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、假設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立且都服從0—1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1—p（i=1，2，3，4，0＜p＜1），已知二階行列式的值大于零的概率等于，則p=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記=X1X4—X2X3，則p應(yīng)使P{△＞0}=P{X1X4—X2X3＞0}=P{X1X4＞X2X3}=，因?yàn)閄i僅能取1或0，且相互獨(dú)立，故事件{X1X4＞X2X3}={X1X4=1，X2X3=0}，所以=P{X1=1，X4=1，X2=0，X3=0}+P{X1=1，X4=1，X2=o，X3=1}+P{X1=1，X4=1，X2=1，X3=0}=p2（1一p）2+p3（1一p）+p3（1一p）=p2（1一p2）=p2一p4，則p4一p2+18、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1和X2均服從正態(tài)分布N（0，），則D（|X1一X2|）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，），設(shè)Z=X1—X2，則Z～N（0，1），其概率密度函數(shù)為φ（z）=D（|X1—X2|）=D（|Z|）=E（|2|2）—E2（|Z|）=E（Z2）—E2|Z|=D（Z）+E2（2）—E2|Z|顯然，D（Z）=1，E（Z）=0。E（|Z|）=∫—∞+∞|z|φ（z）dz19、設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為0．4，則X2的數(shù)學(xué)期望E（X2）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：18．4知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可知，X服從n=10，p=0．4的二項(xiàng)分布，因此有E（X）=np=4，D（X）=np（1—p）=2．4，因此E（X2）=D（X）+E2（X）=18．4。20、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0．9，若Z=2X—1，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0．9知識(shí)點(diǎn)解析：Cov（Y，Z）=Cov（Y，2X—1）=2Cov（X，Y），D（Z）=D（2X—1）=4D（X）。y與Z的相關(guān)系數(shù)ρYZ為21、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f（x）=（—∞＜x＜+∞），X1，X2，…，Xn為取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本方差為S2，則E（S2）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：顯然E（S2）=D（X），而D（X）=E{[X—E（X）]2}。E（X）=∫—∞+∞xf（x）dx=∫—∞+∞x．e—|x—μ|dx=[∫—∞μx．eμ—xdx+∫μ+∞xeμ—xdx]=[e—μ（xex—ex|—∞μ+eμ（—xe—x—e—x）|—∞μ]=μ。D（X）=∫—∞+∞（x一μ）2．e—|x—μ|dx=∫0+∞t2e—tdt=2∫0+∞te—tdt=2。22、設(shè)總體X的概率分布為為未知參數(shù)，對(duì)總體抽取容量為10的一組樣本，其中五個(gè)取1，三個(gè)取2，一個(gè)取0。則θ的矩估計(jì)值為_(kāi)_______，最大似然估計(jì)值為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)矩估計(jì)，最（極）大似然估計(jì)及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義，即可求得結(jié)果。事實(shí)上，設(shè)E（X）=E（X）=2θ（1—0）+2（1—θ）2=2（1一θ）。令2（1—θ）=解得θ的矩估計(jì)量由樣本值，可得（5×1+3×2+2×0）=，故θ矩估計(jì)值為1—又樣本似然函數(shù)L（θ）=p（xi；0）=[2θ（1—θ）]5[（1—θ）2]3[θ2]2=25θ9（1—θ）11，則有InL=5ln2+9lnθ+11ln（l—θ），三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)23、已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，在其中任取兩次，做不放回抽樣。求下列事件的概率：（Ⅰ）兩件都是正品；（Ⅱ）兩件都是次品；（Ⅲ）一件是正品，一件是次品；（Ⅳ）第二次取出的是次品。標(biāo)準(zhǔn)答案：令事件Ai表示“第i次取出正品”，則其對(duì)立事件Ai表示“第i次取出次品”（i=1，2）。依題意可知：（Ⅰ）A1A2表示“兩件都是正品”，且由概率乘法公式可得：P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=（Ⅱ）X表示“兩件都是次品”，且由概率乘法公式可得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)有四個(gè)編號(hào)分別為1，2，3；4的盒子和三只球，現(xiàn)將每只球隨機(jī)地放入四個(gè)盒子，記X為至少有一只球的盒子的最小號(hào)碼。（Ⅰ）求X的分布律；（Ⅱ）若當(dāng)X=k（k=1，2，3，4）時(shí)，隨機(jī)變量Y在[0，k]上服從均勻分布，求P{Y≤2}。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）隨機(jī)變量X可能取值為1，2，3，4，設(shè)事件Ai（i=1，2，3，4）表示第i個(gè)盒子是空的，則P{X=4}=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）于是X的分布律為（Ⅱ）由于當(dāng)X=k時(shí)，隨機(jī)變量Y在[0，k]上服從均勻分布，故P{Y≤2|X=1}=P{Y≤2|X=2}=1,P{Y≤2|X=3}=由全概率公式既得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)隨機(jī)變量X～且P{|x|≠|(zhì)Y|}=1。（Ⅰ）求X與Y的聯(lián)合分布律，并討論X與Y的獨(dú)立性；（Ⅱ）令U=X+Y，V=X—Y，討論U與V的獨(dú)立性。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）由P{|X|≠|(zhì)Y|}=1知，P{|X|=|Y|}=0。由此可得X與y的聯(lián)合分布律為因?yàn)镻{X=—1，Y=—1}≠P{X=—1}P{Y=—1}，所以X與Y不獨(dú)立。（Ⅱ）由（X，Y）的聯(lián)合分布律知所以U與V的聯(lián)合分布律與邊緣分布律為即可驗(yàn)證U與V獨(dú)立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求：（Ⅰ）系數(shù)A；（Ⅱ）（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)；（Ⅲ）邊緣概率密度；（Ⅳ）（X，Y）落在區(qū)域R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6內(nèi)的概率。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)∫—∞+∞∫—∞+∞f（x，y）dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae一（2x+3y）dxdy=A．，解得A=6。（Ⅱ）將A=6代入得（X，Y）的聯(lián)合概率密度為所以當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，F(xiàn)（x，y）=∫0+∞∫0+∞Ae一（2x+3y）dxdy=6∫0xe—2xdx∫0ye—3ydy=（1—e—2x）（1—e—3y），而當(dāng)x和y取其它值時(shí)，F(xiàn)（x，y）=0。綜上所述，可得聯(lián)合概率分布函數(shù)為（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，X的邊緣密度為fX（x）=6e—（2x+3y）dy=2e—2x，當(dāng)x≤0時(shí)，fX（x）=0。因此X的邊緣概率密度為同理可得Y的邊緣概率密度函數(shù)為（Ⅳ）根據(jù)公式已知R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6，將其轉(zhuǎn)化為二次積分，可表示為e—3ydy=2∫03（e—2x-—6）dx=1—7e—6≈0．983。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（Ⅰ）求P{X＞2Y}；（Ⅱ）求Z=X+Y的概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）已知X，Y的概率密度，所以（4）當(dāng)z≥2時(shí)，F(xiàn)Z（z）=1。故Z=X+Y的概率密度為fZ（z）=F’Z（z）=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、假設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在矩形區(qū)域G={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布，記（Ⅰ）求U和V的聯(lián)合分布；（Ⅱ）求U和V的相關(guān)系數(shù)ρ。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）已知（U，V）是二維離散型隨機(jī)變量，只?。?，0），（1，0），（1，1）各值，且知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)總體X的概率密度為其中θ為未知參數(shù)且大于零，X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。（Ⅰ）求θ的矩估計(jì)量；（Ⅱ）求θ的最大似然估計(jì)量。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅱ）對(duì)于總體X的樣本值x1，x2，…，xn，其似然函數(shù)為L(zhǎng)（x1，x2，…，xn；θ）=f（x1；θ）f（x2；θ）…f（xn；θ）=θ2n（x1，x2，…，xn）—3ln=2n，lnθ—31n（x1x2…xn）一得到最大似然估計(jì)量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)隨機(jī)事件A與B互不相容，則（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)A，B為隨機(jī)事件，P（A）＞0，則P（B|A）=1不等價(jià)于（）A、P（A—B）=0B、P（B—A）=0C、P（A—B）≠0D、P（B—A）≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P（B|A）=P（AB）=P（A），然而P（B—A）=P（B）—P（AB），所以選項(xiàng)B正確。容易驗(yàn)證其余三個(gè)選項(xiàng)與已知條件是等價(jià)的，事實(shí)上：3、某射手的命中率為p（0＜p＜1），該射手連續(xù)射擊n次才命中k次（k≤n）的概率為（）A、pk（1—p）n—kB、Cnkpk（1—p）n—kC、Cn—1k—1pk（1—pn—kD、Cn—1k—1p—k—1（1—p）n—k標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：n次射擊視為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，每次射擊命中概率為p，沒(méi)有命中的概率為1—p，設(shè)事件A=“射擊n次命中k次”=“前n—1次有k—1次擊中，且第n次也擊中”，則P（A）=Ck—1n—1pk—1（1—p）n—1—（k—1）．p=Ck—1n—1pk（1—p）n—k。應(yīng)選C。4、假設(shè)X是只可能取兩個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量X+Y的分布函數(shù)（）A、是連續(xù)函數(shù)B、是階梯函數(shù)C、恰有一個(gè)間斷點(diǎn)D、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)任意實(shí)數(shù)t，根據(jù)概率性質(zhì)得0≤P{X+Y=t}=P{X+Y=t，X=a}+JP{X+Y=t，X=b}=P{Y=t—a，X=a}+P{Y=t—b，X=b}≤P{Y=t—a}+P{Y=t—b}，又Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)c，有P{Y=c}=0。故對(duì)任意實(shí)數(shù)t，P{X+Y=t}=0X+Y的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，因此選A。5、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX（x），Y=—2X+3，則Y的密度函數(shù)為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：y=—2x+3是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，其反函數(shù)x=h（y）=根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的公式：故選項(xiàng)B正確。6、設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），邊緣分布為FX（x）和FY（y），則概率P{X＞x，Y＞y}等于（）A、1—F（x，y）B、1—FX（x）—FY（y）C、F（x，y）—FX（x）—FY（y）+1D、FX（x）+FY（y）+F（x，y）—1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：記事件A={X≤x}，B={Y≤y}，則P{X＞x，Y＞y}=P（）=1—P（A∪B）=1—P（A）—P（B）+P（AB）=1—P{X≤x}—P{Y≤y}+P{X≤x，Y≤y}=1—FX（x）—FY（y）+F（x，y），故選項(xiàng)C正確。7、設(shè)相互獨(dú)立的兩隨機(jī)變量X，Y均服從[0，3]上的均勻分布，則P{1＜max（X，Y）≤2}的值為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：P{1＜max（X，Y）≤2}=P{max（X，Y）≤2}—P{max（X，Y）≤1}=P{X≤2，Y≤2}—P{X≤1，Y≤1}=P{X≤2}P{y≤2}一P{X≤1}P{y≤1}故選項(xiàng)C正確。8、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn（n＞1）獨(dú)立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=則（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镃ov（X1，Y）=Cov（X1，Xi）。而由X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，可得Cov（X1，Xi）=0，i=2，3，…，n。所以Cov（X1，Y）=，故選A。9、將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于（）A、—1B、0C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，Y=n—X，故ρXY=—1。應(yīng)選A。一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)隨機(jī)變量X與y的相關(guān)系數(shù)ρXY滿(mǎn)足|ρXY|≤1。若Y=aX+b（a，b為常數(shù)），則當(dāng)a＞0時(shí)，ρXY=1，當(dāng)a＜0時(shí)，ρXY=—1。10、設(shè)X1，X2，…，Xm是取自正態(tài)總體N（0，σ2）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X與S2分別是樣本均值與樣本方差，則（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)正態(tài)總體抽樣分布公式知應(yīng)選D。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、若在區(qū)間（0，1）上隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)u，ν，則關(guān)于x的一元二次方程x2—2νx+u=0有實(shí)根的概率為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)事件A=“方程x2—2υx+u=0有實(shí)根”，因u，υ是從（0，1）中任意取的兩個(gè)數(shù)，因此點(diǎn)（u，υ）與正方形區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)（如圖3—1—3所示），其中D={（u，υ）|0＜u＜1，0＜υ＜1}。事件A={（u，υ）|（2υ）2—4u≥0，（u，υ）∈D}，陰影D1滿(mǎn)足事件A，其中D1={（u，υ）|υ2≥u，0＜u，υ＜1}。利用幾何型概率公式，有12、每箱產(chǎn)品有10件，其中次品數(shù)從0到2是等可能的，開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中任取一件，如果檢驗(yàn)為次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。由于檢驗(yàn)誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2％，一件次品被誤判為正品的概率為10％。則隨機(jī)檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品，通過(guò)驗(yàn)收的概率p=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0．892知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)事件A=“一件產(chǎn)品能夠通過(guò)驗(yàn)收”，則P（A）=p。事件B=“任取一件產(chǎn)品為正品”，=“任取一件產(chǎn)品為次品”，則A=根據(jù)題設(shè)可知=0．98P（B）+[1—P（B）]×0．1=0．1+0．88P（B）。顯然P（B）與該箱產(chǎn)品中有幾件次品有關(guān)，利用全概率公式計(jì)算P（B）。設(shè)Ci=“每箱產(chǎn)品含i件次品”（i=0，1，2），則C0，C1，C2是一完備事件組，P（C1）=，故B=C0B∪C1B∪C2B，且P（B）=P（C0）P（B|C0）+P（C1）P（B|C1）+P（C2）P（B|C2）故p=0．1+0．88×0．9=0．892。13、假設(shè)X服從參數(shù)λ的指數(shù)分布，對(duì)X做三次獨(dú)立重復(fù)觀察，至少有一次觀測(cè)值大于2的概率為，則λ=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)獨(dú)立試驗(yàn)序列概型，可求得結(jié)果。事實(shí)上，已知記A={X＞2}，Y為對(duì)X做三次獨(dú)立重復(fù)觀察事件A發(fā)生的次數(shù)，則Y～B（3，p），其中p=P{X＞2}=∫2+∞λe—λxdx=e—2λ，依題意P{Y≥1}=1—P{Y=0}=1一（1一p）3=14、設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），且二次方程y2+4y+X=0無(wú)實(shí)根的概率為0．5，則μ=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)事件A表示“二次方程y2+4y+X=0無(wú)實(shí)根”，則A={16—4X＜0}={X＞4}，依題意，有P（A）=P{x＞4}=。而15、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=則P{X+Y≤1}=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y），求滿(mǎn)足一定條件的概率P{g（X，Y）≤z0}，一般可轉(zhuǎn)化為二重積分P{g（X，16、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量X—Y的概率密度函數(shù)的最大值等于________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可知，X—Y～N（0，2），其概率密度函數(shù)f（x）的最大值在x=0處，最大值為17、某車(chē)間生產(chǎn)的圓盤(pán)其直徑服從區(qū)間（a，b）上的均勻分布，則圓盤(pán)面積的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)圓盤(pán)直徑為X，其概率密度為18、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，其中X．服從區(qū)間[0，6]上的均勻分布，X2服從正態(tài)分布N（0，22），X3服從參數(shù)為3的泊松分布，則D（X1—2X2+3X3）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：46知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)可知，D（X1）==3，D（X2）=22=4，D（X3）=3，于是D（X1—2X2+3X3）=D（X1）+4D（X2）+9D（X3）=3+4×4+9×3=46。19、設(shè)X1，X2，…，Xn為取自總體X～N（μ，σ2）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記樣本方差為S2，則D（S2）________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)性質(zhì)～χ2（n—1）及D[χ2（n—1）]=2（n—1），三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)20、已知P（A）=0．5，P（B）=0．7，則（Ⅰ）在怎樣的條件下，P（AB）取得最大值？最大值是多少？（Ⅱ）在怎樣的條件下，P（AB）取得最小值？最小值是多少？標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）由于B。（Ⅱ）根據(jù)概率運(yùn)算的加法原理，P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0．5+0．7—P（AB）=1．2—P（AB），因此可得P（AB）=1．2—P（A∪B）。因?yàn)镻（A∪B）≤1，所以P（AB）=1．2—P（A∪B）≥1．2—1=0．2，即P（AB）取得的最小值是0．2，故P（AB）=0．2成立的條件是P（A∪B）=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、隨機(jī)地向圓x2+y2=2x內(nèi)投一點(diǎn)，該點(diǎn)落在任何區(qū)域內(nèi)的概率與該區(qū)域的面積成正比，令X表示該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線(xiàn)與x軸正半軸的夾角，求X的分布函數(shù)和概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F（x）為X的分布函數(shù)，則F（x）=P{X≤x}，由于F（x）=0的取值范圍為[0，]，因此當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=0；當(dāng)x≥時(shí)，F(xiàn)（x）=1。當(dāng)0≤x＜，X≤x所代表的區(qū)域如圖3—2—5中陰影部分。現(xiàn)計(jì)算它的面積，如圖所示，陰影部分可分為兩個(gè)三角形和兩個(gè)扇形。其中每個(gè)三角形的面積均為每個(gè)扇形的面積均為S2=×2x×12=z，則陰影部分的總面積S（x）=sin2x+2x，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、袋中有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)。（Ⅰ）求P{X=1|Z=0}；（Ⅱ）求二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）在沒(méi)有取白球的情況下取了一次紅球，根據(jù)壓縮樣本空間原則，相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸了一個(gè)紅球。所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布，當(dāng)X取到x（0＜x＜1）時(shí)，隨機(jī)變量Y等可能地在（x，1）上取值。試求：（Ⅰ）（X，Y）的聯(lián)合概率密度；（Ⅱ）關(guān)Y的邊緣概率密度函數(shù)；（Ⅲ）P{X+Y＞1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)X在（0，1）上服從均勻分布，因此其概率密度函數(shù)為而變量Y，在X=x的條件下，在區(qū)間（x，1）上服從均勻分布，所以其條件概率密度為再根據(jù)條件概率密度的定義，可得聯(lián)合概率密度f(wàn)（x，y）=fX（x）fY|X（y|x）=（Ⅱ）根據(jù)求得的聯(lián)合概率密度，不難求出關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y（y）=f（x，y）dx==—ln（1—y）。（Ⅲ）如圖3—3—4所示知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為P{X=i}=（i=—1，0，1），Y的概率密度為fY（y）=記Z=X+Y。（Ⅰ）求（Ⅱ）求Z的概率密度f(wàn)Z（z）。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取一件，記試求：（Ⅰ）隨機(jī)變量X1與X2的聯(lián)合分布；（Ⅱ）隨機(jī)變量X1和X2的相關(guān)系數(shù)ρ。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）（X1，X2）是二維離散型隨機(jī)變量，其可能的取值為（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）。當(dāng)（X1，X2）=（0，0）時(shí)，說(shuō)明隨機(jī)抽取的一件不是一等品，也不是二等品，則必為三等品，故P{X1=0，X2=0}=P{X3=1}=0．1。類(lèi)似地P{X1=0，X2=1}=P{X2=1}=0．1，P{X1=1，X2=0}=P{X1=1}=0．8，P{X1=1，X2=1}=P{}=0，故X1與X2的聯(lián)合分布：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，X1和X2的邊緣分布均為0—1分布。由0—1分布的期望和方差公式得E（X1）=P{X1=1}=0．8，D（X1）=P{X1=1}P{X1=0}=0．8×0．2=0．16，E（X2）=P{X2=1}=0．1，D（X2）=P{X2=l}P{X2=0}=0．1×0．9=0．09，E（X1X2）=0×0×0．1+0×1×0．1+1×0×0．8+1×1x0=0．Cov（X1，X2）=E（X1X2）—E（X1）E（X2）=—0．08，則相關(guān)系數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)各零件的質(zhì)量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期望為0．5kg，均方差為0．1kg，問(wèn)5000只零件的總質(zhì)量超過(guò)2510kg的概率是多少？標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理，設(shè)Xi表示第i只零件的質(zhì)量（i=1，2，…，5000），且E（Xi）=0．5，D（Xi）=0．12。設(shè)總質(zhì)量為Y=則有E（Y）=5000×0．5=2500，D（Y）=5000×0．12=50，根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理可知Y近似服從正態(tài)分布N（2500，50），而近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）所求概率為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)總體X的概率密度為其中θ是未知參數(shù)（0＜θ＜1），X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值X1，X2，…，Xn中小于1的個(gè)數(shù)，求θ的最大似然估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)答案：記似然函數(shù)為L(zhǎng)（θ），則兩邊取對(duì)數(shù)得lnL（θ）=Nlnθ+（n—N）ln（l—θ），知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)總體X服從幾何分布：p（x；p）=p（1一p）x—1（x=1，2，3，…），如果取得樣本觀測(cè)值為x1，x2，…，xn，求參數(shù)p的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知總體X的概率函數(shù)的未知參數(shù)為p，且總體X的一階原點(diǎn)矩為用樣本一階原點(diǎn)矩的觀測(cè)值作為υ1（X）的估計(jì)值，則可得參數(shù)p的估計(jì)值為所以可得參數(shù)p的矩估計(jì)值為參數(shù)p的似然函數(shù)為兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，并對(duì)參數(shù)p求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)取值為0，解上述含參數(shù)p的方程，即得到p的最大似然估計(jì)值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正態(tài)分布N(0，σ2)的密度函數(shù)，f2(x)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的密度函數(shù)，已知F(0)=，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由∫－∞＋∞f(x)dx=a∫－∞＋∞f1(x)dx+b∫－∞＋∞f2(x)dx=a+b=1，知四個(gè)選項(xiàng)均滿(mǎn)足這個(gè)條件，所以，再通過(guò)F(0)=確定正確選項(xiàng)．由于F(0)=∫－∞0f(x)dx=a∫－∞0f1(x)dx+b∫－∞0f2(x)dx=+0=aФ(0)=2、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為其中A為常數(shù)，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由∫01Ax(1－x)dx==1可得A=6．所以3、設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為(λ＞0)，則概率P｛λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值()A、與a無(wú)關(guān)，隨λ增大而增大B、與a無(wú)關(guān)，隨λ增大而減小C、與λ無(wú)關(guān)，隨a增大而增大D、與λ無(wú)關(guān)，隨a增大而減小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由密度函數(shù)的性質(zhì)，∫λ＋∞Ae－xdx=Ae－λ=1可得A=eλ．于是P｛λ＜X＜λ+a｝=∫λλ+aeλe－xdx=1－e－a，與λ無(wú)關(guān)，隨a增大而增大．4、隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，記p1=P｛X≤μ－4｝，p2=P(Y≥μ+5)，則()A、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1=p2B、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1＜p2C、只對(duì)μ的個(gè)別值，才有p1=p2D、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1＞p2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：用Ф代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)，有由于Ф(－1)=1－Ф(1)，所以p1=p2．5、設(shè)X的概率密度為，則Y=2X的概率密度為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：FY(y)=P｛Y≤y｝=P{2X≤y}=所以，，故選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其概率密度為則常數(shù)k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)=，所以，k=7、設(shè)隨機(jī)變量X服從(0，2)上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在(0，4)內(nèi)的密度函數(shù)為Fy(y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：fX(x)=當(dāng)Y=X2在(0，4)內(nèi)時(shí)fY(y)=8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D=｛(x，y)｜1≤x≤e2，0≤y≤｝上服從均勻分布，則(X，Y)的關(guān)于X的邊緣概率密度Fx(x)在點(diǎn)x=e處的值為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：D如圖3-3陰影部分所示，它的面積S==2，所以(X，Y)的概率密度為f(x，y)=從而fX(e)=∫－∞＋∞f(e，y)dy=9、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在G={(x，y)｜＜x＜0，0＜y＜2x+1}上服從均勻分布，則條件概率=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：G如圖3-4的△OAB，它的面積S=，所以(X，Y)的概率密度為f(x，y)=由于關(guān)于Y的邊緣概率密度其中D如圖3-4帶陰影的三角形．10、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=則對(duì)x＞0，fY｜X(y｜x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x，y)的表達(dá)式知X與Y相互獨(dú)立，且關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣概率密度分別為由此可知，當(dāng)x＞0時(shí)，由fX(x)＞0知fY｜X(y｜x)=fY(y)=11、設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律為則隨機(jī)變量Z=y.min｛X，Y｝的分布律為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：Z全部可能取值為0，1，2，3，且P｛Z=0｝=P｛Y.min｛X，Y｝=0｝=P｛min｛X，Y｝=0｝=P｛X=0｝=P｛Z=1｝=P｛Y.min｛X，Y｝=1｝=P｛Y=1，min｛X，Y｝=1｝=P｛X=1，Y=1｝=P｛Z=2｝=P｛Y.min｛X，Y｝=2｝=P｛Y=2，min｛X，Y｝=1｝=P｛X=1，Y=2｝=P｛Z=3｝=P｛Y.min｛X，Y｝=3｝=P｛Y=3，min｛X，Y｝=1｝=P｛X=1，Y=3｝=所以Z的分布律為三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X－Y的概率密度f(wàn)Z(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X，Y不是相互獨(dú)立的，所以記V=－Y時(shí)，(X，V)的概率密度不易計(jì)算．應(yīng)先計(jì)算Z的分布函數(shù)，再計(jì)算概率密度f(wàn)Z(z)．記Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)=P｛Z≤z｝=P｛X－Y≤z｝=f(x，y)dxdy，其中Dz=｛(x，y)｜x－y≤z｝(直線(xiàn)x－y=z的上方部分)，由Dz與D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x｝(如圖3-10的帶陰影的△OSC)相對(duì)位置可得：當(dāng)z＜0時(shí)，Dz與D不相交，所以f(x，y)dxdy=0；當(dāng)0≤z＜1時(shí)，Dz∩D=四邊形OABC，當(dāng)z≥1時(shí)，Dz∩D=△OSC，=1．由此得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求二維隨機(jī)變量(X2，Y2)的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x，y)的表達(dá)式知，X與Y相互獨(dú)立，且它們的概率密度都為記U=g(x)=x2，它在f(x)≠0的區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且反函數(shù)為x=h(u)=(0＜u＜1)，所以U=X2的概率密度同樣地，V=Y2的概率密度為φ(v)=由X與Y相互獨(dú)立知X2與Y2相互獨(dú)立，從而(X2，Y2)的概率密度為f1(u，v)=φ(u).φ(v)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)二次方程x2－Xx+Y=0的兩個(gè)根相互獨(dú)立，且都在(0，2)上服從均勻分布，分別求X與Y的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)二次方程的兩個(gè)根為X1，X2，則它們的概率密度都為f(t)=記X的概率密度為fX(x)，則由X=X1+X2得fX(x)=∫－∞＋∞f(t)f(x－t)dt，其中f(t)f(x－t)=即f(t)f(x－t)僅在如圖3-11的帶陰影的平行四邊形中取值為，在tOx平面的其余部分取值為零．因此，當(dāng)x＜0或x＞4時(shí)，fX(x)=0；當(dāng)0≤x＜2時(shí)，fX(x)=當(dāng)2≤x≤4時(shí)，fX(x)=即記Y的概率密度為fY(y)，則由Y=X1X2得fY(y)=∫－∞＋∞dt，其中僅在圖如3-12的帶陰影的三角形中取值為，在tOy平面的其余部分取值都為零．因此，當(dāng)y≤0或y≥4時(shí)，fY(y)=0；當(dāng)0＜y＜4時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，證明：Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：故Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)ξη是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知ξ的分布律為P(ξ=i)=，i=1，2，3，又設(shè)X=max｛ξ，η｝，Y=min｛ξ，η｝，試寫(xiě)出二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律及邊緣分布律，并求P｛ξ=η｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：X的可能值為1，2，3，Y的可能值為1，2，3．P｛X=1，Y=1｝=P｛max｛ξ，η｝=l，min｛ξ，η｝=1｝=P｛ξ=1，η=1｝=以此類(lèi)推可求出(X，Y)的分布律及邊緣分布列如下：P{ξ=η}=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，都服從均勻分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及標(biāo)準(zhǔn)答案：U=X－Y的密度為fU(u)=∫－∞＋∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．當(dāng)u≤－1或u≥1時(shí)，fU(u)=0；當(dāng)－1＜u≤0時(shí)，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u1dy=1+u；當(dāng)0＜u＜1時(shí)，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以，Z=｜X－Y｜=｜U｜的密度為fZ(z)=fU(z)+fU(－z)=從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)(X，Y)的概率密度為問(wèn)X，Y是否獨(dú)立?標(biāo)準(zhǔn)答案：邊緣密度為fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=fY(y)=因?yàn)閒(x，y)=fX(x).fY(y)，所以X，Y獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求Z=X2+Y2的概率密度FZ(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Z的分布函數(shù)為FZ(y)(z)，則故fZ(z)=FˊZ(z)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且Xi服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，其密度為求P｛X1=min｛X1，X2，…，Xn｝｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用連續(xù)型的全概率公式．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)X關(guān)于y的條件概率密度為標(biāo)準(zhǔn)答案：(X，Y)的概率密度為如圖3-13所示，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)(X，Y)服從G=｛(x，y)｜x2+y2≤1｝上的均勻分布，試求給定Y=y的條件下X的條件概率密度函數(shù)fX，Y(x｜y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?X，Y)服從G=｛(x，y)｜x2+y2≤1)上的均勻分布，所以f(x，y)=故fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx=所以，當(dāng)－1＜y＜1時(shí)，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求Z=X+2Y的分布函數(shù)FZ(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3-14所示，F(xiàn)Z(z)=P｛Z≤z｝=P｛X+2Y≤z｝=f(x，y)dxdy知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到成功兩次為止，試求試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X表示“所需試驗(yàn)次數(shù)”，則X的可能取值為2，3，…，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、有20位旅客乘民航的送客車(chē)自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)，如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē)，以X表示停車(chē)的次數(shù)，求EX(設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車(chē)是相互獨(dú)立的)．標(biāo)準(zhǔn)答案：引入隨機(jī)變量Xi=i：1，2，…，10．則X=X1+X2+…+X10，由P｛Xi=0｝=，i=1，2，…，10知EXi=1－，i=1，2，…，10．進(jìn)而EX==8．784(次)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、市場(chǎng)上有兩種股票，股票A的價(jià)格為60元／股，每股年收益為R1元，其均值為7，方差為50．股票B的價(jià)格為40元／股，每股年收益為R2元，其均值為3．2，方差為25，設(shè)R1和R2互相獨(dú)立．某投資者有10000元，擬購(gòu)買(mǎi)s1股股票A，s2股股票B，剩下的s3元存銀行，設(shè)銀行1年期定期存款利率為5％，投資者希望該投資策略的年平均收益不少于800元，并使投資收益的方差最小，求這個(gè)投資策略(s1，s2，s3)，并計(jì)算該策略的收益的標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)投資策略為(s1，s2，s3)，則該投資策略的收益為S=，平均收益及方差為：ES=s1×7+s2×3．2+(10000－60s1－40s2)×5％，DS=50s12+25s22，問(wèn)題為求DS=50s12+25s22的最小值．約束條件為：ES=s1×7+s2×3．2+(10000－60s1－40s2)×5％≥800．用拉格朗日乘數(shù)法求解該問(wèn)題，令L=50s12+25s22+δ(800－s1×7－s2×3．2－[10000－60s1－40s2)×5％]，其中δ是待定系數(shù)，最優(yōu)解應(yīng)滿(mǎn)足的一階條件為：解此方程組得：s1=63．56股，s2=38．14股，s3=4660．8元．該投資策略的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：DS=50×63．562+25×38．142≈238360，σ==488．22．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布律為P｛X=k｝=(1－P)k－1p，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX與DX．標(biāo)準(zhǔn)答案：EX=其中q=1－P．由于又E(X2)=所以DX=E(X2)－(EX)2=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)隨機(jī)向量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其邊緣分布為X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X與Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY=，且概率P｛aX+bY≤1｝=，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?X，Y)服從二維正態(tài)分布<=>aX+bY服從一維正態(tài)分布，又EX=1，EY=2則E(aX+bY)=a+2b，于是P｛aX+bY≤1｝=顯然，只有1－(a+2b)=0時(shí)，P{aX+bY≤1}=才成立，只有選項(xiàng)(D)滿(mǎn)足此條件．2、設(shè)X是隨機(jī)變量，EX＞0且E(X2)=0．7，DX=0．2，則以下各式成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：EX=，于是由切比雪夫不等式知因此本題選(C)．3、已知隨機(jī)變量Xn(n=1，2，…)相互獨(dú)立且都在(－1，1)上服從均勻分布，根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理有=()(結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)φ(x)表示)A、φ(0)B、φ(1)C、φ()D、φ(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知EXn=0，DXn=．由中心極限定理，對(duì)任意x有4、設(shè)X1，X2，…，Xn是總體N(μ，σ2)的樣本，是樣本均值，記則服從自由度為n－1的t分布的隨機(jī)變量是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：故選(B)．5、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為，樣本方差為S2，則服從χ2(n)的隨機(jī)變量為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于總體X～N(μ，σ2)，所以與S2獨(dú)立，由χ2分布的可加性，我們僅需確定服從χ2(1)的隨機(jī)變量．因?yàn)椤玁(0，1)，～χ2(1)，選擇(D)．6、設(shè)總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn是分別來(lái)自總體X與Y的兩個(gè)相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：應(yīng)用t分布的典型模式．由于，而～N(0，1)，且相互獨(dú)立，所以V=～χ2(n)，U與V相互獨(dú)立，由t分布的典型模式～t(n)．由題意知7、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為()A、與σ及n都有關(guān)B、與σ及n都無(wú)關(guān)C、與σ無(wú)關(guān)，與n有關(guān)D、與σ有關(guān)，與n無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)有，X～N(μ，σ2)，～N(0，1)，～N(0，1)，于是P{｜X－μ｜＜a)=P{－μ＜b｝，即所以因此比值與σ無(wú)關(guān)，與n有關(guān)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X～N(0，3)，Y～N(0，4)，相關(guān)系數(shù)ρXY=，則(X，Y)的概率密度f(wàn)(x，y)為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為則X與Y的協(xié)方差Cov(X，Y)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布律分別為所以，10、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為則隨機(jī)變量U=X+2Y，V=－X的協(xié)方差Cov(U，V)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：Cov(U，V)=Cov(X+2Y，－X)=－DX－2Cov(X，Y)=－DX－2E(XY)+2EXEY，①其中E(XY)=關(guān)于X的邊緣概率密度為所以EX=EY=②E(X2)=③將②③代入①得Cov(U，V)=11、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為則隨機(jī)變量Z=X－Y的方差DZ為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：DZ=DX+DY－2Cov(X，Y)=DX+DY－2E(XY)+2EXEY，①E(XY)=②其中D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x｝如圖3-5陰影部分所示．關(guān)于X的邊緣概率密度為EX=∫01x.3x2dx=，E(X2)=∫01x2.3x2dx=DX=E(X2)－(EX)2=③關(guān)于Y的邊緣概率密度為DY=E(Y2)－(EY)2=④將②③④代入①得DZ=12、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估計(jì)得P｛｜X－75｜≥k｝≤0．05，則k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：P｛｜X－75｜≥k｝=P｛｜X－EX｜≥k｝≤，于是由題設(shè)得=0．05，即k=10．13、設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ф(x)知識(shí)點(diǎn)解析：由列維-林德伯格中心極限定理即得．14、設(shè)總體X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它的均值和方差分別為和S2，則E()和E(S2)分別為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：+λ2，λ知識(shí)點(diǎn)解析：，E(S2)=DX=λ．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)15、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是其樣本．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)可見(jiàn)當(dāng)C=(Xi+1－Xi)2是σ2的無(wú)偏估計(jì)量．因?yàn)椋谑枪十?dāng)k=是σ的無(wú)偏估計(jì)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，(X1，Xn)是θ的一個(gè)估計(jì)量，若=是θ的相合(一致)估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由切比雪夫不等式，對(duì)任意的ε＞0有于是0≤=0．即依概率收斂于θ，故是θ的相合(一致)估計(jì)量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自均勻分布在[0，θ]上的一個(gè)樣本，試證：Tn=max(X1，X2，…，Xn)是θ的相合估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Tn=X(n)的分布函數(shù)為FT(t)=Fn(t)=Tn的密度為fT(t)=FˊT(t)=nf(t)Fn－1(t)=所以由切比雪夫不等式有當(dāng)n→∞時(shí)，故Tn是θ的相合估計(jì)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知X具有概率密度求未知參數(shù)α的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求矩估計(jì)．再求最大似然估計(jì)得α的最大似然估計(jì)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，X3是來(lái)自X的樣本，證明：估計(jì)量都是μ的無(wú)偏估計(jì)，并指出它們中哪一個(gè)最有效．標(biāo)準(zhǔn)答案：故都是μ的無(wú)偏估計(jì)．所以最有效．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，設(shè)EX=μ，DX=σ2，試確定常數(shù)C，使為μ2的無(wú)偏估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知：E(－CS2)=μ2,則此時(shí)C=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)總體服從u[0，θ]，X1，X2，…，Xn為總體的樣本，證明：為θ的一致估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，由切比雪夫不等式有：→0(n→+∞)．因此得為θ的一致估計(jì)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)從均值為μ，方差σ2＞0的總體中分別抽取容量為n1，n2的兩個(gè)獨(dú)立樣本，樣本均值分別為證明：對(duì)于任何滿(mǎn)足條件a+b=1的常數(shù)a，b，T=是μ的元偏估計(jì)量，并確定常數(shù)a，b，使得方差DT達(dá)到最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得：，所以ET==(a+b)μ=μ，故T是μ的無(wú)偏估計(jì)量．又DT=，令f(a)=σ2，對(duì)a求導(dǎo)并解方程如下：fˊ(a)=σ2=0，得到＞0，所以f(a)=處取得極小值，此時(shí)b=1－a=，方差DT達(dá)到最小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布，X1的取值有四種可能，其概率分布分別為：p1=1－θ，p2=θ－θ2，p3=θ2－θ3，p4=θ3，記Nj為X1，X2，…，Xn中出現(xiàn)各種可能的結(jié)果的次數(shù)，N1+N2+N3+N4=n．確定a1，a2，a3，a4使為θ的無(wú)偏估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Ni～B(n，pi)，i=1，2，3，4，所以E(Ni)=npi，從而有：ET==a1n(1－θ)+a2n(θ－θ2)+a3n(θ2－θ3)+a4nθ3=na1+n(a2－a1)θ+n(a3－a2)θ2+n(a4－a3)θ3．若使T是θ的無(wú)偏估計(jì)，即要求解之得：a1=0，a2=a3=a4=即T=是θ的無(wú)偏估計(jì)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)總體X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)．從總體X，Y中獨(dú)立地抽取兩個(gè)容量為m，n的樣本X1，Xm和Y1，Yn．記樣本均值分別為若是σ2的無(wú)偏估計(jì)．求：(1)C；(2)Z的方差DZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：同理．故則C=(2)因．則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)有k臺(tái)儀器，已知用第i臺(tái)儀器測(cè)量時(shí)，測(cè)定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為σi，i=1，2，…，k，用這些儀器獨(dú)立地對(duì)某一物理量θ各觀察一次，分別得到X1，X2，…，Xk，設(shè)儀器都沒(méi)有系統(tǒng)誤差，即E(Xi)=θ，i=1，2，…，k，試求：a1，a2，…，ak應(yīng)取何值，使用是無(wú)偏的，并且最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)=θ，即當(dāng)是無(wú)偏的．(2)令函數(shù)g(a1，a2，…，ak)=，問(wèn)題歸結(jié)為求多元函數(shù)g(a1，a2，…，ak)在條件ai=1之下的最小值．作拉格朗日函數(shù)：G(a1，a2，…，ak，λ)=g(a1，a2，…，ak)+λ(a1+a2+…+ak－1)．若令，則λ=－2σ02，由此得：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)｛Xn｝是一隨機(jī)變量序列，Xn的密度函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任意給定的ε＞0，由于知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)X1，X2，…Xn，…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，EXi=μ，DXi=σ2，i=1，2，…，令證明：隨機(jī)變量序列｛Yn｝依概率收斂于μ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由切比雪夫不等式得：P｛｜Yn－E(Yn)｜≥ε｝=P｛｜Yn－μ｜≥ε｝≤，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、一生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重量50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重為5噸的汽車(chē)承運(yùn)，試用中心極限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多可裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0．977(φ(2)=0．977)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Xi是“裝運(yùn)的第i箱的重量”，n表示裝運(yùn)箱數(shù)．則EXi=50，DXi=52=25，且裝運(yùn)的總重量Y=X1+X2+…+Xn，｛Xn｝獨(dú)立同分布，EY=50n，DY=25n．由列維—林德伯格中心極限定理知Y～N(50n，25n)．于是P｛Y≤5000｝=＞0．977=Ф(2)．故＞2=>n＜98．01099，也就是最多可以裝98箱．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、用概率論方法證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)｛Xn｝為一獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，每個(gè)Xk服從參數(shù)為1的泊松分布，則EXk=1，DXk=1，Xk服從參數(shù)為n的泊松分布．故有由列維—林德伯格中心極限定理知：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、截至2010年10月25日，上海世博會(huì)參觀人數(shù)超過(guò)了7000萬(wàn)人．游園最大的痛苦就是人太多．假設(shè)游客到達(dá)中國(guó)館有三條路徑，沿第一條路徑走3個(gè)小時(shí)可到達(dá)；沿第二條路徑走5個(gè)小時(shí)又回到原處；沿第三條路徑走7個(gè)小時(shí)也回到原處．假定游客總是等可能地在三條路徑中選擇一個(gè)，試求他平均要用多少時(shí)間才能到達(dá)中國(guó)館．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)游客需要X小時(shí)到達(dá)中國(guó)館，則X的可能取值為3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，…要寫(xiě)出X的分布律很困難，所以無(wú)法直接求EX．為此令Y=｛第一次所選的路徑｝，即｛Y=i｝表示“選擇第i條路徑”．則P｛Y=1｝=P｛Y=2｝=P｛Y=3｝=因?yàn)镋(X｜Y=1)=3，E(X｜Y=2)5+EX，E(X｜Y=3)=7+EX，所以EX=[3+(5+EX)+(7+EX)]=5+Ex．故EX=15，即該游客平均要15個(gè)小時(shí)才能到達(dá)中國(guó)館．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、若事件A和B同時(shí)出現(xiàn)的概率P（AB）=0，則（）A、A和B不相容（互斥）B、AB是不可能事件C、AB未必是不可能事件D、P（A）=0或P（B）=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：不可能事件與零概率事件之間的區(qū)別和聯(lián)系：不可能事件發(fā)生的概率為零，但零概率事件未必是不可能事件。由P（AB）=0不能推出AB是不可能事件，故選C。2、設(shè)A1，A2和B是任意事件，且0＜P（B）＜1，P{（A1∪A2）|B}=P（A1|B）+P（A2|B），則（）A、P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）B、P（A1∪A2）=P（A1|B）+P（A2|B）C、P（A1B∪A2B）=P（A|B）+P（A2B）D、P（（A1∪A2）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，P（A1A2|B）=0，但是這不能保證P（A|A2）=0和P（A1A2|B）=0，故選項(xiàng)A和D不成立。由于P（A1|B）+P（A2|B）=P（（A1∪A2）|B）未必等于P（A1+A2），因此B一般也不成立。由P（B）＞0及P（（A1∪A2）|B）=P（A1|B）+P（A2|B），可見(jiàn)選項(xiàng)C成立：3、A、B、C三個(gè)隨機(jī)事件必相互獨(dú)立，如果它們滿(mǎn)足條件（）A、A，B，C兩兩獨(dú)立B、P（ABC）=P（A）P（B）P（C）C、P（A—B）=1D、P（A—B）=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)P（A—B）=1成立時(shí)，=1，故P（B）=0。再由多個(gè)事件相互獨(dú)立的條件，易知A、B、C相互獨(dú)立。4、假設(shè)X為隨機(jī)變量，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，概率P{X=a}=0的充分必要條件是（）A、X是離散型隨機(jī)變量B、X不是離散型隨機(jī)變量C、X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)D、X的概率密度是連續(xù)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)任意實(shí)數(shù)a有P{X=a}=0是連續(xù)型隨機(jī)變量的必要條件但非充分條件，因此選項(xiàng)B、D不能選，又離散型隨機(jī)變量必有a使P{X=a}≠0，選項(xiàng)A不能選，故正確選項(xiàng)是C。事實(shí)上，P{X=a}=0F（a）—F（a—0）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)a，F(xiàn)（a）=F（a—0）F（x）是x的連續(xù)函數(shù)。5、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為φ（x），且φ（—x）=φ（x），F(xiàn)（x）為X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有（）A、F（—a）=1—∫0αφ（x）dxB、F（—a）=—∫0αφ（x）dxC、F（—a）=F（a）D、F（—a）=2F（a）—1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：如圖3—2—4所示，F(xiàn)（一a）=∫—∞—aφ（x）dx=一∫—a0φ（x）dx，而∫—a0φ（x）dx=∫—a0φ（x）dx，所以F（—a）=—∫0aφ（x）dx。故選項(xiàng)B正確。6、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，已知P{X=k}=p（1—p）k—1，k=1，2，…，0＜p＜1，則P{X＞Y}的值為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得知P{X＞Y}=P{X＜Y}=[1—P{X=Y}]。故選項(xiàng)B正確。7、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2，則隨機(jī)變量3X—2Y的方差是（）A、8B、16C、28D、44標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)方差的運(yùn)算性質(zhì)D（C）=0（C為常數(shù)），D（CX）=C2D（X）以及相互獨(dú)立隨機(jī)變量的方差性質(zhì)D（X±Y）=D（X）+D（Y）可得D（3X—2Y）=9D（X）+4D（Y）=44。故選項(xiàng)D正確。8、已知（X，Y）服從二維正態(tài)分布，E（X）=E（Y）=μ，D（X）=D（Y）=σ2，X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ=0，則X和Y（）A、獨(dú)立且有相同的分布B、獨(dú)立且有不相同的分布C、不獨(dú)立且有相同的分布D、不獨(dú)立且有不相同的分布標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二維正態(tài)分布獨(dú)立和不相關(guān)等價(jià)，故首先可以得到X和Y獨(dú)立；又（X，Y）服從二維正態(tài)分布，故其邊緣分布服從一維正態(tài)分布，且X～N（μ，σ2），Y～N（μ，σ2）。所以選A。9、設(shè)X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分別取自總體都為正態(tài)分布N（μ，σ2）的兩個(gè)相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記它們的樣本方差分別為SX2和SY2，則統(tǒng)計(jì)量T=（n—1）（SX2+SY2）的方差D（r）=（）A、2nσ4B、2（n—1）σ4C、4nσ4D、4（n—1）σ4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)已知可得=σ4[2（n—1）+2（n—1）]=4（n—l）σ4。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)10、在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)幾何概型，設(shè)x，y為所取的兩個(gè)數(shù)，則樣本空間Ω={（x，y）|0＜x，y＜1}，記A={（x，y）|（x，y）∈Ω，|x—y|＜。所以P（A）=其中SA，Sn分別表示A與Ω的面積。11、三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子中有4個(gè)黑球與1個(gè)白球，第二個(gè)箱中有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，第三個(gè)箱子中有3個(gè)黑球與5個(gè)白球?，F(xiàn)隨機(jī)地選取一個(gè)箱子，從中任取1個(gè)球，則這個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适莀_______；若已發(fā)現(xiàn)取出的這個(gè)球是白球，則它不是取自第二個(gè)箱子的概率是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)事件Ai=“取到第i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，則第一個(gè)空應(yīng)為P（B），第二個(gè)空應(yīng)為顯然A1，A2，A3是一完備事件組，由題意可得P（Ai）=,i=1，2，3，P（B|A1）=根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式，可得12、設(shè)隨機(jī)變量x服從幾何分布G（θ，其中0＜θ＜1，若P{X≤2}=，則P{X=3}=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=θ（1—θ）1—1+θ（1—0）2—1=2θ—θ2=解得（舍），故P{X=3}=θ（1一θ）2=13、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），已知P{X≤2}=0．062，P{X≥9}=0．025，則概率P{|X|≤4}=________。（Ф（1．54）=0．938，Ф（1．96）=0．975）標(biāo)準(zhǔn)答案：0．2946知識(shí)點(diǎn)解析：要計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率，首先必須求出分布參數(shù)μ與σ。根據(jù)題意有14、已知（X，Y）的概率分布為且P{X2+Y2=1}=0．5，則P{X2Y2=1}=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0．3知識(shí)點(diǎn)解析：由于0．1+0．2+Q+p+0．1+0．2=0．6+a+β=1，即α+β=0．4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=一1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1。故α=0．3，β=0．1。那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=l}+P{X=1，Y=—1}=0．2+β=0．3。15、設(shè)（X，Y）～N（μ，μ；σ2，σ2；0），則P{X＜Y}=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、已知隨機(jī)變量X服從（1，2）上的均勻分布，在X=x條件下Y服從參數(shù)為戈的指數(shù)分布，則E（XY）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)知fY|X（y|x）=所以（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)f（x，y）=fx（x）fY|X（y|x）=E（XY）=∫—∞+∞∫—∞+∞xyf（xy）dxdy=∫12dx∫0+∞xyxe—xydy=∫122x．dx=1。17、已知隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N（0，σ2），如果隨機(jī)變量Y=X1X2X3的方差D（Y）=,則σ2=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，則X12，X22，X32相互獨(dú)立。又因E（Xi）=0，E（X12）=D（X1）=σ2。故D（y）=D（X1X2X3）=E（X1X2X3）2一E2（X1X2X3）=[EX12X22X32]—[E（X1）E（X2）E（X3）]2=E（X12）E（X22）E（X32）=（σ2）3=18、假設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量Y1=都服從________分布，且其分布參數(shù)分別為_(kāi)_______和________。標(biāo)準(zhǔn)答案：t；2；n—1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立且同服從分布N（0，1），所以X1—X2與X32+X42相互獨(dú)立，X1與Xi2也相互獨(dú)立，且有X1—X2～N（0，2），～N（0，1），X32+X42～X2（2），Xi2—χ2（n—1），所以即E與Y2都服從t分布，分布參數(shù)分別為2和n—1。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)19、設(shè)事件A與B互不相容，P（4）=0．4，P（B）=0．3，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因A與B互不相容，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F（x）。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）=0；當(dāng)1≤x＜2時(shí)，則當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=1。綜上所述，X的分布函數(shù)F（x）為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ（λ＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為p（0＜p＜1），且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立。Y為中途下車(chē)的人數(shù)，求：（Ⅰ）在發(fā)車(chē)時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車(chē)的概率；（Ⅱ）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）P{Y=m}X=n}=Cnmpm（1—p）n—m，0≤m，≤n，n=0，1，2，…。．Cnmpm（1—p）n—m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（Ⅰ）計(jì)算兩個(gè)邊緣概率密度；（Ⅱ）求條件概率密度f(wàn)X|Y（y|x=2）；（Ⅲ）求條件概率P{Y≤1|X≤1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）當(dāng)x≤0時(shí)，fX（x）=0；當(dāng)x＞0時(shí)，fX（x）=e—ydy=e—x，即當(dāng)y≤0時(shí)，fY（y）=0；當(dāng)f1（x）．f2（x）=0時(shí)，fY（y）=∫0xe—ydx=ye—y，即（Ⅲ）X≤1，Y≤1所對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖3—3—3所示：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從[0，1]上的均勻分布，試求：（Ⅰ）U=XY的概率密度f(wàn)U（u）；（Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度f(wàn)V（υ）。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)X與Y相互獨(dú)立且密度函數(shù)已知，因此可以用兩種方法：分布函數(shù)法和公式法求出U、V的概率密度。（Ⅰ）分布函數(shù)法。根據(jù)題設(shè)知（X，Y）聯(lián)合概率密度f(wàn)（x，y）=fX（x）fY（y）=所以U=XY的分布函數(shù)為（如圖3—3—9所示）FU（M）=P{XY≤u}=（1）當(dāng)u≤0時(shí)，F(xiàn)U（u）=0；當(dāng)u≥1時(shí)，F(xiàn)U（u）=1；（2）當(dāng)0＜u＜1時(shí)，（Ⅱ）公式法。設(shè)Z=X—Y=X+（—Y）。其中X與（—Y）獨(dú)立，概率密度分別為根據(jù)卷積公式得Z的概率密度f(wàn)Z（z）=∫—∞+≥（x—y）f—Y（y）dy=∫—10fX（x—y）dyV=|X—Y|=|Z|的分布函數(shù)為FV（v）=P{|Z|≤υ}，可得當(dāng)υ≤0時(shí)，F(xiàn)V（υ）=0；當(dāng)υ＞0時(shí)，F(xiàn)V（υ）=P{—v≤Z≤υ}=∫—υυ（z）dz。由此知，當(dāng)0＜υ＜1時(shí)，F(xiàn)V（υ）=∫—υ—1（z+l）dz+∫0τ（1—z）dz=2υ一υ2；當(dāng)υ≥1時(shí)，F(xiàn)V（υ）=∫—υ—10dz+∫—10（z+1）出+∫01（1一z）dz+∫1υ0dz=1。綜上可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且（Ⅰ）求二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布；（Ⅱ）求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY。標(biāo)準(zhǔn)答案：故（X，Y）的概率分布為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)由流水線(xiàn)加工的某種零件的內(nèi)徑X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（μ，1），內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品。銷(xiāo)售每件合格品獲利，銷(xiāo)售每件不合格品虧損。已知銷(xiāo)售利潤(rùn)T（單位：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：?jiǎn)柶骄鶅?nèi)徑μ取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：依據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式及一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化方法，有E（T）=—1×P{X＜10}+20×P{10≤X≤12}—5×P{X＞12}=—Ф（10一μ）+20[Ф（12一μ）一Ф（10一μ）]—5[1—Ф（12—μ）]=25Ф（12一μ）—21Ф（10一μ）—5，可知銷(xiāo)售利