考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷9（共266題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷9（共9套）（共266題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)1、f(x)在0處可導(dǎo)，則|f(x)|在x0處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標準答案：A知識點解析：由f(x)在x0處可導(dǎo)得|f(x)|在x0處連續(xù)，但|f(x)|在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但}f(x)|=|x|在x=0處不可導(dǎo)，選(C)．2、設(shè)f(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，且x＜0時有f"(x)＞0，f’(x)＜0，則當x＞0時有()．A、f"(x)＜0，f’(x)＜0B、f"(x)＞0，f’(x)＞0C、f"(x)＞0，f’(x)＜0D、f"(x)＜0，f’(x)＞0標準答案：A知識點解析：因為f(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，所以f(一x)=一f(x)，f’(一x)=f’(x)，f"(一x)=一f"(x)，即f’(x)為偶函數(shù)，f"(x)為奇函數(shù)，故由x＜0時有f"(x)＞0，f’(x)＜0，得當x＞0時有f"(x)＜0，f’(x)＜0，選(A)．3、設(shè)f(x)為單調(diào)可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，則g’(4)等于()．A、B、C、D、4標準答案：B知識點解析：因為所以選(B)．4、設(shè)f(x)在x一a的鄰域內(nèi)有定義，且f’+(a)與f’一(a)都存在，則()．A、f(x)在x=a處不連續(xù)B、f(x)在x=a處連續(xù)C、f(x)在x=a處可導(dǎo)D、f(x)在x=a處連續(xù)可導(dǎo)標準答案：B知識點解析：因為f+’(a)存在，所以存在，于是=f(a)，即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f一’(a)存在可得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，選(B)．5、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在|x一x0|＜δ內(nèi)連續(xù)B、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則存在δ＞0，使得f(x)在|x一x0|＜δ內(nèi)可導(dǎo)C、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且f’(x0)=’(x)D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)不存在，則f(x)在x0處不可導(dǎo)標準答案：C知識點解析：設(shè)顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對任意的x0≠0，因為不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對；同理f(x)在x=0處可導(dǎo)，對任意的x0≠0，因為f(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0，處也不可導(dǎo)，(B)不對；因為=f’(ξ)，其中ξ介于x0與x之間，且存在，所以也存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)且f’(x0)=,選(C)；令不存在，(D)不對．6、f(x)=則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但f’(x)在x=0處不連續(xù)D、可導(dǎo)且f’(x)在x=0處連續(xù)標準答案：D知識點解析：顯然f(x)在x=0處連續(xù)，因為所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，當x＞0時，當x＜0時，所以f’(x)在x=0處連續(xù)，選(D)．7、函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：存在，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．所以選(D)．8、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：9、下列說法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：10、下列說法中正確的是()．A、若f’(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B、若f(x)在x0取極大值，則當x∈(x0一δ，x0)時，f(x)單調(diào)增加，當x∈(x0，x0+δ)時，f(x)單調(diào)減少C、f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D、f(x)為偶函數(shù)，f"(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值標準答案：D知識點解析：則f(x)在x=0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，(A)不對；f(x)在x=0處取得極大值，但其在x=0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，(B)不對；f(x)在x=1處取得極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)，(C)不對；由f"(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點，選(D)．11、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：即當x∈(2一δ，2)時，f’(x)＜0；當x∈(2，2+δ)時，f’(x)＞o，于是x=2為f(x)的極小點，選(A)．12、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，g(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt，則()．A、x=0是f(x)的極大值點B、x=0是f(x)的極小值點C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x一t)dt=一2x2一∫0xg(x一t)d(x一t)=一2x2+∫0xg(u)du，f"(x)=一4x+g(x)，f"(0)=0，f"(x)=一4+g’(x)，f"(0)=一4＜0，因為所以存在δ＞0，當0＜|x|＜δ時，＜0，從而當x∈(δ，0)時，f"(x)＞0，當x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，選(C)．13、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=一1，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0是f(x)的駐點但不是極值點標準答案：C知識點解析：因為f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=0，即f(0)=0．又=一1＜0．由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜|x|＜δ時，有＜0，即當x∈(一δ，0)時，f"(x)＞0，當x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點，選(C)．14、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由極限保號性，存在δ＞0，當0＜|x|＜δ時，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點，選(C)．15、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f"(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點，則該極值點一定為最值點標準答案：D知識點解析：令不存在，所以(A)不對；若最大值在端點取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．16、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標準答案：B知識點解析：因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+故=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點，又因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點是唯一的，選(B)．17、設(shè)k＞0，則函數(shù)f(x)=1nx一+k的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標準答案：C知識點解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，當0＜x＜e時，f’(x)＞0；當x＞e時，f’(x)＜0，由駐點的唯一性知x=e為函數(shù)f(x)的最大值點，最大值為f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個零點，選(C)．18、曲線y=的漸近線的條數(shù)為()．A、0條B、1條C、2條D、3條標準答案：D知識點解析：因為=∞，所以曲線y=無水平漸近線；由=+∞，得曲線y=有兩條鉛直漸近線；由(y一x)=0，得曲線y=有一條斜漸近線y=x，選(D)．19、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如下頁圖，則f(x)有()．A、兩個極大點，兩個極小點，一個拐點B、兩個極大點，兩個極小點，兩個拐點C、三個極大點，兩個極小點，兩個拐點D、兩個極大點，三個極小點，兩個拐點標準答案：C知識點解析：設(shè)當x＜0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當x＞0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x3，0)，(x3，0)，其中x3＜x4．當x＜x1時，f’(x)＞0，當x∈(x1，x2)時，f’(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點；當x∈(x2，0)時，f’(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小點；當x∈(0，x3)時，f’(x)＜0，則x=0為f(x)的極大點；當x∈(x3，x4)時，f’(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小點；當x＞x4時，f’(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大點，即f(x)有三個極大點，兩個極小點，又f(x)有兩個零點，根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個零點兩側(cè)的增減性可得，y=f(x)有兩個拐點，選(C)．二、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、設(shè)x=x(t)由sint一∫1x一teu2du=0確定，求標準答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)x3一3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=求f(x)的極值．標準答案：因為f一’(0)≠f+’(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．于是令f’(x)=0得x=一1或x=當x＜一1時，f’(x)＜0；當一1＜x＜0時，f’(x)＞0；當0＜x＜時，f’(x)＜0；當x＞時，f’(x)＞0．故x=一1為極小點，極小值f(一1)=1一；x=0為極大點，極大值．f(0)=1；x=為極小點，極小值知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)=∫01f(xt)dt，且=A．求φ’(x)，并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性．標準答案：因為所以φ’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足|f(x)一2ex≤(x一1)2，研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導(dǎo)性．標準答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．當x≠1時，不等式兩邊同除以|x一1|，得知識點解析：暫無解析25、設(shè)，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)=且f"(0)存在，求a，b，c．標準答案：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以c=0，即由f(x)在x=0處可導(dǎo)，得b=1，即由f"(0)存在，得，b=1，c=0．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=0，f()一1，f(1)=0．證明：27、存在η∈(，1)，使得f(η)=η；標準答案：令φ(x)=f(x)一x，φ(x)在[0，1]上連續(xù)，φ(1)=一1＜0，由零點定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η．知識點解析：暫無解析28、對任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．標準答案：設(shè)F(x)=e一kx(x)，顯然F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，17)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(η)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且=0，又f(2)=，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．標準答案：所以f’(1)=0.由積分中值定理得由羅爾定理，存在x0∈(f，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，則φ(1)=cp(x0)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析30、質(zhì)量為lg的質(zhì)點受外力作用作直線運動，外力和時間成正比，和質(zhì)點的運動速度成反比，在t=10s時，速度等于50cm/s．外力為39．2cm/s2，問運動開始1min后的速度是多少？標準答案：由題意得F=，因為當f=10時，υ=50，F(xiàn)=39．2，所以k=196，從而F=分離變量得υdυ=196tdt，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當x→0時，f(x)與g(x)是等價無窮小，令F(x)=∫0xf(x—t)dt，G(x)=∫01xg(xt)dt，則當x→0時，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：D知識點解析：F(x)=∫0xf(x一t)dt=一∫0xf(x—t)d(x一t)=∫0xf(u)du，G(x)=∫01xg(xt)dt=∫0xg(u)du，則，選D．2、設(shè)F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()．A、為正常數(shù)B、為負常數(shù)C、為零D、取值與x有關(guān)標準答案：A知識點解析：由周期函數(shù)的平移性質(zhì)，F(xiàn)(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫-ππesintsintdt，再由對稱區(qū)間積分性質(zhì)得F(x)=∫0π(esintsint—e-sintsint)dt=∫0π(esint一e-sint)sintdt，又(esint一e-sint)sint連續(xù)、非負、不恒為零，所以F(x)＞0，選A．3、設(shè)α=，則當x→0時，兩個無窮小的關(guān)系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：C知識點解析：因為，所以兩無窮小同階但非等價，選C．二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)4、設(shè)f(sin2x)==________．標準答案：知識點解析：5、設(shè)f(lnx)=，則∫f(x)dx=________．標準答案：知識點解析：6、設(shè)∫xy(x)dx=arcSinz+C，則=________．標準答案：知識點解析：7、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，則f(x)=________．標準答案：cosx—xsinx+C知識點解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，兩邊求導(dǎo)得f’(x)=一2sinx—xcosx，積分得f(x)=cosx—xsinx+C．8、求=________．標準答案：知識點解析：9、求=________．標準答案：知識點解析：10、求=________．標準答案：知識點解析：11、求=________．標準答案：知識點解析：12、=________．標準答案：知識點解析：13、=________．標準答案：知識點解析：14、=________．標準答案：知識點解析：15、=________．標準答案：知識點解析：16、∫max{x+2，x2}dx=________．標準答案：知識點解析：17、=________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)18、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(x)=2∫0xf(x一t)dt+ex，求f(x)．標準答案：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，f(x)=2∫0xf(u)du+ex兩邊求導(dǎo)數(shù)得f’(x)一2f(x)=ex，則f(x)=(∫ex．e∫-2dxdx+C)e-∫-2dx=Cex一ex，因為f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex．知識點解析：暫無解析19、求標準答案：知識點解析：暫無解析20、求標準答案：因為(x2ex)’=(x2+2x)ex，所以知識點解析：暫無解析21、求標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當x≥0時，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)，求f(x)．標準答案：令lnx=t，則f’(t)=，當t≤0時，f(t)=t+C1；當t＞0時，f(t)=et+C2．顯然f’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，故f(x)=知識點解析：暫無解析24、求標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)連續(xù)，∫0xtf(x-t)dt=1一cosx，求f(x)dx．標準答案：由∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x—u)f(u)du=x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du=1一cosx，兩邊求導(dǎo)得∫0xf(u)du=sinx，令x=f(x)dx=1．知識點解析：暫無解析26、設(shè)S(x)=∫0x｜cost｜dt．(1)證明：當nπ≤x＜(n+1)π時，2n≤S(x)＜2(n+1)；(2)求．標準答案：(1)當nπ≤x＜(n+1)π時，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n+1)πcost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cost｜dt==2n，∫0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，則2n≤S(x)＜2(n+1)．(2)知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，非負，且以T為周期，證明：標準答案：對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n+1)T，因為f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)df≤∫0(n+1)Tf(t)dt，知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ(x)dx=ξf(ξ)．標準答案：令φ(x)=，因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以φ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(x)在(一a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f’(0)=2．(1)證明：對0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)]；(2)求．標準答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)]．(2)知識點解析：暫無解析30、設(shè)標準答案：知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)有界，且f’(x)連續(xù)，對任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．證明：｜f(x)｜≤1．標準答案：令φ(x)=exf(x)，則φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，則φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=φ’(x)dx，兩邊取絕對值得ex｜f(x)｜≤∫-∞x｜φ’(x)｜dx≤∫-∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在(一∞，+oo)上有定義，且對任意的x，y∈(一∞，+∞)有｜f(x)一f(y)｜≤｜x—y｜．證明：｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜≤(b一a)2．標準答案：因為(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)一f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)一f(a)｜dx≤∫ab(x一a)dx=知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M．對任意的x∈[-0．1]．證明：標準答案：因為0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，從而知識點解析：暫無解析34、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：∫abxf(x)dx≥標準答案：知識點解析：暫無解析35、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx．標準答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當x∈[1，2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫12f(x)dx≤；當x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n-1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是≤f(1)+∫1nf(x)dx。知識點解析：暫無解析36、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少．證明：當0＜k＜1時，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．標準答案：∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)+∫k1f(x)dx]=(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因為0＜k＜1且f(x)單調(diào)減少，所以∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)f（x）和φ（x）在（一∞，+∞）上有定義，f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（x）≠0，φ（x）有間斷點，則（）A、φ（f（x））必有間斷點B、[φ（x）]2必有間斷點C、f（φ（x））必有間斷點D、必有間斷點標準答案：D知識點解析：取f（x）=1，x∈（一∞，+∞），φ（x）=則f（x），φ（x）滿足題設(shè)條件。由于φ（f（x））=1，[φ（x）]2=1，f（φ（x））=1都是連續(xù)函數(shù)，故可排除A、B、C，應(yīng)選D。2、設(shè)函數(shù)f（x）=則f（x）在x=0處（）A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標準答案：C知識點解析：顯然f（0）=0，對于極限是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運算性質(zhì)可知，因此f（x）在x=0處連續(xù)，排除A、B。又因為不存在，所以f（x）在x=0處不可導(dǎo)，故選C。3、已知函數(shù)y=y（x）在任意點x處的增量△y=+α，且當Ax→0時，α是△x的高階無窮小，y（0）=π，則y（1）等于（）A、2—πB、πC、D、標準答案：D知識點解析：因為函數(shù)y=y（x）在任意點X處的增量△y==0，故由微分定義可知此為一階可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得ln|y|=arctanx+C1，即y=Ceaarctanx，由y（0）=π得C=π，于是y（x）=πearctanx。因此y（1）=πearctanx=故選D。4、設(shè)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）上有定義，則下述命題中正確的是（）A、若f（x）在（一∞，+∞）上可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對一切∈（一∞，+∞），都有f’（x）＞0B、若f（x）在點x0處取得極值，則f’（x0）=0C、若f"（x0）=0，則（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點坐標D、若f’（x0）=0，f"（x0）=0，f"’（x0）≠0，則x0一定不是f（x）的極值點標準答案：D知識點解析：若在（一∞，+∞）上f’（x）＞0，則一定有f（x）在（一∞，+∞）上單調(diào)增加，但可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）上單調(diào)增加，可能有f’（x）≥0。例如f（x）=x3在（一∞，+∞）上單調(diào)增加，f’（0）=0。故不選A。f（x）若在x0處取得極值，且f’（x0）存在，則有f’（x0）=0，但當f（x）在x0處取得極值，在x0處不可導(dǎo)，就得不到f’（x0）=0，例如f（x）=|x|在x0=0處取得極小值，它在x0=0處不可導(dǎo)，故不選B。如果f（x）在x0處二階導(dǎo)數(shù)存在，且（x0，f（x0））是曲線的拐點坐標，則f"（x0）=0，反之不一定，例如f（x）=x4在x0=0處，f"（0）=0，但f（x）在（一∞，+∞）沒有拐點，故不選C。由此選D。5、設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=160—2P，其中Q，P分別表示需求量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（）A、100B、200C、300D、400標準答案：D知識點解析：商品需求彈性的絕對值等于=1，因此得P=40，故選D。6、設(shè)f（x）=∫0x（ecost—e—cost）dt，則（）A、f（x）=f（x+2—π）B、f（x）＞f（x+2π）C、f（x）＜f（x+2π）D、當x＞0時，f（x）＞f（x+2π）；當x＜0時，f（x）＜f（x+2π）標準答案：A知識點解析：考查f（x+2π）—f（x）=∫xx+2π（ecost—e—cost）dt，被積函數(shù)以2π為周期且為偶函數(shù)，由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得f（x+2π）—f（x）=∫—ππ（ecost—e—cost）dt=2∫0π（ecost—e—cost）dt一2∫0π（ecosu—ecosu）du，因此，f（x+2π）—f（x）=0，故選A。7、已知f（x，y）=，則（）A、fx’（0，0），fy’（0，0）都存在B、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）存在C、fx’（0，0）不存在，fy’（0，0）不存在D、fx’（0，0），fy’（0，0）都不存在標準答案：B知識點解析：所以fy’（0，0）存在。故選B。8、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：結(jié)合二重積分的定義可得9、f（rcosθ，rsinθ）rdr（a＞0），則積分域為（）A、x2+y2≤a2B、x2+y2≤a2（x≥0）C、x2+y2≤axD、x2+y2≤ax（y≥0）標準答案：C知識點解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax（a＞0），故選C。10、設(shè)常數(shù)λ＞0，且級數(shù)A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與λ有關(guān)標準答案：C知識點解析：取an=顯然滿足題設(shè)條件。而此時于是由比較判別法知，級數(shù)絕對收斂，故選C。11、微分方程y"一λ2y=eλx+e—λx（λ＞0）的特解形式為（）A、a（eλx+e—λx）B、ax（eλx+e—λx）C、x（aeλx+be—λx）D、x2（aeλx+be—λx）標準答案：C知識點解析：原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2—λ2=0，其特征根為r1，2=+A，所以y"—λ2y=eλx的特解為y1*=axeλx，y"一λ2y=eλ2x的特解為y2=bxe—λx，根據(jù)疊加原理可知原方程的特解形式為y=y1*+y2*=x（aeλx+be—λx），因此選C。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)12、標準答案：知識點解析：13、sin（x—t）2dt=________。標準答案：slnx2知識點解析：令x—t=u，則sinu2du=sinx2。14、設(shè)f（x）=則f（x）的極值為________，f（x）的拐點坐標為________。標準答案：0；知識點解析：對f（x）求導(dǎo)，并令f’（x）=．2x=0，得x=0，且當x＜0時，f’（x）＜0；當x＞0時，f’（x）＞0，所以極小值點為x=0，極小值為f（0）=0。15、已知∫f’（x3）dx=x3+C（C為任意常數(shù)），則f（x）=________。標準答案：+C，C為任意常數(shù)知識點解析：對等式∫f’（x3）dx=x3+C兩邊求導(dǎo)，得f’（x3）=3x2。令t=x3，則f’（t）=+C，C為任意常數(shù)。16、已知∫—∞+∞ek|x|dx=1，則k=________。標準答案：—2知識點解析：由已知條件，已知要求極限存在，所以k＜0．于是有1=0—，因此k=—2。17、設(shè)函數(shù)z=z（x，y）由方程z=e2x—3z+2y確定，則標準答案：2知識點解析：偏導(dǎo)數(shù)法。在z=e2x+3z+2y的兩邊分別對z，y求偏導(dǎo)，z為x，y的函數(shù)。18、設(shè)f（x，y）連續(xù)，且f（x，y）=x+，x=1，y=2所圍成的區(qū)域，則f（x，y）=________。標準答案：知識點解析：19、冪級數(shù)的收斂域為_________。標準答案：[—1，1）知識點解析：因為=1，則收斂半徑R=1。當x=—1時，原級數(shù)為收斂；當x=l時，原級數(shù)為發(fā)散。因此收斂域為[—1，1）。20、微分方程y"一y’+=0的通解為________。標準答案：y=（C1+C2x），C1，C2為任意常數(shù)知識點解析：二階齊次微分方程的特征方程為λ2—λ+。因此齊次方程的通解為y=（C1+C2x），C1，C2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析22、求方程karctanx—x=0不同實根的個數(shù)，其中k為參數(shù)。標準答案：令f（x）=karctanx—x，則f（0）=0，且當k＜1時，f’（x）＜0，f（x）在（一∞，+∞）單調(diào)遞減，故此時f（x）的圖象與x軸只有一個交點，也即方程karctanx—x=0只有一個實根。當k=1時，在（一∞，0）和（0，+∞）上都有f’（x）＜0，所以f（x）在（一∞，0）和（0，+∞）上是嚴格單調(diào)遞減的，又f（0）=0，故f（x）的圖象在（一∞，0）和（0，+∞）與x軸均無交點。綜上所述，k≤1時，方程karctanx一x=0只有一個實根；k＞1時，方程karctanx一x=0有三個實根。知識點解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f（x）在[0，+∞）上可導(dǎo)，f（a）=0且=2，證明：（Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1；（Ⅱ）對（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=標準答案：（Ⅰ）設(shè)F（x）=f（x）—1，x≥0。因為（0，+∞），使得F（a）=0，即f（A）=1。（Ⅱ）函數(shù)在[0，a]上連續(xù)，在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0，a）使得知識點解析：暫無解析24、標準答案：使用分部積分法和換元積分法。知識點解析：暫無解析25、設(shè)z=（x2一y2，exy），其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求標準答案：因為由已知條件可得=2x[f11’．（—2y）+f12’．xexy]+exyf2’+xyexyf2’+yexy[f21"．（—2y）+f22"?xexy]=—4xyf11"+2（x2一y2）exyf12"+xye2xyf22"+exy（1+xy）f2’。知識點解析：暫無解析26、求二重積分max（xy，1）dxdy，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。標準答案：曲線xy=1將區(qū)域分成兩個區(qū)域D1和D2+D3（如圖1—4—15）知識點解析：暫無解析27、求其中D是由圓x2+y2=4和（x+1）2+y2=1所圍成的平面區(qū)域（如圖1—4—2）。標準答案：令D1={（x，y）|x2+y2≤4}，D2={（x，y）|（x+1）2+y2≤1}，（如圖1—4—21所示）知識點解析：暫無解析28、設(shè)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又設(shè)=A＞0，試討論級數(shù)是條件收斂，絕對收斂，還是發(fā)散？標準答案：由=A，且在x=0處f（x）連續(xù)，有由于f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，所以當x＞0且x足夠小時f’（x）＞0，由拉格朗日中值定理，有知識點解析：暫無解析29、將函數(shù)f（x）=展開成x的冪級數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析30、在xOy坐標平面上，連續(xù)曲線L過點M（1，0），其上任意點P（x，y）（x≠0）處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax（常數(shù)a＞0）。（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）當L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為時，確定a的值。標準答案：（Ⅰ）設(shè)曲線L的方程為y=f（x），則由題設(shè)可得這是一階線性微分方程，其中代入通解公式得=x（ax+C）=ax2+Cx，又f（1）=0，所以C=—a故曲線L的方程為y=ax2—ax（x≠0）（Ⅱ）L與直線y=ax（a＞0）所圍成的平面圖形如圖1—5—1所示。所以D=∫02[ax一（ax2—ax）]dx=a∫0x（2x一x2）dx=故a=2。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、曲線的漸近線有()．A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：由為水平漸近線，顯然該曲線沒有斜漸近線，又因為x→1及x→一2時，函數(shù)值不趨于無窮大，故共有兩條漸近線，應(yīng)選B．2、函數(shù)f(x)=x3一3x+k只有一個零點，則k的范圍為()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2標準答案：C知識點解析：，令f’(x)=3x2一3=0，得x=±1，f"(x)=6x，由f"(一1)=一6＜0，得x=一1為函數(shù)的極大值點，極大值為f(—1)=2+k，由f"(1)=6＞0，得x=1為函數(shù)的極小值點，極小值為f(1)=一2+k，因為f(x)=x3一3x+k只有一個零點，所以2+k＜0或一2+k＞0，故｜k｜＞2，選C．3、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，f(0)=1，且，則f(x)在x=0處()．A、可導(dǎo)，且f’(0)=0B、可導(dǎo)，且f’(0)=一1．C、可導(dǎo)，且f’(0)=2D、不可導(dǎo)標準答案：B知識點解析：4、設(shè)，則在x=a處()．A、f(x)在x=a處可導(dǎo)且f’(a)≠0B、f(a)為f(x)的極大值C、f(a)不是f(x)的極值D、f(x)在x=a處不可導(dǎo)標準答案：B知識點解析：由，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x—a｜＜δ時，有＜0，從而有f(x)＜f(a)，于是f(a)為f(x)的極大值，選B．5、設(shè)函數(shù)f(x)在｜x｜＜δ內(nèi)有定義且｜(x)｜≤x2，則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0標準答案：C知識點解析：6、設(shè)f(x)=，其中g(shù)(x)為有界函數(shù)，則f(x)在x=0處()．A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標準答案：D知識點解析：因為f’+(0)=f’—(0)=0，所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，應(yīng)選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、設(shè)y=x5+5x一tan(x2+1)，則y’=__________．標準答案：5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．知識點解析：y’=5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．8、y=，則y’=__________．標準答案：知識點解析：9、f(sinx)=cos2x+3x+2，則f’(x)=__________．標準答案：知識點解析：由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1—2sin2x+3x+2，f(x)—1—2x2+3arcsinx+2，f’(x)=一4x+．10、y=，則y’=__________．標準答案：知識點解析：11、xy=yx，則y’=__________．標準答案：知識點解析：由xy=yx，得ylnx=xlny，兩邊求導(dǎo)數(shù)得三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、設(shè)f(x)=g(a+bx)一g(a—bx)，其中g(shù)’(a)存在，求f’(0)．標準答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)=｜x一a｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，討論f’(a)的存在性．標準答案：當g(a)=0時，由f’—(a)一f’+(a)=0得f(x)在x=a處可導(dǎo)且f’(a)=0；當g(a)≠0時，由f’—(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a處不可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析14、設(shè)，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=x(x一1)(x+2)(x一3)…(x+100)，求f’(0)．標準答案：由f’(x)=(x一1)(x+2)…(x+100)+x(x+2)…(x+100)+…x(x—1)…(x一99)得f’(0)=(一1)．2．(一3)．…．100=1001．知識點解析：暫無解析19、設(shè)y=ln(2+x—x)，求dy｜x=0．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0確定，求y"(0)．標準答案：將x=0代入得y=0，將x=0，y=0，y’(0)=0代入得y"(0)=一2．知識點解析：暫無解析21、由方程sinxy+ln(y—x)=x確定函數(shù)y=y(x)，求．標準答案：將x=0代入sinxy+ln(y—x)=x得y=1，sinxy+ln(y—x)=x兩邊對x求導(dǎo)得，將x=0，y=1代入得．知識點解析：暫無解析22、求。標準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)y=x2lnx，求y(n)．標準答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x．(lnx)(n—1)+Cn22.(lnx)n—2知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)=，求f(n)(x)。標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)，求f"(x)。標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)連續(xù)，且對任意的x，y∈(一∞，+∞)有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．標準答案：當x=y=0時，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．對任意的x∈(—∞，+∞)，則f(x)=x2+x+C，因為f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)=討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標準答案：因為0≤｜f(x)｜==0=f(0)，故f(x)在x=0處連續(xù)．因為f’—(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)f(x)一ln|x一1|的導(dǎo)數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：應(yīng)當把絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)，即得(B)．2、函數(shù)y=xx在區(qū)間上()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：y’=xx(lnx+1)，令y’=0，得x=，y’＞0，函數(shù)單調(diào)增加，故選(D)．3、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且=1，則()A、f(0)=0且f’-(0)存在B、f(0)=1且f’-(0)存在C、f(0)=0且f’+(0)存在D、f(0)=1且f’+(0)存在標準答案：C知識點解析：因為f(x)在x=0處連續(xù)，4、設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在(a，b)上可導(dǎo)，考慮下列敘述：(1)若f(x)＞g(x)，則f’(x)＞g’(x)；(2)若f’(x)＞g’(x)，則f(x)＞g(x)．則()A、(1)，(2)都正確B、(1)，(2)都不正確C、(1)正確，但(2)不正確D、(2)正確，但(1)不正確標準答案：B知識點解析：考慮f(x)=e-x與g(x)=e-x，顯然f(x)＞g(x)，但f’(x)=-e-x，g’(x)=e-x，f’(x)＜g’(x)，(1)不正確。將f(x)與g(x)交換可說明(2)不正確．5、設(shè)其中f(x)在x=0處可導(dǎo)，f’(0)≠0，f(0)=0，則x=0是F(x)的()A、連續(xù)點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、連續(xù)點或間斷點不能由此確定標準答案：B知識點解析：6、設(shè)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=[(x2一t2)f(t)dt，且當x→0時，F(xiàn)’(x)與xk是同階無窮小，則k等于()A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：用洛必達法則，所以k=3，選(C)。其中洛必達法則的使用邏輯是“右推左”，即右邊存在(或為無窮大)，則左邊存在(或為無窮大)，本題邏輯上好像是在“左推右”，事實上不是，因為存在，即最右邊的結(jié)果存在，所以洛必達法則成立．7、曲線的漸近線有()A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：曲線y=f(x)無斜漸近線．8、在區(qū)間[0，8]內(nèi)，對函數(shù)f(x)=，羅爾定理()A、不成立B、成立，并且f’(2)=0C、成立，并且f’(4)=0D、成立，并且f’(8)=0標準答案：C知識點解析：因為f(x)在[0，8]上連續(xù)，在(0，8)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=f(8)，故f(x)在[0，8]上滿足羅爾定理條件．得f’(4)=0，即定理中ξ可以取為4．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)9、設(shè)曲線y=ax3+bx2+cx+d經(jīng)過(一2，44)，x=-2為駐點，(1，一10)為拐點，則a，b，c，d分別為________．標準答案：1，一3，一24，16知識點解析：解方程可得a=1，b=-，C=一24，d=16．10、p(x)為二次三項式，要使得ex=p(x)+o(x2)(x→0)，則p(x)=________．標準答案：知識點解析：設(shè)p(x)=ax2+bx+c，由題意知，當x→0時，ex一p(x)=0(x2)，于是p(x)=+x+1．11、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0確定，則=________．標準答案：知識點解析：方程兩邊同時對x求導(dǎo)，可得12、y=sin4x+cos4x，則y(n)=________(n≥1)．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)13、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線與x軸的交點為(xn，0)，計算標準答案：由導(dǎo)數(shù)幾何意義，曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線斜率k=f’(1)=nxn-1|x=1=n，所以切線方程為y=1+n(x一1)，令y=1+n(x一1)=0解得xn=1-，因此知識點解析：暫無解析15、討論方程axex+b=0(a＞0)實根的情況．標準答案：令f(x)=axex+b，因為=+∞，求函數(shù)f(x)=axex+b的極值，并討論極值的符號及參數(shù)b的值．f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，駐點為x=-1，f(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f"(一1)＞0，所以，x=-1是函數(shù)的極小值點，極小值為(1)當(＞0)時，函數(shù)f(x)無零點，即方程無實根；(2)當(＞0)時，函數(shù)f(x)有一個零點，即方程有一個實根；(3)當0＜b＜時，函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的實根；(4)當b≤0時，函數(shù)f(x)有一個零點，即方程有一個實根．知識點解析：暫無解析16、設(shè)0＜k＜1，f(x)=kx—arctanx．證明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零點，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x1)=0．標準答案：知識點解析：暫無解析17、已知標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)y=(a＞0，b＞0)，求y’．標準答案：兩邊取對數(shù)知識點解析：暫無解析19、設(shè)y=exsinx，求y(n)．標準答案：y’=exsinx+cosx.ex=歸納可得：y(n)=知識點解析：暫無解析20、防空洞的截面擬建成矩形加半圓(如圖1．2—1)，截面的面積為5平方米，問底寬x為多少時才能使建造時所用的材料最省?標準答案：設(shè)截面周長為S，矩形高為y，則故唯一極值可疑點為由問題的實際意義知，截面周長必有最小值，并且就在此駐點處取得，因此當?shù)讓挒?．367米時，截面的周長最小，因而所用材料最?。R點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)可導(dǎo)，證明：f(x)的兩個零點之間一定有f(x)+f’(x)的零點．標準答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)ex，由于f(x)可導(dǎo)，故F(x)可導(dǎo)，設(shè)x1和x2為f(x)的兩個零點，且x1＜x2，則F(x)在[x1，x2]上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，至少存在一點ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．知識點解析：f(x)的兩個零點x1，x2(不妨設(shè)x1＜x2)之間有f(x)+f’(x)的零點問題，相當于在(x1，x2)內(nèi)有f(x)+f’(x)=0的點存在的問題．若能構(gòu)造一個函數(shù)F(x)，使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，則問題可以得到解決．由(ex)’=ex可以得到啟發(fā)，令F(x)=f(x)ex．22、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)且f(A)≠f(b)．證明：存在η，ξ∈(a，b)，使得標準答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(A)=f’(η)(b一a)，又由柯西中值定理知知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)為[a，b]上的函數(shù)且滿足，x1，x2∈[a，b]，則稱f(x)為[a，b]上的凹函數(shù)，證明：23、若f(x)在[a，b]上二階可微，且f"(x)＞0，則f(x)為[a，b]上的凹函數(shù)；標準答案：由于x，x0∈[a，b]，有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+(ξ(x))(x—x0)2＞f(x0)+f’(x0)(x一x0)，在上式中分別取x=x1，x=x2，x0=，得到上述兩式相加即得證．知識點解析：暫無解析24、若f(x)為[a，b]上的有界凹函數(shù)，則下列結(jié)論成立：①∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；④f(x)為(a，b)上的連續(xù)函數(shù)．標準答案：先證(i)．由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，分別取x—x1，x=x2，x0一λx1+(1一λ)x2，得到f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1一x2)，①f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1)．②λ×①+(1一λ)×②得λf(x1)+(1—λ)f(x2)≥f(x0)一f(λx1+(1一λ)x2)．得證．(i)可寫成由歸納法即可得證(iii)，這里略去．(iii)中令λi=，i=1，…，n，即得證(ii)．再證(iv)．∈[a，b]，設(shè)G為|f(x)|的上界，取絕對值充分小的δ，m＜n，使得x1=x2=…=xm=x+nδ，xm+1=…=xn=x．由(ii)知令δ→0，則n→∞，故有f(x+δ)一f(x)→0，從而證明了f(x)的連續(xù)性．知識點解析：暫無解析25、求函數(shù)f(x)一nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及l(fā)imM(n)．標準答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一x)n-1，f"(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n-2．知識點解析：暫無解析26、設(shè)=1，且f"(x)＞0．證明：f(x)＞x．標準答案：得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二階可導(dǎo)，故f(x)在x=0處的一階泰勒公式成立，因f“(x)＞0，故f(x)＞x，原命題得證．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，滿足(1)(2)f’(x)+f2(x)+1≥0，∈(a，b)．求證：b—a≥π．標準答案：＜x2∈(a，b)，對函數(shù)arctanf(x)在[x1，x2]上用拉格朗日中值定理，便知∈(x1，x2)，使得知識點解析：暫無解析28、利用導(dǎo)數(shù)證明：當x＞1時，標準答案：設(shè)f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，有f(1)=2ln2＞0．由＞0(x＞0)知，f(x)單調(diào)遞增，且當x＞1時，f(x)＞f(1)=2ln2＞0，lnx＞0，從而得，其中x＞1．知識點解析：暫無解析設(shè)x∈(0，1)，證明下面不等式：29、(1+x)ln2(1+x)＜x2；標準答案：令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．當x∈(0，1)時，知φ’(x)單調(diào)遞增，從而φ’(x)＞φ’(0)=0，知φ(x)單調(diào)遞增，則φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．知識點解析：暫無解析30、標準答案：令由(1)得，當x∈(0，1)時f’(x)＜0，知f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)＞f(1)=又因為當x∈(0，1)時，f’(x)＜0，知f(x)單調(diào)遞減，且f(x)＜f(0+)=所以知識點解析：暫無解析31、求使不等式對所有的自然數(shù)n都成立的最大的數(shù)α和最小的數(shù)β．標準答案：已知不等式等價于令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，x∈[0，1]，則g(0)=0，且g’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，故g’(x)在[0，1]上嚴格單調(diào)遞減，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也嚴格單調(diào)遞減，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)一x2＜0，從而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也嚴格單調(diào)遞減．令x=，α≤f(x)≤β，有故使不等式對所有的自然數(shù)n都成立的最大的數(shù)知識點解析：暫無解析32、證明：當0＜a＜b＜π時，bsinb+2cosb+nb＞asina+2cosa+πa．標準答案：令F(x)=xsinz+2cosx+πx，只需證明F(x)在(0，π)上單調(diào)遞增．F’(x)=sinx+xcosx一2sinx+π=π+xcosx—sinx，由此式很難確定F’(x)在(0，π)上的符號，為此有F"(x)=-xsinx＜0，x∈(0，π)，即函數(shù)F’(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，又F’(π)=0，所以F(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(6)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．知識點解析：暫無解析33、某集郵愛好者有一個珍品郵票，如果現(xiàn)在(t=0)就出售，總收入為R0元，如果收藏起來待來日出售，t年末總收入為R(t)=R0eξ(t)，其中ξ(t)為隨機變量，服從正態(tài)分布，假定銀行年利率為r，并且以連續(xù)復(fù)利計息，試求收藏多少年后，再出售可使得總收入的期望現(xiàn)值最大，并求r=0．06時，t的值．標準答案：由連續(xù)復(fù)利公式，t年末售出總收入R的現(xiàn)值為：A(t)=R.e-rt．于是A(t)=R0eξ(t)e-rt=R0eξ(t)-rt，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)=｜x3一1｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標準答案：C知識點解析：設(shè)g(1)=0，，，因為f’一(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，，因為f’—(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導(dǎo)，應(yīng)選C．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且F(x)=，則F’(x)=()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、當x∈[0，1]時，f"(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小次序為()．A、f’(0)＞f(1)一f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)一f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)一f(0)D、f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)標準答案：D知識點解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(c)(0＜c＜1)，因為f"(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)，應(yīng)選D．4、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、設(shè)f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，則當a＜x＜b時，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標準答案：B知識點解析：6、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標準答案：D知識點解析：由得f(0)=0，由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，，從而f(x)＞0=f(0)，由極值的定義得f(0)的極小值，應(yīng)選D．7、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(一δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈(一δ，0)，有f(x)>f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)標準答案：D知識點解析：因為f’(0)=＞0，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，＞0，當x∈(一δ，0)時，f(x)＜f(0)；當x∈(0，δ)時，f(x)＞f(0)，應(yīng)選D．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)8、設(shè)，其中f連續(xù)，則φ”(x)=__________標準答案：知識點解析：9、設(shè)f(x)連續(xù)，則=________標準答案：f(x)知識點解析：10、曲線y=的斜漸近線為__________．標準答案：y=x+3知識點解析：則斜漸近線為y=x+3．11、曲線y=x+的斜漸近線為__________．標準答案：y=x知識點解析：由的斜漸近線為y=x．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、證明：當x＞1時，標準答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=21n2＞0，因為f’(x)=ln(1+x)+1一lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上單調(diào)增加，再由f(1)=2ln2＞0得當x＞1時，f(x)＞0，．知識點解析：當x＞1時，，等價于(1+x)ln(1+z)一xlnx＞0．13、證明：當x＞0時，arctanx+。標準答案：知識點解析：暫無解析14、證明：當0＜x＜1，證明：標準答案：知識點解析：15、當標準答案：令f(x)=x—sinx，f(0)=0，知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＜1，證明：2x—f(t)dt=1在(0，1)有且僅有一個根．標準答案：令φ(x)=，因為f(x)＜1，所以f(t)dt＜1，從而φ(0)φ(1)＜0，由零點定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．因為φ’(x)=2一f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故方程2x—f(t)dt=1有且僅有一個根．知識點解析：暫無解析17、求曲線y=的上凸區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求曲線的斜漸近線．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求的漸近線．標準答案：得y=x+3為斜漸近線．知識點解析：暫無解析20、證明．當x＞0時，標準答案：令φ(t)=ln(x+y)，由拉格朗日中值定理得知識點解析：暫無解析21、設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個實根．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=．標準答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(6)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．標準答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，則存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因為φ’(x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)二階可導(dǎo)，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．證明：(1)ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=0．標準答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt，F(xiàn)’(x)=f(x)，∫02f(t)dt=F(2)一F(0)=F’(c)(2一0)一2f(c)，其中0＜c＜2．因為f(x)在[2，3]上連續(xù)，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，由羅爾定理，存在，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．(2)令φ(x)=e—2xf’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ，ξ)(0，3)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e—2x[f"(x)一2f’(x)]且e—2x≠0，故f"(ξ)一2f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，證明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得.(2)存在7E(1，2)，使得∫18f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．標準答案：(1)令h(x)=lnx，F(xiàn)(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得．(2)由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)一f(1)=f’(η)(ξ一1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=ο(ξ一1)f’(η)ln2．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)且f"(x)＞0，證明：f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．標準答案：對任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+(x—x0)2，其中ξ介于x0與x之間．因為f"(x)>0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，“=”成立當且僅當“x=x0”，由凹函數(shù)的定義，f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)x→0時，（1+sinx）x—1是比xtanxn低階的無窮小，而xtanxn是比l）ln（1+x2）低階的無窮小，則正整數(shù)n等于（）A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：當x→0時，（1+sinx）x—1～ln[（1+sinx）x—1+1]=xln（1+sinx）～xsmx～x2，ln（1+x2）—sln2x而xtanxn～x．x=xn+1。因此2＜n+1＜4，則正整數(shù)n=2，故選B。2、設(shè)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f（0）=0。則φ（x）在x=0處（）A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但φ’（x）在x=0不連續(xù)D、可導(dǎo)且φ’（x）在x=0連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為因此φ’（x）在x=0連續(xù)。故選D。3、設(shè)y=f（x）在（a，b）可微，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①x0∈（a，b），若f’（x0）≠0，則Ax→0時dy|x=x0與△x是同階無窮小。②df（x）只與x∈（a，b）有關(guān)。③△y=f（x+Ax）—f（x），則dy≠△y。④△x→時，dy—△y是△x的高階無窮小。A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：逐一分析。①正確。因為=f’（x0）≠0，因此△x→0時dy|x=x0與△x是同階無窮小。②錯誤。df（x）=f’（x）△x，df（x）與x∈（a，b）及△x有關(guān)。③錯誤。當），=f（x）為一次函數(shù)，f（x）=ax+b，則dy=a△x=△y。④正確。由可微概念知f（x+△x）—f（x）=f’（x）△x+o（△x）（△x→0），即△y—dy=o（△x）（△x→0）。故選B。4、設(shè)f（x）=xsmx+cosx，下列命題中正確的是（）A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：f’（x）=slnx+xcosx—slnx=xcosx，因此又f"（x）=cosx—xsinx，且故f（0）是極小值，是極大值。應(yīng)選B。5、曲線y=1—x+A、既有垂直又有水平與斜漸近線B、僅有垂直漸近線C、只有垂直與水平漸近線D、只有垂直與斜漸近線標準答案：A知識點解析：函數(shù)y的定義域為（一∞，一3）∪（0，+∞），且只有間斷點x=—3，又6、設(shè)F（x）=∫xx+2πesintdt，則F（x）（）A、為正常數(shù)B、為負常數(shù)C、恒為零D、不為常數(shù)標準答案：A知識點解析：由于被積函數(shù)以2π為周期，所以F（x）=F（0），而F（0）=∫02πesintsintdt=—∫02πesintdcost=—esintcost|02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0故選A。7、設(shè)f（x，y）=則f（x，y）在點（0，0）處（）A、兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在B、兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)標準答案：B知識點解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有故f（x，y）在（0，0）點不可微。應(yīng)選B。8、設(shè)f（x，y）與φ（x，y）均為可微函數(shù)，且φy’（x，y）≠0。已知（x0，y0）是f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0下的一個極值點，下列選項正確的是（）A、若fx’（x0，y0）=0，則fy’（x0，y0）=0B、若fx’（x0，y0）=0，則fy’（x0，y0）≠0C、若fx’（x0，y0）≠0，則fy’（x0，y0）=0D、若fx’（x0，y0）≠0，則fy’（x0，y0）≠0標準答案：D知識點解析：令F=f（x，y）+λφ（x，y），若fx’（x0，y0）=0，由（1）得λ=0或φx’（x0，y0）=0。當λ=0時，由（2）得fy’（x0，y0）=0，但λ≠0時，由（2）及φ（x0，y0）≠0得fy’（x0，y0）≠0。因而A、B錯誤。若fx’（x0，y0）≠0，由（1），則λ≠0，再由（2）及φy’（x0，y0）≠0，則fy’（x0，y0）≠0。9、累次積分∫0cosθf（rcosθ，rsinθ）rdr可以寫成（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由累次積分可知，積分區(qū)域D為由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖1—4—6所示。該圓的直角坐標方程為+y2=。故用直角坐標表示區(qū)域D為可見A、B、C均不正確，故選D。10、級數(shù)（a＞0，β＞0）的斂散性（）A、僅與β取值有關(guān)B、僅與α取值有關(guān)C、與α和β的取值都有關(guān)D、與α和β的取值都無關(guān)標準答案：C知識點解析：由于（1）當0＜β＜1時，級數(shù)發(fā)散。（2）當β＞1時，級數(shù)收斂。（3）當β=1時，原級數(shù)為當α＞1時收斂，當α≤1時發(fā)散，故選C。11、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為（）A、y*=ax2+bx+c+x（Asinx十Bcosx）B、y*=x（ax2+bx+c+Asinx+Bcosx）C、y*=ax2+bx+c+AsinxD、y*=ax2+bx+c+Acosx標準答案：A知識點解析：對應(yīng)齊次方程y"+y=0的特征方程為λ2+1=0．特征根為λ=±i，對于方程y"+y=x2+1=e0（x2+1），0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y1*=ax2+bx+c，對于方程y"+y=sinx，i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2*=x（Asinx+Bcosx），因此y"+y=x2+1+sinx的特解形式