【專項(xiàng)精練】第11課 函數(shù)與方程-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第11課函數(shù)與方程（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】通過解法方程來求得的零點(diǎn)個數(shù).【詳解】由可得.當(dāng)時，，或（舍去），當(dāng)時，或.故是的零點(diǎn)，是的零點(diǎn)，是的零點(diǎn).綜上所述，共有個零點(diǎn).故選：C2．（2012秋·上?！じ呷y(tǒng)考期中）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足A． B． C． D．的符號不確定【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合分析即可【詳解】不妨設(shè),則,作出圖像如下:則可以得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的零點(diǎn)，此時，所以當(dāng)時，故選：B3．（2023春·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，根據(jù)有4個零點(diǎn)求解.【詳解】解：令，得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：若有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A二、多選題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(即，)則（

）A．當(dāng)時，是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．設(shè)最小值為，則 D．方程可能有2個解【答案】ABD【分析】結(jié)合奇偶函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】：當(dāng)時，，即，所以，所以是偶函數(shù)，故正確；：當(dāng)時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，當(dāng)時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，綜上，在上是增函數(shù)，故正確；：當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)椴荒艽_定的大小，所以最小值無法判斷，故錯誤；：令，當(dāng)時，，有2個解，故正確.故選：ABD5．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足，，，則下列說法錯誤的是（

）A．在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定沒有零點(diǎn)B．在區(qū)間(0，1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)C．在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)D．在區(qū)間(0，1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)【答案】ABD【解析】根據(jù)的圖像在上連續(xù)不斷，，，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，判斷出在區(qū)間和上零點(diǎn)存在的情況，得到答案．【詳解】由題知，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，又，無法判斷在區(qū)間上是否有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)．故選：．三、填空題6．（2019·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有一個零點(diǎn)，有兩個零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)分布分析運(yùn)算．【詳解】根據(jù)題意得：有一個零點(diǎn)，有兩個零點(diǎn)若有一個零點(diǎn)，則當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)則可得，得故答案為：．【二層練綜合】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)，可以采用二分法的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn)；是單調(diào)函數(shù)，，能用二分法求零點(diǎn)；不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn)；不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn).故選：B2．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】令，根據(jù)分別求出函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；【詳解】令．①當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得；②當(dāng)時，，由，解得．作出函數(shù)，直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為5．故選：D．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極值的充要條件即可作答.【詳解】由得，，因函數(shù)在內(nèi)有極值，則時，有解，即在時，函數(shù)與直線y=a有公共點(diǎn)，而，即在上單調(diào)遞減，，則，顯然在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．二、多選題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有5個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】換元，將原方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題，結(jié)合圖象可解.【詳解】令，記的兩個零點(diǎn)為，則由的圖象可知：方程有5個不同的實(shí)根與的圖象共有5個交點(diǎn)，且（不妨設(shè)）.則解得.故選：BCD5．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同解，則的取值可能是（

）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及已知條件得到，代入，令，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性分析原函數(shù)的單調(diào)性，即可求出取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膬筛鶠椋?，從而．令，則，．因?yàn)?，所以，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，所以，即的取值范圍是，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的范圍問題.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，則x、y、z由小到大的順序是.【答案】【分析】把給定的三個等式作等價變形，比較函數(shù)的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大小作答.【詳解】依題意，，，，，因此，成立的x值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，成立的y值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，成立的z值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象得：，即，所以x、y、z由小到大的順序是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及某些由指數(shù)式、對數(shù)式給出的幾個數(shù)大小比較，可以把這幾個數(shù)視為對應(yīng)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與另外某個函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用圖象的直觀性質(zhì)解決.【三層練能力】一、單選題1．（2023春·陜西西安·高二西安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將看成整體解出或，作出的大致圖象，將式子化為，然后轉(zhuǎn)化為的范圍進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】當(dāng)時，，此時，，令，解得：，令，解得：，可得在上單調(diào)遞減且恒負(fù)，在上單調(diào)遞增且恒負(fù)，且，當(dāng)時，，作出的大致圖象如圖所示，函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，等價于方程有5個不同的實(shí)數(shù)根，解得：或，，該方程有5個根，且，則，，當(dāng)時，，，故，所以；當(dāng)時，，，故，所以，綜上：的取值范圍是：.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是對的理解，將看成一個，解出其值，然后通過圖象分析，轉(zhuǎn)化為直線與圖象的交點(diǎn)情況.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，若，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得，再對k分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)有唯一零點(diǎn)的條件，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可作答.【詳解】因，，則，時，恒有，在上單調(diào)遞增，，在上無零點(diǎn)，時，，而在上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則，即，令，則，在單調(diào)遞減，而，于是得的零點(diǎn)，所以.故選：B二、多選題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．【答案】BCD【分析】利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿足的方程關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，得到及，結(jié)合指對互化即可判斷選項(xiàng)A、B、C，最后再通過對勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，故A錯誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結(jié)合，得，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，通過結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及指對互化找到根的關(guān)系得出結(jié)論.三、填空題4．（2023春·安徽滁州·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)給定分段函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，確定給定方程有兩個不等實(shí)根的a的取值范圍，再將目標(biāo)函數(shù)用a表示出即可求解作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時，，且，當(dāng)，即時，，且，當(dāng)，即時，，且，因此，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，則方程