2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專題十五（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題十五知識點(diǎn)一寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列,求離散型隨機(jī)變量的均值,獨(dú)立事件的乘法公式典例1、為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某校開展了“冬奧”相關(guān)知識趣味競賽活動(dòng).現(xiàn)有甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規(guī)則如下：①拋一次質(zhì)地均勻的硬幣，若正面向上，則由甲回答一個(gè)問題，若反面向上，則由乙回答一個(gè)問題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯(cuò)誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結(jié)束，計(jì)算兩人的最終得分.已知甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨(dú)立.（1）求乙同學(xué)最終得10分的概率；（2）記X為甲同學(xué)的最終得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

隨堂練習(xí)：冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時(shí)距離營壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．（1）求甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之差的絕對值為，求的分布列和期望．典例2、某紫砂壺加工工坊在加工一批紫砂壺時(shí)，在出窯過程中有的會因?yàn)闅鉁伢E冷、泥料膨脹率不均等原因?qū)е伦仙皦爻霈F(xiàn)一定的瑕疵而形成次品，有的直接損毀．通常情況下，一把紫砂壺的成品率為，損毀率為．對于燒窯過程中出現(xiàn)的次品，會通過再次整形調(diào)整后入窯復(fù)燒，二次出窯，其在二次出窯時(shí)不出現(xiàn)次品，成品率為．已知一把紫砂壺加工的泥料成本為500元/把，每把壺的平均燒窯成本為50元/次，復(fù)燒前的整形工費(fèi)為100元/次，成品即可對外銷售，售價(jià)均為1500元．（1）求一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率；（2）某客戶在一批紫砂壺入窯前隨機(jī)對一把紫砂壺坯料進(jìn)行了標(biāo)記，求被標(biāo)記的紫砂壺的最終獲利X的數(shù)學(xué)期望．

隨堂練習(xí)：2021年12月，新冠疫情的嚴(yán)重反彈，擾亂了西安市民乃至陜西全省人民正常的生活秩序，各行各業(yè)的正常生產(chǎn)、運(yùn)營受到嚴(yán)重影響，相關(guān)部門，為了盡快杜絕疫情的擴(kuò)散，果斷實(shí)施了小區(qū)封控、西安市區(qū)封城、市民足不出戶等有效措施.2022年1月下旬小區(qū)相繼解封.某銷售商場為盡快彌補(bǔ)疫情帶來的損失，推行高檔電器“大屏幕電視機(jī)、冰箱和洗衣機(jī)”三種商品的搶購優(yōu)惠促銷活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則是：人人都可以參加三種商品的搶購，但每種商品只能搶購一次一件；優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)是：搶購成功者，大屏幕電視機(jī)優(yōu)惠800元；冰箱優(yōu)惠500元；洗衣機(jī)優(yōu)惠300元，張某參加了這次搶購且三種商品都搶購，假設(shè)搶購成功與否相互獨(dú)立，搶購三種商品成功的概率順次為、、，已知這三種商品都能搶購成功的概率為，至少一種商品能搶購成功的概率為.（1）①求、的值；②求張某恰好搶購成功兩種商品的概率.（2）求張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.典例3、2022年4月16日上午9：57神舟十三號航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利返回地面．半年內(nèi)，航天員們順利完成了兩次出艙任務(wù)，兩次“天空課堂”講課，還組織了天宮畫展、春節(jié)跨年以及迎元宵活動(dòng)，為全國觀眾留下了深刻印象，也掀起了一股航天熱．邢臺市某中學(xué)航天愛好者協(xié)會為了解學(xué)生對航天知識的掌握程度，對該校高一、高二年級全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試，然后從高一、高二各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了整理的相關(guān)信息：等級EDCBA成績高一人數(shù)123410高二頻率0.30.25（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個(gè)人成績都不低于90分的概率是多少？（2）分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為X，用頻率估計(jì)概率，求X的分布列和期望．

隨堂練習(xí)：高二年級某班學(xué)生在數(shù)學(xué)校本課程選課過程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學(xué).每位同學(xué)都只選了一個(gè)科目，第一小組選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的有1人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的有2人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.（1）求選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率；（2）設(shè)為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．典例4、甲、乙兩名同學(xué)參加某個(gè)比賽，比賽開始前箱子中裝有3個(gè)紅球3個(gè)白球，箱子中裝有1個(gè)紅球2個(gè)白球．比賽規(guī)則是：先由甲同學(xué)從箱子中每次取一個(gè)球放入箱子中，若從箱子中放入箱子中的球是紅球則停止取球，若是白球則繼續(xù)取球放球過程，直到第一次取到紅球并放入箱子中為止．然后再由乙同學(xué)從箱子中任取一個(gè)球，若取出的是紅球則乙同學(xué)獲勝，否則甲同學(xué)獲勝．（1）用表示甲同學(xué)從箱子中取出放入箱子中球的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求甲同學(xué)獲勝的概率．

隨堂練習(xí)：為進(jìn)一步激發(fā)青少年學(xué)習(xí)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的熱情，某校舉辦了“我愛古詩詞”對抗賽，在每輪對抗賽中，高二年級勝高三年級的概率為，高一年級勝高三年級的概率為，且每輪對抗賽的成績互不影響．（1）若高二年級與高三年級進(jìn)行4輪對抗賽，求高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率；（2）若高一年級與高三年級進(jìn)行對抗，高一年級勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．典例5、1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2021年休斯頓世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊(yùn)含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)也成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一，今有小王?小張?小馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.（1）比賽完3局時(shí)，求三人各勝1局的概率；（2）比賽完4局時(shí)，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.

隨堂練習(xí)：猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．規(guī)則如下：參賽選手按第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)的順序依次猜歌名闖關(guān)，若闖關(guān)成功依次分別獲得猜公益基金元，元，元，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇游戲結(jié)束，帶走相應(yīng)公益基金；也可以繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則游戲結(jié)束，全部公益基金清零．假設(shè)某嘉賓第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別是，，，該嘉賓選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．（1）求該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率；（2）求該嘉賓獲得的公益基金總金額的分布列及均值．

典例6、2022年北京冬奧組委會發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會已簽約200家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長的營銷方式.為了解該200家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺對200家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有100家，余下的企業(yè)中，每天銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)75100線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)合計(jì)200（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表，判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).附：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879

隨堂練習(xí)：如今大家對運(yùn)動(dòng)越來越重視，討論也越來越多，時(shí)常聽到有人說“有氧運(yùn)動(dòng)”和“無氧運(yùn)動(dòng)”，有氧運(yùn)動(dòng)主要的作用是健身，而無氧運(yùn)動(dòng)主要的作用是塑形，一般的健身計(jì)劃都是有氧運(yùn)動(dòng)配合無氧運(yùn)動(dòng)以達(dá)到強(qiáng)身健體的目的.某健身機(jī)構(gòu)對其60位會員的健身運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)有氧運(yùn)動(dòng)為主的有42人，30歲以下無氧運(yùn)動(dòng)為主的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表；有氧運(yùn)動(dòng)為主無氧運(yùn)動(dòng)為主總計(jì)30歲以下1230歲及以上總計(jì)4260（2）能否有的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)方式與年齡有關(guān)？附：50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.人教A版數(shù)學(xué)--概率專題十五答案典例1、答案：（1）（2）分布列見解析，X的數(shù)學(xué)期望為解：（1）記“乙同學(xué)最終得10分”為事件A，則可能情況為甲回答兩題且錯(cuò)兩題；甲?乙各答一題且各對一題；乙回答兩題且對一題錯(cuò)一題，則，所以乙同學(xué)得10分的概率是.（2）甲同學(xué)的最終得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.，，，，.X的分布列為X05101520P，所以X的數(shù)學(xué)期望為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）分布列見解析，期望為：解：（1）由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)分為：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率為．（2）可能取值為0，1，2，3，所以，隨機(jī)變量的分布列為：X0123P所以典例2、答案：（1）（2）.解：（1）設(shè)一把紫砂壺第一次出窯為次品為事件A，則，則第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，二次出窯為成品的概率為，則一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率，（2）X的可能取值為1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550，-500-50-100-50=-700，則，，，，則X的分布列為：950800-550-700所以最終獲利X的數(shù)學(xué)期望為：隨堂練習(xí)：答案：（1）①；②（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為元解：（1）①由題意得即解得：②設(shè)“張某恰好搶購到兩種商品”為事件.則搶購到大屏幕電視機(jī)和冰箱且沒有搶購到洗衣機(jī)，或搶購到冰箱和洗衣機(jī)且沒有搶購到大屏幕電視機(jī)，或搶購到大屏幕電視機(jī)和洗衣機(jī)且沒有搶購到冰箱.∴.（2）的可能取值為0，300，500，800，1100，1300，1600，，，，，，∴張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列為0300500800110013001600張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的數(shù)學(xué)期望為：（元）典例3、答案：（1）；（2）分布列見解析；期望為1.解：（1）從高一樣本中抽取一人，這個(gè)人的成績不低于分的概率，從高二樣本中抽取一人，這個(gè)人的成績不低于分的概率為，因此，從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個(gè)人成績都不低于分的概率為．（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有，，，．則，，，，．所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）分布列見解析，期望為解：（1）設(shè)“從第一小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件,由于事件、相互獨(dú)立，且，所以選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率為.（2）由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，可得，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123P所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.典例4、答案：（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（2）解：（1）的可能取值是，，，，，故的分布列是故數(shù)學(xué)期望為，故的數(shù)學(xué)期望是．（2）時(shí)，表示箱子中裝有2個(gè)紅球2個(gè)白球，則甲獲勝的概率，時(shí)，表示箱子中裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，甲獲勝的概率，時(shí)，表示箱子中裝有2個(gè)紅球4個(gè)白球，甲獲勝的概率，時(shí)，表示箱子中裝有2個(gè)紅球5個(gè)白球，甲獲勝的概率，故甲獲勝的概率隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）分布列見解析；期望為解：（1）由題意，知高三年級勝高二年級的概率為．設(shè)高三年級在4輪對抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，則．（2）由題意可知，3，4，5，則，，，，故X的分布列為X2345P．典例5、答案：（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：解：（1）設(shè)小王與小張比賽小王獲勝記為事件A，小馬與小張比賽小張獲勝記為事件B，小馬與小王比賽小馬獲勝記為事件C，且A，B，C相互獨(dú)立.則設(shè)“比賽完3局時(shí)，三人各勝1局”記為事件M，則（2）X的可能取值為1，2則X的分布列為X12P則隨堂練習(xí)：答案：(1)；(2)分布列見解析，均值為1125元.解:(1)事件A=“第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零”，A1=“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”，A2=“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”，顯然A1與A2互斥，且A=A1+A2，，，所以該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率為；(2)該嘉賓獲得的公益基金總金額為隨機(jī)變量，的可能值為0，1000，3000，6000，，，，，所以的分布列為：0100030006000的均值為：(元)典例6、答案：（1）答案見解析（2）有99.5%的把握認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)解：（1）由題意分析可得：簽約企業(yè)共200家，線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有100家，那么線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)的企業(yè)有100家，每天的銷售額不