2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題八（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題八知識(shí)點(diǎn)一求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）,利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題,由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最典例1、已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.隨堂練習(xí)：已知．（1）若有最值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．典例2、已知函數(shù)且．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知．（1）已知函數(shù)在點(diǎn)的切線與圓相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．典例3、已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）求的最值；（3）若時(shí)，，求a的取值范圍.隨堂練習(xí)：設(shè)函數(shù)，記．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)二求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）,用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例4、設(shè)函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求證：不等式恒成立.隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.典例5、已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：隨堂練習(xí)：已知函數(shù)為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn),處的切線與軸平行．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意，．典例6、已知直線是函數(shù)圖象的切線，也是曲線的切線．（1）求，的值；（2）證明：當(dāng),,時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，且，有．2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題八答案典例1、答案：（1）（2）答案見詳解（3）1解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令．因?yàn)?，則所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，在上變化時(shí)，的變化情況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．（3）綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．當(dāng)時(shí)，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時(shí)，由（2）可知：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時(shí)，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：的取值范圍為，即的最大值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，無(wú)最值，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，令，則，令，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取到最小值所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以成立．令，則令，則當(dāng)時(shí)恒成立∴在上單調(diào)遞增，則則當(dāng)時(shí)恒成立所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．典例2、答案：（1）（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)榍?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，取，則，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，若恒成立，只需，解得，綜上可知，的取值范圍是．隨堂練習(xí)：答案：（1）或；（2）.詳解:（1）由題知，，．在點(diǎn)的切線斜率為，在點(diǎn)的切線方程為，即，由題意知，，解得或．（2）設(shè)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，即在上是增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，，存在上，使，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．典例3、答案：（1）；（2）答案見解析；（3）.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，故，又，所以在處的切線方程為，即（2），.①當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，所以無(wú)最值；②當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值為無(wú)最大值.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)最值；當(dāng)時(shí)，有最小值為，無(wú)最大值.（3）由題意得對(duì)于任意的恒成立，且當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立.令則，①若，則.令,則，顯然在[0，+∞)上恒成立，在[0，十∞)上單調(diào)遞增，即在[0，十∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，.又,易證，,，使，時(shí)，,即在上單調(diào)遞減，對(duì)，不符合題意;當(dāng),即時(shí)，,在上單調(diào)遞增，，，符合題意，所以;②當(dāng)時(shí)，只需證明當(dāng)時(shí)，即可.令，則，易得即在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，，，即在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立，綜上所述，的取值范圍是.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）單調(diào)區(qū)間見解析；（3）解：（1），所以，，則切線方程為.（2），，當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，則在上為增函數(shù)，上為減函數(shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，即恒成立；由(2)知，當(dāng)時(shí)，則在上為增函數(shù)，此時(shí)無(wú)最大值，事實(shí)上，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù).所以，故；即實(shí)數(shù)a的取值范圍是典例4、答案：（1）（2）（3）證明見解析解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，又，在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）由題意得：定義域?yàn)椋?；令，解得：，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，則，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，，即恒成立.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.解:（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，且，，由，在上單調(diào)遞增，.所以.典例5、答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明見解析.解:（1），，，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：，（2）函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，才有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，則要證，即證，即證，而，則，否則方程不成立），所以即證，化簡(jiǎn)得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（1），而，所以，所以，得證．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）在遞增，在遞減；（3）證明見解析.解：（1）由題設(shè)，，，又在,處的切線與軸平行，即，.（2）由（1）得：，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，時(shí)，，時(shí)，，在遞增，在遞減；由，即，，，，（3）由（2），對(duì)于，，，，時(shí)，遞增，,時(shí)，遞減，，即，設(shè)，則，時(shí)，遞增，即，則，綜上，，故，，得證．典例6、答案：（1），；（2）證明見解析；（3）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.解：（1）設(shè)與和的切點(diǎn)分別為,、,；，，，，可得，切線方程分別為即，或即，，解得，，；（2）令，,,，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，則，故,,時(shí)，即；，則，故，在上單調(diào)遞減，而，，（3）由（2）中的單調(diào)性，可得：，由（2）及可得：，使得，即時(shí)，時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．隨堂練習(xí)：：答案：（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為，無(wú)極大值；（3）證明見解析．解：（1）當(dāng)時(shí)，，．可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）依題意，．從而可得，整理可得：，令，解得．當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x-0+單調(diào)