2025高考總復習專項復習-圓錐曲線的方程專題四

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--高考解析幾何復習專題四知識點一根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積典例1、已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點，x軸上方一點P在橢圓C上，且滿足，．（1）求C的方程及點P的坐標；（2）過點P的直線l交C于另一點Q（點Q在第三象限），點M與點Q關于x軸對稱，直線PM交x軸于點N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．隨堂練習：已知橢圓的內(nèi)接正方形的面積為，且長軸長為4．（1）求C的方程．（2）直線l經(jīng)過點，且斜率大于零．過C的左焦點作直線l的垂線，垂足為A，過C的右焦點作直線l的垂線，垂足為B，試問在C內(nèi)是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．典例2、已知橢圓，由E的上?下頂點，左?右焦點構成一個邊長為的正方形.（1）求E的方程；（2）過E的右焦點F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點A，B，C，D，若由點A，B，C，D構成的四邊形的面積是，求，的方程.

隨堂練習：已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．（1）求橢圓的離心率與拋物線的方程；（2）過焦點的動直線與拋物線交于，兩點，從原點作直線的垂線，垂足為，求動點的軌跡方程；（3）點為橢圓上的點，設直線與平行，且直線與橢圓交于，兩點，若的面積為1，求直線的方程．典例3、已知橢圓：的短軸長為2，離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，點為橢圓的上頂點，過點作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數(shù)）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點，，直線與圓和橢圓分別相交于點，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．

隨堂練習：設橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，是坐標原點，分別過點，作，的平行線，兩平行線的交點剛好在橢圓上，已知，的面積為，求直線的方程．知識點二求橢圓中的最值問題典例4、已知橢圓：經(jīng)過點，且短軸的兩個端點與右焦點構成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線交橢圓于?兩點，求的取值范圍.

隨堂練習：已知橢圓，經(jīng)過拋物線的焦點的直線與交于兩點，在點處的切線交于兩點，如圖.（1）當直線垂直軸時，，求的準線方程；（2）若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.典例5、已知橢圓的焦距為，且過點（1）求橢圓的方程；（2）若點是橢圓的上頂點，點在以為直徑的圓上，延長交橢圓于點，的最大值.

隨堂練習：如圖，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，過拋物線焦點F且斜率不為0的直線l與拋物線交于A，B兩點，連接交橢圓E于點C，連接交橢圓E于點D，記直線的斜率分別為．（1）求點P的坐標并確定當為常數(shù)時的值；（2）求取最大值時直線l的方程．典例6、如圖，已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過左焦點且斜率為正的直線與橢圓交于、兩點，過點、分別作與直線垂直的直線，交軸于、兩點，求的最小值.人教A版數(shù)學--高考解析幾何復習專題四答案典例1、答案：（1）；（2）解：（1）因為，所以，且．又，所以，即，即，所以，又離心率，所以，，所以，所以橢圓方程為．（2）∵，又∵，∴，∴P點的坐標為．依題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為，由消去y整理，解得或，所以Q點坐標為，從而M點坐標為，所以直線PM的方程為，則N點的坐標為，因為的面積是的面積的2倍，點Q在第三象限，所以，即，解得（舍負），所以滿足條件的直線l的方程為，即：．隨堂練習：答案：（1）（2）存在；解：（1）設C的內(nèi)接正方形的一個端點坐標為，則，解得，則C的內(nèi)接正方形的面積為，即．又，所以，代入，解得，故C的方程為．（2）存在梯形，其面積的最大值為．理由如下：設直線，．因為直線l經(jīng)過點，所以，所以點到直線l的距離為，點到直線l的距離為，所以梯形的面積（為直線l的傾斜角），所以，當且僅當時，等號成立，此時，直線，直線，聯(lián)立這兩條直線的方程，解得，因為，所以點在C的內(nèi)部.同理可證：也在C的內(nèi)部.故在C內(nèi)存在梯形，其面積的最大值為．典例2、答案：（1）（2）與的方程分別為：，解：（1）由已知，，，所以E的方程為.（2）又題意中，，①若或斜率不存在，易知，不符合題意；②若斜率存在，設，和的方程聯(lián)立得：，，，，設，同理可得，所以解得，，所以與的方程分別為：，，隨堂練習：答案：（1）離心率為；拋物線的方程為（2）（3）解：（1）因，，故，從而橢圓的離心率為．且橢圓的右焦點坐標為．于是由橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，得，即．從而拋物線的方程為．（2）設動點的坐標為，由條件，且點，在直線上，可得．于是．即．故動點的軌跡方程為：．（3）由于，設直線方程為，，．由得，故．則．又點到直線的距離，故由，解得，從而．因此，直線的方程為．典例3、答案：（1）（2），或，解：（1）根據(jù)題意可得解得橢圓的標準方程（2）圓設，則設，，，則，同理可得：，，∵的面積是面積的倍，則代入整理得：聯(lián)立方程，得或，即，同理聯(lián)立方程，得或，即，同理代入可得：，解得或當時，直線，；當時，直線，隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）設橢圓的半焦距為，因為橢圓的離心率為，所以．①又橢圓經(jīng)過點，所以．②結合，③由①②③，解得．故橢圓的標準方程是．（2）①當直線的斜率不存在時，不妨設，根據(jù)對稱性知兩平行線的交點在軸上，又交點剛好在橢圓上，所以交點為長軸端點，則滿足條件的直線的方程是．此時點或；直線的斜率不存在不成立②當直線的斜率存在時，設直線的方程為．將直線代入橢圓方程得，則，，．不妨設兩平行線的交點為點，則，故點的坐標為．因為點剛好在橢圓上，所以，即．此時，則．設點到直線的距離為，則．所以，即，解之得：或，當時，，當時，（舍），所以，直線的方程典例4、答案：（1）（2）解：（1）由題意，橢圓短軸的兩個端點與右焦點構成等邊三角形故，即橢圓：，代入可得故橢圓的方程為：（2）分以下兩種情況討論：①若直線與軸重合，則；②若直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，消去可得，則恒成立，由韋達定理可得，，由弦長公式可得，，則，所以，.綜上所述，的取值范圍是.隨堂練習：答案：（1）x=-1；（2）解：（1）由知，，當直線PF垂直于x軸時，由，得，有，所以的準線方程為：，即；（2）由題意知，，設直線，，則，，，由，即直線PB的斜率為，所以直線PB的方程為：，即，，，又G為的重心，且G在x軸上，故，所以，又，所以，整理，得，解得，①，令，則，所以①式②，令，則，所以②式，故的取值范圍為.典例5、答案：（1）；（2）.解：（1）根據(jù)題意，橢圓的焦距為，且過點，可知，，則，，，所以橢圓的方程為；（2）可得，，則，則以為直徑的圓，圓心為，半徑為，以為直徑的圓方程為，即：，點，由于延長交橢圓于點，則點在直線上，可知直線的斜率存在，且，則設直線的方程為，設，聯(lián)立直線和圓的方程，得，解得：，可得，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，解得：，可得，則，可知，設上式為，即有，，，即為，解得：，則的最大值為.隨堂練習：答案：（1），（2）解：（1）由得．設直線l的方程為．由得，由韋達定理得．又，同理可得，則所以當時，為常數(shù)．（2）由（1）知，．設直線的方程分別為．由得，由韋達定理得