2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-空間向量和立體幾何專題十四（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十四知識(shí)點(diǎn)一證明線面平行,面面角的向量求法典例1、如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是，的中點(diǎn).（1）記平面與平面的交線為，求證：直線平面；（2）若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，，M，N，P，D分別為，BC，，的中點(diǎn).（1）求證：面；（2）求平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值.

典例2、如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面，，為等邊三角形，．（1）求證：平面，且平面．（2）已知，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．典例3、如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，四邊形為菱形，平面平面，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．知識(shí)點(diǎn)二證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法典例4、如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點(diǎn)C為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．

典例5、在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上．（1）證明：．（2）求直線與平面所成角的正弦值．

隨堂練習(xí)：如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，，.現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值

典例6、如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點(diǎn)在上．（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專題十四答案典例1、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)所以，又因?yàn)槠矫?，平面所以平面又平面，平面與平面的交線為，所以，而平面，平面，所以平面（2）如圖，因?yàn)槭菆A的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€平面所以所以以為原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的法向量，則，即令，則得因?yàn)橹本€平面所以為平面的法向量所以所以二面角的正弦值為隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）解法一：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB?AC?所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.取向量為平面的一個(gè)法向量，，∴，∴.又∵平面，∴平面.解法二：∵P，D分別為，的中點(diǎn)，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分別為，BC的中點(diǎn)，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB?AC?所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.∴，,取向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，則，∴，由圖示可知平面PMN與平面的夾角為銳角，∴平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值為.典例2、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）證明：分別取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，又平面平面，平面平面平面，平面，同理可證平面，，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面；?）如圖，取的中點(diǎn)為，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）平面，平面，，又，，平面，平面；為等邊三角形，，又，，平面，平面，平面.平面，平面，；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，作軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，；設(shè)平面的法向量，則，令，則，，；，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.典例3、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?（2）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)椋瑒t為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，同理可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）見(jiàn)解析；（2）.解:（1）連接，，分別為，中點(diǎn)為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：典例4、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴.又平面，平面，∴，∵平面，，∴平面，又平面，∴（2）易知，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵，∴，，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，由圖可知，則即直線與平面所成角的正弦值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）證明：由題意知：，∴PO⊥平面AOB，又∵平面AOB，所以PO⊥AB．又點(diǎn)C為的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，，所以AB⊥平面POC，又∵平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則取，則可得平面PAB的一個(gè)法向量為，所以．典例5、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）因?yàn)?，，E為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為長(zhǎng)方形，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面，平面，所以．?）連接，由（1）平面，平面，所以，因?yàn)椋?，所以，即，，，所以，即，過(guò)做交于，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以，設(shè)直線PB與平面PAD所成角的為，所以，所以直線PB與平面PAD所成角的正弦值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）7解:（1）設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則，故，則，又，則，所以是的角平分線，且三點(diǎn)共線.由，且,得面，則；（2）法一：連結(jié).由平面得，平面平面，交線為，所以在面上的射影點(diǎn)在上，為直線與平面所成角.在中，，由余弦定理得，，故，，又，在得，由余弦定理得，則，所以，由（1）得為角平分線，在中，，由余弦定理得，則，所以，所以直線與平面所成角的正切值為7.法二：如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)，由，得，得.,平面法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，,則，所以直線與平面所成角的正切值為7.典例6、答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）.解:（1）取中點(diǎn)，連接，，，所以，由余弦定理得：，得，，又，且，則平面，故，又，所以平面，則，由等邊三角形得，且，則平面，故，又，因此.（2）連接，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，連接，，由平面得平面平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位于直線上，由等邊三角形得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位于的中垂線上，因此，由幾何關(guān)系可確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位于的重心，又由（1）知平面，平面，則，，，，五點(diǎn)共面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，不妨設(shè)，則，，，在和中，由余弦定理得，，則，解得，因此，，，設(shè)平面的法向量，由得，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.隨堂練習(xí)：答案