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上海市五愛高級(jí)中學(xué)2025年高三綜合題(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}2.函數(shù)(),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)椋瑒t的范圍為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為()A. B.C. D.4.如圖所示,矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn),為的中點(diǎn),若,則等于().A. B. C. D.5.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.6.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知曲線的一條對(duì)稱軸方程為,曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B. C. D.8.已知集合,則()A. B.C. D.9.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要10.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.10811.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.412.在中,為上異于,的任一點(diǎn),為的中點(diǎn),若,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競(jìng)賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.14.?dāng)?shù)列滿足,則,_____.若存在n∈N*使得成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為______15.的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為______,常數(shù)項(xiàng)為______.16.已知是拋物線的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn).若為的中點(diǎn),則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.18.(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若(1)求角的大?。?)若,求的周長(zhǎng)19.(12分)在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中,依據(jù)評(píng)分細(xì)則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表;(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系?(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來(lái)分析,請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法,并解釋理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.02420.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說(shuō)明理由.21.(12分)這次新冠肺炎疫情,是新中國(guó)成立以來(lái)在我國(guó)發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難,但從來(lái)沒有被壓垮過,而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長(zhǎng),從磨難中奮起.在這次疫情中,全國(guó)人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開了對(duì)這次疫情的研究,一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn),從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(單位:萬(wàn)人)之間的關(guān)系如下表:日期1234567全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(萬(wàn)人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?(2)求出關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).并預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.22.(10分)定義:若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè),有個(gè),則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛颍?故選:C本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?,所以,若值域?yàn)?,所以只需,?故選:B本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.C【解析】
,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.4.A【解析】
由平面向量基本定理,化簡(jiǎn)得,所以,即可求解,得到答案.【詳解】由平面向量基本定理,化簡(jiǎn),所以,即,故選A.本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,其中解答熟記平面向量的基本定理,化簡(jiǎn)得到是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,數(shù)基礎(chǔ)題.5.B【解析】
先分別判斷命題真假,再由復(fù)合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當(dāng),或時(shí),則不成立.則,,均為假.故選:B本題考查復(fù)合命題的真假性,判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因?yàn)椋?,所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
在對(duì)稱軸處取得最值有,結(jié)合,可得,易得曲線的解析式為,結(jié)合其對(duì)稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對(duì)稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對(duì)稱性,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.8.B【解析】
先由得或,再計(jì)算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B本題主要考查了集合的交集,補(bǔ)集的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9.B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.10.B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,
則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.11.C【解析】
計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.12.A【解析】
根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式14.【解析】
利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,將不等式分離常數(shù),利用商比較法求得的最小值,由此求得的取值范圍,進(jìn)而求得的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)兩式相減得所以當(dāng)時(shí),滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得,設(shè),所以,即,所以單調(diào)遞增,的最小項(xiàng),即有的最小值為.故答案為:(1).(2).本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法,考查不等式成立的存在性問題的求解策略,屬于中檔題.15.3-260【解析】
(1)令求得所有項(xiàng)的系數(shù)和;(2)先求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù),再求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】將代入,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)為,的展開式中含常數(shù)項(xiàng),所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:3;-260本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由題意可得,又由于為的中點(diǎn),且點(diǎn)在軸上,所以可得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線方程中可求點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn),所以,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,所以,所以,解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以,故答案為:此題考查拋物線的性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】
(1)求出導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因?yàn)?,則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立;又,所以,即.(2)設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則切線方程為……①設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,則,切線方程為……②若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得即令,則所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,使得時(shí)總有又時(shí),在上總有解綜上,函數(shù)與總存在公切線.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解,屬于難題.18.(1)(2)11【解析】
(1)利用二倍角公式將式子化簡(jiǎn)成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長(zhǎng).【詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長(zhǎng)為本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)見解析;(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”(3)見解析.【解析】
(1)由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20,這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表;(2)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算,比較后可得;(3)由于性別對(duì)結(jié)果有影響,因此用分層抽樣法.【詳解】解:(1)優(yōu)秀合格總計(jì)男生62228女生141832合計(jì)204060(2)由于,因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”.(3)由(2)可知性別有可能對(duì)是否優(yōu)秀有影響,所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生,這樣得到的結(jié)果對(duì)學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會(huì)比較符合實(shí)際情況.本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),考查分層抽樣的性質(zhì).考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.屬于中檔題.20.(1)(2)是定值,詳見解析【解析】
(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21.(1)可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系;(2),預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)約有4.5萬(wàn)人.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),利用公式求得,再根據(jù)的值越大說(shuō)明它們的線性相關(guān)性越高來(lái)判斷.(2)由(1)的相關(guān)數(shù)據(jù),求得,,寫出回歸方程,然后將代入回歸方程求解.【詳解】(1)由已知數(shù)據(jù)得,,,所以,,所以.因?yàn)榕c的相關(guān)近似為0.99,說(shuō)明它們的線性相關(guān)
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