2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)-數(shù)列專(zhuān)題十（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專(zhuān)題十知識(shí)點(diǎn)一等比中項(xiàng)的應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法求和,分組（并項(xiàng)）法求和,等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算典例1、記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．典例2、已知等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（1）求；（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．典例3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．知識(shí)點(diǎn)二由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列,裂項(xiàng)相消法求和典例4、已知數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（在①；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解）

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且滿足______.①，；②；③.從上述三個(gè)條件中選一個(gè)填在橫線上，并解決以下問(wèn)題：（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.典例5、在①是與的等比中項(xiàng)：②；③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的橫線中并解答．問(wèn)題：已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足______．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)組合分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

隨堂練習(xí)：設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足______________．條件①：；條件②：；條件③：．請(qǐng)?jiān)谝陨先齻€(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答以下問(wèn)題：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考公式：．典例6、在①數(shù)列的前n項(xiàng)和；②且，，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：（1）已知數(shù)列滿足__________，求的通項(xiàng)公式；（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

隨堂練習(xí)：已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線，使得條件完整，并解答：（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專(zhuān)題十答案典例1、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解：（1）當(dāng)且時(shí)，，整理可得：，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得：，，隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，典例2、答案：（1）；（2）.解：（1）設(shè)的公差為，則∴，∵，∴，∴的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）由題，可得，又知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可得，∴．典例3、答案：（1），（2）解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，化簡(jiǎn)整理，得，也滿足上式，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，．（2）由（1），可得，則．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為．典例4、答案：（1）（2）答案見(jiàn)解析解：（1）∵，則，即故數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列，∴，即（2）選①：∵，∴.選②：∵，則有：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴.選③：∵，∴.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）選①因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；同理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以.選②因?yàn)椋?）所以當(dāng)時(shí)，，（**）（*）-（**），得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1的常數(shù)列，所以.選③因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列，所以，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以典例5、答案：（1）（2）解：（1）方法1：選①和③，整理得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有：，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：選①和②，，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，化簡(jiǎn)得，解得，，則，方法3：選②和③，，可得，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，得到方程，解得，故，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2），隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）若選擇條件①：因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．若選擇條件②：因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，整理得，，所以，累乘得，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．若選擇條件③：因?yàn)?，所以，即，所以，所以?shù)列為常數(shù)列，又，所以，即．（2）由（1）知：，結(jié)合參考公式可得所以所以.典例6、答案：（1）；（2）.解：（1）若選①：數(shù)列的前n項(xiàng)和.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，上式仍成立，∴的通項(xiàng)公式為．若選②：且，.由可得，所以是和的等差中項(xiàng)，所以是等差數(shù)列.設(shè)公差為，則由，可得，所以.所以的通項(xiàng)公式為．（2）設(shè)的公比為.由（1）知，又，所以，即，又，所以，所以，的通項(xiàng)公式為.則，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1）（