第01講 直線的方程（練習(xí)）（解析版）

第01講直線的方程（模擬精練+真題演練）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若直線恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，則，令，解得，即直線恒過點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以的最大值為.故選：B.2．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，此時(shí)直線方程為，與圓相交，不合題意，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)切線的方程為，則，解得，設(shè)的傾斜角為，故的傾斜角為.故選：D3．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線，若直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，求得的值，再根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值．由題意可知，，，故選：．4．（2023·河北衡水·?？家荒＃┲本€的傾斜角是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，故傾斜角為.故選B.5．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知點(diǎn)和點(diǎn)為的頂點(diǎn)，則：“的歐拉線的方程為”是“點(diǎn)C的坐標(biāo)為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題知，必要性：當(dāng)時(shí),，根據(jù)三線合一知：的歐拉線的方程為；充分性：由題知，，的歐拉線的方程為設(shè)重心,點(diǎn),外接圓圓心為,因?yàn)橹匦臑?，即所以，記中點(diǎn)為，因?yàn)?，在上，設(shè)所以，所以，即,因?yàn)?，解得?，所以點(diǎn)為或；所以“的歐拉線的方程為”是“點(diǎn)C的坐標(biāo)為”的必要不充分條件，故選：B6．（2023·山東·校聯(lián)考二模）已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?，表示直線上的點(diǎn)，又因?yàn)?，所以集合表示如圖所示的正方形邊上的點(diǎn)，所以中元素的個(gè)數(shù)即為直線與正方形的邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可知直線與正方形的邊有2個(gè)交點(diǎn)，即中元素的個(gè)數(shù)為2.故選：C.7．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)B，則點(diǎn)B到點(diǎn)距離的最大值為（

）．A． B．5 C． D．【答案】C【解析】將直線l整理得到，于是，解得，所以直線l恒過點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn)B，所以，則點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑大小為，又，所以點(diǎn)B到點(diǎn)距離的最大值為，故選：C．8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，與直線，若在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于直線，即，所以在直線上，設(shè)，其中，由兩邊平方得，即，整理得，由于，所以，其中，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，則，解得.故選：A9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法是錯(cuò)誤的為（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．直線的斜率為tanα，則其傾斜角為αC．斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示．【答案】ABC【解析】當(dāng)直線的傾斜角為直角時(shí)，該直線不存在斜率，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)直線的斜率為，傾斜角為，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)兩條直線的斜率相等，顯然這兩條直線的傾斜角相等，故選項(xiàng)選項(xiàng)C不正確；根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可知選項(xiàng)D正確，故選：ABC10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線過定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無關(guān)，故直線過定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AC．11．（多選題）（2023·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn)，則下列滿足直線與線段相交的斜率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線與線段相交時(shí)，，，所以，斜率取值范圍是或.故選：AB12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．已知點(diǎn)，，若直線與線段有交點(diǎn)，則或B．是直線：與直線：垂直的充分不必要條件C．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上的截距都相等的直線的方程為D．已知直線，：，，和兩點(diǎn)，，如果與交于點(diǎn)，則的最大值是.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，∵直線過定點(diǎn)，又點(diǎn)，，∴，如圖可知若直線與線段有交點(diǎn)，則或，故A正確；對(duì)于B，由直線：與直線：垂直得，，解得或，故是直線：與直線：垂直的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線為，代入點(diǎn)，得，所以直線方程為，故經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上的截距都相等的直線的方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵直線，：，又，所以兩直線垂直，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ABD13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則這條直線的方程為；【答案】或．【解析】由題意，可知所求直線的斜率為．又過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式得或．故答案為：或14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是．【答案】或.【解析】由直線得：，令，解得，所以直線l過點(diǎn)，由題知，在x軸上的截距取值范圍是，如圖：所以端點(diǎn)處直線的斜率分別為，所以或；故答案為：或.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)．有下列三個(gè)說法：①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；②若，則過MN兩點(diǎn)的直線與直線l平行；③若，則直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．上述所有正確說法的序號(hào)是．【答案】②③【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)不可能在直線l上，錯(cuò)誤．對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，若，則，不合題意，故，所以，所以直線MN的方程為，即，又，所以過M、N兩點(diǎn)的直線與直線l平行，正確．對(duì)于③，因?yàn)?，所以，所以，即在直線上，所以直線l經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)，正確．綜上所述，正確的有②③，故答案為：②③16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為．【答案】【解析】由題意知直線的斜率存在．設(shè)直線的斜率為，則，直線的方程為，則，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，即直線的方程為．故答案為：17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（2,－），且它的傾斜角等于直線x－y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為；【答案】x－y－3＝0【解析】由已知得直線x－y＝0的斜率為，則其傾斜角為30°，故所求直線傾斜角為60°，斜率為，故所求直線的方程為y-(－)＝，即x－y－3＝0．故答案為：x－y－3＝018．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）過點(diǎn)且在軸、軸上截距相等的直線方程為.【答案】或【解析】由題知，若在軸、軸上截距均為，即直線過原點(diǎn)，又過，則直線方程為；若截距不為，設(shè)在軸、軸上的截距為，則直線方程為，又直線過點(diǎn)，則，解得，所以此時(shí)直線方程為.故答案為：或19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線．求證：無論m為何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)M．【解析】將直線的方程化為，解方程組解得故直線l1恒過定點(diǎn)．20．（2023·全國·高三對(duì)口高考）過點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，即，所以，此時(shí)直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為．21．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，邊AB、CD分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.現(xiàn)將矩形ABCD沿某一條直線折疊，使點(diǎn)A落在線段CD上，設(shè)此點(diǎn)為.(1)若折痕的斜率為，求折痕所在的直線方程；(2)若折痕所在的直線的斜率為k（k為常數(shù)），試用k表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線方程.【解析】（1）設(shè)，由于折痕的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由解得，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以折痕所在的直線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，折痕所在直線方程為.當(dāng)時(shí)，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由解得，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以折痕所在的直線方程為，時(shí)，折痕也符合上式，綜上所述，折痕所在的直線方程為.1．（1991·全國·高考真題）如果且，那么直線不通過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以、、均不為零，由直線方程，可化為，因?yàn)?，且，可得，，所以直線經(jīng)過第一、二、四象限，所以不經(jīng)過第三象限．故選：C.2．（1995·全國·高考真題）圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象可得，，故選：C3．（2008·四川·高考真題）直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得直線斜率為，此時(shí)，該直線方程為，再將該直線向右平移1個(gè)單位可得：，即.故選：A.4．（2008·浙江·高考真題）已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．l是過點(diǎn)的直線，M是C上（不在l上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數(shù)．【解析】（1）設(shè)N（x,y）為C上的點(diǎn)，則，N到直線的距離為．由題設(shè)得，化簡(jiǎn)，得曲線C的方程為．（2）設(shè)，明顯直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋k，則B（x,