第02講 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性（講義）（原卷版）

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．（2）結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義．（3）結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義．2022年II卷第8題，5分2022年I卷第12題，5分2021年II卷第8題，5分2021年甲卷第12題，5分從近幾年高考命題來看，本節(jié)是高考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和不等式相結(jié)合進行考查．1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復合函數(shù)是減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱)．3、函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點對稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.【解題方法總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．【典例例題】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例1．已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)例2．若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增例3．下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是A． B．C． D．變式1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和變式2．（江蘇省泰州市海陵區(qū)2022-2023學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．變式3．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，，證明：函數(shù)是x的增函數(shù)．變式4．（2023·上海靜安·高三校考期中）已知函數(shù)，且.(1)求的值，并指出函數(shù)的奇偶性；(2)在（1）的條件下，運用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解題總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．題型二：復合函數(shù)單調(diào)性的判斷例4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．例5．（陜西省寶雞市金臺區(qū)2022-2023學年高三下學期期末數(shù)學試題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．例6．（陜西省榆林市2022-2023學年高三下學期階段性測試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】討論復合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復合法則，復合法則如下：1、若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2、若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例7．（河南省2023屆高三下學期仿真模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域為______．例8．（上海市靜安區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.例9．（河南省部分學校大聯(lián)考2022-2023學年高三下學期3月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為__________.變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學2023屆高三上學期第一次月考）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)_______.【解題總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：1、如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2、如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3、若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例10．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例11．（吉林省松原市2022-2023學年高三上學期第一次月考）若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例12．（四川省廣安市2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（江西省臨川第一中學2023屆高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式7．（天津市復興中學2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或【解題總結(jié)】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性例13．（2023·天津河西·天津市新華中學校考模擬預測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例14．（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2022-2023學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，則（）A． B．C． D．例15．（2023屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學試題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2、求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關(guān)系.題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例16．利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).例17．（2023·北京·高三專題練習）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學校2022-2023學年高三下學期開學檢測數(shù)學試題）設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)變式8．（北京市海淀區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例19．（四川省成都市蓉城聯(lián)盟2022-2023學年高三下學期第二次聯(lián)考）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．例20．（江西省部分學校2023屆高三下學期一輪復習驗收考試）若函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．例21．（湖南省部分學校2023屆高三下學期5月聯(lián)數(shù)學試題）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則______．變式9．若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________.【解題總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值例22．（2023年高三數(shù)學押題卷五）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．例23．（廣東省湛江市2023屆高三二模數(shù)學試題）已知奇函數(shù)則__________．例24．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的解析式為_________．變式10．設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.題型九：已知奇函數(shù)+M例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2023屆高三聯(lián)合二模考試數(shù)學試題）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．例26．（河南省濟洛平許2023屆高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學試題）已知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例27．（重慶市巴蜀中學2023屆高三高考適應(yīng)性月考數(shù)學試題）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．變式11．（福建省福州格致中學2022-2023學年高三下學期期中考數(shù)學試題）已知函數(shù)，若，則（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定【解題總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：函數(shù)的對稱性與周期性例28．（多選題）（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．例29．（多選題）（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知定義在上的函數(shù)和的導函數(shù)分別是和，若，，且是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的圖像關(guān)于點對稱C． D．例30．（多選題）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，的定義域均為，導函數(shù)分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C． D．變式12．（多選題）（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．8是的一個周期C．一定存在零點 D．【解題總結(jié)】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型十一：類周期函數(shù)例31．（2023·山西長治·高三山西省長治市第二中學校?？茧A段練習）定義域為的函數(shù)滿足，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例32．（2023·江西南昌·高三?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足，且當時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例33．（2023·全國·高三專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．變式13．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為B．關(guān)于的方程有個不同的解C．對于實數(shù)，不等式恒成立D．當時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為【解題總結(jié)】1、類周期函數(shù)若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象2、倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．注意當時，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，．題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性例34．（安徽省蚌埠市2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.例35．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．方程僅有6個實數(shù)解例36．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．變式14．（四川省遂寧市2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）定義在上的函數(shù)，對任意，滿足下列條件：①

②（1）是否存在一次函數(shù)滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.（2）證明：為奇函數(shù)；變式15．（安徽省蚌埠市2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.變式16．（多選題）（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？奸_學考試）已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．的周期C． D．在單調(diào)遞減【解題總結(jié)】抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：(1)若，則(正比例函數(shù))(2)若，則(指數(shù)函數(shù))(3)若，則(對數(shù)函數(shù))(4)若，則(冪函數(shù))(5)若，則(一次函數(shù))(6)對于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時需要適當變形.題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合例37．（廣西2023屆高三畢業(yè)班高考模擬測試數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則不等式的