11.2.1 三角形的內(nèi)角課件2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊

11.2.1三角形的內(nèi)角復(fù)習(xí)回顧小學(xué)時(shí)，我們曾經(jīng)用實(shí)驗(yàn)的方法得到了三角形的內(nèi)角和為180°，現(xiàn)在思考并和同學(xué)交流一下，實(shí)驗(yàn)是怎樣驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°的？拼接法折疊法度量法由于形狀不同的三角形有無數(shù)個(gè)，我們不可能用這些方法一一驗(yàn)證所有三角形.于是，我們需要尋找一種能證明任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°的方法.能用這些方法驗(yàn)證所有的三角形嗎？提出問題問題1：通過以前的學(xué)習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)證明三角形內(nèi)角和定理的思路嗎？

根據(jù)自己的思路，并給出證明的示意圖.已知：△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

從要證明的等式的左邊來看，是三個(gè)角的和，這就意味著要將三個(gè)角拼到一起，從要證明的等式的右邊來看，要證明三個(gè)內(nèi)角的和為180°，怎樣才會(huì)出現(xiàn)180°呢？180°是平角的度數(shù).另外，平行線下的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，也會(huì)出現(xiàn)180°.

我們可以想辦法將三個(gè)內(nèi)角集中在一起，構(gòu)成一個(gè)平角或平行線下的同旁內(nèi)角.要改變角的位置，又不改變角的大小，可以借助平行線下的同位角、內(nèi)錯(cuò)角來實(shí)現(xiàn).方法一：延長BC，過點(diǎn)C作CE∥AB證明：延長BC，過點(diǎn)C作CE∥AB，則∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）方法二：過點(diǎn)A作ED∥BC方法三：在BC邊上任取一點(diǎn)D，作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F方法四：過A點(diǎn)任作直線，過B點(diǎn)作直線∥，過C點(diǎn)作直線∥.方法二、三、四，同學(xué)們自己動(dòng)手完成證明！問題2：如果這個(gè)三角形是直角三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

還能得到怎樣的結(jié)論？直角三角形的兩個(gè)銳角的數(shù)量關(guān)系：

直角三角形的兩個(gè)銳角互余.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°問題3反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.問題4你能按角給三角形進(jìn)行分類嗎？典例分析例1（目標(biāo)3）已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為3：5：7，求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).【分析】已知三個(gè)內(nèi)角的比，又由三角形內(nèi)角和為180°列方程即可解決這個(gè)問題.唯一值得注意的是未知量的設(shè)法，如果設(shè)某個(gè)內(nèi)角計(jì)算比較麻煩，這里可以利用這種比例關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)法，以比例系數(shù)作為未知數(shù).解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角的比例系數(shù)為3：5：7，則三個(gè)內(nèi)角可分別設(shè)為3k°，5k°與7k°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得方程3k°+5k°+7k°=180°，解之得：k=12.

所以這三個(gè)內(nèi)角分別為36°，60°與84°.例2（目標(biāo)3）如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高.求∠DBC的度數(shù).【分析】∠DBC

在△BDC中，∠BDC=90°，為求∠DBC，應(yīng)先求出∠C.∠C還在△ABC中，△ABC中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系已經(jīng)給出，利用任意三角形內(nèi)角和都是180°這個(gè)等量關(guān)系，列方程可求出∠C的度數(shù).解：設(shè)∠A為x°，則∠C=∠ABC=2x°.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x°+2x°+2x°=180°（三角形內(nèi)角和定理）.

解得x=36.∴∠C=72°.在△BDC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠C=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.

∴∠DBC=18°.例3（目標(biāo)3）如圖，AD，BE，CF為△ABC的三條角平分線，AD，BE，CF

交于I.求∠1+∠2+∠3的度數(shù).【分析】根據(jù)題目條件，我們不可能求出每個(gè)角的度數(shù).利用整體思想找到∠1+∠2+∠3與三角形內(nèi)角和的關(guān)系，就可以解決問題.解：∵AD，BE，CF為△ABC的三條角平分線，∴∠1=∠ABC.∠2=∠ACB.∠3=∠BAC（角平分線的定義）.又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC=（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=90°.例4（目標(biāo)2）如圖，AB∥CD，AE

交CD于點(diǎn)C，DE⊥AE，垂足為E，∠A=37°.求∠D的度數(shù).【分析】圖形中不僅有三角形，還有平行線、垂直關(guān)系，這些都為我們求角的度數(shù)提供了線索和依據(jù).直角三角形的兩銳角互余，平行線會(huì)得到內(nèi)錯(cuò)角（同位角）相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，我們只需將∠D與這些角放入同一三角形中，或者將∠D轉(zhuǎn)化為這些角的相等角（或互補(bǔ)的角）進(jìn)行求解即可.解：∵AB∥CD，∴∠ECD=∠A.又∵∠A=37°，∴∠ECD=37°.∵DE⊥AE，∴∠DEC=90°.在△DEC中，∠DCE+∠D=90°

(直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.∴∠D=90°-∠ECD=90°-37°

=53°例5（目標(biāo)3）已知：AB∥CD，EF分別交AB，CD

于G，H，GM，HM

分別平分∠BGH，∠DHG.求證：GM⊥HM.解：∵AB∥CD∴∠BGH+∠DHG=180°.∵GM，HM分別平分∠BGH，∠DHG，∴∠HGM=∠BGH，∠MHG=∠DHG.∴∠HGM+∠MHG=∠BGH+∠DHG=90°.∵∠HGM+∠MHG+∠GMH=180°，∴∠GMH=90°.∴GM⊥HM.例6（目標(biāo)2）如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.則從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度？【分析】北偏東50°，北偏東80°等指的是圖中的哪個(gè)角？要想求∠ACB，①直觀的想法是求出∠CAB和∠CBA各是多少，即可解決.②我們注意到這個(gè)圖有些像在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)的一種輔助線添加后的形狀，如果過點(diǎn)

C作CF∥AD，進(jìn)行處理.解：過點(diǎn)C作CF∥AD，∴∠1=∠DAC=50°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵CF∥AD，又AD∥BE，∴CF∥BE（平行于同一直線的兩直線互相平行）.∴∠2=∠CBE=40°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

∴∠ACB=∠1+∠2=50°+40°=90°.例7（目標(biāo)2、3）已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)角形，其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).（1）根據(jù)上述定義，判斷對(duì)錯(cuò)：①內(nèi)角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點(diǎn)；②任意的三角形都存在等角點(diǎn).（2）探究：圖1中∠BPC，∠ABC，∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）如圖2，在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn).求該三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).例7（目標(biāo)2、3）已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)角形，其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).（1）根據(jù)上述定義，判斷對(duì)錯(cuò)：

①內(nèi)角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點(diǎn)；

②任意的三角形都存在等角點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)等角點(diǎn)的定義，可知內(nèi)角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點(diǎn)，而等邊三角形不存在等角點(diǎn)，據(jù)此判斷即可；解：（1）①內(nèi)角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點(diǎn)是真命題.②任意的三角形都存在等角點(diǎn)是假命題，如等邊三角形不存在等角點(diǎn).例7（目標(biāo)2、3）已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)角形，其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).（2）探究：圖1中∠BPC，∠ABC，∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【分析】（2）根據(jù)△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC進(jìn)行推導(dǎo)，即可得出∠BPC，∠ABC，∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系；解：（2）如圖1∵在△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC.∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP.例7（目標(biāo)2、3）已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)角形，其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn).（3）如圖2，在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn).求該三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).【分析】（3）先連接PB，PC，再根據(jù)△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn)，以及三角形內(nèi)角和為180°，得出關(guān)于∠A的方程，求得∠A的度數(shù)即可得出三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解：（3）如圖2，連接PB，PC.∵P為△ABC的角平分線的交點(diǎn)，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∵P為△ABC的等角點(diǎn)，∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，∠ACB=∠BPC=4∠A.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°.∴∠A=.∴該三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，，.1.（目標(biāo)2）如圖，求出下列三角形中未知角α的度數(shù).2.（目標(biāo)2）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高.那么圖中與∠A相等的角是_______.90°；30°∠BCD練習(xí)鞏固3.（目標(biāo)2）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC于點(diǎn)D.（1）若∠ABD=40°，求∠C的度數(shù)；（2）若∠DBC=α，求∠A的度數(shù).（用含α的式子表示）4.（目標(biāo)2）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=10°，∠B=50°.求∠C的度數(shù).（1）65°（2）2α解：∵AD是BC邊上的高，∠EAD=10°，∴∠AED=80°.∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED-∠B=30°.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAC=2∠BAE=60°∴∠C=180°-∠B-∠BAC=70°.5.（目標(biāo)2）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”.如三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”.如圖，∠MON=60°，在射線OM上找點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交射線OB于點(diǎn)C.（1）∠ABO為_____°，△AOB________（填“是”或“不是”）智慧三角形.（2）若∠OAC=20°，求證：△AOC為“智慧三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“智慧三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù).解：（1）30，是；（2）∵∠AOC=60，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC.∴△AOC為“智慧三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“智慧三角形”時(shí)，∠OAC的度數(shù)為80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°或0°.歸納總結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2.為什么要用推理的方法證明三角形內(nèi)角和等于180°？3.你是怎樣找到三角形內(nèi)角和定理的證明思路的？4.運(yùn)用三角形內(nèi)角和是180°，你又得到哪些結(jié)論？方法提升1.在證明三角形內(nèi)角和時(shí)，你用到了什么思想方法？2.在解決有關(guān)三角形角度的計(jì)算時(shí)，我們還經(jīng)常用到什

么思想方法？3.當(dāng)解決問題時(shí)發(fā)現(xiàn)圖形中的條件不足，該如何解決？達(dá)標(biāo)檢測1.（目標(biāo)2、3）已知，在△ABC中，（1）如果∠A=90°，∠C=55°，則∠B________.（2）如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，則∠A=________，∠B=_________，∠C=____，此三角形為__________三角形.（3）如果∠A=60°，∠B-∠C=24°，則∠B=______，∠C=________.（4）如果∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，則∠A=_______，∠B=______，∠C=________.（5）∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分線，則∠DAC的度數(shù)為________.30°35°60°90°直角72°48°20°80°80°40°4.（目標(biāo)2）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為D，E，∠AFD=160°.求∠EDF的度數(shù).3.（目標(biāo)2、3）如圖，在△ABC中，∠A=

∠C=

∠ABC，BD是角平分線.求∠A及∠BDC的度數(shù).36°；72°70

°5.（目標(biāo)3）如圖，D為BC上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=50°，求∠EDF的度數(shù).65

°能力提升1.（目標(biāo)2）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”.（1）已知一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°，求這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)；（2）是否存在“特征角”為120°的三角形？若存在，請(qǐng)舉例說明；若不存在，請(qǐng)說明理由.