6.1.4求導法則及其應用（第2課時簡單復合函數(shù)的求導法則）課件高二下學期數(shù)學人教B版選擇性

6.1.4

求導法則及其應用

第2課時簡單復合函數(shù)的求導法則第六章人教B版

數(shù)學選擇性必修第三冊課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解并能應用復合函數(shù)的求導法則求導.2.通過復合函數(shù)的求導法則的應用,提高邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).自主預習新知導學一、復合函數(shù)的概念

2.一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的任意一個值,就能確定u的值.如果此時還能確定y的值,則y可以看成x的

函數(shù)

,此時稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)f(u)與g(x)的復合函數(shù),其中u稱為

中間變量

.3.下列函數(shù)是復合函數(shù)的是(

)答案:C二、復合函數(shù)的求導法則

2.復合函數(shù)h(x)=f(g(x))的導數(shù)h'(x)與f'(u),g'(x)之間的關系為h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x).這一結(jié)論也可以表示為

yx'=yu'ux'.3.函數(shù)y=cos2x的導數(shù)是(

)A.y'=2cos2x

B.y'=-2cos2xC.y'=-2sin2x

D.y'=2sin2x答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導數(shù)是f'(x)=cosx.(×)(2)函數(shù)y=ln(2x)不是復合函數(shù).(×)合作探究釋疑解惑探究一求復合函數(shù)的導數(shù)【例1】

求下列復合函數(shù)的導數(shù).(1)y=ln(2x-5);(2)y=(3x-1)2;求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟:反思感悟【變式訓練1】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(2x+3)2;(2)y=e-0.05x+1;(3)y=sin(πx+φ).解:(1)令u=2x+3,函數(shù)y=(2x+3)2可以看成函數(shù)y=u2,u=2x+3的復合函數(shù),故yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u·2=4(2x+3)=8x+12.(2)令u=-0.05x+1,函數(shù)y=e-0.05x+1可以看成函數(shù)y=eu,u=-0.05x+1的復合函數(shù),故yx'=yu'·ux'=(eu)'·(-0.05x+1)'=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1.(3)令u=πx+φ,函數(shù)y=sin(πx+φ)可以看成函數(shù)y=sin

u,u=πx+φ的復合函數(shù),故yx'=yu'·ux'=(sin

u)'·(πx+φ)'=cos

u·π=πcos(πx+φ).探究二復合函數(shù)導數(shù)的綜合應用解:∵y'=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1,∴切線斜率k=2.根據(jù)函數(shù)和、差、積、商的求導法則和復合函數(shù)的求導法則可以求任何一個初等函數(shù)的導數(shù),從而解決初等函數(shù)的求導問題,進而可以解決與導數(shù)有關的問題.反思感悟【變式訓練2】

已知曲線y=esinx在點(0,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程.解:由已知得y'=esin

xcos

x,則切線斜率k=1,故切線方程為y-1=x-0,即x-y+1=0.設直線l的方程為x-y+c=0.【易錯辨析】

對復合函數(shù)求導不完全而致誤【典例】

求函數(shù)y=x·e1-2x的導數(shù).錯解:y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:y=e1-2x是復合函數(shù),錯解中對其求導時出錯.正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'=(1-2x)e1-2x.對復合函數(shù)求導時,要按照復合函數(shù)的求導法則進行,要牢記復合函數(shù)的求導法則.防范措施【變式訓練】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=ln(2x-7);(2)y=x2sin2x.(2)令y1=sin

2x.設y1=sin

u,u=2x,則y'1=(sin

u)'·(2x)'=2cos

u=2cos

2x.故y'=(x2)'sin

2x+x2(sin

2x)'=2xsin

2x+2x2cos

2x.隨堂練習1.y=loga(2x2-1)(a>0,且a≠1)的導數(shù)是(

)答案:A答案:2(ex+1)3.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,則a=

.

解析:因為f'(x)=8x+4a,所以f'(2)=16+4a=