《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題》教學(xué)設(shè)計

PAGEPAGE3《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題》教學(xué)設(shè)計授課班級：某高二（文）班1．教學(xué)背景1.1學(xué)生特征分析我所試講班級是長溝中學(xué)高二文班，學(xué)生的平均年齡在16-17歲，多數(shù)學(xué)生對于所識記的材料，在再認和回憶時，沒有歪曲、遺漏、增補和臆測，初步具備在知覺某一事物時，能根據(jù)自己已有的知識、經(jīng)驗對事物加以解釋和判斷；具有一定的比較與分類思維，但是抽象概括及分析綜合思維欠缺。學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，學(xué)生了解函數(shù)零點的定義，會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。對導(dǎo)數(shù)有了一定的理解，學(xué)習(xí)積極性比較高，利用導(dǎo)數(shù)這一工具對函數(shù)的性質(zhì)研究比較好。但是理性思維比較欠缺，對于處理含參問題的能力還有待提高，把新問題轉(zhuǎn)化問已解決問題的能力有待提高，缺乏選擇解決問題策略的能力。由于是借班作課，師生接觸少，師生之間的默契程度有待提高。1.2教師特點分析自己教學(xué)中的優(yōu)勢：注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)、善于與信息技術(shù)的整合、善于鼓勵學(xué)生，能對學(xué)生進行有效指導(dǎo)。不足：由于是借班作課，與學(xué)生有效溝通較少。1.3學(xué)習(xí)內(nèi)容分析1、內(nèi)容分析：導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一。它是研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲档葐栴}的最一般、最有效的工具,對我們描繪函數(shù)圖象帶來極大方便，高考對導(dǎo)數(shù)的考查重在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值最值、解決實際問題及與不等式的結(jié)合。而利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的研究有利于我們解決函數(shù)的零點問題。近幾年高考也出現(xiàn)了一些函數(shù)零點問題或可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題的題目，今年北京文科就出現(xiàn)了這樣的題目，所以本節(jié)課從三次函數(shù)出發(fā)探究函數(shù)零點問題，以簡單的含參數(shù)函數(shù)零點問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值解決問題，突出數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。2、例題分析：熱身練習(xí)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并試求此函數(shù)的零點。題目比較簡單，學(xué)生可以獨立完成，目的是讓學(xué)生熟悉利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本過程；思考題：函數(shù)的圖像與軸有幾個交點。讓學(xué)生認識到有些三次函數(shù)在現(xiàn)有水平上，無法求解，體會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的必要性和一般性。例1、已知函數(shù)（），①取何值時，函數(shù)有一個零點，②取何值時，函數(shù)有兩個零點；③取何值時，函數(shù)有三個零點？是熱身練習(xí)的變式題，學(xué)生可以在練習(xí)的基礎(chǔ)上對本題分析，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象與交點個數(shù)與極值之間關(guān)系，引發(fā)解題策略的思考。練習(xí)：若曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍。請說明思路。思路比較簡單，可以用來檢查學(xué)生對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的掌握情況及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。例2：討論函數(shù)有幾個零點。比較復(fù)雜，對學(xué)生來說比較難，教師要對學(xué)生出現(xiàn)的困難進行指導(dǎo)。2．教學(xué)目標(biāo)1、掌握函數(shù)零點的等價形式，能利用導(dǎo)數(shù)工具解決零點問題。2、學(xué)生經(jīng)歷利用導(dǎo)數(shù)對例1、例2函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的分析，結(jié)合函數(shù)圖象解決零點問題的過程，學(xué)生體會函數(shù)性質(zhì)與零點間的關(guān)系。3、通過例1、例2的不同解決，學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力。【教學(xué)重點】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)，解決函數(shù)零點問題及其轉(zhuǎn)化問題【教學(xué)難點】理解函數(shù)零點問題與兩個函數(shù)交點問題的轉(zhuǎn)化，解決問題策略的優(yōu)化選擇【教學(xué)方式】啟發(fā)式、探究式【輔助工具】多媒體課件，幾何畫板。3．教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程師生活動設(shè)計意圖教學(xué)策略一、知識準備1、函數(shù)零點的概念；2、函數(shù)零點問題的等價問題。3、如何求函數(shù)的零點。學(xué)生回答教師展示課件提出問題：求函數(shù)的零點問題等價問題是什么？復(fù)習(xí)鞏固舊知識，為本節(jié)課在知識、方法上做鋪墊。問答 二、熱身練習(xí)1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并試求此函數(shù)的零點。解：易求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和單調(diào)減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為.由函數(shù)的草圖可得函數(shù)有三個零點。,可解得函數(shù)的三個零點。2、函數(shù)的圖像與軸有幾個交點。學(xué)生獨立完成，并展示結(jié)果。教師針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，及時指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生做出草圖問題2學(xué)生先思考，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)利用圖象判斷零點個數(shù)。通過本題的練習(xí)，學(xué)生復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本過程，學(xué)生求出函數(shù)零點的個數(shù)與導(dǎo)數(shù)確定零點個數(shù)的一致性，初步體會導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的作用。2的設(shè)置目的是讓學(xué)生認識到有些三次函數(shù)在現(xiàn)有水平上，無法求解，體會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的必要性和一般性。學(xué)生獨立學(xué)習(xí)并展示三、合作探究例1、已知函數(shù)（），①取何值時，函數(shù)有一個零點，②取何值時，函數(shù)有兩個零點；③取何值時，函數(shù)有三個零點？解：法一：在上一題的基礎(chǔ)上，容易得到：的極大值為，的極小值為.由函數(shù)的草圖可得：（1）當(dāng)或時，有一個零點；（2）當(dāng)或時，有兩個零點；（3）當(dāng)時，有三個零點．法二若本題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)圖象與直線交點的問題。練習(xí)：若曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍。請說明思路教師引導(dǎo)學(xué)生觀察熱身練習(xí)與例1的不同。學(xué)生發(fā)現(xiàn)單調(diào)性沒有變化，極值發(fā)生變化，通過討論研究函數(shù)的零點問題。學(xué)生展示成果教師利用幾何畫板展示結(jié)合復(fù)習(xí)的函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化形式，引導(dǎo)學(xué)生利用參數(shù)與變量分離的方法解決。學(xué)生結(jié)合圖象獨立完成學(xué)生說明自己的思路先請學(xué)生觀察熱身練習(xí)和例1兩題的相同點和不同點。通過本環(huán)節(jié)的活動，學(xué)生參與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)解決函數(shù)零點問題，體會導(dǎo)數(shù)的工具作用。學(xué)生注意到本題與熱身練習(xí)的區(qū)別與聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)極值（含參數(shù)，再討論隨著變化，函數(shù)圖象與軸的交點，另一種方法是兩個函數(shù)圖象的交點，即定函數(shù)圖象與動直線的交點）為后面做鋪墊。通過圖像展示，學(xué)生體會函數(shù)零點的變化情況。學(xué)生明白兩個函數(shù)圖象的交點問題與一個函數(shù)零點問題是等價問題檢查學(xué)生對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的掌握情況及對函數(shù)零點等價問題的理解。小組合作學(xué)習(xí)互相討論小組合作討論合作交流（選講）例2：討論函數(shù)有幾個零點。解：思路一：直接討論三次的單調(diào)性、極值即可。思路二：參數(shù)與變量分離轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題。答案：時，有一個零點；時，有二個零點；時，有三個零點。問題：通過例1和例2的學(xué)習(xí)，你獲得了什么經(jīng)驗？學(xué)生嘗試獨立完成，教師巡視，及時指導(dǎo)。學(xué)生展示自己的成果教師借助幾何畫板演示函數(shù)零點變化情況。學(xué)生根據(jù)自己的理解，進行說明。當(dāng)參數(shù)的位置變化時，解決問題的策略如何選擇，進行研究，多角度啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的潛能。本題的難點在于參數(shù)與變量分離后，對函數(shù)性質(zhì)的分析，函數(shù)圖像特點的剖析，教師要適時引導(dǎo)，學(xué)生能利用圖像正確確定零點情況。及時反思總結(jié)，形成方法技能方法一學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)方法二采取替代式教學(xué)學(xué)生獨立完成四、總結(jié)反思1、哪些問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題？2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的策略3、解決這類問題的關(guān)鍵是什么？學(xué)生自己說教師做必要補充通過小結(jié)使本節(jié)課的知識系統(tǒng)化，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成對所學(xué)知識及時總結(jié)提煉的習(xí)慣，不斷提升自己。師生合作完成五、反饋練習(xí)1、（2013北京文）已知函數(shù)。（Ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求與的值。（Ⅱ）若曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍。2、已知函數(shù)（選做）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）試討論曲線與軸公共點的個數(shù)。 學(xué)生課下獨立完成通過練習(xí)，檢測學(xué)生對方法掌握情況。學(xué)生課下獨立完成關(guān)于《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題》教學(xué)反思教師是我從小的理想職業(yè)，現(xiàn)在我的職業(yè)理想是做一名研究性教師，工作總比較喜歡數(shù)學(xué)思考問題，一直認為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅可以提高人的思考能力，而且可以提高人的素養(yǎng)。以“有志者，事竟成”為座右銘。6月21日，我在長溝中學(xué)借班講了一節(jié)《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題》。課的大致過程是：首先回憶導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)零點的概念及其等價轉(zhuǎn)化問題。接下來從研究一個具體函數(shù)出發(fā)利用導(dǎo)數(shù)研究了它的單調(diào)區(qū)間和極值，并嘗試求此函數(shù)的零點；之后學(xué)生通過思考函數(shù)的零點問題，意識到可以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)零點問題。接下來又通過兩種策略研究了函數(shù)（）和的零點問題，最后總結(jié)方法和思想。課后經(jīng)過專家和各位教師的研究和討論，我對這節(jié)課的反思主要有兩個方面：一是課堂教學(xué)方面的；二是教師的個人專業(yè)發(fā)展方面。第一方面：反思習(xí)題設(shè)計和教學(xué)設(shè)計

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)認為，問題是數(shù)學(xué)的心臟。對于數(shù)學(xué)科學(xué)是如此，對于學(xué)校數(shù)學(xué)，問題也是它的心臟。波利亞強調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練?！彼幸痪涿裕骸罢莆諗?shù)學(xué)就是意味著善于解題。”因此數(shù)學(xué)習(xí)題課作為解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，其主要目的是教會學(xué)生如何分析問題，如何應(yīng)用所學(xué)知識尋找相應(yīng)對策，解決未知問題，提高學(xué)生的解題能力。習(xí)題的有效選擇是學(xué)生能力得以成功的基礎(chǔ)，教師的習(xí)題教學(xué)時，習(xí)題的選擇要有針對性（針對教學(xué)目標(biāo)、知識點和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀）、應(yīng)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)、要有典型性和研究性，目的在于提高學(xué)生分析問題的能力，在研究習(xí)題解決的過程中優(yōu)化解題策略。高二文科已進入高考總復(fù)習(xí)階段，本學(xué)期復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容之一就是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，這部分內(nèi)容也是是每年高考考查的重點內(nèi)容，結(jié)合實際教學(xué)我發(fā)現(xiàn)其實這部分內(nèi)容通過有效教學(xué)，學(xué)生可以學(xué)會如何解決的。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的常見考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值；（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程實根；（5）利用導(dǎo)數(shù)研究實際問題。這些考點的問題解決不可能一蹴而就，因此，我們的教學(xué)要經(jīng)歷從感性到理性的過程，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟掌握。對于基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生來說，可采取先分后合，循序漸進、螺旋上升。在這些考點中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題講的不多，而且這個考點可以提高學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想數(shù)學(xué)思想解決問題的意識，同時也是導(dǎo)數(shù)知識與函數(shù)零點的整合，所以在本次教學(xué)時，我就選擇了它。根據(jù)新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)要求的多項式函數(shù)不超過三次，同時對于文科學(xué)生來說，題目設(shè)置不能太難，而且運算上不能給學(xué)生設(shè)置太多障礙，所以在選擇題目時就選擇一個簡單的三次函數(shù)，并以這個函數(shù)為基礎(chǔ)進行了一些變式，思考函數(shù)的零點問題，研究了函數(shù)（）和的零點問題，在變式練習(xí)中學(xué)生體會函數(shù)零點隨著函數(shù)圖象與軸相對位置的改變情況，希望在變式教學(xué)中，讓學(xué)生嘗到探究成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力等能力的提高，也有利于知識難點的突破。另外在研究函數(shù)（）零點過程中介紹參變分離的解題策略，目的是讓學(xué)生認識到兩個函數(shù)交點個數(shù)問題與函數(shù)的零點問題是相互轉(zhuǎn)化的，學(xué)生可以據(jù)此解決有關(guān)兩個函數(shù)交點個數(shù)問題。然而好的設(shè)計必須與有效的課堂教學(xué)相結(jié)合，才能順利實現(xiàn)設(shè)計的初衷。在具體教學(xué)過程中還是出現(xiàn)了一些問題，比如熱身練習(xí)讓學(xué)生展示可以為后面例題教學(xué)節(jié)省時間，同時還可以通過學(xué)生表達，加深對題目的理解；其次就是問題情境設(shè)計不到位，教師的主導(dǎo)作用發(fā)揮不合理，參變分離方法的得出有些強加給學(xué)生的感覺；再有就是沒有把握好，結(jié)果函數(shù)的零點問題沒有讓學(xué)生來的急思考，只能展示。通過專家的點評，我真正發(fā)現(xiàn)問題的所在，即對于數(shù)學(xué)中的基本問題解決不到位，關(guān)鍵是方程的實根、函數(shù)的零點及函數(shù)與軸的交點這三者之間為什么是可以相互轉(zhuǎn)化的，方程的實根是代數(shù)問題，而函數(shù)與軸的交點是幾何問題，它們兩者之間的轉(zhuǎn)化原因，如果給學(xué)生講清楚了，學(xué)生在解決含參數(shù)函數(shù)零點問題時就有了思考的方向，即思考通過方程觀察分析零點問題可以轉(zhuǎn)化為哪兩個函數(shù)交點問題，同時兩個函數(shù)交點問題可以通過聯(lián)立方程組分析可以轉(zhuǎn)化為哪個函數(shù)零點問題，這樣函數(shù)零點問題與兩個函數(shù)交點問題之間的轉(zhuǎn)化就有了基礎(chǔ)。如解決函數(shù)的的零點問題，可以令的方程，即，從而等價于解方程組，這一方程組的幾何意義就是函數(shù)的交點個數(shù)問題；反之亦然。經(jīng)過這樣的思考，我又對教學(xué)設(shè)計進行了修改，先讓學(xué)生研究（1）二元方程組；（2）拋物線交點個數(shù)問題；（3）求函數(shù)的零點；這三個簡單問題之間的關(guān)系，學(xué)生在解決過程中發(fā)現(xiàn)，它們其實是方程、幾何、函數(shù)三個角度對同一問題的不同表征，學(xué)生明白了這一問題之后，再讓學(xué)生對零點問題進行多角度轉(zhuǎn)化就容易了，學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化方向，而且遇到兩個函數(shù)交點個數(shù)問題也可以通過上面過程向函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化，即學(xué)生會分析問題了。教學(xué)中另一關(guān)鍵問題就是學(xué)生思考如何優(yōu)化解題策略，有了上面的研究，教師只要讓學(xué)生多種轉(zhuǎn)化中選擇解決問題的策略就可以了，學(xué)生很容易的去選擇解決曲線與直線位置關(guān)系，教師只要有效利用幾何畫板展示圖象，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)研究曲線與平行于軸或軸的交點問題是最簡單的，經(jīng)過這樣的再設(shè)計后，我在本班授課效果很好，教學(xué)目標(biāo)達到了，學(xué)生在課堂中也進行了積極思考，課堂的有效性也得以實現(xiàn)。在習(xí)題設(shè)計上可以把研究函數(shù)零點問題及已知曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍留作課后練習(xí)就可以檢測學(xué)生的掌握情況。二、教師專業(yè)發(fā)展的思考通過這次作課，也引發(fā)了我對自己專業(yè)發(fā)展的思考。陶行知老先生說道：“做先生的，應(yīng)該一面教一面學(xué)，并不是販賣些知識來，就可以終身賣