全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)）復(fù)習(xí)講義

1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)專業(yè)）復(fù)習(xí)講義微 分 學(xué)一、基本概念與內(nèi)容提要1. 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)，則或2.多元函數(shù)微分學(xué)二、?？祭}講解用基本方法求導(dǎo)數(shù)1. 設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.2. 已知函數(shù)且，確定，使得函數(shù)滿足.3. 設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求.4. 已知，求.5.設(shè)函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，且，求.解：兩邊對求導(dǎo)，得到：，代入 求得：；兩邊對求導(dǎo)，得到：；兩邊對求導(dǎo)，得到 .以上兩式與聯(lián)立，又二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以，故 用全微分求解隱函數(shù)5. 設(shè)是方程確定的隱函數(shù)，且具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，以及，求證：和導(dǎo)數(shù)與極限、積分、微分方程等結(jié)合求函數(shù)表達(dá)式6. 設(shè)

2、函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，已知且函數(shù)滿足（1）.求函數(shù)的表達(dá)式； （2）.若求7. 設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程確定，且，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在t=1處相切，求函數(shù).8設(shè)一元函數(shù)當(dāng)時有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，又滿足方程，試求的表達(dá)式。解：,注 ，稱為（三維）拉普拉斯方程，又名調(diào)和方程、位勢方程，是一種偏微分方程.因為由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先提出而得名.在一般條件下解拉普拉斯方程超出考試范圍.本題討論特殊條件下的拉普拉斯方程求解問題.9. 設(shè),.分析：函數(shù)是的函數(shù)，可以考慮用極坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用求微分方程的方法得到表達(dá)式。解：令，則，同理可得積分得.10.已知函數(shù)z=z(x,y)滿足，設(shè)，對函數(shù)，

3、求證：.證明：由題意得，則是u,v的復(fù)合函數(shù)，則.積 分 學(xué)一、基本概念與內(nèi)容提要1. 定積分性質(zhì)若是奇函數(shù)（即），那么對于任意的常數(shù)a，在閉區(qū)間上，.若是偶函數(shù)（即），那么對于任意的常數(shù)a，在閉區(qū)間上.若為奇函數(shù)時，在的全體原函數(shù)均為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時，只有唯一原函數(shù)為奇函數(shù)即.若是以為周期的函數(shù)（即），且在閉區(qū)間上連續(xù)可積，那么2.二重積分的六大對稱性 如果積分區(qū)域具有軸或點對稱（令表示的一半?yún)^(qū)域，即中對應(yīng)部分，余類推），被積函數(shù)同時具有奇偶性，那么，二重積分的計算可以得到不同程度的簡化，這一技巧在研考數(shù)學(xué)中每年都必出題，務(wù)必理解記住下列6類對稱性定理。 關(guān)于軸對稱（關(guān)于軸對稱類推） 關(guān)

4、于都對稱 關(guān)于原點對稱 當(dāng)和關(guān)于某一直線對稱，對同一被積函數(shù)，則 關(guān)于軸對稱 萬能輪換對稱性 輪換對稱性描述 如果將與及交換，即 , ，后，積分區(qū)域方程不變，則將被積函數(shù)中的變量作同樣變換后所獲得的積分值與原積分值相等，這個性質(zhì)在二重積分，三重積分，曲線積分和曲面積分等六類多元函數(shù)積分中都成立。輪換對稱性實例3. 二重積分的換元公式設(shè)在上連續(xù)，在平面上的某區(qū)域上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且雅可比行列式，對應(yīng)于平面上的區(qū)域，則 4. 三重積分的對稱性： 若關(guān)于面對稱，若則，若則：若關(guān)于面對稱， 若則，若則：若關(guān)于面對稱， 若則，若則：5. 三重積分換元法1) 球坐標(biāo)系代換：，,即=適用于積分公式或被積

5、函數(shù)是型.2)柱坐標(biāo)代換：，,即三重積分的柱坐標(biāo)換元公式為：=，適用于型被積函數(shù)或積分區(qū)域6. 高斯公式定理 設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，p（x,y,z）,q(x,y,z),r(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式：或這里是由的整個邊界邊界曲面的外側(cè)構(gòu)成，為上點（x,y,z）處的法向量的方向余弦.二、?？祭}講解一元積分中用方程、變限積分求導(dǎo)等來解題1. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.2. 已知，求3. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足,求分段函數(shù)與含有絕對值號的定積分計算中，若被積函數(shù)為分段函數(shù)，先以分段點將積分區(qū)間分為若干個子區(qū)間，再利用可加性分段求解；若被積函數(shù)為絕對值函數(shù)，先令

6、絕對值為零，求出根，并由此將積分區(qū)間分成若干段，再逐段求解.（有時需要適當(dāng)?shù)淖鲎兞刻鎿Q）4. 計算積分表示的取整函數(shù)）.5. 計算積分.6. 計算積分( 表示正整數(shù)）.7. 計算積分.利用奇偶性和周期性簡化定積分計算，若遇對稱區(qū)間，先考慮被積函數(shù)是否具有奇偶性；若積分上下限中出現(xiàn)，被積函數(shù)出現(xiàn)三角函數(shù)，可用周期性積分性質(zhì).8. 計算積分9. 求定積分，其中為自然數(shù)。解：注意到是偶函數(shù)且以為周期，因此利用性質(zhì)可以簡化計算10. 計算積分用二重積分換元法來處理（）11.計算積分, 其中所圍區(qū)域.解：令，12. 計算積分.解：設(shè) ；用遞推公式來求解積分13. 設(shè)，求利用二重積分積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)

7、奇偶性等來解題14. 計算積分其中.15.設(shè)是由曲線所圍成的有界閉區(qū)域，計算積分利用格林公式把曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分,并適當(dāng)要結(jié)合對稱性來解決，其中是的取正向的邊界曲線.16. 已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.17. 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線c上，曲線積分的值為常數(shù).（1）設(shè)l為正向閉曲線，證明：（2）求函數(shù)；（3）設(shè)c是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。利用換元法、高斯公式等解決二重積分或三重積分18. 設(shè)曲面是錐面與兩球面，所圍立體表面外側(cè)，為連續(xù)可微的奇函數(shù)，計算曲面積分19. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，區(qū)域是由拋物面和球面所圍起來的上半部分，定義三重

8、積分求的導(dǎo)數(shù)極 限一、基本概念與內(nèi)容提要1） .極限存在的條件：左極限等于右極限。相關(guān)聯(lián)的題型：（1）函數(shù)連續(xù)性和可導(dǎo)性的判斷及應(yīng)用；（2）求函數(shù)的間斷點：第一類間斷點（左右極限存在）：a可去間斷點：左右極限存在且相等但函數(shù)在該點無定義或函數(shù)值不等于極限值。b跳躍間斷點：左右極限存在但不相等。第二類間斷點：除第一類間斷點以外所有的間斷點；（3）用定義求導(dǎo)數(shù)，若存在，則函數(shù)在處可導(dǎo)且。所以，判斷可導(dǎo)性就是判斷極限是否存在； 2）.連續(xù)函數(shù)的極限3）.常用極限： 4） .極限的四則運算5） 恒等變形、約去零因子、有理化等常用化簡方法6）.極限存在準(zhǔn)則（夾逼定理、單調(diào)有界定理）7）.兩個重要極限及其

9、變形：8）.洛比達(dá)法則（重點），常與洛比達(dá)法則一起交替使用，?？嫉墓灿衅叻N不定式極限：型，常用方法：約去零因子；等價無窮小替換；變量代換；洛比達(dá)法則；恒等變形型，常用方法：分子分母同時除以最高次冪項；變量替換；洛比達(dá)法則型，常用方法：通分；倒代換；有理化型，常用方法：變形；變量代換；取倒數(shù)化為型型，常用方法：取對數(shù)化為型；恒等變形；變量代換型，常用方法：取對數(shù)化為型；恒等變形消除不定式；利用重要極限；等價替換型，常用方法：取對數(shù)化為型；利用重要極限9）. 無窮小得比較設(shè)，則即為無窮小量，（1）若，則稱當(dāng)時是比高階的無窮小，記為，或者說當(dāng)時是比低階的無窮??；（2）若，則稱當(dāng)時是與同階的無窮小。特

10、別的，當(dāng)c=1時，稱當(dāng)時與是等價無窮小，記為；（3）若，則稱當(dāng)時是與的k階無窮小。等價無窮小替換求極限（注意：有界函數(shù)與無窮小的積是無窮?。旱葍r無窮小是指在乘積型極限中，一個無窮小因式可以用與它等價的無窮小因式代替。常用等價無窮?。寒?dāng)時， 。注意：高階無窮小、k階無窮小的判斷及應(yīng)用。補(bǔ)充：無窮大量比較：當(dāng)時，無窮大的階數(shù)由低到高排列為：；當(dāng)時，無窮大的階數(shù)由低到高排列為：。9） .利用泰勒公式、中值定理求極限，求極限常用邁克勞林公式有：10） .利用定積分的定義求極限11） 證明數(shù)列極限存在的方法：夾逼定理單調(diào)有界定理級數(shù)斂散法：若級數(shù)收斂，則存在級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則。補(bǔ)充：給

11、定數(shù)列，則存在的充要條件是級數(shù)收斂。所以，判斷數(shù)列的斂散性可以轉(zhuǎn)化為判斷級數(shù)的斂散性。12） 抓大頭公式：，數(shù)列極限也可用。13） 中值定理求極限：關(guān)鍵是將欲求的極限寫成中值定理的形式，在求函數(shù)式具有規(guī)律比或其分子分母之項具有中值定理那樣的關(guān)聯(lián)或函數(shù)式非常復(fù)雜難以化簡時，尤其是像求類未定的極限如，可以考慮使用中值定理。14） 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限：若收斂，則。求極限可轉(zhuǎn)化為求定積分、判斷級數(shù)的斂散性等。二、?？碱}型講解 冪函數(shù)指數(shù)化（即）再求解；計算型先化為再求解.往往與等價無窮小、洛比達(dá)法則、重要極限等結(jié)合.1 求極限，其中是給定的正整數(shù). 2 求極限其中是給定的正整數(shù).3 求極限其

12、中是給定的正整數(shù).4 求極限5 求極限6 求極限.7 求極限8 求極限9 求極限 先對所求函數(shù)用平方差公式做化簡，再與價無窮小、洛比達(dá)法則、重要極限等結(jié)合求解10. 設(shè)其中，求.11. 設(shè)，求極限12. 已知，求極限.解：分子，分母，.已知極限求解極限或函數(shù)，用等價無窮小或泰勒展示可以求解13. 已知求極限14. 已知求極限用泰勒公式做比較方便類型15. 求極限.解：由麥克勞林公式得：極限與積分、導(dǎo)數(shù)等知識結(jié)合的類型，做適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q后或用導(dǎo)數(shù)定義化簡，再用夾逼準(zhǔn)則、泰勒公式、洛比達(dá)法則等求解.16. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.17. 設(shè)函數(shù)在點可導(dǎo)，且，求18. 求極限極

13、限證明類型，常用定義、單調(diào)有界定理及施篤茲定理證明(施篤茲定理 設(shè)數(shù)列與，其中單調(diào)增加且趨于.如果存在或為，則.)19. 設(shè)為數(shù)列，為有限數(shù)，求證：（1）如果則（2）如果存在正整數(shù)，使得則（3）若則20.證明數(shù)列收斂，并求極限.其他極限類型21.求極限利用來解. 解：空間解析幾何一、基本知識復(fù)習(xí)1向量在軸上的投影prjua=|a|cos j, 其中j為向量與u軸的夾角;數(shù)量積與投影: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 當(dāng)a0時

14、, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是ab = |a| prj ab. 同理, 當(dāng)b0時, ab = |b| prj ba. 2.向量的方向角余弦稱為方向余弦. 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1.3向量積及其運算規(guī)律向量積: 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: ; c的方向垂直于a與b所決定的平

15、面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即c = ab. c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角.向量積的坐標(biāo)形式設(shè)a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi= ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. .向量積的性質(zhì): (1) aa = 0 ; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果ab = 0, 則a

16、/b; 反之, 如果a/b, 則ab = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b ab = 0. 向量積的運算律: (1) 交換律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l為數(shù)).4.空間中的平面及方程平面的點法式方程： 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量. 容易知道, 平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直. 唯一確定平面的條件: 當(dāng)平面p上一點m0 (x0, y0, z0)和它的一個法線向量n=(a, b, c)為已知時, 平面p的位置就完全確定了. 設(shè)m

17、 (x, y, z)是平面p上的任一點，n =(a, b, c)為平面p上的法向量，則平面p的方程為a(x-x0)+b(y-y0)+c(z- z0)=0，此方程叫做平面的點法式方程. 平面的一般方程：ax+by+cz+d=0平面的截距式方程：，其中a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.5.空間直線及其方程由直線上一點與直線l的方向所決定的直線方程 方向向量: 如果一個非零向量平行于一條已知直線, 這個向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 確定直線的條件: 當(dāng)直線l上一點m 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p

18、)為已知時, 直線l的位置就完全確定了. 直線方程的確定: 已知直線l通過點m0(x0, y0, x0), 且直線的方向向量為s = (m, n, p), 則直線點向式（或?qū)ΨQ式）方程.由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 設(shè), 得方程組. 此方程組就是直線的參數(shù)方程. 空間直線的一般方程：設(shè)直線l是平面p1與平面p2的交線, 平面的方程分別為a1x+b1y+c1z+d1=0和a2x+b2y+c2z+d2=0, 那么點m在直線l上當(dāng)且僅當(dāng)它同時在這兩個平面上, 當(dāng)且僅當(dāng)它的坐標(biāo)同時滿足這兩個平面方程, 即滿足方程組 . 因此, 直線l可以用上述方程組來表示. 上述方程組叫做空間直線的一般

19、方程. 兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論: 設(shè)有兩直線l1:, l2:, 則 l 1l 2m1m2+n1n2+p1p2=0; l1 / l2. 設(shè)直線l的方向向量為(m, n, p), 平面p的法線向量為(a, b, c) , 則 lp ; l/ / p am+bn+cp=0. 6. 平面束 設(shè)直線l的一般方程為 , 其中系數(shù)a1、b1、c1與a2、b2、c2不成比例. 考慮三元一次方程: a1x+b1y+c1z+d1+l(a2x+b2 y+c2z+d2)=0, 即 (a1+la2)x+(b1+lb2)y+(c1+lc1)z+d1+ld2=0, 其中l(wèi)為任意常數(shù). 因為系數(shù)a1、

20、b1、c1與a2、b2、c2不成比例, 所以對于任何一個l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個平面. 對于不同的l值, 所對應(yīng)的平面也不同, 而且這些平面都通過直線l , 也就是說, 這個方程表示通過直線l的一族平面. 另一方面, 任何通過直線l的平面也一定包含在上述通過l的平面族中. 通過定直線l的所有平面的全體稱為平面束. 方程a1x+b1y+c1z+d1+l(a2x+b2y+c2z+d2)=0就是通過直線l 的平面束方程. 7. 切平面方程與法線方程設(shè)點 在曲面f(x, y, z)=0上，而f(x, y, z)在點 處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且三個偏導(dǎo)數(shù)不同時為零，則曲面f(x, y,

21、 z)=0在點 處的切平面方程為法線方程為設(shè)點 在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在點 m0 (x0, y0) 處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則該曲面在點 處的切平面方程為.過x0的法線方程為.注：方法2實際上是方法1中取 的情形.8. 法平面方程與切線方程 設(shè)空間的曲線c由參數(shù)方程的形式給出：，切線方程為:法平面方程為如果空間的曲線c表示為空間兩曲面的交，即 假設(shè)在有，在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定理條件.切線方程為法平面方程為二習(xí)題講解直線與平面1.（2010）過點，垂直于直線且平行于平面的直線方程.2. 經(jīng)過點并且與兩直線和都相交的直線3. 求兩直線與的公垂線.4. 求直線

22、與直線的距離. 解：直線的對稱式方程，記兩直線的方向向量分別為，兩直線上的定點分別為，由向量的性質(zhì)可知，兩直線的距離5. (2012)求通過直線的兩個相互垂直的平面和，使其中一個平面過點（4，-3，1）.旋轉(zhuǎn)面的方程6. 求經(jīng)過點與點的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.7. 求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.曲線在平面上的投影方程8. 求橢球面在坐標(biāo)平面上的投影方程.9. (2010)求直線在平面上的投影直線方程,并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.切線與切平面10. 求曲面平行于平面的切平面方程.11. 求經(jīng)過直線且與橢球面相切的切平面方程.12. 求曲線上點處的切線方程.13. 求曲線上

23、點處的切線及法平面方程.空間解析幾何一、基本知識復(fù)習(xí)1向量在軸上的投影prjua=|a|cos j, 其中j為向量與u軸的夾角;數(shù)量積與投影: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 當(dāng)a0時, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是ab = |a| prj ab. 同理, 當(dāng)b0時, ab = |b| prj ba. 2.向量的方向角余弦稱為方向余弦. 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa

24、, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1.3向量積及其運算規(guī)律向量積: 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: ; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即c = ab. c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角.向量積的坐標(biāo)形式設(shè)a = ax i + ay j + az k

25、, b = bx i + by j + bz k =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi= ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. .向量積的性質(zhì): (1) aa = 0 ; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果ab = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則ab = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b ab = 0. 向量積的運算律: (1) 交換律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(l

26、b) = l(ab) (l為數(shù)).4.空間中的平面及方程平面的點法式方程： 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量. 容易知道, 平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直. 唯一確定平面的條件: 當(dāng)平面p上一點m0 (x0, y0, z0)和它的一個法線向量n=(a, b, c)為已知時, 平面p的位置就完全確定了. 設(shè)m (x, y, z)是平面p上的任一點，n =(a, b, c)為平面p上的法向量，則平面p的方程為a(x-x0)+b(y-y0)+c(z- z0)=0，此方程叫做平面的點法式方程. 平面的一般方程：ax+by+cz+d=0平面的截距式方程：，

27、其中a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.5.空間直線及其方程由直線上一點與直線l的方向所決定的直線方程 方向向量: 如果一個非零向量平行于一條已知直線, 這個向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 確定直線的條件: 當(dāng)直線l上一點m 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)為已知時, 直線l的位置就完全確定了. 直線方程的確定: 已知直線l通過點m0(x0, y0, x0), 且直線的方向向量為s = (m, n, p), 則直線點向式（或?qū)ΨQ式）方程.由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 設(shè), 得方程組

28、. 此方程組就是直線的參數(shù)方程. 空間直線的一般方程：設(shè)直線l是平面p1與平面p2的交線, 平面的方程分別為a1x+b1y+c1z+d1=0和a2x+b2y+c2z+d2=0, 那么點m在直線l上當(dāng)且僅當(dāng)它同時在這兩個平面上, 當(dāng)且僅當(dāng)它的坐標(biāo)同時滿足這兩個平面方程, 即滿足方程組 . 因此, 直線l可以用上述方程組來表示. 上述方程組叫做空間直線的一般方程. 兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論: 設(shè)有兩直線l1:, l2:, 則 l 1l 2m1m2+n1n2+p1p2=0; l1 / l2. 設(shè)直線l的方向向量為(m, n, p), 平面p的法線向量為(a, b, c) , 則

29、 lp ; l/ / p am+bn+cp=0. 6. 平面束 設(shè)直線l的一般方程為 , 其中系數(shù)a1、b1、c1與a2、b2、c2不成比例. 考慮三元一次方程: a1x+b1y+c1z+d1+l(a2x+b2 y+c2z+d2)=0, 即 (a1+la2)x+(b1+lb2)y+(c1+lc1)z+d1+ld2=0, 其中l(wèi)為任意常數(shù). 因為系數(shù)a1、b1、c1與a2、b2、c2不成比例, 所以對于任何一個l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個平面. 對于不同的l值, 所對應(yīng)的平面也不同, 而且這些平面都通過直線l , 也就是說, 這個方程表示通過直線l的一族平面. 另一方面, 任

30、何通過直線l的平面也一定包含在上述通過l的平面族中. 通過定直線l的所有平面的全體稱為平面束. 方程a1x+b1y+c1z+d1+l(a2x+b2y+c2z+d2)=0就是通過直線l 的平面束方程. 7. 切平面方程與法線方程設(shè)點 在曲面f(x, y, z)=0上，而f(x, y, z)在點 處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且三個偏導(dǎo)數(shù)不同時為零，則曲面f(x, y, z)=0在點 處的切平面方程為法線方程為設(shè)點 在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在點 m0 (x0, y0) 處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則該曲面在點 處的切平面方程為.過x0的法線方程為.注：方法2實際上是方法1中取 的情

31、形.8. 法平面方程與切線方程 設(shè)空間的曲線c由參數(shù)方程的形式給出：，切線方程為:法平面方程為如果空間的曲線c表示為空間兩曲面的交，即 假設(shè)在有，在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定理條件.切線方程為法平面方程為二例題講解直線與平面1.（2010）過點，垂直于直線且平行于平面的直線方程.2. 經(jīng)過點并且與兩直線和都相交的直線3. 求兩直線與的公垂線.4. 求直線與直線的距離. 5. (2012)求通過直線的兩個相互垂直的平面和，使其中一個平面過點（4，-3，1）.旋轉(zhuǎn)面的方程6. 求經(jīng)過點與點的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.7. 求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.曲線在平面上的投影方程8.

32、求橢球面在坐標(biāo)平面上的投影方程.9. (2010)求直線在平面上的投影直線方程,并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.切線、切平面、法平面10. 求曲面平行于平面的切平面方程.11. 求經(jīng)過直線且與橢球面相切的切平面方程.12. 求曲線上點處的切線方程.13. 求曲線上點處的切線及法平面方程.泰勒公式的應(yīng)用一、知識復(fù)習(xí)1、帶有皮亞諾余項的泰勒公式定理1 若函數(shù)f在點存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有，即即函數(shù)f在點處的泰勒公式；稱為泰勒公式的余項.稱為taylor公式的佩亞諾（peano）型余項, 相應(yīng)的麥克勞林（maclaurin）公式的peano型余項為. 并稱帶有這種形式余項的taylor公式為具pean

33、o型余項的taylor公式( 或maclaurin公式 ).泰勒公式0的特殊情形麥克勞林（maclauyin）公式：2、帶有l(wèi)agrange型余項的taylor公式定理2（泰勒中值定理） 若函數(shù)f在a,b上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)存在n1階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點使得： 注：（1）、當(dāng)n0時，泰勒公式即為拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高階導(dǎo)數(shù)方向的推廣；（2）、當(dāng)時，則變?yōu)閹Ю窭嗜招陀囗椀柠溈藙诹止?稱這種形式的余項為lagrange型余項. 并稱帶有這種形式余項的taylor公式為具lagrange型余項的taylor公式. lagrange

34、型余項還可寫為 .時, 稱上述taylor公式為maclaurin公式, 此時余項常寫為 .3、常見的maclaurin公式(1)帶penno余項的maclaurin公式2）帶lagrange型余項的maclaurin公式 ， ， ， ， ， ，二、泰勒公式的應(yīng)用講解極限與泰勒公式1. 設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，求.2. 設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，求其中是曲線上點處的切線在軸上的截距.積分與泰勒公式3. 設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)且.證明：至少存在一點，使4. 設(shè)在上可導(dǎo)，且.證明：.介值定理與泰勒公式5. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且求證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得不等式與泰勒公式6. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且證明：存在一點，使得7. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的二