淺談追及問題的幾種模型

淺談“追及問題”的幾種模型仁化中學(xué)劉麗娜內(nèi)容摘要：“追及問題”是運動學(xué)中研究同一直線上兩個物體的運動常常涉及的問題，也是勻變速直線運動規(guī)律在實際中的具體應(yīng)用。高中物理中的追及問題有很多種類型，本文主要介紹三種模型：一是勻速直線運動追勻速直線運動的物體，二是做初速度為V0的勻加速直線運動追做初速度為零的勻加速直線運動，三是勻加速直線運動物體追做勻減速直線運動的物體。關(guān)鍵詞：追及問題勻變速直線運動模型相遇問題和追擊問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用題行程類問題中的兩種典型，我國學(xué)生從小學(xué)五年級就開始學(xué)習(xí)這方面的內(nèi)容[1]。同樣地，追擊相遇問題也是高中物理課程中很重要的一個問題。物體在同一條直線上運動，兩物體之間的距離發(fā)生變化時，可能會出現(xiàn)最大距離、最小距離或者是相遇的情況，這類問題稱為“追及相遇問題”?！白芳啊钡闹饕獥l件是:兩個物體追趕過程中處在同一位置。這類問題是運動學(xué)中較難的問題，在考察運用數(shù)學(xué)工具處理物理問題能力方面有較高的要求，高考中時有涉及。一追及問題的幾種“模型”“追及”的主要條件是兩個物體在追趕上時處在同一位置，常見的情形有三種：一是勻速運動的物體甲追趕同方向做勻加速運動的物體乙時，存在一個恰好追上或恰好追不上的臨界條件是兩物體速度相等，即。此臨界條件給出了一個判斷此中追趕情形能否追上的方法，即可通過比較兩物體處在同一位置時的速度大小來分析，具體方法是：假定在追趕過程中兩者能處在同一位置，比較此時的速度大小，若，則能追上，若，則追不上，如果始終追不上，當(dāng)兩物體速度相等時，兩物體的間距最小。二是初速度為零的勻加速運動的物體甲追趕同方向的勻速的物體乙時，一定能追上，在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等，即。三是勻減速運動的物體追趕同方向的勻速運動的物體時，情形跟第一種相類似。兩物體恰能“相碰”的臨界條件是兩物體處在同一位置時，兩物體的速度恰好相等。這三種常見的情形在文獻[2]中已經(jīng)介紹。下面介紹以下三種追及問題的“模型”。模型一：勻速直線運動追勻速直線運動的物體例1：火車A以速度勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上相距處有另一火車B沿同方向以速度（對地，且做勻速運動，A車司機立即以加速度（絕對值）緊急剎車，為使兩車不相撞，應(yīng)滿足什么條件？分析：火車A司機剎車做勻減速運動，當(dāng)A車運動到與B車車尾即將相遇時，如A車車速已降到等于甚至小于B車車速，則兩車就不會相撞，故取和求解。解法一：取上述分析過程的臨界狀態(tài)，則有所以當(dāng)時，兩車便不會相撞。法二：如果A車追上B車恰好發(fā)生相撞，則上式整理后可寫成有關(guān)t的一元二次方程，即取判別式△〈0，則t無實數(shù)解，即不存在發(fā)生兩車相撞時間t?！鳌?，則有得為避免兩車相撞，故法三：運用v-t圖象進行分析，設(shè)從某時刻起A車開始以絕對值為的加速度開始剎車，取該時刻為t=0，則A、B兩車的v-t圖象如圖所示。圖中由、、三點組成的三角形面積值即為A、B兩車位移之差，tanθ即為A車減速的加速度絕對值。因此有vvvvAvB0tt0ACBθ（所以若兩車不相撞需模型二：做初速度為V0的勻加速直線運動追做初速度為零的勻加速直線運動例2：甲、乙兩車相距，同時同向運動，乙在前面做加速度為、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為、初速度為的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系.分析由于兩車同時同向運動，故有，①當(dāng)時，，可得兩車在運動過程中始終有.由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次.②當(dāng)時，，可得，同樣有，因此甲、乙兩車也只能相遇一次.③當(dāng)時，，和的大小關(guān)系會隨著運動時間的增加而發(fā)生變化.剛開始，和相差不大且甲有初速，所以；隨著時間的推移，和相差越來越大；當(dāng)時，，接下來，則有.若在之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇；若在時，兩車剛好相遇，隨后，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在前，甲車已超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次.解法一：由于相遇時有則所以（1）①當(dāng)時，（1）式t只有一個正解，則相遇一次.②當(dāng)時所以t只有一個解，則相遇一次.③當(dāng)時，若，（1）式無解，即不相遇.若，（1）式t只有一個解，即相遇一次.若,（1）式t有兩個正解，即相遇兩次.解法二：利用v-t圖象求解.當(dāng)時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如圖1中的Ⅰ和Ⅱ，其中劃斜線部分的面積表示t時間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為S，則t時刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次.圖1當(dāng)時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如圖2中的Ⅰ和Ⅱ，討論方法同①，所以兩車也只能相遇一次.圖2當(dāng)時，甲、乙兩車的運動圖線分別為如圖3中的Ⅰ和Ⅱ，其中劃實斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移.若劃實斜線部分的面積小于S，說明甲車追不上乙車，則不能相遇；若劃實斜線部分的面積等于S，說明甲車剛追上乙車又被反超.則相遇一次；若劃實斜線部分的面積大于S.如圖中0～t1內(nèi)劃實斜線部分的面積為S，說明t1時刻甲車追上乙車，以后在t1～t時間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為t1～t時間內(nèi)劃實斜線部分的面積，隨后在t～t2時間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積，如果兩者相等，則t2時刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次.圖3模型三：勻加速直線運動物體追做勻減速直線運動的物體例3：甲、乙兩車同時同地同向出發(fā)，在同一水平公路上做直線運動，甲以初速度，加速度做減速運動，乙以初速度，加速度做勻加速運動．求：(1)兩車再次相遇前二者間的最大距離；(2)兩車再次相遇所需時間．分析：兩車同時同地同向出發(fā)。因為，盡管甲作勻減速運動，乙作勻加速運動，在開始的一段時間內(nèi)甲的速度大于乙的速度，兩者間的距離越來越大，當(dāng)甲減速，乙加速到二者速度相等時，二者間距離達到最大，此后，乙的速度大于甲的速度，二者間距離減小，當(dāng)兩者的位移相等時再次相遇．解法一：(1)設(shè)速度相等時運動時間為,相距最遠的條件是即最遠距離(2)設(shè)再次相遇運動時間為，相遇條件是即代人數(shù)據(jù)整理后得則即是出發(fā)時刻，舍之）解法二：用求二次函數(shù)的極值法解．兩車間的距離（1），當(dāng)時，有最大值，故最遠距離(2)當(dāng)時，兩車再次相遇，即解得（舍去）二分析追及和相遇問題時需要注意的問題1.一定要抓住一個條件兩個關(guān)系（1）一個條件：是兩個物體速度相等時滿足的臨界條件，如兩個物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。（2）兩個關(guān)系：是指時間關(guān)系和位移關(guān)系時間關(guān)系：指兩物體是同時運動還是一前一后。位移關(guān)系：指兩物體是同地運動還是一前一后，通過畫運動示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2.若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意，追上前該物體是否停止運動。3.仔細審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字