整式與因式分解(學(xué)案)

PAGE8中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解學(xué)習(xí)目標(biāo)：整式部分主要考查冪的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn)中進(jìn)行考查.學(xué)習(xí)策略：加強(qiáng)對(duì)整式中眾多概念的理解和掌握；熟練掌握因式分解的一般方法.二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”．科學(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽講更有目的性和針對(duì)性．我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記．知識(shí)回顧——知識(shí)回顧——復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，看看你的知識(shí)貯備過關(guān)了嗎？1.和統(tǒng)稱為有理數(shù).2．如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，它們互為；0有一個(gè)平方根，它是；負(fù)數(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．3.把一個(gè)數(shù)用（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫．考點(diǎn)一、整式

1.單項(xiàng)式

數(shù)與字母的的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母來說只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算．在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)(分母)只能是一個(gè)具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù)．單獨(dú)一個(gè)或一個(gè)也是單項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中_____________________．2.多項(xiàng)式

幾個(gè)單項(xiàng)式的叫做多項(xiàng)式．也就是說，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的．要點(diǎn)詮釋：（1）在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．（2）多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．（3）多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為n次m項(xiàng)式．（4）把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母________排列．另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母__________排列．3.整式

和統(tǒng)稱整式．

4.同類項(xiàng)

所含字母，并且相同字母的也分別相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．

5.整式的加減

整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法則與合并同類項(xiàng)法則的綜合運(yùn)用．

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的，且字母部分不變.

如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反.

整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).

6.整式的乘除

①冪的運(yùn)算性質(zhì)：

②單項(xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．

③單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．用式子表達(dá)：

④多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．用式子表達(dá)：

平方差公式：完全平方公式：

在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都符號(hào)；如果括號(hào)前面是號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).

⑤單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．

⑥多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．

要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（4）公式的推廣：(為正整數(shù)).考點(diǎn)二、因式分解1.因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．

2.因式分解常用的方法（1）法：（2）法：平方差公式：；完全平方公式：（3）法：3.因式分解的一般步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否或十字相乘法；（3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；（2）最終把多項(xiàng)式化成_________形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到每個(gè)因式都______________為止．（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.類型一、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算 例1．若3xm+5y2與x3yn的和是單項(xiàng)式，則nm．【思路點(diǎn)撥】本題考查同類項(xiàng)定義結(jié)合求解二元一次方程組，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算.兩個(gè)單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式，說明這兩個(gè)單項(xiàng)式是同類項(xiàng)能合并.【總結(jié)升華】_________________________________________________________________舉一反三：【變式】若單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，則的值是()A、-3B、-1C、D、3例2．下列各式中正確的是()

A.B.a2·a3=a6C.(-3a2)3=-9a6D.a5+a3=a8

【思路點(diǎn)撥】?jī)绲倪\(yùn)算性質(zhì)：

【總結(jié)升華】_________________________________________________________________舉一反三：【變式1】下列運(yùn)算正確的是()A．

B．

C．

D．【變式2】下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的個(gè)數(shù)是()．(1)a4·a3＝a12；(2)a6÷a3＝a2；(3)a5＋a5＝a10；(4)(a3)2＝a9；(5)(－ab2)2＝ab4；(6)A．無B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)例3．利用乘法公式計(jì)算：

(1)(a+b+c)2(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【思路點(diǎn)撥】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，將a+b看成一項(xiàng)；(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)兩個(gè)多項(xiàng)式中，每一項(xiàng)都只有符號(hào)的區(qū)別，所以，我們考慮用平方差公式，將符號(hào)相同的看作公式中的a，將符號(hào)相反的項(xiàng)看成公式中的b.【總結(jié)升華】_________________________________________________________________舉一反三：【變式】如果a2+ma+9是一個(gè)完全平方式，那么m=______.類型二、因式分解例4．因式分解：①3a3-6a2+12a；②(a+b)2-1；③x2-12x+36；④(a2+b2)2-4a2b2

【思路點(diǎn)撥】（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；（3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法.【總結(jié)升華】_________________________________________________________________舉一反三：【變式】把下列各式分解因式：(1)6(a－b)2＋8a(b－a)；(2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4.例5．若能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）

A.1

B.-1

C.

D.2【思路點(diǎn)撥】對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法.【總結(jié)升華】_________________________________________________________________舉一反三：【變式】因式分解：_______________.類型三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用例6．已知a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng),