吉林省白城市洮北區(qū)第一中學2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題理含解析

PAGE17-吉林省白城市洮北區(qū)第一中學2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中試題理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。）1.拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即,,焦點在軸負半軸上，所以焦點坐標為.故選C.2.下列命題中為真命題的是()A.命題“若，則”的逆命題B.命題“，則”的否命題C.命題“若，則”的否命題D.命題“若，則”的逆否命題【答案】A【解析】命題“若,則”的逆命題為“若,則”，所以為真命題；命題“若,則”的否命題為“若,則”，因為-2,但，所以為假命題；命題“若,則”的否命題為“若,則”，因為當時，所以為假命題；命題“若,則”為假命題，所以其逆否命題為假命題，因此選A3.已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于（）A.3 B.6 C.－9 D.9【答案】C【解析】【分析】由題意可得，可得，即可得出．【詳解】由題意可得，，解得．故選：．【點睛】本題考查了線面位置關(guān)系、方程思想方法，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題．4.已知，那么命題的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解:p：x2－x<0的充要條件為0<x<1,則比該集合大的集合都是符合題意的，所以選擇B5.過點與拋物線只有一個公共點的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.多數(shù)條【答案】B【解析】因為點在拋物線外面，與拋物線只有一個交點的直線有2條切線，1條和對稱軸平行，故3條。6.若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：因為雙曲線一個焦點到一條漸近線的距離為所以因此因為雙曲線的漸近線方程為所以該雙曲線的漸近線方程是.考點：雙曲線的漸近線方程7.過點P(2,2)作拋物線的弦AB,恰好被P平分，則弦AB所在的直線方程是（）A.x-y=0 B.2x-y-2=0 C.x+y-4=0 D.x+2y-6=0【答案】A【解析】【分析】先設出直線方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程整理可得，的橫坐標與直線的斜率之間的關(guān)系式，結(jié)合弦恰好是以為中點，以及中點坐標公式即可求出直線的斜率，進而求出直線方程．【詳解】由題得直線存在斜率，設，，，，弦所在直線方程為：，即，聯(lián)立，消去整理得．不滿意題意，當時，由題得且，弦恰好是以為中點，．解得．滿意所以直線方程為，故選：．【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵在于利用中點坐標公式以及韋達定理得到關(guān)于直線的斜率的等式，是中檔題．8.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E為BB′的中點，異面直線CE與所成角的余弦值是（）A. B. C.- D.【答案】D【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】直三棱柱中，，，為的中點．以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設，則，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，設異面直線與所成角為，則．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題．9.已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.(1,2), C. D.【答案】A【解析】【分析】若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的肯定值小于等于漸近線的斜率．依據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的肯定值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用，解題時要留意挖掘隱含條件．10.在橢圓上有一點P，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點，△F1PF2為直角三角形，這樣的點P有（）A.2個 B.4個 C.6個 D.8個【答案】C【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)可知：橢圓的上下頂點對、張開的角最大，可得．當軸或軸時，也滿意題意．即可得出．【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知：橢圓的上下頂點對、張開的角最大，，，，此時．這樣的點P有兩個；當軸或軸時，也滿意題意．這樣的點P有4個；因此△為直角三角形，則這樣的點有6個．故選：C．【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直角三角形，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．11.設F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P在雙曲線上，當△F1PF2的面積為時，的值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】求得雙曲線的焦點坐標，利用△的面積為，確定的坐標，運用兩點的距離公式，即可求得結(jié)論．【詳解】雙曲線的兩個焦點坐標為，設的坐標為，則△的面積為，，，代入雙曲線方程解得，不妨取，，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查兩點的距離公式，確定的坐標是關(guān)鍵，是中檔題．12.橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C交于A，B兩點，F(xiàn)1A與y軸相交于點D，若BD⊥F1A，則橢圓C的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，的坐標，且知點為的中點，再由，利用斜率之積等于列式求解．【詳解】由題意可得，，，則點為的中點，，由，得，即，整理得，，∴解得．故選：．【點睛】本題考查橢圓的簡潔幾何性質(zhì)，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知點是拋物線上的一個動點，則到點的距離與到該拋物線準線的距離之和的最小值為__________．【答案】.【解析】分析：先求出拋物線的焦點坐標，再由拋物線的定義可得，再求出的值即可.詳解：依題設P在拋物線準線的投影為，拋物線的焦點為F，則，依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為，則點P到點的距離與P到該拋物線準線的距離之和，.故答案為：.點睛：本題主要考查拋物線的定義解題，考查了拋物線的應用，考查了學生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.14.命題“?x0∈R,”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題得“x0∈R,”為真命題，依據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解.【詳解】由題得“x0∈R,”為真命題,所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.15.如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷?，即可求解．【詳解】，，，故答案為：．【點睛】本題考查了空間向量的應用，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平．16.已知是拋物線的焦點，過且斜率為的直線交于兩點．設，則的值等于．【答案】【解析】試題分析：F（1,0），設A（x1，y1）B（x2，y2）由整理得3x2-10x+3=0，所以x1=3，x2=，（x1＞x2）∴由拋物線的定義知==，故答案為3?？键c：本題主要考查拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系。點評：中檔題，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，由于曲線方程已確定，所以通過解方程組，得到點的坐標，利用拋物線的定義，得到線段長度得解。三、解答題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.設命題p：實數(shù)x滿意，其中；命題q：實數(shù)x滿意若，且為真，求實數(shù)x的取值范圍．若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】若，分別求出p，q成立的等價條件，利用為真，求實數(shù)x的取值范圍；利用是的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【詳解】由得，其中，得，，則p：，．由解得．即q：．若，則p：，若為真，則p，q同時為真，即，解得，實數(shù)x的取值范圍．若是的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，，即，解得．【點睛】本題主要考查復合命題與簡潔命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價性將是的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵．18.已知雙曲線與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點(46)．(1)求雙曲線方程；(2)若雙曲線的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，試問在雙曲線上是否存在點P，使得|PF1|＝5|PF2|.請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）由題得，解方程組即得雙曲線方程；（2）假設在雙曲線上存在點P，使得|PF1|＝5|PF2|，則點P只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此種狀況不存在.【詳解】(1)橢圓的焦點在x軸上，且，即焦點為(±4,0)，于是可設雙曲線方程為，則有解得a2＝4，b2＝12，故雙曲線方程為.(2)假設在雙曲線上存在點P，使得|PF1|＝5|PF2|，則點P只能在右支上．由于在雙曲線中，由雙曲線定義知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.但當點P在雙曲線右支上時，點P到左焦點F1的距離的最小值應為a＋c＝6，故不行能有|PF1|＝5，即在雙曲線上不存在點P，使得|PF1|＝5|PF2|【點睛】本題主要考查雙曲線的標準方程的求法，考查雙曲線的定義和簡潔幾何性質(zhì)，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.19.已知定點A(a,0)，其中0<a<3，它到橢圓上點的距離的最小值為1，求的值．【答案】2【解析】【分析】設橢圓上任一點為P(x，y)(－3≤x≤3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析解答得解.【詳解】設橢圓上任一點P(x，y)(－3≤x≤3)，則，當時，有.∴當時，，得(舍)，當時，有，當且僅當x＝3時，故a＝2或a＝4(舍)，綜上得a＝2.【點睛】本題主要考查橢圓的簡潔幾何性質(zhì)，考查函數(shù)的最值的求法，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.求證:(1)CM∥平面PAD.(2)平面PAB⊥平面PAD.【答案】見解析【解析】建立空間直角坐標系.(1)可證明與平面PAD法向量垂直;也可將分解為平面PAD內(nèi)的兩個向量的線性組合,利用共面對量定理證明.(2)取AP中點E,利用向量證明BE⊥平面PAD即可.【證明】由題意可知:以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=2,PB=4.∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),∴=(0,-1,2),=(2,3,0),=(,0,).(1)方法一:令n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,則即∴令y=2,得n=(-,2,1).∵n·=-×+2×0+1×=0,∴n⊥.又CM?平面PAD,∴CM∥平面PAD.方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),假設∥平面PAD,則存在x0,y0使=x0+y0,則方程組的解為∴=-+.由共面對量定理知與,共面,故假設成立.又∵CM?平面PAD∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中點E,連接BE,則E(,2,1),=(-,2,1).易知PB=AB,∴BE⊥PA.又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.21.已知動圓恒過點，且與直線：相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）探究在曲線上，是否存在異于原點的兩點，，當時，直線恒過定點？若存在，求出該定點坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）軌跡方程為；（2）直線過定點.【解析】(1)因為動圓M,過點F且與直線相切,所以圓心M到F的距離等于到直線的距離.依據(jù)拋物線的定義可以確定點M的軌跡是拋物線，易求其方程.（II）本小題屬于存在性命題，先假設存在A,B在上,直線AB的方程:,即AB的方程為,然后依據(jù),∴AB的方程為,從而可確定其所過定點.解：(1)因為動圓M,過點F且與直線相切,所以圓心M到F的距離等于到直線的距離.…………2分所以,點M的軌跡是以F為焦點,