湖南省江西省普通高中名校聯(lián)考2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期信息卷壓軸卷一文含解析

PAGE23-湖南省江西省一般中學(xué)名校聯(lián)考2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期信息卷（壓軸卷一）文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的定義域?yàn)锽，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)定義域的求法分別求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得：，即，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，涉及到函數(shù)定義域的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，進(jìn)而可得模長.【詳解】由，可得..故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的概念，屬于基礎(chǔ)題.3.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化，原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°再通過兩角和公式化簡，轉(zhuǎn)化成特殊角得出結(jié)果．【詳解】原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）=.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式應(yīng)用及兩角和與差的余弦公式．要熟記公式是關(guān)鍵．4.《聊齋志異》中有：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)”.在數(shù)學(xué)中，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：則依據(jù)以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則m，n滿意的關(guān)系式為（）A.n=2m-1 B.n=2(m-1) C.n=(m-1)2 D.n=m2-1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不完全歸納法，以及根式中的分子和分母的關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，，則可歸納：，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查不完全歸納法的應(yīng)用，細(xì)致視察，發(fā)覺特點(diǎn)，對選擇題以及填空題，常可采納特殊值以及不完全歸納法解決問題，化繁為簡，屬基礎(chǔ)題.5.某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐全部棱的長度的集合，則（）.A.，且 B.，且C.，且 D.，且【答案】D【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，依據(jù)三視圖的長度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長.【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（）①圍著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④【答案】D【解析】【分析】計(jì)算得到，，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故②④正確，依據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，，，當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí)，重合，故②正確；，，故，函數(shù)關(guān)于對稱，故④正確；依據(jù)圖像知：①③不正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)圖像推斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)學(xué)問和圖像的綜合應(yīng)用.7.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)在上，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】探討雙曲線的焦點(diǎn)軸，設(shè)出方程，依據(jù)條件列出方程組求解即可.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)雙曲線的方程為：.依據(jù)題意可得：，解得，所以.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，設(shè)雙曲線的方程為：.依據(jù)題意可得：，方程無解.綜上的方程為.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線方程的求解，留意題中沒有交代焦點(diǎn)軸時(shí)，解題時(shí)須要分狀況探討，屬于中檔題.8.在如圖所示的程序框圖中，若輸出的值是，則輸入x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，直到時(shí)知，由此得到且，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，輸入，，記此后第次被賦值的結(jié)果為，則，，不滿意，循環(huán)；，，不滿意，循環(huán)；，，不滿意，循環(huán)；，，滿意，輸出，此時(shí)，解得：，輸入的的取值范圍為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)程序框圖輸出結(jié)果計(jì)算輸入值的問題，關(guān)鍵是能夠依據(jù)推斷框的條件確定輸入值所滿意的不等關(guān)系.9.已知向量滿意，且，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)可知，利用數(shù)形結(jié)合的方式可確定所求夾角的正切值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由知：以為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，以為鄰邊的平行四邊形為矩形，即，如下圖所示：設(shè)向量與的夾角為，又，向量與的夾角為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面對量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠依據(jù)已知中的模長相等的關(guān)系確定兩向量相互垂直，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視向量的方向，造成夾角推斷錯(cuò)誤.10.如圖，點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，則（）A.在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中，存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值【答案】C【解析】【分析】采納逐一驗(yàn)證法，依據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗(yàn)分析實(shí)力以及邏輯推理實(shí)力，嫻熟線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.11.設(shè)銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則b的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由銳角三角形的性質(zhì)，先求出的范圍，結(jié)合正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：在銳角三角形中，，即，且，則，即，綜上，則，因?yàn)?，，所以由正弦定理得，得，因?yàn)?，所以，所以，所以b的取值范圍為故選：C【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)以及正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，，當(dāng)，且時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】分別推斷兩個(gè)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進(jìn)而做出二者的圖象，依據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得出答案.【詳解】由題意，函數(shù)，在上是奇函數(shù)，且是反比例函數(shù)，又，所以在上是奇函數(shù).又，所以時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.作出的圖象，如下圖所示，，，，，則與的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)；，，，則與的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)；，，，則與的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)；，，，則與的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn).故與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)對稱性可知，二者圖象在上4個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)，且時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)是8.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.13.若函數(shù)且，，則____________.【答案】1【解析】【分析】首先依據(jù)兩個(gè)函數(shù)值求，再求和.【詳解】依據(jù)條件可知，解得：，即，，故填：1.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，意在考查基本的計(jì)算實(shí)力，屬于簡潔題型.14.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)，則直線與圓有公共點(diǎn)的概率為________.【答案】【解析】將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)得種結(jié)果，由直線與圓有公共點(diǎn)可得，故滿意的結(jié)果有種，由古典概型的計(jì)算公式可得：直線與圓有公共點(diǎn)的概率為，應(yīng)填答案．15.圓錐底面半徑為1，高為，點(diǎn)P是底面圓周上一點(diǎn)，則一動點(diǎn)從點(diǎn)P動身，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是___．【答案】【解析】【分析】把圓錐側(cè)面綻開成一個(gè)扇形，則對應(yīng)的弧長是底面的周長，對應(yīng)的弦是最短距離，即CP的長是螞蟻爬行的最短路程，求出CD長，依據(jù)垂徑定理求出PC=2CD，即可得出答案．【詳解】把圓錐側(cè)面綻開成一個(gè)扇形，則對應(yīng)的弧長是底面的周長，對應(yīng)的弦是最短距離，即CP的長是螞蟻爬行的最短路程，過A作AD⊥PC于D，弧PC的長是2π?1=2π，則側(cè)面綻開圖的圓心角是，∴∠DAC=，∵AC=3，∴，所以.即螞蟻爬行的最短路程是.故答案為.【點(diǎn)睛】考查了平面綻開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，圓錐的側(cè)面綻開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面綻開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．16.在黨中心的正確指導(dǎo)下，通過全國人民的同心協(xié)力，特殊是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了限制.下圖是國家衛(wèi)健委給出的全國疫情通報(bào)，甲、乙兩個(gè)省份從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)的折線圖如下：

依據(jù)圖中甲、乙兩省的數(shù)字特征進(jìn)行比對，通過比較把你得到最重要的兩個(gè)結(jié)論寫在答案紙指定的空白處.①_________________________________________________.②_________________________________________________.【答案】(1).甲省比乙省的新增人數(shù)的平均數(shù)低(2).甲省比乙省的方差要大【解析】【分析】干脆依據(jù)折線圖得到答案【詳解】依據(jù)折線圖知：①甲省比乙省的新增人數(shù)的平均數(shù)低；②甲省比乙省的方差要大.故答案為：甲省比乙省的新增人數(shù)的平均數(shù)低；甲省比乙省的方差要大.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并推斷，，是否成等差數(shù)列？【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】試題分析：（1）依據(jù)條件構(gòu)造等比數(shù)列：，再依據(jù)等比數(shù)列定義賜予證明，（2）先依據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，即得的通項(xiàng)公式，再依據(jù)分組求和法得，最終推斷是否成立.試題解析：證明：∵，，∴，∴，∴，，∴是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，，∴，∴，∴，∴，即，，成等差數(shù)列.18.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了肯定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求的值；（2）求地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)以及中位數(shù)；（3）不經(jīng)過計(jì)算，干脆給出地區(qū)200家實(shí)體店經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)與6000的大小關(guān)系.【答案】（1）；（2）眾數(shù)為3000，中位數(shù)為；（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算眾數(shù)和中位數(shù)得到答案.（3）干脆依據(jù)概率分布直方圖得到答案.【詳解】（1）依題意，，解得.（2）由圖可知，地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)為3000，第一塊小矩形面積，其次塊小矩形的面積，故所求中位數(shù)在之間，所求中位數(shù)為.（3）干脆依據(jù)概率分布直方圖得到：.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解實(shí)力以及必定與或然思想.19.如圖，在多面體中，底面是正方形，梯形底面，且．（Ⅰ）證明平面平面；（Ⅱ）平面將多面體分成兩部分，求兩部分的體積比．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，可得，，即可得平面，從而證明平面平面；（Ⅱ）作于，過作于，作，．利用多面體的體積，求得多面體的體積，進(jìn)而求得，得到答案．【詳解】（Ⅰ）由題意，多面體的底面是正方形，可得，又由梯形底面，梯形底面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樘菪沃校?，取的中點(diǎn)，連接，所以，所以，又因?yàn)椋云矫?，又由平面，所以平面平面．（Ⅱ）如圖所示，作于，過作于，作，．∵梯形底面，且．∴面，面，在中，由可得，令，則，，多面體的體積為：．由（1）及對稱性可得平面，∵，，∴到面的距離等于到面的距離的一半，即到面的距離等于，故．∴平面將多面體分成兩部分，兩部分的體積比為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記空間幾何體的線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用幾何體的體積公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力．20.已知橢圓的短軸長為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線平行于直線，且與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若為鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由短軸長為，離心率為，可求出橢圓中的值，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線平行于直線，可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得到關(guān)于的一元二次方程，由，可求得，再結(jié)合為鈍角，可得，且，將該式綻開，并結(jié)合韋達(dá)定理，可求出，進(jìn)而可求出的取值范圍，再結(jié)合直線在軸上的截距，可求出的取值范圍．【詳解】（1）由題意可得，所以，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由于直線平行于直線，即，設(shè)直線在軸上的截距為，所以方程為．聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以，解得．設(shè)，，則，．因?yàn)闉殁g角等價(jià)于，且，所以，即，且，所以直線在軸上的截距的取值范圍：．因?yàn)橹本€在軸上的截距，所以的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（Ⅰ）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）令，若對隨意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù).【答案】（1）見解析（2）7【解析】【分析】（1）探討和兩種狀況；（2）由成立轉(zhuǎn)化，分別k,構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）此函數(shù)的定義域?yàn)?，?）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，則只需恒成立，則，令則只需則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即的最大整數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，求最值，考查雙變元