畫法幾何與陰影透視例題精講與解題方法

點、直線、平面的投影直線的投影直角三角形法求線段實長及傾角直線上的點兩直線的相對位置關(guān)系8/23/20241土建2004-1~2WHVZAa′a〞axayazaXYVHWXYHYWOaxazayhaywZa′aa〞XYHYWOaxazayhZaywa′aa〞1．1點的直角坐標(biāo)和投影規(guī)律Ａa′=aax=a〞az=oyAa=a′ax=a〞ay=ozAa〞=a′az=aay=ox1．點到投影面的距離等于相鄰?fù)队暗耐队暗较鄬?yīng)的投影軸上的距離。a′a⊥oxa′a〞⊥ozaax=a〞az=oy2．點的投影連線垂直于所對應(yīng)的軸線。8/23/20242土建2004-1~2根據(jù)兩點相對于投影面的距離(坐標(biāo))不同，即可確定兩點的相對位置。圖中A點的橫標(biāo)小于B點的橫標(biāo)，點A在點B的右方。同樣，可以判斷點A在點B上方；點A在點B前方(規(guī)定距V面遠(yuǎn)為前，距V面近為后)。

1.2兩點的相對位置和重影點1.3.1兩點的相對位置8/23/20243土建2004-1~2

例8：已知點A在點B之前5，之上9，之右8，求點A的投影。a

a

a9858/23/20244土建2004-1~2直線的投影兩點決定一條直線。分別將兩點的同名（同面）投影用直線連接，就得到直線的投影。ZXOYHYWa’aa”b’bb”直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d)直線對投影面的傾角：對水平投影面的傾角——

對正立投影面的傾角——

對側(cè)立投影面的傾角——

8/23/20245土建2004-1~2直線在三投影面體系中分為：各種位置直線的投影特性投影面平行線一般位置直線特殊位置直線水平線正平線側(cè)平線投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線平行于某一投影面，且傾斜于另兩個投影面垂直于某一投影面與三個投影面都傾斜8/23/20246土建2004-1~2水平線側(cè)平線投影面平行線投影面平行線的投影特性：1、在其所平行的投影面上的投影，反映直線段的實長。該投影與投影軸的夾角，反映該直線與其它兩投影面的傾角；2、在其它兩投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。Xa

b

a

b

baOzYHYW

XZa

b

b

baOYHYW

8/23/20247土建2004-1~2正垂線側(cè)垂線投影面垂直線垂直線的投影特性：1、在其所垂直的投影面上的投影，積聚為一點；2、在其它兩個投影面上的投影，反映實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。8/23/20248土建2004-1~2投影特性：三個投影都是縮短了的傾斜線段,都不反映空間線段的實長及與三個投影面的傾角。與三個投影面都傾斜的直線。一般位置直線（投影面傾斜線）各種位置直線的投影特性abb

a

b

a

OXYHYWZ8/23/20249土建2004-1~2例3:

過點A向右上方作一正平線AB,使其實長為2，與H面的傾角

=30°。25b’30°b”O(jiān)XZYHYWa’aa”b解題思路：熟悉正平線的投影特性，并從反映實長和的投影入手。作圖要點:１．做正平線的正面投影；２．過點a做正平線的水平投影和側(cè)面投影。8/23/202410土建2004-1~2

|zA-zB

|AB

|zA-zB|

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab直角三角形法求線段實長及線段與投影面的傾角求直線AB的實長及其對

水平投影面的傾角

角。8/23/202411土建2004-1~2即：直角三角形的組成:斜邊－實長直角邊1－投影,直角邊2－坐標(biāo)差,

投影與實長的夾角－傾角。直角三角形法求線段實長

及線段與投影面的傾角8/23/202412土建2004-1~2例5：已知直線的一個投影a’b’及實長，求直線的投影ab。XOa’b’aB0解題思路及步驟——1.根據(jù)直角三角形的組成，利用a’b’及實長作直角三角形；2.求出Y坐標(biāo)差；3.利用Y坐標(biāo)差求ab投影。bAB實長思考：若將已知條件實長換成

=30°，則如何解題？8/23/202413土建2004-1~2直線上的點ABCVHbcc

b

a

a從屬性：若點在直線上，則點的投影必在直線的同面投影上，且符合點的投影規(guī)律。反之，亦然。定比性：若點在直線上，則點的投影分割線段的同面投影之比與空間點分割線段之比相等。反之，亦然。即AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

=a

c

:c

b

，利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。直線上點的投影特性——8/23/202414土建2004-1~2例6：判斷點C是否在線段AB上。點C不在直線AB上點C在直線AB上abca’b

c

①c

②abca’b’●●OXOX8/23/202415土建2004-1~2例7：判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。方法二：應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●方法一：作出第三投影因ak/kb不等于a’k’/k’b’，故點K不在AB上。OXYHYWZ8/23/202416土建2004-1~2cc

例8已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點C的投影c、c

。O8/23/202417土建2004-1~2空間兩直線的相對位置關(guān)系分為四種：平行、相交、交叉、垂直。⒈兩直線平行投影特性（判別方法）：aVHc

bcdABCDb

d

a

兩直線的相對位置

1．若空間兩直線相互平行，則其各同面投影必相互平行；反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。

2．平行兩線段之比等于其投影之比。8/23/202418土建2004-1~2例9：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

OX8/23/202419土建2004-1~2HVABCDKabcdka

b

c

k

d

⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其各同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律；反之，亦然。兩直線的相對位置交點是兩直線的共有點投影特性（判別方法）：abcdb

a

c

d

kk

OX8/23/202420土建2004-1~23.兩直線交叉：凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。兩直線的相對位置1

(2

)3(4)投影特性（判別方法）

：★同面投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。也可能有兩對同面投影平行，但第三對決不會平行?！铩敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？兩直線相交嗎？d

b

a

abcdc

12●●3

4

●●●●OX8/23/202421土建2004-1~2例10：過直線CD外一點A，作正平線AB與CD相交。a'ac'

d'cdb’bc1b1XO8/23/202422土建2004-1~2例12判斷圖中兩條直線的空間位置。對于特殊位置直線，只有兩個特殊投影互相平行，空間直線不一定平行，必須在直線所平行的投影面內(nèi)進(jìn)行判斷。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

還可以如何判斷？XZOYHYW8/23/202423土建2004-1~2例14：求作水平線L，使其距H面的距離為15，且與直線AB、CD都相交。a'b'abc'd'dc15l’lXO8/23/202424土建2004-1~2例8已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影，使BC的實長等于已知長度L。cLABzB-zAc

ab8/23/202425土建2004-1~2一、用幾何元素表示平面

用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。二、平面的跡線表示法

平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。1.4.1平面的表示法8/23/202426土建2004-1~2●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個點●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形一、用幾何元素表示平面8/23/202427土建2004-1~2平行垂直傾斜實形性類似性積聚性一、平面對一個投影面的投影特性§2.4.2平面對投影面的相對位置8/23/202428土建2004-1~2二、各種位置平面的投影特性（一）、投影面的垂直面1．鉛垂面2．正垂面3．側(cè)垂面（二）、投影面的平行面1．水平面2．正平面3．側(cè)平面（三）、一般位置平面8/23/202429土建2004-1~2PPH1．鉛垂面投影特性(1)abc積聚為一條線

(2)

a

b

c

、

a

b

c

為

ABC的類似形

(3)abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實大小ABCacba'b'a"b"ba

b"cc"c'8/23/202430土建2004-1~2abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面投影面垂直面的投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？小結(jié)：8/23/202431土建2004-1~21．水平面投影特性：

(1)a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

(2)水平投影

abc反映

BC實形CABa"b"c'baca'b'c"ca

b'b"baa"c

c"PvPw8/23/202432土建2004-1~2三、一般位置平面投影特性

(1)

abc

、

a

b

c

、

a

b

c

均為

ABC的類似形

(2)不反映

、

、

的真實角度a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC8/23/202433土建2004-1~2§1.4.3平面上的直線和點一、平面上取任意直線二、平面上取點三、屬于特殊位置平面的點和直線在平面上取點、直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：1、判別已知點、線是否屬于已知平面；2、完成已知平面上的點和直線的投影；3、完成多邊形的投影。8/23/202434土建2004-1~21．取屬于平面的直線

取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。EDFd'de'eff'8/23/202435土建2004-1~22．取屬于平面的點

取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線EDd'de'e8/23/202436土建2004-1~2[例題1]

已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。d'dee'不屬于平面8/23/202437土建2004-1~2bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc[例題3]

：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二8/23/202438土建2004-1~2做平面四邊形ABCD的投影。其中AD//BCb’C’d’a‘a(chǎn)b8/23/202439土建2004-1~2三、屬于特殊位置平面的點和直線

1．取屬于投影面垂直面的點和直線

2．過一般位置直線總可作投影面的垂直面

跡線表示法

3.屬于平面的投影面平行線

8/23/202440土建2004-1~2abb

a

Sb

a

abAB2．過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線AB作鉛垂面PH過一般位置直線AB作正垂面SVPPHSVAB8/23/202441土建2004-1~2過一般位置直線作投影面的垂直面

(跡線表示法)b"a"SVQWPH8/23/202442土建2004-1~23.屬于平面的投影面平行線屬于平面的水平線和正平線

例題48/23/202443土建2004-1~2[例題4]

已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。m

n'nm8/23/202444土建2004-1~2【基本作圖五】一般線與一般面相交m′n′QV解題步驟：1、過EF作正垂面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線MN。3、求交線MN與EF的交點K。4、可見性判別f′e′efba′acb′c′mnFECABQMNKk′k8/23/202445土建2004-1~2HVa′b′c′ceaABbCFEf′fk′Kke′可見性判別方法ⅠⅡ1′

(2′)判別可見性的原理是利用重影點。ⅢⅣ3(4)8/23/202446土建2004-1~2利用重影點判別可見性f′e′efba′acb′c′kk′12

1′2′4′3′43()()8/23/202447土建2004-1~2貫穿點——直線與立體相交，表面的交點。作圖要點：

利用棱柱棱面及底面的積聚性，求特殊位置平面與直線的交點。注意：穿入立體內(nèi)的直線不畫出。例1：求直線與棱柱的貫穿點。解題思路：將求貫穿點轉(zhuǎn)化成求直線與平面的交點。a'ab'b12341'4'2'3'k'kmm'8/23/202448土建2004-1~2作圖要點：1、求過直線的截平面與棱錐的截交線；2、求截交線與直線的交點。3、判別直線的可見性。用過直線的平面截棱錐，求截交線及其與直線的交點。1bsa2a'1'2'3b'3's'm'k'mk例5：求直線與棱錐的貫穿點8/23/202449土建2004-1~2VHAa

a

axX

⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點的兩個投影：a，a

A點的兩個投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1

VHXP1HX1a

aa1

axax1.8/23/202450土建2004-1~2ax1

VHXP1HX1a

aa1VHA

a

axXX1P1a1ax1

⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1

a1ax1=a

ax

點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa

一般規(guī)律：

點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.8/23/202451土建2004-1~2

XVHaa

ax更換H面⑶求新投影的作圖方法

VHXV1HX1aa

X1H1V

a1axax1ax1更換V面●a1

..

作圖規(guī)律:由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離(舊投影到舊投影軸的距離等于新投影到新投影軸的距離)。(舊投影)(舊投影)(新投影)(新投影)(舊投影軸)(舊投影軸)(新投影軸)(新投影軸)8/23/202452土建2004-1~2VHABa

b

ab四、換面法的六個基本問題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實長及與H面的夾角。a

b

abXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。

.8/23/202453土建2004-1~22將投影面的平行線變換為投影面的垂直線功用:一次換面后可用于求點與直線,兩直線間的距離等。問題的關(guān)鍵：新軸要垂直于反映實長的那個投影。X1VHXABa'b'abH1a1'b1'

X1H1Va1b1XVHaba'b'一般位置直線變換為垂直線8/23/202454土建2004-1~2a1●b1●VHa

aXBb

bA3.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：a

b

abXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？

a2b2ax2a2b2

.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；8/23/202455土建2004-1~2αa

b

c

acbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。d

d★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●反映平面對哪個投影面的夾角？.8/23/202456土建2004-1~2

(2)棱柱表面上取點a

a(a

)(b

)bb

57(1)棱錐的投影s

Basa’c’b’cs

bCASb”(c”)a”8/23/202458土建2004-1~2s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

1

11

r

r(2)棱錐表面上取點2

2

28/23/202459土建2004-1~2平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截交線截交線的概念6.4.1平面立體的截交線8/23/202460土建2004-1~2平面截切體的畫圖⒈求截交線的兩種方法：★求各棱線與截平面的交點→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。⒉求截交線的步驟：☆截平面與體的相對位置☆截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性確定截交線的形狀★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。8/23/202461土建2004-1~21’2’3’(4’)1”3”4”1243

例2求做立體被截切后的投影8/23/202462土建2004-1~2例3：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似