七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第一章第05講 整式的乘法(10類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第05講整式的乘法(10類熱點(diǎn)題型講練)1．復(fù)習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)，探究并掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則；2．能夠熟練運(yùn)用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算并解決實(shí)際問題；3．能根據(jù)乘法分配律和單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則探究單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；4．理解多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，能夠按多項(xiàng)式乘法步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單的乘法運(yùn)算；5．掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)01單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值.這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)02單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序.知識(shí)點(diǎn)03多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積；②多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項(xiàng)；③對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，其二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積.即(x+a)(x+b)=x2+（a+b)x+ab對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.題型01計(jì)算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式【例題】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算法則直接計(jì)算即可；（2）先根據(jù)冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算，再利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算法則計(jì)算即可；（3）先計(jì)算冪的乘方與單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、冪的乘方、積的乘方、合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則計(jì)算；（2）先算乘方，再算乘法．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則等知識(shí)點(diǎn)．掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則及整式的運(yùn)算順序是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，然后計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可；（3）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，然后計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可；（4）利用整體法及單項(xiàng)式的乘法計(jì)算即可．【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．【點(diǎn)睛】題目主要考查單項(xiàng)式的乘法及積的乘方運(yùn)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型02利用單項(xiàng)式乘法求字母或代數(shù)式的值【例題】若，則的值為．【答案】4【詳解】解：∵，∴，∴①，②．∴，得．故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．若單項(xiàng)式與的積為，則．【答案】-2【詳解】由題意，得，，則．故答案為：-2．2．若5am+1b2與3an+2bn的積是15a8b4，則nm＝．【答案】8【詳解】解：，∴m+n+3=8，2+n=4;解得：m=3,n=2，，故答案為8．題型03計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值【例題】（2023上·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校?）計(jì)算：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；【分析】本題考查整式的乘法，化簡(jiǎn)求解．（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)整式的乘法，合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，再代入求值．【詳解】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，原式．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)，【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：熟練掌握“單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加”．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；②用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)時(shí)，不能漏乘；③注意確定積的符號(hào)．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：；（4）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式及多項(xiàng)式，然后合并同類項(xiàng)計(jì)算即可；（3）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，然后計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式即可；（4）先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）．【點(diǎn)睛】題目主要考查單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式及多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)等的運(yùn)算法則，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型04計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【例題】（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算；（2）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．2．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)即可；（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)即可；（4）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則．題型05(x+p)(x+q)型多項(xiàng)式乘法【例題】（2023上·福建福州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若，則．【答案】30【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，利用等式的恒等性求出、是解題關(guān)鍵．先去括號(hào)，再根據(jù)等式的恒等性求出、的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，；故答案為：30．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州市第五十六中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，先把展開，合并同類項(xiàng)，得，結(jié)合完全平方公式，列式化簡(jiǎn)求值，即可作答．【詳解】解：∵∴，即，那么，即，∴的值為，故答案為：．2．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)校考期中）如果，則，．【答案】【分析】把已知等式中的右邊，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開，合并，再利用等式的性質(zhì)可得，，求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，解得，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．解題的關(guān)鍵是靈活掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則．題型06已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值【例題】（2023下·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┣笾?，若的積中不含的一次項(xiàng)與的二次項(xiàng)，(1)求的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則，將原式化簡(jiǎn)，再根據(jù)原式的積中不含的一次項(xiàng)與的二次項(xiàng)，得出，即可求解；（2）把p和q的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，∵原式不含的一次項(xiàng)與的二次項(xiàng)，∴，解得：．（2）解：當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江西吉安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的展開式中不含項(xiàng)和項(xiàng)，求：(1)，的值；(2)的值?！敬鸢浮?1)，(2)243【分析】（1）原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，由結(jié)果不含和項(xiàng)，列方程求出與的值即可，（2）把與的值代入求值．【詳解】（1）展開式中不含和項(xiàng)且解得，．（2）把，代入原式【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的項(xiàng)的定義，能得出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖北·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）已知關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項(xiàng)式與的積．【答案】(1)系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；(2)【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．（1）先計(jì)算，得，再根據(jù)關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4，得到關(guān)于與的方程，解方程即可得到答案；（2）把與的值代入，計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，關(guān)于的一次二項(xiàng)式與的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4，，解得：，系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；（2）解：由（1）得：系數(shù)的值為，系數(shù)的值為，二項(xiàng)式與的積為：．題型07多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式——化簡(jiǎn)求值【例題】（2023上·陜西延安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算?化簡(jiǎn)求值．原式利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┗?jiǎn)求值：，其中．【答案】，14【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，然后把字母的值代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式—化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解此題的關(guān)鍵．2．（2023上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型08單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【例題】（2023上·重慶巴南·七年級(jí)校聯(lián)考期中）三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別置于相同的長(zhǎng)方形中，它們既不重疊也無(wú)空隙．已知正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為．(1)用代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積，并計(jì)算當(dāng)，，時(shí)陰影部分的面積．(2)記圖1中陰影部分周長(zhǎng)為，圖2陰影部分周長(zhǎng)之和為，判斷的值是否與正方形A、B、C的邊長(zhǎng)有關(guān)，若有關(guān)請(qǐng)說(shuō)明理由，若無(wú)關(guān)，求出的值．【答案】(1)(2)的值與三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)，值為0【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．（1）用長(zhǎng)方形的面積減去3個(gè)正方形的面積即可；（2）分別求出m，n的值相減即可．【詳解】（1）由題意知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為長(zhǎng)方形的面積所以圖1中陰影部分的面積當(dāng)，，時(shí)，陰影部分的面積（2）圖1中陰影部分的周長(zhǎng)圖2中陰影部分的周長(zhǎng)即的值與三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)，值為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長(zhǎng)方形空地，一塊長(zhǎng)為，寬為；另一塊長(zhǎng)為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計(jì)劃在中間邊長(zhǎng)為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計(jì)劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價(jià)格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？【答案】(1)計(jì)劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應(yīng)投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，弄清楚題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）計(jì)劃種植草坪的面積等于2個(gè)矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價(jià)格為30元/，應(yīng)投入的資金元．2．（2023上·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)被分隔成，，，，，共個(gè)區(qū)，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形．

(1)列式表示每個(gè)區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn)；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn)；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積．【答案】(1)右上方區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：，左下角區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：(2)整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)為：(3)整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算與圖形周長(zhǎng)、面積的計(jì)算，掌握整式的混合運(yùn)算，代入求值是解題的關(guān)鍵．（1）區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，圖形結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法，整式的加減運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；（3）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積的計(jì)算方法列式，代入，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形，∴區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為：，寬為：，∴右上方區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：，左下角區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：．（2）解：由（1）可知，區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為：，寬為，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長(zhǎng)為：，寬為：，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)為：．（3）解：整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的長(zhǎng)為：，寬為：，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為：，當(dāng)，時(shí)，原式，∴整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積為．題型09多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題【例題】探索題：

……(1)當(dāng)時(shí)，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個(gè)位數(shù)字是．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，（2）根據(jù)題意可得：則；（3）根據(jù)題意可得：∵，，，，，，，則個(gè)位數(shù)字是按照、、、四個(gè)數(shù)依次循環(huán)，，∴的個(gè)位數(shù)字為6則的個(gè)位數(shù)字為5．【變式訓(xùn)練】1．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），下圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和，例如：，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項(xiàng)，中間項(xiàng)系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項(xiàng)，中間項(xiàng)系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；……(1)寫出的展開式______請(qǐng)利用整式的乘法驗(yàn)證你的結(jié)果．(2)的展開式的系數(shù)分別為______，系數(shù)和為______．(3)展開式共有______項(xiàng)，系數(shù)和為______，請(qǐng)說(shuō)明你是怎樣得到這個(gè)結(jié)果的？【詳解】（1）解：如圖，根據(jù)楊輝三角可知，；用整式乘法驗(yàn)證：；故答案為：．（2）解：如圖，根據(jù)楊輝三角可知，，∴的展開式的系數(shù)分別為，5，10，10，5，1，∴系數(shù)和為：；故答案為：，5，10，10，5，1；．（3）解：，共有2項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，，共有3項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，，共有4項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1，，共有5項(xiàng)，系數(shù)分別為1，4，6，4，1，…∴展開式中共有項(xiàng)，令中，，則的展開式中的每一項(xiàng)正好是每一項(xiàng)的系數(shù)，∴的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為．故答案為：；．題型10整式乘法混合運(yùn)算【例題】（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算下列各題(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此題考查了整式乘法的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式乘法的混合運(yùn)算法則．（1）首先計(jì)算積的乘方，然后計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；（2）首先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后計(jì)算加減．【詳解】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)岳陽(yáng)市弘毅新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法，最后算加減．（2）利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則求解即可．【詳解】（1）解：原式==．（2）解：原式===．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則等知識(shí)，解題關(guān)鍵是牢記運(yùn)算法則．2．（2023上·四川南充·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若規(guī)定符號(hào)的意義：．(1)計(jì)算：_________．(2)若，，則的值為________．【答案】(1)5(2)8或15【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）由題意求得或，根據(jù)新定義化簡(jiǎn)所求式子后整體代入即可得解．【詳解】（1）根據(jù)題中的新定義得，；（2）∵，，∴，得，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．∴的值為8或15．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，在解題時(shí)要注意單項(xiàng)式的乘法法則的靈活應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選B．2．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則m的值是（

）A．6 B． C．8 D．【答案】A【分析】本題考查的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再比較各項(xiàng)的系數(shù)即可得到答案；熟記多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，則m的值為6．故選：A．3．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，科學(xué)記數(shù)法，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故選項(xiàng)D正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，科學(xué)記數(shù)法，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則計(jì)算即可．4．（2023上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┑某朔e中不含和項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則先把要求的式子進(jìn)行整理，再根據(jù)多項(xiàng)式展開后不含和的項(xiàng)，得出，求出的值即可．【詳解】解：∴，解得：故選：C．5．（2023上·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）通過計(jì)算比較圖中圖①，圖②中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的計(jì)算式子是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、整式運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)圖1和圖2，分別用兩種方法表示出陰影部分面積，然后列出等式即可；掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖1中的陰影部分的面積為，圖2中的陰影部分的面積為，∴．故選：D．二、填空題6．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）．【答案】【分析】本題主要考查了積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，先計(jì)算積的乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．7．（2023上·四川內(nèi)江·七年級(jí)四川省內(nèi)江市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則代數(shù)式．【答案】【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，求代數(shù)式的值．先計(jì)算乘法，再合并，然后把代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：8．（2023上·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谥校┰谟?jì)算結(jié)果中，不含項(xiàng)，則a值為．【答案】【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則“將前面一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，分別乘以后面一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)”將整式化簡(jiǎn)，再根據(jù)結(jié)果不含，得出含的系數(shù)為0，即可解答．【詳解】解：∵計(jì)算結(jié)果不含項(xiàng)，∴，解得：．故答案為：．9．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式M乘時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上，得到的結(jié)果是．則這個(gè)多項(xiàng)式是，正確的結(jié)果是．【答案】【分析】由題意可得，從而可求解得，再利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意可得：；則正確的結(jié)果是：，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．10．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若規(guī)定符號(hào)的意義是：，當(dāng)時(shí)，的值為．【答案】9【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代數(shù)式求值．熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．由題意可得，，由，可得，，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：由題意可得，，∵，∴，，∴，故答案為：9．三、解答題11．（2023上·重慶渝北·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了整式的有關(guān)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則．（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，讓單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）解：原式；（2）原式．12．（2023下·陜西西安·七年級(jí)交大附中分校?？计谀┯?jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可；（2）先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)，其中【答案】【分析】本題主要考查整式乘法，注意按照多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則，不要漏乘，最后合并同類項(xiàng)，結(jié)果為最簡(jiǎn)．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式．14．（2023上·福建泉州·七年級(jí)泉州七中校考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將，代入上式，即可求解．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查的是整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，主要考查了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘以及合并同類項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)．15．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知展開的結(jié)果中，不含和項(xiàng)．（，為常數(shù)）(1)求，的值；(2)在（）的條件下，求的值．【答案】(1)，；(2)，．【分析】（）先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)題意得出關(guān)于的方程，解之即可求解；（）先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)，再代入值計(jì)算即可；本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式不含某項(xiàng)問題、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)求值，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式，，∵展開的結(jié)果中，不含和項(xiàng)，∴，，∴，；（2）解：，，把，代入得，原式，，．16．（2023上·陜西安康·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形空地中，沿它的兩個(gè)角用柵欄圍成兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長(zhǎng)如圖所示），留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）．(1)用含x，y的式子表示“T”型圖形的面積并化簡(jiǎn)；(2)若米，米，計(jì)劃在“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米25元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．（不考慮其他費(fèi)用）【答案】(1)(2)95000元【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與幾何圖形的面積．（1）用分割法表示陰影部分的面積即可；（2）將米，米代入（1）中的代數(shù)式，出面積，乘以單價(jià)即可．正確的識(shí)圖，利用分割法求面積，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：“