八年級數(shù)學(xué)上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》知識點總結(jié)

一、選擇題1．將4個數(shù)a、b、c、d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad－bc．上述記號就叫做2階行列式，若=12，則x=()．A．2 B．3 C．4 D．6B解析：B【分析】根據(jù)題中的新定義將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值．【詳解】解：根據(jù)題意化簡=12，得（x+1）2-（x-1）2=12，整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，故選：B．【點睛】此題考查了整式的混合運算，屬于新定義的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項法則，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．2．已知代數(shù)式的值為9，則代數(shù)式的值為（）A．18 B．12 C．9 D．7D解析：D【分析】將x2﹣2x當(dāng)成一個整體，在第一個代數(shù)式中可求得x2﹣2x＝1，將其代入后面的代數(shù)式即能求得結(jié)果．【詳解】解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+6＝1+6＝7．故選：D．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是將x2﹣2x當(dāng)成一個整體來對待．3．在下列的計算中正確的是（）A．； B．；C．； D．A解析：A【分析】根據(jù)單項式的乘法，平方差公式，完全平方公式，對各選項計算后利用排除法求解．【詳解】A、a2?ab＝a3b，正確；B、應(yīng)為（a＋2）（a?2）＝a2?4，故本選項錯誤；C、2x與3y不是同類項不能合并；D、應(yīng)為（x?3）2＝x2?6x＋9，故本選項錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查平方差公式，單項式的乘法法則，完全平方公式，熟練掌握運算法則和公式是解題的關(guān)鍵，合并同類項時，不是同類項的不能合并．4．下列運算中，正確的個數(shù)是（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個A解析：A【分析】①根據(jù)同類項的定義判斷計算；②根據(jù)冪的乘方公式計算；③利用零指數(shù)冪和有理數(shù)的混合運算法則計算；④根據(jù)同類項的定義判斷計算.【詳解】∵與不是同類項，無法合并，∴①是錯誤的；∵，∴②是正確的；∵，∴③是錯誤的；∵，∴④是錯誤的；綜上所述，只有一個正確，故選：A.【點睛】本題考查了合并同類項，冪的乘方，零指數(shù)冪，絕對值，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握公式及其運算法則是解題的關(guān)鍵.5．下列計算正確的是（）A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（a﹣）2＝a2﹣C．﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+a D．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2D解析：D【分析】根據(jù)整式的乘法逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，原題計算錯誤，不合題意；B.（a﹣）2＝a2﹣a+，原題計算錯誤，不合題意；C.﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+2a，原題計算錯誤，不合題意；D.（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，計算正確，符合題意．故選：D【點睛】本題考查了單項式乘以多項式，平方差公式，完全平方式，熟練掌握單項式乘以多項式的法則、乘法公式是解題的關(guān)鍵．6．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）A． B． C． D．A解析：A【分析】矩形的面積就是邊長是的正方形與邊長是的正方形的面積的差，列代數(shù)式進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：由題意可知，矩形的面積就是邊長是的正方形與邊長是的正方形的面積的差，S矩形===．故選：A．【點睛】本題考查了整式的運算，根據(jù)題意列出代數(shù)式，同時正確使用完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．7．?dāng)?shù)是（?）A．10位數(shù) B．11位數(shù) C．12位數(shù) D．13位數(shù)C解析：C【分析】利用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方的逆運算，將原數(shù)改寫變形即可得出結(jié)論．【詳解】，∴N是12位數(shù)，故選：C．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法和積的乘方的逆運算的應(yīng)用，靈活運用基本運算法則對原式變形是解題關(guān)鍵．8．當(dāng)時，代數(shù)式的值為6，則時，的值為（）A． B． C．4 D．D解析：D【分析】根據(jù)已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，變形得：-8a-2b=-5，再將x=-2代入這個代數(shù)式中，最后整體代入即可．【詳解】解：當(dāng)x=2時，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，則8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，則當(dāng)x=-2時，ax3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故選：D．【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．9．計算的結(jié)果是（）A． B． C．0.75 D．-0.75D解析：D【分析】先將化為，再用冪的乘方的逆運算計算，再計算乘法即可得到答案．【詳解】====,故選：D．【點睛】此題考查有理數(shù)數(shù)的乘法運算，掌握冪的乘方的逆運算是解題的關(guān)鍵．10．下列運算正確的是（）A．x2·x3=x6 B．(x3)2=x6 C．(-3x)3=27x3 D．x4+x5=x9B解析：B【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方的運算方法，同底數(shù)冪的乘法的運算方法，以及合并同類項的方法，逐項判斷即可．【詳解】∵x2?x3=x5，∴選項A不符合題意；∵（x3）2＝x6，∴選項B符合題意；∵（?3x）3＝?27x3，∴選項C不符合題意；∵x4＋x5≠x9，∴選項D不符合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了冪的乘方與積的乘方的運算方法，同底數(shù)冪的乘法的運算方法，以及合并同類項的方法，要熟練掌握．二、填空題11．已知2a－b＋2＝0，則1－4a＋2b的值為______．5【分析】由得整體代入代數(shù)式求值【詳解】解：∵∴∴原式故答案是：5【點睛】本題考查代數(shù)式求值解題的關(guān)鍵是掌握整體代入的思想解析：5【分析】由得，整體代入代數(shù)式求值．【詳解】解：∵，∴，∴原式．故答案是：5．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入的思想．12．若，則_______________________．36【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方的逆用計算即可【詳解】解：∵∴=22×32=36故答案為36【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方的逆用熟記冪的運算性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵解析：36【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方的逆用計算即可．【詳解】解：∵，∴=22×32=36，故答案為36．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方的逆用，熟記冪的運算性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖所示，在這個運算程序當(dāng)中，若開始輸入的x是2，則經(jīng)過2021次輸出的結(jié)果是________．4【分析】根據(jù)第一次輸出的結(jié)果是1第二次輸出的結(jié)果是6…總結(jié)出每次輸出的結(jié)果的規(guī)律求出2021次輸出的結(jié)果是多少即可【詳解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根據(jù)第一次輸出的結(jié)果是1，第二次輸出的結(jié)果是6，…，總結(jié)出每次輸出的結(jié)果的規(guī)律，求出2021次輸出的結(jié)果是多少即可．【詳解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此類推，∵2021÷6=336…5，∴經(jīng)過2021次輸出的結(jié)果是4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值問題，要熟練掌握，求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．14．?dāng)?shù)學(xué)家發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對放入其中時，會得到一個新的數(shù)：．例如：將數(shù)對放入其中時，最后得到的數(shù)是________；（1）將數(shù)對放入其中，最后得到的數(shù)________；（2）現(xiàn)將數(shù)對放入其中，得到數(shù)，再將數(shù)對放入其中后，最后得到的數(shù)是________．（結(jié)果要化簡）-1-2-2m2+5m-2【分析】根據(jù)題目中的新定義運算規(guī)則可分別計算出數(shù)對和放入其中后最后得到的數(shù)再由數(shù)對放入其中得到數(shù)計算出m與n的關(guān)系再計算數(shù)對即可得到結(jié)果【詳解】解：由題意得：數(shù)對放入其中時解析：-1-2-2m2+5m-2【分析】根據(jù)題目中的新定義運算規(guī)則，可分別計算出數(shù)對和放入其中后，最后得到的數(shù)，再由數(shù)對放入其中，得到數(shù)，計算出m與n的關(guān)系，再計算數(shù)對，即可得到結(jié)果．【詳解】解：由題意得：數(shù)對放入其中時，最后得到的數(shù)是：（2-1）×（1-2）＝-1；故答案為：-1；（1）將數(shù)對放入其中，最后得到的數(shù)是：（-1）（-2）＝-2；故答案為：-2；（2）根據(jù)數(shù)對放入其中得到數(shù)，可得：（m?1）×（0?2）＝n，則-2m+2＝n，∴將數(shù)對（n，m）放入其中后，最后得到的數(shù)是：（n?1）（m?2）＝（-2m+2?1）（m?2）＝（-2m+1）（m?2）＝-2m2+5m-2．故答案為：-2m2+5m-2．【點睛】此題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，弄清題中的新定義運算規(guī)則、實數(shù)及多項式乘多項式的運算法則是解本題的關(guān)鍵．15．若（2x1）5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa，則a2+a4=____120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【詳解】解：解析：120【分析】令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1，可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②，把①和②相加即可求出a2+a4的值．【詳解】解：當(dāng)x=0時，a=1；當(dāng)x=1時，a5a4a3a2a1a=243①，當(dāng)x=-1時，-a5a4-a3a2-a1a=-1②，①+②，得2a42a22a=242，∴a2+a4=120．故答案為：120．【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，正確代入特殊值是解答本題的關(guān)鍵．16．分解因式=____．【分析】提取公因式a2即可【詳解】解：=故答案為：【點睛】本題考查了分解因式方法之一提取公因式正確提取公因式是解決本題的關(guān)鍵解析：【分析】提取公因式a2即可．【詳解】解：，=，故答案為：．【點睛】本題考查了分解因式方法之一提取公因式，正確提取公因式是解決本題的關(guān)鍵．17．已知，則________．3【分析】把看成一個整體原式可化為2（）-3整體代入即可【詳解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案為：3【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值把看成一個整體是解題的關(guān)鍵解析：3【分析】把看成一個整體，原式可化為2（）-3，整體代入即可．【詳解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，把看成一個整體是解題的關(guān)鍵．18．若，，則的值為____________．【分析】應(yīng)用平方差把多項式因式分解再整體代入即可【詳解】解：把代入原式=故答案為：【點睛】本題考查了運用平方差公式因式分解和整體代入求值能夠熟練運用平方差把多項式因式分解并整體代入求值是解題的關(guān)鍵解析：．【分析】應(yīng)用平方差把多項式因式分解，再整體代入即可．【詳解】解：，把，代入，原式=，故答案為：．【點睛】本題考查了運用平方差公式因式分解和整體代入求值，能夠熟練運用平方差把多項式因式分解并整體代入求值，是解題的關(guān)鍵．19．下列說法：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上依據(jù)的是“兩點之間，線段最短”；②若，則的值為7；③若，則a的倒數(shù)小于b的倒數(shù)；④在直線上取A、B、C三點，若，，則．其中正確的說法有________（填號即可）．②【分析】①用兩個釘子可以把木條固定的依據(jù)是兩點確定一條直線；②利用整體代換的思想可以求出代數(shù)式的值；③根據(jù)倒數(shù)的定義舉出反例即可；④直線上ABC三點的位置關(guān)系要畫圖分情況討論【詳解】①用兩個釘子可解析：②【分析】①用兩個釘子可以把木條固定的依據(jù)是“兩點確定一條直線”；②利用“整體代換”的思想，可以求出代數(shù)式的值；③根據(jù)倒數(shù)的定義，舉出反例即可；④直線上A、B、C三點的位置關(guān)系，要畫圖，分情況討論．【詳解】①用兩個釘子可以把木條固定的依據(jù)是“兩點確定一條直線”，故①錯誤；②∵，∴，故②正確；③∵a＞b，取a=1，b=－1，∴，，，故③錯誤；④當(dāng)點C位于線段AB上時，AC=AB－BC=5－2=3cm；當(dāng)點C位于線段AB的延長線上時，AC=AB+BC=5+2=7cm，則AC的長為3cm或7cm，故④錯誤；綜上可知，答案為：②．【點睛】本題考查了兩點確定一條直線、整體代換思想、求代數(shù)式的值、倒數(shù)的有關(guān)計算及數(shù)形結(jié)合法求線段的長度，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)的知識點．20．在學(xué)習(xí)整式乘法的時候，我們發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題：將上述等號右邊的式子的各項系數(shù)排成下表，如圖：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3這個圖叫做“楊輝三角”，請觀察這些系數(shù)的規(guī)律，直接寫出（a+b）5＝__________，并說出第7排的第三個數(shù)是___．a(chǎn)5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多項式乘方運算安全平方公式安全立方公式發(fā)現(xiàn)規(guī)律數(shù)字規(guī)律歸納即可【詳解】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多項式乘方運算，安全平方公式，安全立方公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)字規(guī)律歸納即可，【詳解】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三個數(shù)是15，故答案為：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15，【點睛】本題考查完全平方公式、完全立方公式，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，掌握多項式乘法法則，和完全平方公式，觀察式子的特征是解題關(guān)鍵，三、解答題21．計算下列各題：（1）++；（2）（3+）（3﹣）+（2﹣）．解析：（1）0；（2）【分析】（1）根據(jù)平方根、立方根的意義進(jìn)行計算即可；（2）利用平方差公式和實數(shù)的計算方法進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）++＝2+（﹣5）+3＝0；（2）（3+）（3﹣）+（2﹣）＝32﹣（）2+2﹣2＝9﹣7+2﹣2＝2．【點睛】本題考查了包含算術(shù)平方根、立方根、平方差公式的實數(shù)計算，熟練運用法則和公式是解決問題關(guān)鍵．22．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如下圖是2021年1月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€的方框框出4個數(shù)，將其中4個位置上的數(shù)兩兩交叉相乘，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（1）圖中方框框出的四個數(shù)，按照題目所說的計算規(guī)律，結(jié)果為______．（2）換一個位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請你利用整式的運算對你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果沒有，請說明理由．解析：（1）7；（2）有同樣的規(guī)律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出算式11×5-4×12，再進(jìn)一步計算即可；（2）如換為3，4，10，11，按要求計算即可；設(shè)方框框出的四個數(shù)分別為a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再進(jìn)一步計算即可得．【詳解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案為：7；（2）換為3，4，10，11，則10×4-3×11=40-33=7；設(shè)方框框出的四個數(shù)分別為a，a+1，a+7，a+8，則(a+1)(a+7)-a(a+8)=a2+7a+a+7-a2-8a=7．【點睛】本題主要考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，并熟練掌握整式的混合運算順序和運算法則．23．乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是_______（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）圖2是將圖1中的陰影部分裁剪開，重新拼成的一個長方形，觀察它的長和寬，其面積是______（寫成多項式乘法的形式）．（3）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）（4）運用你所得到的公式，計算下列各題：①②解析：（1）；（2）；（3）；（4）①99.91；②【分析】（1）利用正方形的面積公式就可求出；（2）仔細(xì)觀察圖形就會知道長，寬，由面積公式就可求出面積；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便簡單的計算．【詳解】解：（1）利用大正方形面積減去小正方形面積即可求出：，故填：；（2）它的寬是a﹣b，長是a+b，面積是，故填：；（3）根據(jù)題意得出：，故填：；（4）①解：原式；②解：原式．【點睛】此題主要考查了平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式．對于有圖形的題同學(xué)們注意利用數(shù)形結(jié)合求解更形象直觀．24．先化簡，再求值：，其中．解析：，.【分析】利用平方差公式，和的完全平方公式，單項式乘以多項式法則化簡，合并同類項后，代入求值即可.【詳解】原式，當(dāng)時，原式.【點睛】本題考查了運用乘法公式進(jìn)行化簡，熟練運用公式，正確合并同類項是解題的關(guān)鍵.25．（概念學(xué)習(xí)）規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方．例如，記作，讀作“2的圈3次方”；再例如，記作，讀作“的圈4次方”；一般地，把（，n為大于等于2的整數(shù)）記作，讀作“a的圈n次方”．（初步探究）（1）直接寫出計算結(jié)果：_______________，__________；（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是____________；A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何大于等于2的整數(shù)c，；C．；D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)；（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？除方乘方冪的形式（1）仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式：___________；___________；（2）將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式為____________；（3）將（m為大于等于2的整數(shù)）寫成冪的形式為_________．解析：【初步探究】（1），；（2）C；【深入思考】（1），；（2）；（3）【分析】初步探究：（1）根據(jù)新定義的運算法則進(jìn)行計算，即可得到答案；（2）根據(jù)新定義的運算法則進(jìn)行判斷，即可得到答案；深入思考：（1）由題目中的運算法則轉(zhuǎn)換成冪的形式，即可得到答案；（2）把冪的形式轉(zhuǎn)換為一般形式即可；（3）先把代數(shù)式進(jìn)行化簡，然后寫成冪的形式即可．【詳解】解：【初步探究】（1）；；故答案為：；；（2）由題意：A、任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；正確；B、對于任何大于等于2的整數(shù)c，；正確；C、，，∴，則C錯誤；D、負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)；正確；故選：C．【深入思考】（1）；；故答案為：；；（2）由（1）可知，根據(jù)乘方的運算法則，則將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式為：；故答案為：；（3）=；故答案為：．【點睛】本題考查了新定義的運算法則，冪的乘方，有理數(shù)的乘法和除法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義的運算法則、乘方的運算法則進(jìn)行解題．26．因式分解：（1）2