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文檔簡(jiǎn)介
第一章預(yù)備知識(shí)
第三節(jié)不等式
3.2基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的,作
為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用,研究
最值問(wèn)題,此時(shí)基本不等式是必不可缺的?;静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用,同
時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材,所
以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。
教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)
教學(xué)目標(biāo):
1.通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;
2.借助基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題,
二.核心素養(yǎng)
1.數(shù)學(xué)抽象:根據(jù)實(shí)際例子,抽象概括“和定積最大,積定和最小”
2.邏輯推理:本節(jié)內(nèi)容進(jìn)一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學(xué)生分析證
明方法,加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí),提高邏輯推理論證能力;
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算:利用基本不等式求最值
4.直觀想象:結(jié)合課本的探究圖形,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想;
5.數(shù)學(xué)建模:基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型,在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)
學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用;
另外它在如“求面積一定,周長(zhǎng)最?。恢荛L(zhǎng)一定,面積最大”等實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算中也經(jīng)常涉及到。
教學(xué)重難點(diǎn)
難點(diǎn):1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件(簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值。
重點(diǎn):應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想證明基本不等式,并從不同角度探索基本不等式施4等的證明
過(guò)程及應(yīng)用。
課前準(zhǔn)備
PPT
教學(xué)過(guò)程
1.知識(shí)引入
對(duì)于任意實(shí)數(shù)X和y,(x-y)2>0總是成立的,即x2-2xy+y2%),所以
22
土產(chǎn)2盯,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立
若a20,bN0,取x=G,y=,貝!J:"?J茄,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立
這個(gè)不等式稱為基本不等式,其中彳稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),,不稱為a,b的幾何平均數(shù),因此,基本
不等式也稱為均值不等式。
結(jié)論:兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值
1.基本不等式的幾何解釋
如圖1-14,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在AB上,且AC=a,
a+b
CB=b.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)D。,連接AD,OD,BD.顯然OD=OA=??;利用
三角形相似,可證得AACD相似于ADCB,從而,CD=4^
1-14
從圖中可以看出ODNCD,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心。重合時(shí),等號(hào)成立,即畔徑大于或等于半弦”.
利用基本不等式或類似上述幾何圖形,還可以推出一些其他的簡(jiǎn)單不等式.
例4已知a>0,b>0,c>0,a+b+c>y[ab+4bc+yfac
證明因?yàn)閍>0,b>0,c>0,所以由基本不等式得a+b>2yfab,b+c>2y/bc,a+c>2y[ac
三式相加,得2〃+2b+2c22y[ab+2y[bc+2y[ac
即:a+b+c>y[ab+y[bc+y[ac
把一段長(zhǎng)為16cm的細(xì)鐵絲彎成形狀不同的矩形,試填寫表13并思考當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬分別為何值時(shí),
面積最大.
表1-3
方案長(zhǎng)/cm寬/cm面積/cm?
方案1
方案2
方案3
......
設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm,寬為ycm,則x+y=8.此時(shí),由基本不等式得,即xyS16.又因?yàn)楫?dāng)
X=y=4時(shí),xy=16(即不等式xy&6中的等號(hào)成立),由此可知,邊長(zhǎng)2為4cm的正方形
的面積最大.
思考交流
類比上面的方法,說(shuō)明:面積為16cm2的所有不同形狀的矩形中,邊長(zhǎng)為4cm的正方形的周長(zhǎng)最小.
重點(diǎn)結(jié)論:當(dāng)x,y均為正數(shù)時(shí),下面的命題均成立:
(1)若x+y=s(s為定值)則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy取得
最大值亍
(2)若xy=p(p為定值)則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y取得最小值2〃
例5:已知x,y均為整數(shù),試證明:若x+y=s(s為定值),則當(dāng)且僅當(dāng)x=y,時(shí),xy取得最大值二
4
證明:由基本不等式而和x+y=s,得上之歷
所以xyV二
4
o$2
又因?yàn)楫?dāng)x=y=|■時(shí),不等式中的等號(hào)成立,所以此時(shí)xy取得最大值飛-
例6如圖1-16,動(dòng)物園要圍成四間相同面積的長(zhǎng)方形禽舍,一面可利用原有的墻其他各面
用鋼筋網(wǎng)圍成.(接頭處不計(jì))
(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料,當(dāng)每間禽舍的長(zhǎng)、寬
各設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)時(shí),可使每間禽舍面積最大?
(2)若使每間禽舍面積為24m2則每間禽舍的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)
為多長(zhǎng)時(shí),可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最???
解(1)設(shè)每間禽舍的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則
設(shè)S=xy,0<x<9.0<y<6,應(yīng)用基本不等式,有
2x+3y-2?3y,
2^/6?<18
27
即nn:sW—
2
當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí),不等式中等號(hào)成立,此時(shí)
2x=3y,
2x+3y=18,
x=45,y=3
因此,當(dāng)每間禽舍的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為4.5m和3m時(shí),可使每間禽舍面積最大,最大面積
為13.5m2.
重點(diǎn)題型
(1)利用基本不等式求求最值
1.下列函數(shù)中,最小值是2的是()
.尸尹£?尸質(zhì)島^
ABC.丫=7*+7、口.(x>0)
答案:C.
2.下列命題中正確的是()
B.若尤>0,貝UxJ>2
X
D.若XGR,則2*+2r>2折^^=2
答案:D.
(2)和定積最大,和定積最小的考查
1.若其中zn>0,則徵+3〃的最小值等于()
A.2A/2B.2C.2A/3D.9
2
答案:C.
2.已知x>0,y>0,且x+2y=2,則孫()
A.有最大值為1B.有最小值為1C.有最大值為工D.有最小值為工
22
答案:C.
(3)“1”的代換運(yùn)用
1.若對(duì)任意的正數(shù)。,6滿足a+3b-l=0,則二』的最小值為()
ab
A.6B.8C.12D.24
答案:C.
2.若a/?>0,…,則a+b
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