2020年高中數(shù)學(xué)必修第一冊：基本不等式 教學(xué)設(shè)計（北師大版）

第一章預(yù)備知識

第三節(jié)不等式

3.2基本不等式教學(xué)設(shè)計

教材分析

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作

為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究

最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同

時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學(xué)生進行情感價值觀教育的好素材，所

以基本不等式應(yīng)重點研究。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過兩個探究實例，引導(dǎo)學(xué)生基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想；

2.借助基本不等式解決簡單的最值問題，

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：根據(jù)實際例子，抽象概括“和定積最大，積定和最小”

2.邏輯推理：本節(jié)內(nèi)容進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證

明方法，加深對基本不等式的認(rèn)識，提高邏輯推理論證能力；

3.數(shù)學(xué)運算：利用基本不等式求最值

4.直觀想象：結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結(jié)合的思想；

5.數(shù)學(xué)建模：基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊涵的數(shù)

學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；

另外它在如“求面積一定，周長最小；周長一定，面積最大”等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。

教學(xué)重難點

難點：1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）;

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想證明基本不等式，并從不同角度探索基本不等式施4等的證明

過程及應(yīng)用。

課前準(zhǔn)備

PPT

教學(xué)過程

1.知識引入

對于任意實數(shù)X和y,(x-y)2>0總是成立的，即x2-2xy+y2%),所以

22

土產(chǎn)2盯，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立

若a20,bN0,取x=G,y=,貝!J："?J茄,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立

這個不等式稱為基本不等式，其中彳稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，，不稱為a,b的幾何平均數(shù)，因此，基本

不等式也稱為均值不等式。

結(jié)論：兩個非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值

1.基本不等式的幾何解釋

如圖1-14,AB是半圓O的直徑，點C在AB上，且AC=a,

a+b

CB=b.過點C作AB的垂線交AB于點D。,連接AD,OD,BD.顯然OD=OA=??；利用

三角形相似，可證得AACD相似于ADCB,從而，CD=4^

1-14

從圖中可以看出ODNCD,當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心。重合時，等號成立，即畔徑大于或等于半弦”.

利用基本不等式或類似上述幾何圖形，還可以推出一些其他的簡單不等式.

例4已知a>0,b>0,c>0,a+b+c>y[ab+4bc+yfac

證明因為a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式得a+b>2yfab,b+c>2y/bc,a+c>2y[ac

三式相加,得2〃+2b+2c22y[ab+2y[bc+2y[ac

即：a+b+c>y[ab+y[bc+y[ac

把一段長為16cm的細(xì)鐵絲彎成形狀不同的矩形，試填寫表13并思考當(dāng)矩形的長、寬分別為何值時,

面積最大.

表1-3

方案長/cm寬/cm面積/cm?

方案1

方案2

方案3

......

設(shè)矩形的長為xcm,寬為ycm,則x+y=8.此時，由基本不等式得，即xyS16.又因為當(dāng)

X=y=4時,xy=16（即不等式xy&6中的等號成立），由此可知，邊長2為4cm的正方形

的面積最大.

思考交流

類比上面的方法，說明：面積為16cm2的所有不同形狀的矩形中，邊長為4cm的正方形的周長最小.

重點結(jié)論：當(dāng)x,y均為正數(shù)時,下面的命題均成立：

（1）若x+y=s（s為定值）則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy取得

最大值亍

（2）若xy=p（p為定值）則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y取得最小值2〃

例5：已知x,y均為整數(shù)，試證明：若x+y=s（s為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x=y，時，xy取得最大值二

4

證明：由基本不等式而和x+y=s,得上之歷

所以xyV二

4

o$2

又因為當(dāng)x=y=|■時，不等式中的等號成立，所以此時xy取得最大值飛-

例6如圖1-16,動物園要圍成四間相同面積的長方形禽舍,一面可利用原有的墻其他各面

用鋼筋網(wǎng)圍成.（接頭處不計）

（1）現(xiàn)有可圍36m長鋼筋網(wǎng)的材料，當(dāng)每間禽舍的長、寬

各設(shè)計為多長時，可使每間禽舍面積最大？

（2）若使每間禽舍面積為24m2則每間禽舍的長、寬各設(shè)計

為多長時，可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長最小？

解（1）設(shè)每間禽舍的長為xm,寬為ym,則

設(shè)S=xy,0<x<9.0<y<6,應(yīng)用基本不等式，有

2x+3y-2?3y,

2^/6?<18

27

即nn：sW—

2

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，不等式中等號成立，此時

2x=3y,

2x+3y=18,

x=45,y=3

因此，當(dāng)每間禽舍的長、寬分別設(shè)計為4.5m和3m時，可使每間禽舍面積最大,最大面積

為13.5m2.

重點題型

（1）利用基本不等式求求最值

1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

.尸尹￡?尸質(zhì)島^

ABC.丫=7*+7、口.(x>0)

答案：C.

2.下列命題中正確的是（）

B.若尤>0,貝UxJ>2

X

D.若XGR,則2*+2r>2折^^=2

答案：D.

（2）和定積最大，和定積最小的考查

1.若其中zn>0,則徵+3〃的最小值等于（）

A.2A/2B.2C.2A/3D.9

2

答案：C.

2.已知x>0,y>0,且x+2y=2,則孫（）

A.有最大值為1B.有最小值為1C.有最大值為工D.有最小值為工

22

答案：C.

（3）“1”的代換運用

1.若對任意的正數(shù)。，6滿足a+3b-l=0,則二』的最小值為（）

ab

A.6B.8C.12D.24

答案：C.

2.若a/?>0,…，則a+b