2020年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)：基本不等式 教學(xué)設(shè)計(jì)（北師大版）

第一章預(yù)備知識(shí)

第三節(jié)不等式

3.2基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作

為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究

最值問(wèn)題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用，同

時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材，所

以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

2.借助基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：根據(jù)實(shí)際例子，抽象概括“和定積最大，積定和最小”

2.邏輯推理：本節(jié)內(nèi)容進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證

明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用基本不等式求最值

4.直觀想象：結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想；

5.數(shù)學(xué)建模：基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)

學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用；

另外它在如“求面積一定，周長(zhǎng)最?。恢荛L(zhǎng)一定，面積最大”等實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算中也經(jīng)常涉及到。

教學(xué)重難點(diǎn)

難點(diǎn)：1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件（簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等）;

2、利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值。

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想證明基本不等式，并從不同角度探索基本不等式施4等的證明

過(guò)程及應(yīng)用。

課前準(zhǔn)備

PPT

教學(xué)過(guò)程

1.知識(shí)引入

對(duì)于任意實(shí)數(shù)X和y,(x-y)2>0總是成立的，即x2-2xy+y2%),所以

22

土產(chǎn)2盯，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立

若a20,bN0,取x=G,y=,貝!J："?J茄,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立

這個(gè)不等式稱為基本不等式，其中彳稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，，不稱為a,b的幾何平均數(shù)，因此，基本

不等式也稱為均值不等式。

結(jié)論：兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值

1.基本不等式的幾何解釋

如圖1-14,AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在AB上，且AC=a,

a+b

CB=b.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)D。,連接AD,OD,BD.顯然OD=OA=??；利用

三角形相似，可證得AACD相似于ADCB,從而，CD=4^

1-14

從圖中可以看出ODNCD,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心。重合時(shí)，等號(hào)成立，即畔徑大于或等于半弦”.

利用基本不等式或類似上述幾何圖形，還可以推出一些其他的簡(jiǎn)單不等式.

例4已知a>0,b>0,c>0,a+b+c>y[ab+4bc+yfac

證明因?yàn)閍>0,b>0,c>0,所以由基本不等式得a+b>2yfab,b+c>2y/bc,a+c>2y[ac

三式相加,得2〃+2b+2c22y[ab+2y[bc+2y[ac

即：a+b+c>y[ab+y[bc+y[ac

把一段長(zhǎng)為16cm的細(xì)鐵絲彎成形狀不同的矩形，試填寫表13并思考當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬分別為何值時(shí),

面積最大.

表1-3

方案長(zhǎng)/cm寬/cm面積/cm?

方案1

方案2

方案3

......

設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm,寬為ycm,則x+y=8.此時(shí)，由基本不等式得，即xyS16.又因?yàn)楫?dāng)

X=y=4時(shí),xy=16（即不等式xy&6中的等號(hào)成立），由此可知，邊長(zhǎng)2為4cm的正方形

的面積最大.

思考交流

類比上面的方法，說(shuō)明：面積為16cm2的所有不同形狀的矩形中，邊長(zhǎng)為4cm的正方形的周長(zhǎng)最小.

重點(diǎn)結(jié)論：當(dāng)x,y均為正數(shù)時(shí),下面的命題均成立：

（1）若x+y=s（s為定值）則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy取得

最大值亍

（2）若xy=p（p為定值）則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y取得最小值2〃

例5：已知x,y均為整數(shù)，試證明：若x+y=s（s為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x=y，時(shí)，xy取得最大值二

4

證明：由基本不等式而和x+y=s,得上之歷

所以xyV二

4

o$2

又因?yàn)楫?dāng)x=y=|■時(shí)，不等式中的等號(hào)成立，所以此時(shí)xy取得最大值飛-

例6如圖1-16,動(dòng)物園要圍成四間相同面積的長(zhǎng)方形禽舍,一面可利用原有的墻其他各面

用鋼筋網(wǎng)圍成.（接頭處不計(jì)）

（1）現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，當(dāng)每間禽舍的長(zhǎng)、寬

各設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)時(shí)，可使每間禽舍面積最大？

（2）若使每間禽舍面積為24m2則每間禽舍的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)

為多長(zhǎng)時(shí)，可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？

解（1）設(shè)每間禽舍的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則

設(shè)S=xy,0<x<9.0<y<6,應(yīng)用基本不等式，有

2x+3y-2?3y,

2^/6?<18

27

即nn：sW—

2

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，不等式中等號(hào)成立，此時(shí)

2x=3y,

2x+3y=18,

x=45,y=3

因此，當(dāng)每間禽舍的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為4.5m和3m時(shí)，可使每間禽舍面積最大,最大面積

為13.5m2.

重點(diǎn)題型

（1）利用基本不等式求求最值

1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

.尸尹￡?尸質(zhì)島^

ABC.丫=7*+7、口.(x>0)

答案：C.

2.下列命題中正確的是（）

B.若尤>0,貝UxJ>2

X

D.若XGR,則2*+2r>2折^^=2

答案：D.

（2）和定積最大，和定積最小的考查

1.若其中zn>0,則徵+3〃的最小值等于（）

A.2A/2B.2C.2A/3D.9

2

答案：C.

2.已知x>0,y>0,且x+2y=2,則孫（）

A.有最大值為1B.有最小值為1C.有最大值為工D.有最小值為工

22

答案：C.

（3）“1”的代換運(yùn)用

1.若對(duì)任意的正數(shù)。，6滿足a+3b-l=0,則二』的最小值為（）

ab

A.6B.8C.12D.24

答案：C.

2.若a/?>0,…，則a+b