第07講正多邊形（4類題型）（原卷版）

第07講正多邊形（4類題型）課程標準學(xué)習(xí)目標1.正多邊形的相關(guān)概念；2.正多邊形與圓；了解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。能運用正多邊形的知識解決圓的有關(guān)計算問題。知識點01：正多邊形與圓（一）正多邊形及有關(guān)概念（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。（3）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。（二）正多邊形的有關(guān)計算（1）正邊形的每個內(nèi)角都等于（2）正邊形的每個中心角都等于（3）正邊形的其他計算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長面積【即學(xué)即練1】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，將一張正六邊形紙片的陰影部分剪下，拼成一個四邊形，若拼成的四邊形的面積為S，則紙片的剩余部分的面積為（

）A． B． C． D．S【即學(xué)即練2】2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點是上的一點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．題型01求正多邊形的中心角1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正八邊形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．722．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．163．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角為，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有條對角線．4．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接正三角形，是的內(nèi)接正四邊形的一邊，連接，則是的內(nèi)接正邊形的一邊．5．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是正方形，的中心．（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點（異于點），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接求證：．題型02已知正多邊形的中心角求邊數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角是，則過它的一個頂點有條對角線．4．（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一個正多邊形的中心角為，邊長為5，那么這個正多邊形的周長等于．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．題型03正多邊形與圓1．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形內(nèi)接于，為弧上的一點（點不與點，重合），則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，一個正方形剪去四個角后形成一個邊長為的正八邊形，則這個正方形的邊長為．4．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正三角形與正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；題型04尺規(guī)作圖—正多邊形1．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對2．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝．（結(jié)果保留根號）4．（2022·天津南開·二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．（1）⊙的周長等于；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．5．（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)已知六邊形是以O(shè)為中心的中心對稱圖形（如圖），畫出六邊形的全部圖形，并寫出作法．A夯實基礎(chǔ)1．（2023春·河北衡水·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形的周長最大的是圖形（

）A．① B．② C．③ D．無法判定2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，若的周長是，則正六邊形的邊長是（）A． B．3 C．6 D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將正方形和正五邊形的中心重合，按如圖位置放置，連接、，則（

）A． B． C． D．4．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖是一個正八邊形，則它（）A．只是軸對稱圖形 B．只是中心對稱圖形C．既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形 D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形5．（2023春·廣東云浮·九年級?？计谀┤魣A的內(nèi)接正六邊形的邊長為3，則該圓的半徑為．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖擺放著正五邊形和正，其中點在同一直線上，，則的度數(shù)是．7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）刺繡是我國獨特的民間傳統(tǒng)手工藝品之一，至少有二三千年歷史.如圖是用紅色紗線完成的正五角星刺繡作品，則圖中的度數(shù)是度.8．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于．若的周長為，則該正六邊形的邊長是．9．（2023秋·全國·七年級隨堂練習(xí)）如圖，把一個圓分成三個扇形，你能求出這三個扇形的圓心角嗎？10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．B能力提升1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，某同學(xué)作了一個圓內(nèi)接正十二邊形．若的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正十二邊形的面積為（）A．1 B．3 C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是正八邊形的外接圓，則下列結(jié)論：①；②的度數(shù)為；③．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形的邊長為2，現(xiàn)將它沿方向平移1個單位，得到正六邊形，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┦堑膬?nèi)接正六邊形一邊，點是優(yōu)弧上的一點（點不與點，重合）且，與交于點，則的度數(shù)為．6．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，若的半徑為1，則的內(nèi)接正八邊形的面積為．7．（2023春·吉林長春·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與正六邊形的邊分別交于點G、H，若，則度．8．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的有（填所有正確結(jié)論的序號）．（1）直角三角形只有一條高；（2）邊形共有條對角線；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）如果一個多邊形的各邊都相等，那么它是正多邊形；（5）圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合；9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，點，分別是正六邊形的邊，上的點，且，交于點．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．10．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)了，多邊形中，如果各條邊都相等，各個內(nèi)角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：(1)將如表的表格補充完整：正多邊形邊數(shù)______的度數(shù)________________________(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正邊形，使其中的？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，連接的內(nèi)接正十二邊形頂點得到，，若，則陰影部分的面積為（）A． B．2 C． D．2．（2023春·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點重合，軸，交軸于點．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形內(nèi)接于半徑為的中，連接，，，沿直線折疊，使得點與點重合，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖所示正六邊形的面積為6，點是邊的中點，連接相交于，若四邊形的面積記作，四邊形的面積記作，則的值是（

）A． B．1 C． D．25．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點在弧上，則的度數(shù)為．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在正五邊形中，是的中點，點在線段上運動，連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為．7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，延長正五邊形各邊，使得，若，則的度數(shù)為．8．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)小組在一個半徑為2的圓形場地上做探究實踐活動．（1）如圖1，小組將圓形場地分為12等份．機器人從一個點到另外一個點均是直線行走．①機器人從點走到點的路程為；②機器人從點到點走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長記為，路線2的長記為，則；（填“>”“<”或“=”）（2）如圖2，機器人從出發(fā)，沿與半徑夾角為的方向行走，走到場地邊緣后，再沿與夾角為的方向折向行走至，…按照這樣的方式，機器人走到時第一次超過，且，則．9．（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）圖①、圖②、圖③都是的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．點、均在格點上．圖①、圖②中的點在上，在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺，按下列要求完成畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫一個的內(nèi)接正方形．(2)在圖②中畫一個的內(nèi)接四邊形，使該四邊形只是軸對