重慶市南開(kāi)中學(xué)2022年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則()A． B． C． D．3．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．4．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．5．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱(chēng)，旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來(lái)，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是()A．這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進(jìn)口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降7．在中，內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則的面積是（）A． B． C． D．8．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．周期為 D．在上是增函數(shù)9．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．10．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤11．已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫(xiě)出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問(wèn)題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率取值范圍為_(kāi)________.14．在數(shù)列中，，，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④數(shù)列是等比數(shù)列；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A，B，C，D．若AB＝BC，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)________．16．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.18．（12分）（1）求曲線和曲線圍成圖形的面積；（2）化簡(jiǎn)求值：．19．（12分）已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問(wèn)：是否存在數(shù)列，使得對(duì)任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若，求的最小值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，若、、四點(diǎn)共圓，求直線的方程.22．（10分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計(jì)算能力.3．D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.5．A【解析】試題分析：由題意得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以必有解，則，且，∴．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).（2）已知函數(shù)求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗(yàn)f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)―→下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.6．D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確；對(duì)B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對(duì)C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過(guò)其余年份，則C正確；對(duì)D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．D【解析】

當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；f(x)得周期，當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項(xiàng).9．A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡(jiǎn)單題目.10．A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12．C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時(shí)不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)，設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到，據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，直線AB的參數(shù)方程為，(為參數(shù))代入圓，化簡(jiǎn)得：，，，，存在點(diǎn)，使得，，即，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題.14．①③④【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，由此求得與的遞推關(guān)系式，進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，從而，，.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有，根據(jù)該恒等式即可求得，，的值，從而得到，令，可解得，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)可列關(guān)于的方程，解出即可．【詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以時(shí)恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因?yàn)?，所以，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．16．【解析】

利用配方法化簡(jiǎn)式子，可得，然后根據(jù)觀察法，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

(1)通過(guò)討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對(duì)值將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，即或或解之得或，即不等式的解集為.（2）由題意得：當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，綜上所述：使恒成立的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查不等式恒成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18．（1）（2）【解析】

（1）求曲線和曲線圍成的圖形面積，首先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0、1，然后求在區(qū)間上的定積分．（2）首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計(jì)算出，然后再整體代入可得；【詳解】解：（1）聯(lián)立解得，，所以曲線和曲線圍成的圖形面積．（2）∴【點(diǎn)睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.19．（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當(dāng)時(shí),,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合，得到關(guān)于的不等式,再由時(shí)，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所?（2）由題意得，故，兩式相減得所以，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)樗援?dāng)時(shí),所以成立,所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),成立,所以，所以在中令，因?yàn)?，所以可得，所以，由時(shí)，且為整數(shù)，可得,把分別代入不等式可得,，所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的理解能力;通過(guò)反復(fù)利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.20．（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為;極小值，無(wú)極大值；（2）【解析】

（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值；（2）由題意可得，，求出的表達(dá)式，，求出h（t）的最小值即可．【詳解】（1）將代入中，得到，求導(dǎo)，得到，結(jié)合，當(dāng)?shù)玫剑涸鰠^(qū)間為，當(dāng)，得減區(qū)間為且在時(shí)有極小值，無(wú)極大值.（2）將解析式代入，得，求導(dǎo)得到，令,得到,，，，，，，，因?yàn)?，所以設(shè),令，則所以在單調(diào)遞減,又因?yàn)樗?所以或又因?yàn)?，所以所?所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值