2025高考數(shù)學一輪復習-圓的方程-專項訓練【含解析】

課時過關檢測(四十八)圓的方程【原卷版】1．圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．設a∈R，則“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為()A．8 B．4C．2eq\r(10) D．54．已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是()A．(0,2] B．[1,2]C．[2,3] D．[1,3]5．點M為圓C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一點，直線(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ過定點P，則|MP|的最大值為()A．2eq\r(3) B．eq\r(13)C．2eq\r(3)＋1 D．eq\r(13)＋16．(多選)已知圓x2＋y2－4x－1＝0，則下列關于該圓說法正確的有()A．關于點(2,0)對稱B．關于直線y＝0對稱C．關于直線x＋3y－2＝0對稱D．關于直線x－y＋2＝0對稱7．(多選)已知圓C關于y軸對稱，經過點(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為()A．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3) B．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D．(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)8．已知三個點A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，則△ABC的外接圓的圓心坐標是________．9．已知點P為圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一點，A，B為直線3x＋4y＋5＝0上的兩動點，且|AB|＝2，則△ABP的面積的取值范圍是________．10．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4eq\r(10)．(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程．11．瑞士數(shù)學家歐拉在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．若已知△ABC的頂點A(－4,0)，B(0,4)，其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標可以是()A．(1,3) B．(3,1)C．(－2,0) D．(0，－2)12．寫出一個關于直線x＋y－1＝0對稱的圓的方程____________．13．已知A(－2,0)，B(2,0)，動點M滿足|MA|＝2|MB|，則點M的軌跡方程是____________________；又若eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，此時△MAB的面積為________．14．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．(1)求點M的軌跡方程；(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．15．(多選)設有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經過點(3,0)C．經過點(2,2)的圓Ck有且只有一個D．所有圓的面積均為4π16．已知曲線T：F(x，y)＝0，對坐標平面上任意一點P(x，y)，定義F[P]＝F(x，y)，若兩點P，Q滿足F[P]·F[Q]>0，稱點P，Q在曲線T同側；F[P]·F[Q]<0，稱點P，Q在曲線T兩側．(1)直線過l原點，線段AB上所有點都在直線l同側，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直線l的斜率的取值范圍；(2)已知曲線F(x，y)＝(3x＋4y－5)eq\r(4－x2－y2)＝0，O為坐標原點，求點集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面積．課時過關檢測(四十八)圓的方程【解析版】1．圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5解析：A圓心為(2,1)且和x軸相切的圓，它的半徑為1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選A．2．設a∈R，則“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：A方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓，則有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，則“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要條件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓”的充分不必要條件．故選A．3．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為()A．8 B．4C．2eq\r(10) D．5解析：C設2x＋y＝t，則y＝t－2x，當直線y＝t－2x與x2＋y2＝8相切時，t取到最值，所以eq\f(|t|,\r(5))≤2eq\r(2)，解得－2eq\r(10)≤t≤2eq\r(10)，所以2x＋y的最大值為2eq\r(10)，故選C．4．已知圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是()A．(0,2] B．[1,2]C．[2,3] D．[1,3]解析：D圓C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1的圓心C(eq\r(3)，1)，半徑為1，因為圓心C到O(0,0)的距離為2，所以圓C上的點到O(0,0)的距離最大值為3，最小值為1，又因為∠APB＝90°，則以AB為直徑的圓和圓C有交點，可得|PO|＝eq\f(1,2)|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故選D．5．點M為圓C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一點，直線(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ過定點P，則|MP|的最大值為()A．2eq\r(3) B．eq\r(13)C．2eq\r(3)＋1 D．eq\r(13)＋1解析：D整理直線方程得：(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴P(1,1)，由圓的方程知圓心C(－2，－1)，半徑r＝1，∴|MP|max＝|CP|＋r＝eq\r(－2－12＋－1－12)＋1＝eq\r(13)＋1．故選D．6．(多選)已知圓x2＋y2－4x－1＝0，則下列關于該圓說法正確的有()A．關于點(2,0)對稱B．關于直線y＝0對稱C．關于直線x＋3y－2＝0對稱D．關于直線x－y＋2＝0對稱解析：ABCx2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，所以圓心的坐標為(2,0)，半徑為eq\r(5)．A項，圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(2,0)是圓心，所以本選項正確；B項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線y＝0過圓心，所以本選項正確；C項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x＋3y－2＝0過圓心，所以本選項正確；D項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x－y＋2＝0不過圓心，所以本選項不正確．故選A、B、C．7．(多選)已知圓C關于y軸對稱，經過點(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為()A．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3) B．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D．(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)解析：AB由題意知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為eq\f(2π,3)，設圓心C(0，a),半徑為r，則rsineq\f(π,3)＝1，rcoseq\f(π,3)＝|a|，解得r＝eq\f(2,\r(3))，即r2＝eq\f(4,3)，|a|＝eq\f(\r(3),3)，即a＝±eq\f(\r(3),3)，故圓C的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)．8．已知三個點A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，則△ABC的外接圓的圓心坐標是________．解析：設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,4＋2D＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝0，))所以圓的方程為x2－2x＋y2－6y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圓心坐標為(1,3)．答案：(1,3)9．已知點P為圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一點，A，B為直線3x＋4y＋5＝0上的兩動點，且|AB|＝2，則△ABP的面積的取值范圍是________．解析：圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C(2，1)，半徑r＝2，圓心C到直線3x＋4y＋5＝0的距離d＝eq\f(|6＋4＋5|,\r(32＋42))＝3，設P到直線AB的距離為h，則S△ABP＝eq\f(1,2)·|AB|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r，∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]，即△ABP的面積的取值范圍為[1,5]．答案：[1,5]10．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4eq\r(10)．(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程．解：(1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點坐標為(1,2)．所以直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．(2)設圓心P(a，b)，則由點P在CD上得a＋b－3＝0．①又直徑|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)．所以(a＋1)2＋b2＝40．②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2，))所以圓心P(－3,6)或P(5，－2)，所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．11．瑞士數(shù)學家歐拉在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．若已知△ABC的頂點A(－4,0)，B(0,4)，其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標可以是()A．(1,3) B．(3,1)C．(－2,0) D．(0，－2)解析：D∵A(－4,0)，B(0,4)，∴AB的垂直平分線方程為x＋y＝0，又外心在歐拉線x－y＋2＝0上，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y＋2＝0，))解得三角形ABC的外心為G(－1,1)，又r＝|GA|＝eq\r(－1＋42＋1－02)＝eq\r(10)，∴△ABC外接圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝10．設C(x，y)，則三角形ABC的重心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))在歐拉線上，即eq\f(x－4,3)－eq\f(y＋4,3)＋2＝0．整理得x－y－2＝0．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝10，,x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))∴頂點C的坐標可以是(0，－2)．故選D．12．寫出一個關于直線x＋y－1＝0對稱的圓的方程____________．解析：設圓心坐標為C(a，b)，因為圓C關于x＋y－1＝0對稱，所以C(a，b)在直線x＋y－1＝0上，則a＋b－1＝0，取a＝1?b＝0，設圓的半徑為1，則圓的方程(x－1)2＋y2＝1．答案：(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)13．已知A(－2,0)，B(2,0)，動點M滿足|MA|＝2|MB|，則點M的軌跡方程是____________________；又若eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，此時△MAB的面積為________．解析：設M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0．以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋3y2－20x＋12＝0，,x2＋y2＝4，))解得|y|＝eq\f(8,5)．即M點的縱坐標的絕對值為eq\f(8,5)．此時△MAB的面積為S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(8,5)＝eq\f(16,5)．答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0eq\f(16,5)14．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．(1)求點M的軌跡方程；(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．解：圓C：x2＋(y－4)2＝42，故圓心為C(0,4)，半徑為4．(1)當C，M，P三點均不重合時，∠CMP＝90°，所以點M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點P，C)，線段PC中點為(1,3)，eq\f(1,2)|PC|＝eq\f(1,2)eq\r(2－02＋2－42)＝eq\r(2)，故M的軌跡方程為(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，且y≠2或x≠0，且y≠4)．當C，M，P三點中有重合的情形時，易求得點M的坐標為(2,2)或(0,4)．綜上可知，點M的軌跡是一個圓，軌跡方程為(x－1)2＋(y－3)2＝2．(2)由(1)可知點M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓．法一(幾何法)：由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上．又P在圓N上，從而ON⊥PM．因為ON的斜率為3，所以直線l的斜率為－eq\f(1,3)，故直線l的方程為y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(8,3)，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝2eq\r(2)，點O到直線l的距離為eq\f(8,\r(12＋32))＝eq\f(4\r(10),5)，|PM|＝2eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(10),5)))2)＝eq\f(4\r(10),5)，所以△POM的面積為eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)．法二(代數(shù)法)：設M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝2eq\r(2)得x2＋y2＝8，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝8，①,x－12＋y－32＝2，②))①－②得直線l方程為x＋3y－8＝0，將x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝eq\f(14,5)，y2＝2．從而x1＝－eq\f(2,5)，x2＝2．所以M點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(14,5)))，|PM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(14,5)))2)＝eq\f(4\r(10),5)．又點O到l距離d＝eq\f(8,\r(12＋32))＝eq\f(4\r(10),5)，所以△POM的面積S＝eq\f(1,2)|PM|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)．15．(多選)設有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經過點(3,0)C．經過點(2,2)的圓Ck有且只有一個D．所有圓的面積均為4π解