信息必刷卷03（北京專用）（解析版）

絕密★啟用前2024年中考考前信息必刷卷03數(shù)學(xué)（北京專用）2024年北京中考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)保持不變，內(nèi)容可能發(fā)生微妙變化！2024年數(shù)學(xué)試卷共28題：8（選擇題）+8（填空題）+12（解答題），根據(jù)最新考試信息、樣卷以及模擬考試可以發(fā)現(xiàn)：在知識(shí)結(jié)構(gòu)方面，選填題基本都為基礎(chǔ)題，而我們尤其需要關(guān)注的是選擇和填空的最后一道，其中選擇題最后一道可能以勾股定理為背景考查多結(jié)論問(wèn)題，比較綜合；而填空最后一道主要考查方程與推理問(wèn)題，專注思維能力的訓(xùn)練；解答題的最后三道題保持不變，依次為二次函數(shù)取值范圍類問(wèn)題，幾何線段關(guān)系問(wèn)題以及新定義綜合題，其余試題可能會(huì)有些許變化，但變化不會(huì)很大，依然會(huì)保持去年的風(fēng)格，我們需要密切關(guān)注最新的模擬考試。新考法1：第8題可能會(huì)以勾股定理為背景考查綜合應(yīng)用；新考法2：第16題可能會(huì)重點(diǎn)考查方程應(yīng)用、推理論證、閱讀理解與綜合分析，難度中等；新考法3：第25題幾何與函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，注重理解能力和分析能力；另外，在平時(shí)學(xué)習(xí)中要特別關(guān)注基礎(chǔ)性（一般試卷選填題型的前7個(gè)題直接考查基礎(chǔ)知識(shí)，容易拿分）、綜合性（選填以及解答的壓軸題）、應(yīng)用型（如本卷中的第25題會(huì)結(jié)合函數(shù)模型考查實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題）和創(chuàng)新性（一般會(huì)以28題新定義形式考查，本題在立意和出題上極具創(chuàng)造性，非?？疾鞂W(xué)生的綜合思維能力），同時(shí)掌握整體思想、數(shù)形結(jié)合、特殊值等數(shù)學(xué)思想，這些思想會(huì)蘊(yùn)含于每道試題之中。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，結(jié)合俯視圖是從上往下看到的圖形，可得答案．本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，熟記簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．【詳解】解：該圓錐的俯視圖是帶圓心的圓，故本選項(xiàng)不符合題意；B.該圓柱的俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不符合題意；C.該正方體的俯視圖是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；D.該三棱柱的俯視圖是三角形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：．2．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局年月日發(fā)布了《中華人民共和國(guó)年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》．初步核算，全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為億元．這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：，故選：．3．民族圖案是數(shù)學(xué)文化中的一塊瑰寶．下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析即可即可．【詳解】解：A.是中心對(duì)稱圖像，但不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B.不是中心對(duì)稱圖像，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C.是中心對(duì)稱圖像，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D.是中心對(duì)稱圖像，也是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，理解軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．軸對(duì)稱圖形：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．4．如圖，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：A．5．實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了數(shù)軸的特征、實(shí)數(shù)大小比較、絕對(duì)值的意義理解，逐項(xiàng)判斷即可，根據(jù)數(shù)軸得出“，，”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，∴，，，∴，，則，故A成立，，，則，故B不成立，，故C不成立，，故D不成立，故選：A．6．關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選：C．7．在學(xué)?？萍夹麄骰顒?dòng)中，某科技活動(dòng)小組將3個(gè)標(biāo)有“北斗”，2個(gè)標(biāo)有“天眼”，5個(gè)標(biāo)有“高鐵”的小球（除標(biāo)記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，并對(duì)小球標(biāo)記的內(nèi)容進(jìn)行介紹，下列敘述正確的是（

）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大C．摸出“高鐵”小球的可能性最大 D．摸出三種小球的可能性相同【答案】C【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算摸出三種小球的概率，即可得出答案．【詳解】解：盒中小球總量為：（個(gè)），摸出“北斗”小球的概率為：，摸出“天眼”小球的概率為：，摸出“高鐵”小球的概率為：，因此摸出“高鐵”小球的可能性最大．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查判斷事件發(fā)生可能性的大小，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．8．如圖，，是內(nèi)部的射線且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接．設(shè)，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．證明，推出，，推出，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可以判定①正確；連接，根據(jù)，可以判定②錯(cuò)誤；是內(nèi)部的射線且，可得，推出，推出，推出，故③正確．【詳解】解：，，，，，，，在和中，，，，，，，，故①正確，連接，則，，，，，，故②錯(cuò)誤，是內(nèi)部的射線且，，，，，故③正確．故選：B．二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9．若二次根式有意義，則x的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴，故答案為：．10．分解因式：．【答案】【分析】先提取公因式2，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【詳解】解：2x2-12x+18，=2(x2-6x+9)，=2(x-3)2．故答案為：2(x-3)2．【點(diǎn)睛】本題考查了利用提公因式法和完全平方公式分解因式，掌握和靈活運(yùn)用分解因式的方法是解決本題的關(guān)鍵．11．方程的解為．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為的步驟解方程，然后檢驗(yàn)即可得出答案．【詳解】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為得：．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原分式方程的解為．故答案為：．12．某年級(jí)為了解學(xué)生對(duì)“足球”“籃球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五類體育項(xiàng)目的喜愛(ài)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．若該年級(jí)有800名學(xué)生，估計(jì)該年級(jí)喜愛(ài)“籃球”項(xiàng)目的學(xué)生有人．【答案】240【分析】本題主要考查了樣本估計(jì)總體．用800乘以喜愛(ài)“籃球”項(xiàng)目所占的百分比，即可．【詳解】解：人，即該年級(jí)喜愛(ài)“籃球”項(xiàng)目的學(xué)生有240人．故答案為：240.13．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)．連接，若，則．

【答案】【分析】本題主要考查內(nèi)心的性質(zhì)和同弧所對(duì)圓周角相等，設(shè)，，則，根據(jù)內(nèi)心得，，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得，即可求得答案．【詳解】解：設(shè)，，則，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，∴，∴，則．故答案為：．14．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先將點(diǎn)和代入函數(shù)解析式得出，，結(jié)合題意可得，即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴，，又∵，∴，即；即的值為．故答案為：．15．據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過(guò)小孔，物體在幕布上形成倒立的實(shí)像（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是）．若物體的高為，實(shí)像的高度為，則小孔的高度為．

【答案】3【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求相應(yīng)線段的長(zhǎng)或表示線段之間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．先利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段成比例，再對(duì)兩組對(duì)應(yīng)線段進(jìn)行變形求解即可．【詳解】解：，同理可得：，①+②得，∴，∴，解得：．故答案為：3．16．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用號(hào)、號(hào)兩種零件可以組裝出五款不同的成品，編號(hào)分別為，，，，，每個(gè)成品的總零件個(gè)數(shù)及所需的號(hào)、號(hào)零件個(gè)數(shù)如下：成品編號(hào)號(hào)零件個(gè)數(shù)號(hào)零件個(gè)數(shù)總零件個(gè)數(shù)選用兩種零件總數(shù)不超過(guò)個(gè)，每款成品最多組裝一個(gè)．（1）如果號(hào)零件個(gè)數(shù)不少于個(gè)，且不多于個(gè)，寫(xiě)出一種滿足條件的組裝方案（寫(xiě)出要組裝成品的編號(hào)）；（2）如果號(hào)零件個(gè)數(shù)不少于個(gè)，且不多于個(gè)，同時(shí)所需的號(hào)零件最多，寫(xiě)出滿足條件的組裝方案（寫(xiě)出要組裝成品的編號(hào)）．【答案】（答案不唯一）；【分析】本題考查了方案的設(shè)計(jì)選擇，分析題意合理使用方案是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)號(hào)零件個(gè)數(shù)不少于11個(gè)，且不多于13個(gè)，設(shè)計(jì)出號(hào)零件的組法，再分別求出號(hào)零件個(gè)數(shù)，滿足兩種零件總數(shù)不超過(guò)25個(gè)即可；（2）根據(jù)（1）中方案，計(jì)算總數(shù)，判斷即可．【詳解】解：（1）設(shè)號(hào)零件個(gè)數(shù)為，號(hào)零件的個(gè)數(shù)為，號(hào)零件個(gè)數(shù)不少于11個(gè)，且不多于13個(gè)，，由表得滿足號(hào)零件的組法為：組用Ⅰ號(hào)零件12個(gè)，組用號(hào)零件12個(gè)，組用號(hào)零件11個(gè)，組用號(hào)零件13個(gè)，組用號(hào)零件13個(gè)，組用號(hào)零件13個(gè)，以上六種方案中使用Ⅱ號(hào)零件個(gè)數(shù)為：組用號(hào)零件14個(gè)，組用號(hào)零件11個(gè)，組用號(hào)零件13個(gè)，組用號(hào)零件13個(gè)，組用號(hào)零件12個(gè)，組用號(hào)零件9個(gè)，兩種零件總數(shù)不超過(guò)25個(gè)，，滿足題意的方案為組，，，，一種滿足條件的組裝方案可以是，故答案為：；（2）解：由（1）得，組用的零件最多，為25個(gè)，故答案為：．三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本題5分）計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，先計(jì)算乘方、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減．關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序和方法，并能進(jìn)行正確地計(jì)算．【詳解】解：原式．．18．（本題5分）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：解不等式①得：，

解不等式②得：，

在數(shù)軸上表示不等式①、②的解集∴不等式組的解集為：．19．（本題5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，值為【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，先算括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法，然后將的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．20．（本題5分）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多4尺，若將繩四折測(cè)之繩多1尺，繩長(zhǎng)井深各幾何？”譯文：“用繩子測(cè)水井深度，把繩子折成三折來(lái)量，井外余繩4尺；把繩子折成四折來(lái)量，井外余繩1尺，問(wèn)繩長(zhǎng)、井深各是多少尺？”請(qǐng)問(wèn)此問(wèn)題中的繩長(zhǎng)、井深各是多少尺？【答案】井深為8尺，繩長(zhǎng)36尺【分析】分析題意，不變的量是井深，根據(jù)等量關(guān)系：將繩三折測(cè)之，繩多4尺；繩四折測(cè)之，繩多1尺，設(shè)繩長(zhǎng)為尺，井深為尺，列出方程組求解．【詳解】解：設(shè)繩長(zhǎng)為尺，井深為尺，依題意得：，解得答：井深為8尺，繩長(zhǎng)36尺．【點(diǎn)睛】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，此題不變的是井深，用代數(shù)式表示井深是此題的關(guān)鍵．21．（本題5分）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)N，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平分，，求矩形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定定理，以及解直角三角形的方法和步驟．（1）通過(guò)證明推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而求證四邊形是菱形；（2）根據(jù)題意得出，進(jìn)而得出，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)矩形的面積公式即可解答．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，則，∴，∵的垂直平分，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．（2）解：由（1）可得：四邊形是菱形，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴矩形的面積．22．（本題5分）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）將、坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式，即可得到一次函數(shù)解析式，然后計(jì)算函數(shù)值為對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分情況討論：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)和當(dāng)直線與直線平行時(shí)，即可得到符合條件的的取值范圍．【詳解】（1）解：將、代入函數(shù)表達(dá)式可得：，解得，則函數(shù)的表達(dá)式為，依題得，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線為，是該函數(shù)與過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線的交點(diǎn)，，解得，，即．（2）解：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，即把代入，得，，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，的值大于的值，

，解得，當(dāng)與直線平行時(shí)，，此時(shí)，滿足條件，且當(dāng)時(shí)，不滿足條件，即．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的方法解題．23．（本題6分）品成本影響售價(jià)，為避免因成本波動(dòng)導(dǎo)致售價(jià)劇烈波動(dòng)，需要控制售價(jià)的漲跌幅．下面給出了商品售價(jià)和成本（單位：元）的相關(guān)公式和部分信息：．計(jì)算商品售價(jià)和成本漲跌幅的公式分別為：，；．規(guī)定當(dāng)周售價(jià)漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半；．甲、乙兩種商品成本與售價(jià)信息如下：甲商品的成本與售價(jià)信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本售價(jià)mnp乙商品的成本與售價(jià)統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：(1)甲商品這五周成本的平均數(shù)為_(kāi)__________，中位數(shù)為_(kāi)__________；(2)表中m的值為_(kāi)___________，從第三周到第五周，甲商品第_______周的售價(jià)最高；(3)記乙商品這周售價(jià)的方差為，若將規(guī)定“當(dāng)周售價(jià)漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半”更改為“當(dāng)周售價(jià)漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的四分之一”，重新計(jì)算每周售價(jià)，記這周新售價(jià)的方差為，則________；（填“”“”或“”）．【答案】(1)，；(2)，四；(3)【分析】（1）由題意知，成本從小到大依次排序?yàn)?；則甲商品這五周成本的平均數(shù)為，中位數(shù)為第3個(gè)位置的數(shù)，求解作答即可；（2）由題意知，第二周成本的漲跌幅為，第二周售價(jià)的漲跌幅為，可求；同理可求；；根據(jù)，作答即可；（3）由，可知改規(guī)定后售價(jià)的波動(dòng)比改規(guī)定前的售價(jià)波動(dòng)小，即，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，成本從小到大依次排序?yàn)?；∴甲商品這五周成本的平均數(shù)為，中位數(shù)為第3個(gè)位置的數(shù)即中位數(shù)是，故答案為：，；（2）解：由題意知，第二周成本的漲跌幅為，∴第二周售價(jià)的漲跌幅為，解得，；同理，第四周成本的漲跌幅為，第四周售價(jià)的漲跌幅為，解得，；第五周成本的漲跌幅為，第五周售價(jià)的漲跌幅為，解得，；∵，∴從第三周到第五周，甲商品第四周的售價(jià)最高，故答案為：，四；（3）解：由題意知，改規(guī)定前“當(dāng)周售價(jià)漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半”，改規(guī)定后“當(dāng)周售價(jià)漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的四分之一”，∵，∴改規(guī)定后售價(jià)的波動(dòng)比改規(guī)定前的售價(jià)波動(dòng)小，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用，方差與穩(wěn)定性．熟練掌握平均數(shù)，中位數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用，方差與穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．24．（本題6分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，連接，若．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)10【分析】（1）連接，易得，進(jìn)而得到，垂徑定理得到，圓周角定理，得到，，即可得出結(jié)論；（2）連接，等弧對(duì)等弦，得到，圓周角定理結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，垂徑定理，求出的長(zhǎng)，證明，列出比例式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再用求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∴，∵為直徑，，∴，∴，∴，∵，∴；（2）連接，由（1）可知：，∴，∴，∵為直徑，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，解得：或（不合題意，舍去）；∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，弧，弦，角之間的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．25．（本題6分）【問(wèn)題背景】小明在某公園游玩時(shí)，對(duì)一口“喊泉”產(chǎn)生了興趣，當(dāng)人們?cè)谌吅敖袝r(shí)，泉口便會(huì)涌起泉水，聲音越大，涌起的泉水越高，涌至最高點(diǎn)所需的時(shí)間也越長(zhǎng)．【高度測(cè)算】小明借助測(cè)角儀測(cè)算泉水的高度．如圖1，在A點(diǎn)測(cè)泉口B的俯角為15°；當(dāng)?shù)谝淮未蠛皶r(shí)，泉水從泉口B豎直向上涌至最高點(diǎn)C，在A點(diǎn)測(cè)C點(diǎn)的仰角為75°．已知測(cè)角儀直立于地面，其高為1.5米．任務(wù)1

求第一次大喊時(shí)泉水所能達(dá)到的高度的值．（僅結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，）【初建模型】泉水邊設(shè)有一個(gè)響度顯示屏，在第一次大喊時(shí)顯示數(shù)據(jù)為66分貝，而泉水高度h（）與響度x（分貝）之間恰好滿足正比例函數(shù)關(guān)系．任務(wù)2

根據(jù)任務(wù)1的結(jié)果和以上數(shù)據(jù)，得到h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____．【數(shù)據(jù)分析】為探究響度與泉水涌至最高點(diǎn)所需時(shí)間的關(guān)系，小明通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t（秒）01.51.7522.252.5響度x（分貝）036496481100任務(wù)3

為了更直觀地體現(xiàn)響度x與時(shí)間t之間的關(guān)系，請(qǐng)?jiān)趫D2中用描點(diǎn)法畫(huà)出大致圖象，并選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，建立x關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．【推理計(jì)算】據(jù)“喊泉”介紹顯示，泉水最高可達(dá)50米．任務(wù)4

試根據(jù)以上活動(dòng)結(jié)論，求該泉水從泉口噴射至50米所需要的時(shí)間．【答案】任務(wù)1：米；任務(wù)2：；任務(wù)3：；任務(wù)4：（秒）【分析】任務(wù)1：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中進(jìn)行求解；任務(wù)2：設(shè)，把，代入得，即可求解；任務(wù)3：設(shè)，把，；，代入得，求解即可；任務(wù)4：，當(dāng)時(shí)，，求解即可解得．【詳解】解：任務(wù)1

高度測(cè)算法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，由題意得，，，∴，，，∵，∴，∴，∴．法二：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，由題意得，，，∴，，，∵，∴，∴．任務(wù)2

初建模型設(shè)，把，代入得，∴．任務(wù)3

數(shù)據(jù)分析如圖2，由圖象可知，x與t大致滿足二次函數(shù)關(guān)系設(shè)，把，；，代入得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，表中其他數(shù)據(jù)均滿足，∴．任務(wù)4

推理計(jì)算法一：，當(dāng)時(shí)，，解得，（舍）法二：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，（舍）．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，一次函數(shù)，二次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求解出函數(shù)解析式．26．（本題6分）已知二次函數(shù)（為常數(shù)且）的頂點(diǎn)在軸上方，且到軸的距離為4．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)將二次函數(shù)的圖象記為，將關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象記為與合起來(lái)得到的圖象記為，完成以下問(wèn)題：①在網(wǎng)格中畫(huà)出函數(shù)的圖象；②若對(duì)于函數(shù)上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有，求出的取值范圍．【答案】(1)；(2)①見(jiàn)解析；②或【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．熟悉二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）易求得拋物線的對(duì)稱軸，從而得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，由題意，從而求得a的值，即可求得二次函數(shù)解析式；（2）首先利用兩個(gè)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出的解析式；分兩種情況即可求解．【詳解】（1）解：對(duì)稱軸為：直線，當(dāng)，得，拋物線的頂點(diǎn)在軸上方，且到軸的距離為4，解得，，拋物線的解析式為；（2）解：①畫(huà)圖如圖所示：②由題意，得的對(duì)稱軸為：直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，形狀相同，開(kāi)口方向相反，∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的表達(dá)式為：，它的對(duì)稱軸為：直線，情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)和點(diǎn)之間時(shí)，總有，如下圖：此時(shí)，即：；情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，如圖：當(dāng)時(shí)，解得，或，由題意知，，，時(shí)，總有有，綜上所述，或時(shí)，總有．27．（本題7分）在中，，于點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)E在射線上且滿足．，過(guò)點(diǎn)D作直線的垂線交直線于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)G，直線交射線于點(diǎn)P．

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段上，當(dāng)時(shí)，求的大??；(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)與三我內(nèi)角和定理求得，然后由余角性質(zhì)得出，即可求解．（2）作交于點(diǎn)Q，利用相似三角形的性質(zhì)求得，證明，得到，由勾股定理得，即可由，得出結(jié)論．【詳解】（1）解∶如圖4．

∵在中，，∴，，．∵于點(diǎn)M，∵，∵于點(diǎn)G，∴，∴．（2）解：補(bǔ)全圖形，如圖5．

證明∶如圖4，作交于點(diǎn)Q．∵，∴∴，∵BM=CM，AM⊥BC，∴，于點(diǎn)G，∴

即．∴【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，角平分線有關(guān)的角的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（本