七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第一章第01講 同底數(shù)冪的乘法(5類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第01講同底數(shù)冪的乘法(5類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)1.經(jīng)歷探索同底數(shù)冪乘法運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)冪運(yùn)算的意義及類(lèi)比、歸納等方法的作用，發(fā)展運(yùn)算能力和有條理的表達(dá)能力.2.了解同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.從數(shù)的相應(yīng)運(yùn)算入手，類(lèi)比過(guò)渡到式的運(yùn)算，從中探索、歸納式的運(yùn)算法則，使新的運(yùn)算規(guī)律自然而然地同化到原有的知識(shí)之中，使原有的知識(shí)得到擴(kuò)充、發(fā)展.知識(shí)點(diǎn)01同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.知識(shí)點(diǎn)02同底數(shù)冪的乘法的逆用公式同底數(shù)冪的乘法的逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù).即（都是正整數(shù)）.題型01同底數(shù)冪相乘【例題】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則求解即可得到答案；（2）先根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則求解，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到答案；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)（為大于1的整數(shù)）；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先確定符號(hào)，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算；（4）先變形為同底數(shù)冪，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）（2）（3）（4）【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型02同底數(shù)冪乘法的逆用【例題】（2023下·陜西西安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，，求：的值．【答案】【分析】由于，所以，代入可得結(jié)論．【詳解】解：∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則的逆用．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知，，求的值；（2）已知，求x．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）逆用同底數(shù)冪的乘法，得到，問(wèn)題得解．【詳解】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了逆用同底數(shù)冪的乘法及其逆用的知識(shí)，掌握同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）逆用同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）逆用同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）逆用同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴（3）解：∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．題型03用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的乘法【例題】（2023上·四川樂(lè)山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一種計(jì)算機(jī)每秒可做次運(yùn)算，它工作600秒可做次運(yùn)算．【答案】【分析】分析題意，每秒可做次運(yùn)算，列出工作600秒可做的運(yùn)算次數(shù)的算式；接下來(lái)進(jìn)行解答，然后用科學(xué)記數(shù)法表示出來(lái)即可．【詳解】解：它工作600秒可做的運(yùn)算次數(shù)為：（次），故它工作600秒可做次運(yùn)算．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅天水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）光速約為米/秒，太陽(yáng)光射到地球上的時(shí)間約為秒，求地球與太陽(yáng)的距離，用科學(xué)記數(shù)法表示為米．【答案】【分析】用速度乘以時(shí)間求出距離，用科學(xué)記數(shù)法進(jìn)行表示即可．【詳解】解：米；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（2023下·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的速度是米/秒，那么衛(wèi)星繞地球運(yùn)行秒走過(guò)的路程是米．【答案】【分析】根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：（米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的運(yùn)算，同底數(shù)冪相乘，科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；以及科學(xué)記數(shù)法的表示方法．題型04已知代數(shù)式的值，求式子的值【例題】若，則m的值是________.【答案】4【詳解】解：∵，∴，∴1+2m+3m＝21解得m＝4．故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則的值為．【答案】16【分析】由已知條件可得，再利用同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則對(duì)式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算計(jì)算，即可求解．【詳解】解：（1）．（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法及其逆運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型05新定義有關(guān)同底數(shù)冪的運(yùn)算【例題】（2023下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果，那么我們規(guī)定，例如：因?yàn)椋?1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：，；(2)記，，．求證：．【答案】(1)3，0，(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)示例要求，直接可求解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘的逆用可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，，故答案為：3，0；（2）證明：∵，，，∴，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪相乘的逆應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是正確的找到題目給出的規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：∵，∴(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：______，______，________；(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：，小明給出了如下的理由：

設(shè)，則，即，∴，即，∴．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法判斷是否成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)4；0；(2)成立，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)，，則，，根據(jù)，得出即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴；∵，∴；∵，∴．故答案為：4；0；．（2）解：成立，理由如下：設(shè)，，則，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的運(yùn)算，新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握同底數(shù)冪乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則和零指數(shù)冪運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．2．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：我們知道一般地，加減運(yùn)算是互逆運(yùn)算，乘除運(yùn)算也是互逆運(yùn)算；其實(shí)乘方運(yùn)算也有逆運(yùn)算；如我們規(guī)定式子可以變形為，也可以變形為．在式子中，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為．一般地，若（且，），則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為，即．根據(jù)上面的規(guī)定，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：____________，_____________；(2)小明在計(jì)算的時(shí)候，采用了以下方法：設(shè)，

通過(guò)以上計(jì)算，我們猜想____________．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算，結(jié)合乘方運(yùn)算，求解即可；（2）理解題中的運(yùn)算步驟，設(shè)，，對(duì)式子進(jìn)行變形，求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴故答案為：，（2）設(shè)，，則，∴∴即故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，乘方的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算，熟練冪的有關(guān)運(yùn)算．一、單選題1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：D．2．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）下列各組式子中，是同底數(shù)冪的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】略3．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，，則的值是（

）A．5 B．6 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查同底數(shù)冪乘法的逆用，直接利用變形，即可選出答案．【詳解】解：由題可知；∵，；∴；故選：B．4．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）電子文件的大小常用等作為單位，其中，，．某視頻文件的大小約為等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】略5．（2023上·湖南湘西·八年級(jí)校考階段練習(xí)）小方和小亮在玩抽卡計(jì)算的游戲，他們?cè)O(shè)計(jì)了如下圖所示的4張卡片，請(qǐng)你從中抽取兩張卡片，并計(jì)算它們的乘積，能夠得到的卡片組合是以下四個(gè)選項(xiàng)的哪一個(gè)呢（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】本題考查了整式的乘法，熟記“同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變指數(shù)相加”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、①③的乘積為，不符合題意；B、②③的乘積為，不符合題意；C、②④的乘積為，不符合題意；D、①④的乘積為，符合題意；故選：D．二、填空題6．（2023下·陜西寶雞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題關(guān)鍵．7．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】【分析】（1）先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算，再合并即可；（2）把整體作為底，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2），故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．計(jì)算同底數(shù)冪的乘法時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加．8．（2022上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若，則．【答案】32【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的運(yùn)算，先將變形為，再把變形為，然后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．9．（2023下·山東青島·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)），則．【答案】【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)已知條件進(jìn)行整理，可求得的值，再代入所求的式子運(yùn)算即可．【詳解】解：，，，解得：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．10．（2023上·福建泉州·八年級(jí)福建省安溪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)?，所以．若，則．【答案】80【分析】根據(jù)定義解答即可．【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，即，．故答案為：80【點(diǎn)睛】本題考查的是冪的乘方和積的乘方以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握冪的乘方和積的乘方法則是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（2023下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先將4，8變形為，，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（5）將看作一個(gè)整體，根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（6）將變形為，然后根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪乘法法則，準(zhǔn)確計(jì)算．13．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪相乘的知識(shí)，掌握同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）(1)已知，求的值；(2)已知，求．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）．（2）因?yàn)?，所以．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了逆用同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）回答下列問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)已知，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算解答；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以．?）解：因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則及逆運(yùn)算，正確掌握同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2023上·貴州銅仁·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：如果那么c為a，b的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，記為，例如．則有(1)若，，的值？(2)若，，，其中，請(qǐng)說(shuō)明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)”的定義可得，，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)”的定義可得，，，進(jìn)而可得，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，，所以，所以；?）證明：因?yàn)椋?，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，所以，即．【點(diǎn)睛】本題是新定義題，以“關(guān)聯(lián)數(shù)”的定義為載體，主要考查了乘方的運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法，正確理解“關(guān)聯(lián)數(shù)”的定義是關(guān)鍵．17．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：因?yàn)?，所以?1)根據(jù)上