七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第五章第03講 簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形-垂直平分線和角平分線(7類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第03講簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形—垂直平分線和角平分線(7類熱點(diǎn)題型講練)1．理解線段的垂直平分線的概念；2．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；(重點(diǎn))3．能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算．(難點(diǎn))4．經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理；(重點(diǎn))5．能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01線段的垂直平分線（簡(jiǎn)稱中垂線）定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.作法：作已知線段的垂直平分線.知識(shí)點(diǎn)02角平分線的性質(zhì)1.角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.2.性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.3.作已知角的角平分線.題型01根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解【例題】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2024·山東濱州·一模）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線交AB于點(diǎn)．若，，則長(zhǎng)為．2．（23-24八年級(jí)下·四川雅安·階段練習(xí)）如圖所示，在中，分別垂直平分和，交于．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)度．題型02線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用【例題】（23-24八年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，政府計(jì)劃在三個(gè)村莊附近建立一所小學(xué)，且小學(xué)到三個(gè)村莊的距離相等，則小學(xué)應(yīng)建在（

）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高所在直線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，A，B，C表示三個(gè)居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)文化廣場(chǎng)，使它到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則文化廣場(chǎng)應(yīng)建在（

）A．，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 B．，兩邊中線的交點(diǎn)處C．，兩邊高線的交點(diǎn)處 D．，兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處題型03作垂線（尺規(guī)作圖）【例題】（23-24八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交與點(diǎn)D，交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，某社區(qū)要在居民區(qū)A，B所在的直線上建一圖書室E，并使圖書室E到本社區(qū)兩所學(xué)校C和D的距離相等．已知，，垂足分別為A，B，且，，．(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)E（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求圖書室E到居民區(qū)A的距離．2．（23-24八年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，某居民小區(qū)在三棟住宅樓，，之間修建了供居民散步的三條綠道，小區(qū)物業(yè)打算在綠道內(nèi)部修建一個(gè)涼亭，按照設(shè)計(jì)要求，涼亭到三條綠道的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)注涼亭的位置，保留作圖痕跡，并說(shuō)明設(shè)計(jì)理由．題型04根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解【例題】（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·期中）如圖，平分，，如果，那么點(diǎn)到的距離等于【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，若，則的面積為．2．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知是平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，垂足為，且，則的面積等于．題型05根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明【例題】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形中，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，平分，且平分．

(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)E為的中點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·湖北恩施·期末）教材第56頁(yè)拓廣探索12題：(1)如圖，在中，是它的角平分線

①求證：；②另一方面，我們進(jìn)一步探索，可以證明．請(qǐng)你選擇上述兩結(jié)論中的其中一個(gè)進(jìn)行證明；(2)由（1）的探索我們可以得到關(guān)于的角平分線的一個(gè)性質(zhì)，請(qǐng)你總結(jié)這個(gè)性質(zhì)（結(jié)合圖1表述）；(3)運(yùn)用你所得到的結(jié)論完成下列證明：如圖2，是的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．2．（22-23八年級(jí)上·上海普陀·期中）如圖，在中，是的平分線．(1)在線段上任意取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過(guò)這樣的作圖能得到結(jié)論，那么依據(jù)是_________．(2)如果，平分交于點(diǎn)，且、相交于點(diǎn)，求證：．(3)如果，在邊上截取一點(diǎn)，連接，使，連接．請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．題型06角平分線的性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用【例題】（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)決定在其中修建一個(gè)亭子，使亭子中心到三條馬路的距離相等，則亭子應(yīng)建在（

）

A．在邊，兩條高的交點(diǎn)處B．在邊，兩條中線的交點(diǎn)處C．在邊，兩條垂直平分線的交點(diǎn)處D．在和兩條角平分線的交點(diǎn)處【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，直線a，b，c，表示三條相互交叉的公路，交點(diǎn)為三個(gè)小區(qū)，現(xiàn)擬建一個(gè)超市，要求它到三個(gè)小區(qū)的距離都相等，則可以供選擇的地址有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處題型07作角平分線（尺規(guī)作圖）【例題】（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖1，兩條交叉馬路，中間區(qū)域建有A，B兩個(gè)溫室花房．現(xiàn)要在兩條馬路，之間的空?qǐng)鎏幗r花交易中心P，使得交易中心P到兩條馬路，的距離相等，且到兩個(gè)溫室花房A，B的距離也相等．如何確定交易中心P的位置?如圖2，利用尺規(guī)作圖求作點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）．【變式訓(xùn)練】1．（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知，，是的一個(gè)外角．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使平分．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)證明：．2．（23-24九年級(jí)下·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，，以點(diǎn)為圓心，小于長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交，于，兩點(diǎn)，再分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，垂足為，求證：．一、單選題1．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，．若和分別垂直平分和，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．2．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D是的角平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)D到的距離為（）

A．1 B．2 C．3 D．3．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)P，連結(jié)，，若，則（）A． B． C． D．4．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線，交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（

）①的面積的面積；②；③；④．A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．③④二、填空題6．（22-23八年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┤鐖D，在中，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)．7．（23-24九年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線交邊于點(diǎn)G，若，，則的面積為8．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）如圖，的面積是12，，的平分線交于點(diǎn)D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

9．（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則．

10．（2023·四川瀘州·二模）如圖，已知線段，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為三、解答題11．（23-24九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）A、B是兩個(gè)村莊，是兩條馬路．為發(fā)展經(jīng)濟(jì)，提高農(nóng)民收入，鎮(zhèn)政府決定建立一個(gè)蔬菜批發(fā)市場(chǎng)，選址要使市場(chǎng)到兩條馬路和兩個(gè)村莊的距離都相等．請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中找出市場(chǎng)的位置．（不用寫作法，但是要保留作圖痕跡）

12．（23-24八年級(jí)上·重慶江津·期中）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且，連接．(1)求證：；(2)若的周長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．13．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．14．（22-23八年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期中）感知：如圖1，平分，．探究：如圖2，平分，．，求證：．15．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，、分別垂直平分和，交于點(diǎn)M、N，垂足分別為點(diǎn)D、E，分別延長(zhǎng)和，相交于點(diǎn)F．八年級(jí)的小明同學(xué)非常喜歡鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題，在學(xué)習(xí)線段垂直平分線時(shí)，他發(fā)現(xiàn)與存在一定的數(shù)量關(guān)系，于是他通過(guò)舉