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文檔簡介
第06講用尺規(guī)作三角形與利用三角形全等測距離(6類熱點題型講練)1.理解角的有關(guān)概念:會用尺規(guī)按要求作三角形:已知兩邊及夾角作三角形,已知兩角及夾邊作三角形,已知三邊作三角形.2.通過尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí),培養(yǎng)觀察分析、類比歸納的探究能力,加深對類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識.3.能利用三角形的全等解決實際問題,體會數(shù)學(xué)于實際生活的聯(lián)系.4.能在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá),提高分析解決問題的能力.知識點01利用尺規(guī)作三角形在學(xué)習(xí)之前先要對尺規(guī)作線段和尺規(guī)作角熟練掌握并應(yīng)用,根據(jù)給出的不同條件采用不同方法作出圖形;有三種基本類型:(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SAS;(2)已知三角形的兩角及其夾邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是ASA;(3)已知三角形的三邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SSS.知識點02利用三角形全等測距離1.當(dāng)兩點之間可以直接到達(dá)時,可以直接測量出兩點之間的距離;當(dāng)兩點之間不能直接到達(dá)時,可以構(gòu)造全等三角形,將不能到達(dá)的兩點轉(zhuǎn)化到能夠到達(dá)的兩點來進(jìn)行測量.2.通過構(gòu)造全等三角形來進(jìn)行測量有以下幾種方法:構(gòu)造兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個全等三角形;構(gòu)造兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形;構(gòu)造三邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形.總結(jié):利用三角形全等來設(shè)計測量方案:首先根據(jù)已有的條件和欲測量的問題進(jìn)行分析,明確要運(yùn)用哪種方法來構(gòu)建全等三角形,即將要用到哪種全等的判定方法;然后,在測量方案中把說明兩個三角形全等所需要的條件毫無遺漏地“測量到位”.題型01結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題【例題】(22-23七年級下·遼寧沈陽·期末)已知,按圖示痕跡做,得到,則在作圖時,這兩個三角形滿足的條件是()A.,B.,C.,,D.,,【答案】D【分析】根據(jù)證明三角形全等即可.本題考查作圖復(fù)雜作圖,全等三角形的判定等知識,解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息,屬于中考??碱}型.【詳解】解:由作圖可知,,,,在和中,,故選:D.【變式訓(xùn)練】1.(23-24八年級上·福建福州·期中)用直尺和圓規(guī)作兩個全等三角形,如圖,能得到的依據(jù)是(
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A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查復(fù)雜作圖,根據(jù)作圖的痕跡進(jìn)行判斷即可求解.掌握全等三角形的判定定理及基本作圖是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:由作圖得:,,在和中,,∴,∴能得到的依據(jù)是.故選:C.2.(23-24八年級上·河北邢臺·期中)如圖,課本上給出了小明一個畫圖的過程,這個畫圖過程說明的事實是(
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A.兩個三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等,這兩個三角形全等B.兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等,這兩個三角形全等C.兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等,這兩個三角形不一定全等D.兩個三角形的兩個角和夾邊對應(yīng)相等,這兩個三角形不一定全等【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:根據(jù)作圖可知:兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等,其中角的對邊不確定,可能有兩種情況,故三角形不能確定,所以兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等,這兩個三角形不一定全等,故選:C.【點睛】本題考查了全等三角形的判定,熟知三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵.題型02尺規(guī)作圖——作三角形【例題】(23-24八年級上·浙江·期末)已知和線段(如圖).(1)用直尺和圓規(guī)作(點在的上方),使,(做出圖形,保留痕跡,不寫作法).(2)這樣的三角形能作幾個?【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法,解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.(1)先作,再在上截取,然后以為圓心,為半徑畫弧交于和,則和即為所作;(2)由作圖即可得出答案.【詳解】(1)解:如圖,和即為所作,;(2)解:由圖可得:這樣的三角形能作個.1.(23-24八年級上·廣東廣州·期中)作三角形:已知:線段a、c和(如圖),利用直尺和圓規(guī)作,使,,.(不寫作法,保留作圖痕跡).【答案】見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖,先作已知角,再作已知邊,即可求得結(jié)果,掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:如圖:①作,②在上截取,在上截取,連接,,則即為所求.2.(23-24八年級上·浙江杭州·期末)如圖,已知和線段a,b,用直尺和圓規(guī)作,,(保留作圖痕跡)【答案】見詳解【分析】本題考查了作圖,作一個角等于已知角和用已知線段畫三角形,先作,再在上截取,然后以C為圓心,b為半徑畫弧交于A和,則和滿足條件.【詳解】解:這樣的三角形能作2個.如圖,和為所作.題型03全等三角形的性質(zhì)【例題】(22-23八年級上·浙江臺州·期末)如圖,點,,,在同一直線上,,,,則的長是.【答案】5【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì),根據(jù)得到,結(jié)合,,,在同一直線上即可得到答案;【詳解】解:∵,∴,∵,,,在同一直線上,,,∴,故答案為:5.【變式訓(xùn)練】1.(23-24八年級上·廣西百色·期末)如圖,,點E在AB上,DE與AC交于點F,,,則.【答案】/24度【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到,,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出,計算即可.【詳解】解:,,,,,,,,故答案為:.2.(22-23八年級下·福建福州·開學(xué)考試)如圖,,點E在上,,若,則的長為.【答案】1【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),能求出,的長是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:,,,,故答案為:1題型04利用全等三角形求動點問題的多解題【例題】(23-24八年級上·湖北荊州·期中)如圖,,于,于,且,點從向運(yùn)動,每分鐘走,點從向運(yùn)動,每分鐘走,、兩點同時出發(fā),運(yùn)動分鐘后,與全等.【答案】4【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識.設(shè)運(yùn)動分鐘后與全等;則,,則,分兩種情況:①若,則,此時,;②若,則,得出,,即可得出結(jié)果.【詳解】解:于,于,,設(shè)運(yùn)動分鐘后與全等;則,,則,分兩種情況:①若,則,,,,;②若,則,解得:,,此時與不全等;綜上所述:運(yùn)動4分鐘后與全等;故答案為:4.【變式訓(xùn)練】1.(23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí))如圖,,,,點P在線段上以每秒1個單位長度的速度由點A向點B運(yùn)動.同時,點Q在線段上以每秒x個單位長度的速度由點B向點D運(yùn)動,當(dāng)一點到達(dá)終點時,另一點也停止運(yùn)動.當(dāng)與全等時,x的值為.【答案】1或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),一元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于分情況求解.由題意知當(dāng)與全等,分和兩種情況,根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】解:由題意知,,,,與全等,,∴分兩種情況求解:①當(dāng)時,,即,解得;②當(dāng)時,,即,解得,,即,解得;綜上所述,的值是1或,故答案為:1或.2.(23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí))如圖,在中,,,,點在直線上.點從點出發(fā),在三角形邊上沿的路徑向終點運(yùn)動;點從點出發(fā),在三角形邊上沿的路徑向終點運(yùn)動.點和分別以單位秒和單位秒的速度同時開始運(yùn)動,在運(yùn)動過程中,若有一點先到達(dá)終點時,該點停止運(yùn)動,另一個點要繼續(xù)運(yùn)動,直到兩點都到達(dá)相應(yīng)的終點時整個運(yùn)動才能停止.在某時刻,分別過和作于點,于點,則點的運(yùn)動時間等于秒時,與全等.【答案】2或或12【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),分情況討論是解題的關(guān)鍵:分四種情況,點在上,點在上;點、都在上;點到上,點在上;點到點,點在上.【詳解】解:與全等,斜邊斜邊,分四種情況:當(dāng)點在上,點在上,如圖:,,,當(dāng)點、都在上時,此時、重合,如圖:,,,當(dāng)點到上,點在上時,如圖:,,,不符合題意,當(dāng)點到點,點在上時,如圖:,,,綜上所述:點的運(yùn)動時間等于2或或12秒時,與全等,故答案為:2或或12.題型05利用三角形全等測距離【例題】(23-24八年級上·河南信陽·期末)如圖,數(shù)學(xué)實踐小組想要測量某公園的人工湖兩端,之間的距離,由于條件限制無法直接測得.請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫他們按以下要求設(shè)計一種測量方案.(1)畫出測量示意圖;(2)寫出測量的步驟;(測量數(shù)據(jù)用字母表示)(3)計算,之間的距離.(寫出求解或推理過程,結(jié)果用字母表示)【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)設(shè),,之間的距離為【分析】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個全等的三角形.(1)由于無法直接測得,故間接構(gòu)造兩個涉及邊的全等三角形,如解析所示;(2)在湖岸上找可以直接到達(dá),的一點,構(gòu)造,,即可;(3)利用證明,由全等三角形的性質(zhì)可得,則的長度就是的長度.【詳解】(1)解:測量示意圖如下圖所示;(2)在湖岸上找可以直接到達(dá),的一點,連接并延長到使得,連接并延長到點使得,連接,則,測量的長度,即的長度為;(3)設(shè),由測量方案可知,,在和中,,∴,∴.【變式訓(xùn)練】1.(23-24八年級上·四川宜賓·期末)小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測一池塘的長度,經(jīng)過實地測量,繪制如下圖,點在直線l上(點F、C之間的距離為池塘的長度),點A、D在直線l的異側(cè),且,,測得.
(1)求證:;(2)若,,求池塘的長度.【答案】(1)證明詳見解析;(2)44m.【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì),平行線的性質(zhì)等.(1)根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì),全等三角形判定即可得到本題答案;(2)根據(jù)題意利用第(1)問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案.【詳解】(1)解:∵,∴,∵在和中,,∴;(2)解:由(1)可知:,∴,∴,∴,又∵,∴,又∵,∴,∴池塘的長為.2.(23-24八年級上·湖北恩施·期末)如圖,學(xué)生甲學(xué)習(xí)了全等三角形后,想測草坪旁池塘兩岸相對兩點,的距離.請你給學(xué)生甲設(shè)計一個測量方案,并證明按你的方案進(jìn)行測量,其結(jié)果是正確的.(1)簡單說明你設(shè)計的方案,并畫出圖形;(2)證明你的方案的可行性,即證明按你的方案進(jìn)行測量,其結(jié)果是正確的.【答案】(1)方案見解析;(2)證明見解析.【分析】本題考查全等三角形的應(yīng)用---方案設(shè)計,熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)設(shè)計圖形即可;(2)利用“”即可證明方案的可行性.【詳解】(1)解:如圖所示:過B作,過D作,取的中點C,連接并延長交于點E測量線段的長即可.(2)證明:∵,,∴,∵C為的中點,∴,∴在和中:∴,∴.題型06全等三角形的綜合問題【例題】(22-23八年級上·河北石家莊·期中)已知四邊形中,,,,,,繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長線)于E,F(xiàn).(1)當(dāng)繞B點旋轉(zhuǎn)到時(如圖1),試猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系為__________.(不需要證明);(2)當(dāng)繞B點旋轉(zhuǎn)到時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想并證明.【答案】(1)(2)以上結(jié)論不成立,應(yīng)為,證明見詳解【分析】本題幾何變換綜合題,考查的是全等三角形的判定和性質(zhì),正確作出輔助性、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.(1)延長至點使,連接,分別證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論;(2)延長至G,使仿照(1)的證明方法解答.【詳解】(1)解:,理由如下:延長至點使,連接,在與中,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,在與中,,∴,∴,∴;(2)解:以上結(jié)論不成立,應(yīng)為,理由如下:延長至G,使由(1)可知,,∴,∴,∵∴∴∴【變式訓(xùn)練】1.(23-24八年級上·安徽安慶·階段練習(xí))在點,過點分別作,,垂足分別為,.且,點,分別在邊和上.(1)如圖1,若,請說明(2)如圖2,若,,猜想,,具有的數(shù)量關(guān)系,并說明你的結(jié)論成立的理由.【答案】(1)證明見解析(2),理由見解析【分析】(1)由,,可得,結(jié)合,,可證,即可求解,(2)在上取點,使,通過證明,,即可求解,本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,解題的關(guān)鍵是:通過輔助線構(gòu)造全等三角形.【詳解】(1)解:,,,,,,,(2)解:在上取點,使,,,,,,,,,,,,,即,,,即:,.2.(23-24八年級上·重慶巴南·階段練習(xí))如圖1,在中,,,,,現(xiàn)有一動點從點出發(fā),沿著三角形的邊運(yùn)動,回到點停止,速度為,設(shè)運(yùn)動時間為.
(1)如圖1,當(dāng)時,;(2)如圖2,在中,,,,.在的邊上,若另外有一個動點,與點同時從點出發(fā),沿著邊運(yùn)動,回到點停止.在兩點運(yùn)動過程中的某一時刻,恰好與全等,求點的運(yùn)動速度.【答案】(1)或(2)兩點運(yùn)動過程中的某一時刻,恰好與全等,點的運(yùn)動速度為或或cm/s或【分析】本題考查全等三角形與動點的綜合,解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行解答.(1)點運(yùn)動的速度為,則,;根據(jù),分類討論:點在上時;點在上時,進(jìn)行解答,即可;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì),分類討論:當(dāng)點在上,,,;當(dāng)點在上,點在上,,,;當(dāng)點在上,,,;當(dāng)點在上,點在上,,,,求出對應(yīng)的點的運(yùn)動速度,即可.【詳解】(1)∵點運(yùn)動的速度為,點在上時,∴,∵,∴,,∵,∴,∴,解得:;
點在上時,過點作于點,∴點的運(yùn)動路程為,∴,,∵,∴,∵是直角三角形,∴當(dāng)點在的中點時,,,∴,解得:;故答案為:或;(2)∵在中,,,,,∴當(dāng)點在上,,,;∴點的速度為:;
當(dāng)點在上,點在上,,,,∴點的速度為:;
當(dāng)點在上,,,,∴點運(yùn)動的距離為:,點運(yùn)動的距離為:,∴點的速度為:;
當(dāng)點在上,點在上,,,∴點的速度為:;
綜上所述,兩點運(yùn)動過程中的某一時刻,恰好與全等,點的運(yùn)動速度為或或cm/s或.一、單選題1.(23-24八年級上·河北邢臺·階段練習(xí))根據(jù)下列已知條件,能畫出唯一的的是(
)A.,, B.,,C., D.,,【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理,能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵,注意:全等三角形的判定定理有,兩直角三角形全等還有.根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系理逐個判斷即可.【詳解】解:A、,不符合三角形的三邊關(guān)系定理,不能畫出三角形,故本選項不符合題意;B、,不符合全等三角形的判定定理,不能畫出唯一的三角形,故本選項不符合題意;C、,不符合全等三角形的判定定理,不能畫出唯一的三角形,故本選項不符合題意;D、,符合全等三角形的判定定理,能畫出唯一的三角形,故本選項符合題意;故選:D.2.(23-24八年級上·云南·階段練習(xí))如圖,在方格紙中,以為一邊作,使之與全等,從四個點中找出符合條件的點,則點有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì),由網(wǎng)格中點的對稱性,結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等判斷即可,掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:如圖所示:,即;;;符合條件的點有,共有3個,故選:C.3.(23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí))如圖,點B在線段上,,,,則的長為(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì),利用全等三角形的對應(yīng)邊相等解決問題,掌握全等三角形的性質(zhì)的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵,,∴,又∵,∴,故選:B.4.(23-24八年級上·福建泉州·期中)如圖,,的延長線交于點,交于點.若,,,則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì),由,則與是一組對應(yīng)角,與是一組對應(yīng)角,對于,外角等于除外的兩個內(nèi)角之和,求得,再在中,由三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果.【詳解】解:,,,,.由三角形外角的性質(zhì)可得,..,,.故選:B.5.(23-24八年級上·河南開封·期末)如圖,已知和一條長度為的線段,作一個以為底角,為腰長的等腰三角形的方法是:①連接;②以點為圓心,的長為半徑畫弧,交射線于點;③在的兩邊上截?。虎墚嬌渚€,以點為圓心,的長為半徑畫弧,在射線上截取,并以點為圓心,的長為半徑畫弧,兩弧交于點.以上畫法正確的順序是()A.③④①② B.④③②① C.③④②① D.④③①②【答案】C【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和等腰三角形的作圖,解決本題的關(guān)鍵是理解等腰三角形的作圖過程,根據(jù)尺規(guī)作等腰三角形的過程逐項判斷即可解答.【詳解】解:已知和一條長度為的線段,作一個以為底角,為腰長的等腰三角形的方法是:③在的兩邊上截??;④畫射線,以點為圓心,的長為半徑畫弧,在射線上截取,并以點為圓心,的長為半徑畫弧,兩弧交于點;②以點為圓心,的長為半徑畫弧,交射線于點;①連接.即為所求作的三角形.畫法正確的順序是③④②①,故選C.二、填空題6.(23-24八年級上·河北保定·期末)如圖,,若,,則;【答案】7【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵,∴,,∴,故答案為:7.7.(22-23七年級下·山東濟(jì)南·階段練習(xí))如圖,在的正方形網(wǎng)格中,的三個頂點都在格點上,則與有一條公共邊且全等(不與重合)的格點三角形(頂點都在格點上的三角形)共有個.
【答案】6/六【分析】根據(jù)全等三角形的判定分別求出以為公共邊的三角形,以為公共邊的三角形,以為公共邊的三角形的個數(shù),相加即可.【詳解】解:如圖所示,以為公共邊可畫出、、三個三角形和原三角形全等;以為公共邊可畫出、、三個三角形和原三角形全等;以為公共邊不可以畫出三角形和原三角形全等;所以共有6個三角形和原三角形全等,故答案為:6.
【點睛】本題考查全等三角形的判定,三條邊分別相等的兩個三角形全等,以及格點的概念,熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵.8.(23-24八年級上·云南昆明·期末)如圖,,如果點在線段上以秒的速度由點向點運(yùn)動,同時,點從點出發(fā)沿射線運(yùn)動.若經(jīng)過秒后,與全等,則的值是.【答案】1或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì),利用全等三角形對應(yīng)邊相等,列出方程是解題的關(guān)鍵.利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答:①當(dāng)和②當(dāng)時,設(shè)運(yùn)動時間為秒,點的運(yùn)動速度為秒,利用全等三角形對應(yīng)邊相等,列出方程即可求解.【詳解】解:設(shè).兩點的運(yùn)動時間為秒,點的運(yùn)動速度為秒,則,,.,①當(dāng)時,,.,;②當(dāng)時,,,,.綜上,當(dāng)?shù)闹凳?或時,能夠使與全等.故答案為:1或.9.(21-22七年級下·山東煙臺·期中)如圖,點B在直線l上,分別以線段BA的端點為圓心,以BC(小于線段BA)長為半徑畫弧,分別交直線l,線段BA于點C,D,E,再以點E為圓心,以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F,畫射線AF.若∠BAF的平分線AH交直線l于點H,∠ABC=70°,則∠AHB的度數(shù)為.【答案】35°/35度【分析】連接CD,EF.由題目中尺規(guī)作圖可知:,.可證,所以,可得.所以.由于AH平分,所以.即:.【詳解】解:連接CD,EF由題目中尺規(guī)作圖可知:,在和中AH平分故答案為:.【點睛】本題主要考查知識點為,全等三角形的性質(zhì)及判定、定點為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì),角平分線的性質(zhì).能看懂尺規(guī)作圖,熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定,角平分線的性質(zhì),是解決本題的關(guān)鍵.10.(23-24八年級上·重慶·階段練習(xí))如圖,在長方形中,,延長到點E,使,連接,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿向終點A運(yùn)動,設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)t的值為秒時,與全等.【答案】1或7【分析】本題考查了全等三角形的判定,判定方法有:.根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論,根據(jù)題意得出和即可求得.【詳解】解:由題意得:,若,根據(jù)證得,,即,若,根據(jù)證得,,即.當(dāng)t的值為1或7秒時.與全等.故答案為:1或7.三、解答題11.(2023九年級下·全國·專題練習(xí))如圖,已知,點D是上一點,交于點E,且.(1)求證:;(2)若,,求的長.【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).選擇合適的判定方法是解題的關(guān)鍵.(1)利用角角邊定理判定即可;(2)利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得的長,用即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明:,,在和中,,;′(2)解:由(1)知,,,,.12.(20-21八年級上·四川南充·期末)某中學(xué)八年級學(xué)生進(jìn)行課外實踐活動,要測池塘兩端A,B的距離,因無法直接測量,經(jīng)小組討論決定,先在地上取一個可以直接到達(dá)A,B兩點的點O,連接AO并延長到點C,使AO=CO;連接BO并延長到點D,使BO=DO,連接CD并測出它的長度.(1)根據(jù)題中描述,畫出圖形;(2)CD的長度就是A,B兩點之間的距離,請說明理由.【答案】(1)見解析;(2)見解析【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可;(2)利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.【詳解】解:(1)圖形如圖所示:(2)連接AB.在△AOB和△COD中,,∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD,∴CD的長度就是A,B兩點之間的距離.【點睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖,全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.13.(23-24八年級上·山西呂梁·期末)小明利用一根長為的竿子來測量路燈桿的高度(),方法如下:如圖,在地面上選一點P,使,然后把在的延長線上左右移動,使,且,此時測得.(1)求證:.(2)求路燈桿的高度.【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的應(yīng)用:(1)根據(jù)題意求出,根據(jù)即可證明;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得路燈桿的高度.【詳解】(1)證明:∵,∴∵∴∴,在和中,,∴;(2)解:∵,,∴,∵,∴.14.(22-23八年級上·江西贛州·期中)小光的爺爺為我們講述了一個他親身經(jīng)歷的故事:在抗日戰(zhàn)爭期間,為了炸毀與我軍陣地隔河相望的日軍碉堡,需要測出我軍陣地到日軍碉堡的距離,由于沒有任何測量工具,我軍戰(zhàn)士為此盡腦汁.這時,一位聰明的戰(zhàn)士想出了辦法,成功炸毀了碉堡.(1)你認(rèn)為他是怎樣做到的?方法是:戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好,調(diào)整帽子,使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他轉(zhuǎn)過一個角度,保持剛才的姿勢,這時,視線落在了自己所在岸的某一點上;接著,他用步測的方法量出自己與那個點的距離,這個距離就是他與碉堡的距離.(2)你能根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法,畫出相應(yīng)的圖形嗎?①畫出相應(yīng)的圖形.②戰(zhàn)士用的方法中,已知條件是什么?戰(zhàn)士要測的是什么?(結(jié)合圖形寫出)③請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明戰(zhàn)士這樣測的理由.【答案】①見解析;②,;③.理由見解析.【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用,根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法,畫出相應(yīng)的圖形是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)垂直的定義得到,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.【詳解】解:①如圖,②已知條件是,.③戰(zhàn)士要測的是.理由:,,在與中,,,.15.(
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