七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第四章第05講 模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見八種模型(8類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第05講模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見八種模型(8類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【模型一平移型模型】 1【模型二軸對(duì)稱型模型】 3【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 5【模型四一線三等角模型】 9【模型五三垂直模型】 14【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】 18【模型七倍長(zhǎng)中線模型】 24【模型八截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】 30【模型一平移型模型】例題：（2023上·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，．求證：．

【答案】證明見解析【分析】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定的應(yīng)用以及兩直線平行的判定定理，解此題的關(guān)鍵是推出，注意全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；根據(jù)可知，又根據(jù)∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求證．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴在和中，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)全等三角形的判定定理證明．【詳解】，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．2．（2024上·新疆和田·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，然后根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，且，，在和中，，，（2）解：由（1）可知，，，，，，．【模型二軸對(duì)稱型模型】例題：（2024上·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）線段、相交于點(diǎn)，，，求證：．【答案】證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：在和中，，【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)，推出，即可根據(jù)進(jìn)行求證．【詳解】證明：，．在和中，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的方法有．2．（2024上·山西陽泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是小寧制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明，再證明，即可得到．【詳解】解：∵，，即．在與中，．．∵，．【模型三四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當(dāng)∠EDG=90°-α?xí)r，（2）中結(jié)論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當(dāng)時(shí)，仍然成立．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【模型四一線三等角模型】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、△CAF的外角．若，，求證：△ABE≌△CAF．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：，進(jìn)而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和△CAF中，∴；應(yīng)用解：∵△ABE≌△CAF，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請(qǐng)解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確的結(jié)論再給予證明．【答案】(1)①見解析；②，見解析(2)不成立，，見解析【分析】（1）①利用垂直及互余的關(guān)系得到，證明≌即可；②利用三等角模型及互補(bǔ)證明，得到≌即可；（2）利用互補(bǔ)的性質(zhì)得到，證明≌即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．證明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)鍵．2．（2024上·湖南株洲·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）如圖①，已知∶中，，直線經(jīng)過點(diǎn)于于，求證∶；（2）拓展∶如圖②，將（1）中的條件改為∶中，三點(diǎn)都在直線上，并且，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）應(yīng)用∶如圖③，在中，是鈍角，，，直線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若的面積是12，求與的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）先證明，，然后根據(jù)即可證明；（2）先證明，再證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）同（2）可證，得出，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，且，∴，在和中，，∴；（2）成立，證明如下：∵，∴，且，∴，在和中，，∴，∴，，∴．（3）同（2）可證，∴，設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，∴，，∵，∴，∵，∴與的面積之和為6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)以及不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，結(jié)合題目所給條件，得出是解決問題的關(guān)鍵．【模型五三垂直模型】例題：（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查一線三直角全等問題，（1）由，得，則，而，即可證明，得，，于是得到問題的答案；（2）作于點(diǎn)，因?yàn)橛邳c(diǎn)，于點(diǎn)，所以，由（1）得，因?yàn)?，所以，則，而，即可證明，得，所以，再證明，則．【詳解】（1））解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案為：，．（2）證明：如圖2，作于點(diǎn)，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．2．（2024上·吉林遼源·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時(shí)，試問、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)(或，)．【分析】本題考查了幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明和全等的三個(gè)條件．題型較好．（1）①已知已有兩直角相等和，再由同角的余角相等證明即可證明；②由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，，從而得證；（2）根據(jù)垂直定義求出，根據(jù)等式性質(zhì)求出，根據(jù)證出和全等，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，，從而得證；（3）同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵，，∴，，∴，在與中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）證明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在與中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可證．∴，，∵∴，即；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，、、所滿足的等量關(guān)系是(或，)．【模型六旋轉(zhuǎn)型模型】例題：如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；（3）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進(jìn)而可知∠CFA【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：將直線CE與AB的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴兩個(gè)三角形面積相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC=【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點(diǎn)D在邊AC上，且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點(diǎn)F是ED與AB的交點(diǎn)．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌△CBD（SAS），進(jìn)而得證；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點(diǎn)，．（1）請(qǐng)說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請(qǐng)你描述這個(gè)變換；（3）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通過觀察可知△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠AMB．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∴；（2）通過觀察可知繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）由（1）知，，∴．【點(diǎn)睛】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）首先求出BE的長(zhǎng)度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．【模型七倍長(zhǎng)中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵為中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，是邊上的中線．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．(1)求證：；(2)與的數(shù)量關(guān)系是：____________，位置關(guān)系是：____________；(3)若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，(3)，證明見解析【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理，即可證得；(2)由，可得，，據(jù)此即可解答；(3)根據(jù)三角形全等的判定定理，可證得，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）證明：是BC邊上的中線，，在與中，；（2）解：，，，，故答案為：，；（3）解：證明：，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．(2)如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．（1）由作圖可得，根據(jù)“”證得，得到，在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有，代入即可求解；（2）延長(zhǎng)到M，使得，連接，則，由（1）同理可證，得到，，從而，又，因此，進(jìn)而得證，故；（3）取的中點(diǎn)為M，連接并延長(zhǎng)至N，使，連接、，證得得到，證得得到．延長(zhǎng)交于F，由三角形的三邊關(guān)系得到，即．【詳解】（1）∵，∴∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案為：（2），理由：如圖，延長(zhǎng)到M，使得，連接，∴，∵是的中線，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點(diǎn)為M，連接并延長(zhǎng)至N，使，連接、，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延長(zhǎng)交于F，則，且，∴，∴，即．【模型八截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】例題：在四邊形中，點(diǎn)C是邊的中點(diǎn)．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關(guān)系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關(guān)系及理由．【答案】(1)，見解析(2)，理由見解析【分析】（1）在上取一點(diǎn)F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出結(jié)論；（2）在上取點(diǎn)F，使，連接，在上取點(diǎn)G，使，連接．可以求得，是等邊三角形，就有，進(jìn)而得出結(jié)論；【詳解】（1），理由如下：在上取一點(diǎn)F，使，連接．∵平分，∴，在和中∴．∴，，∵C是邊的中點(diǎn)．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，連接，．與（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．∴為等邊三角形．∴．∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得，即可求解．【詳解】（1）解：在上截取，連接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．