全等三角形問題中常見的輔助線的作法

全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答．倍長中線（線段）造全等例1.已知：如圖3所示，AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖形想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，但它的左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE。3圖例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.因?yàn)锽D=DC=AC，所以AC=1/2BC因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，所以EC=1/2DC=1/2AC∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE所以∠ABC=∠CAE因?yàn)镈C=AC，所以∠ADC=∠DAC∠ADC=∠ABC+∠BAD所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE所以∠BAD=∠DAE即AD平分∠BAE應(yīng)用：二、截長補(bǔ)短例1.已知：如圖1所示，AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4。求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF。延長FD到G,使DG=FD,再連結(jié)EG,BG1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC證明：取AB中點(diǎn)E，連接DE∵AD=BD∴DE⊥AB，即∠AED=90o【等腰三角形三線合一】∵AB=2AC∴AE=AC又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】AD=AD∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）∴∠C=∠AED=90o∴CD⊥AC2、如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD在AB上取點(diǎn)N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：做輔助線PM‖BQ，與QC相交與M。（首先算清各角的度數(shù)）∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°∴∠APB=∠APM又∵AP是BAC的角平分線，∴∠BAP=∠MAPAP是公共邊∴△ABP≌△AMP(角邊角）∴AB=AM，BP=MP在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°∴MP=MC∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中∵∠QBC=QCB=40°∴BQ=QC∴BQ+AQ=AQ+QC=AC∴BQ+AQ=AB+BP4、角平分線如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：延長BA,作DF⊥BA的延長線，作DE⊥BC∵∠1=∠2∴DE=DF（角分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）∴在Rt△DFA與Rt△DEC中｛AD=DC,DF=DE}∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL)∴∠3=∠C因?yàn)椤?+∠3=180°∴∠4+∠C=180°即∠A+∠C=180°?5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC延長AC至E，使AE