實數(shù)（知識梳理與考點分類講解）-八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題2.13實數(shù)（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.【知識點2】實數(shù)概念的理解及分類有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).【知識點3】實數(shù)的大小比較對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負(fù)實數(shù)小于0，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.【知識點4】實數(shù)的運算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運算.在進(jìn)行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.【考點一】實數(shù)??概念理解★★實數(shù)的分類【例1】課堂上，老師讓同學(xué)們從下列數(shù)中找一個無理數(shù)：，，，0，，，其中，甲說“”，乙說“”，丙說“”（1）甲、乙、丙三個人中，說錯的是________．（2）請將老師所給的數(shù)字按要求填入下面相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)；

【答案】（1）甲；（2）正實數(shù)為，，負(fù)分?jǐn)?shù)為【分析】（1）根據(jù)無理數(shù)的概念即可判斷；（2）根據(jù)實數(shù)相關(guān)概念填空即可．解：（1）是負(fù)分?jǐn)?shù)，即是有理數(shù)范圍內(nèi)的，不是無理數(shù)，故甲錯；（2）正實數(shù)包括正有理數(shù)與正無理數(shù)，故答案為：、；負(fù)分?jǐn)?shù)為：．【點撥】本題考查了實數(shù)的分類識別，明確基本概念并準(zhǔn)確區(qū)分是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】有下列說法：①無理數(shù)是無限小數(shù)，無限小數(shù)是無理數(shù)；②無理數(shù)包括正無理數(shù)、和負(fù)無理數(shù)；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；④無理數(shù)是含有根號且被開方數(shù)不能被開盡的數(shù)；⑤是一個分?jǐn)?shù)．其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念判斷．解：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，錯誤．是有理數(shù)，錯誤．是有理數(shù)，錯誤．也是無理數(shù)，不含根號，錯誤．是一個無理數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，錯誤．故選：．【點撥】本題考查實數(shù)的概念，掌握無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)是求解本題的關(guān)鍵．【變式2】有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：若把實數(shù)a代入數(shù)值轉(zhuǎn)換器，恰好經(jīng)過4次代入數(shù)值的程序運算，最終輸出的數(shù)值是，則．【答案】256【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義、有理數(shù)和無理數(shù)的定義，把第4次的程序運算輸出的數(shù)值代入計算即可．解：∵第4次的程序運算輸出的數(shù)值是所代入的數(shù)值為2，第3次的程序運算輸出的數(shù)值是2所代入的數(shù)值為，第2次的程序運算輸出的數(shù)值是4所代入的數(shù)值為，第1次的程序運算輸出的數(shù)值是16所代入的數(shù)值為，∴符合題意，故答案為：256．【點撥】本題考查算術(shù)平方根的定義、有理數(shù)和無理數(shù)的定義，熟練掌握算術(shù)平方根的定義、有理數(shù)和無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】用序號將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)．①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨3.14（1）整數(shù)集合{

…}；（2）分?jǐn)?shù)集合{

…}；（3）無理數(shù)集合{

…}．【答案】（1）整數(shù)集合；（2）分?jǐn)?shù)集合；（3）無理數(shù)集合．【分析】根據(jù)實數(shù)的分類進(jìn)行解答．解：（1）整數(shù)集合；（2）分?jǐn)?shù)集合；（3）無理數(shù)集合．【點撥】本題考查實數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握基礎(chǔ)知識是關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】在實數(shù)：3.14159，，1.010010001，，，中，無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．解：，∴在實數(shù)：3.14159，，1.010010001…，π，中，無理數(shù)有1.010010001…，π，共2個．故選：B．【點撥】本題主要考查了無理數(shù)的定義，掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式2】在0，3.14159，，，，，，，中，其中是無理數(shù)，是有理數(shù)．【答案】，，，0，3.14159，﹣，，【分析】無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，而有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，據(jù)此進(jìn)一步得出答案即可.解：∵無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，∴無理數(shù)有：，，，，∵有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，∴有理數(shù)有：0，3.14159，﹣，，，故答案為：，，，；0，3.14159，﹣，，．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)與無理數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.【考點二】實數(shù)??實數(shù)的性質(zhì)★★實數(shù)與數(shù)軸【例3】已知實數(shù)a，b滿足＋|2b＋1|＝0，求的值．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，代入所求代數(shù)式計算即可．解：根據(jù)題意，得解得則b＝×＝－.【點撥】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．【舉一反三】【變式1】的絕對值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可．解：∵>1，∴｜｜＝，故選：B．【點撥】本題考查絕對值，估算無理數(shù)，熟練掌握一個正數(shù)的絕對值是它的本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反相數(shù)，0的絕對值中0是解題的關(guān)鍵．【變式2】－的相反數(shù)為，|1－|＝，絕對值為的數(shù)為．【答案】－－1±3【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案;結(jié)合絕對值的定義得出答案;根據(jù)立方根的定義先求出的值,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求出.解：(1)－的相反數(shù)是：－，(2)|1－|＝－1;(3)=3,∴絕對值為3的數(shù)為±3.故答案為－;－1;±3.【點撥】本題主要考查相反數(shù)，絕對值的定義以及立方根,關(guān)鍵在于熟練掌握運用相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真的進(jìn)行計算．【例4】化簡求值：已知是的整數(shù)部分，，求的平方根．已知：實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1.解：分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整數(shù)部分a的值；由于=3，根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求b，再代入計算，進(jìn)一步求得平方根．

（2）利用數(shù)軸得出各項符號，進(jìn)而利用二次根式和絕對值的性質(zhì)化簡求出即可．解：（1）∵3＜＜4，∴a=3．

∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3；由數(shù)軸可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，則a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，則+2﹣|a﹣b|

=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）

=a+1+2b﹣2+a﹣b

=2a+b﹣1．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根與平方根的定義和估算無理數(shù)的大小，熟記概念，先判斷所給的無理數(shù)的近似值是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】對于數(shù)字-2+，下列說法中正確的是（

）A．它不能用數(shù)軸上的點表示出來 B．它比0小C．它是一個無理數(shù) D．它的相反數(shù)為2+【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的意義，實數(shù)的計算，無理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義判斷即可．解：A．?dāng)?shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的，故該說法錯誤，不符合題意；B．，故該說法錯誤，不符合題意；C．是一個無理數(shù)，故該說法正確，符合題意；D．的相反數(shù)為，故該說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查數(shù)軸的意義，實數(shù)的計算，無理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)計算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則．【答案】【分析】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號，進(jìn)行化簡即可．解：由圖可知：，∴，∴；故答案為：．【點撥】本題考查開方運算，化簡絕對值，整式的加減運算．解題的關(guān)鍵是根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號．【考點三】實數(shù)??實數(shù)的大小比較【例5】講解完本節(jié)，王老師在小結(jié)時總結(jié)了這樣一句話：“對于任意兩個整數(shù)a、b，如果a＞b，那么．”然后講了下面的一個例題：比較和的大?。椒ㄒ唬海帧?＜12，∴．方法二：200=8，4×3=12．又∵8＜12，∴．根據(jù)上面的例題解答下列各題：（1）比較和的大小；（2）比較1與的大?。敬鸢浮浚?）；（2）．【分析】（1）根據(jù)負(fù)數(shù)的乘方，冪越大，負(fù)數(shù)越小，可得答案；（2）根據(jù)乘方，可得實數(shù)的減法，根據(jù)被減數(shù)相同，減數(shù)越大，差越小，可得答案．解：（1）（﹣5）2=150，（﹣6）2=180，150＜180，∴；（2）（1）2=8﹣2，（）2=8﹣2∵，∴．【點撥】本題考查了實數(shù)比較大小，掌握平方法比較實數(shù)大小是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】下列比較兩個數(shù)的大小正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實數(shù)比較大小的方法進(jìn)行比較即可.解：A中兩邊平方7<，所以所以A錯，B中π2<10，所以，即：所以B錯，C中，所以所以C錯，D中，所以D對.故選D.【點撥】本題考查了無理數(shù)與有理數(shù)比較大小的方法，有理數(shù)與無理數(shù)比較一般在分情況下對兩邊平方再比較，若兩邊都大于1，兩邊平方再比較，兩邊都小于-1，兩邊平方符號相反再比較.【變式2】比較大?。海ㄌ睢?gt;”“<”“=”）【答案】【分析】利用兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小即可求解．解：∵，，且，∴，即，故答案為：【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，熟記兩個負(fù)實數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．【考點四】實數(shù)??實數(shù)的混合運算【例6】計算：； (2)；【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用乘方、立方根、絕對值、算術(shù)平方根分別化簡后，再計算加減法即可；（2）先利用算術(shù)平方根、絕對值化簡后，再進(jìn)行實數(shù)的混合運算即可．解：（1）（2）【點撥】此題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則和順序是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】的值為()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)有實數(shù)的運算法則求解即可.解：原式；故答案為：A.【點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義.【變式2】已知、是有理數(shù)，且、滿足，則．【答案】或10【分析】把化成，根據(jù)、是有理數(shù)，得到的值為有理數(shù)，即為有理數(shù)，故，求出，再求得即可求解．解：，，，、是有理數(shù)，的值為有理數(shù)，為有理數(shù)，，解得，，解得，或，故答案為：或10．【點撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，利用有理數(shù)的定義進(jìn)行求解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．【考點五】實數(shù)??實數(shù)的運算??程序設(shè)計★★新定義【例7】如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．(1)當(dāng)輸入的x值為9時，輸出的y值為________；當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為時，輸入的x值為________．(2)嘉淇發(fā)現(xiàn)輸入x值后要取其算術(shù)平方根，因此他輸入的x值應(yīng)為非負(fù)數(shù)．但是當(dāng)他輸入x值后，卻始終輸不出y值，請你分析，他輸入的x值是多少？【答案】(1)；25；(2)他輸入的x值是0或者1【分析】(1)把x=9代入程序框圖中計算，判斷結(jié)果是有理數(shù)還是無理數(shù)，即可得出y的值，把x=25代入程序框圖中計算，判斷結(jié)果是有理數(shù)還是無理數(shù)，即可得出y的值，從而可以得到輸入的x的值．根據(jù)題意可知，他輸入的x值應(yīng)為非負(fù)數(shù)．但是當(dāng)他輸入x值后，卻始終輸不出y值，找出符合條件的數(shù)即可求解．解：（1）①當(dāng)輸入的x的值為9時，所以輸出的y值為,故答案為：②當(dāng)輸入的x的值為25時，所以經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為；所以輸入的x值為25；故答案為：25（2）存在輸入非負(fù)整數(shù)x后，始終輸不出y的值，當(dāng)x=0或者1時，始終輸不出y的值；所以他輸入的x值是0或者1【點撥】此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結(jié)果是（）A．14 B．16 C．8+5 D．14+【答案】C解：當(dāng)n=時，n（n+1）=（+1）=2+＜15；當(dāng)n=2+時，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，則輸出結(jié)果為8+5．故選C．考點：實數(shù)的運算．【變式2】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為，則最后輸出的結(jié)果是．【答案】/【分析】將開始輸入的值代入計算，知道所得計算結(jié)果大于9時輸出即可．解：∵，∴，即，輸入，則，輸入，則，輸入，則，故輸出．故答案為：．【點撥】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【例8】（1）計算：；（2）對于任意不相等的兩個數(shù)a，b，定義一種運算※如下：，如，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)乘方、算術(shù)平方根以及絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡計算即可；（2）根據(jù)新定義，代入計算即可．解：（1）；（2）依題意得：【點撥】本題考查了實數(shù)的混合計算和新定義下的實數(shù)的運算；解題的關(guān)鍵是掌握實數(shù)的相關(guān)運算性質(zhì)．【舉一反三】【變式1】對于任意的正數(shù)m、n定義運算※為：m?n=，計算(3?2)＋(8?12)的結(jié)果為()A．+ B．2 C． D．-【答案】C【分析】先利用新定義得到原式=，然后把各二次根式化為最簡二次根式后合并即可．解：（3?2）+（8?12）===．故選C．【點撥】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．【變式2】對實數(shù)a、b，定義“★”運算規(guī)則如下：a★b＝，則★（★）＝．【答案】2【分析】根據(jù)新定義得到★=，在結(jié)合新定義計算★即可得出．解：∵<，∴★=，∴★（★）=★=，故答案為：2．【點撥】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，包括實數(shù)的大小比較等，理解題意是解題關(guān)鍵．【考點六】實數(shù)??實數(shù)的實際應(yīng)用??程序設(shè)計★★規(guī)律題【例9】如圖，長方形的長為，寬為．（1）將長方形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó嫵龇指罹€），使分割后的圖形能拼成一個正方形，并畫出所拼的正方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點和數(shù)據(jù)）（2）求所拼正方形的邊長．【答案】（1）分割方法不唯一，如圖，見分析；（2）拼成的正方形邊長為.【分析】（1）根據(jù)AB=2AD，可找到CD的中點，即可分成兩個正方形，再沿對角線分割一次，即可補全成一個新的正方形；（2）設(shè)拼成的正方形邊長為，根據(jù)面積相等得到方程，即可求解．解：（1）如圖，∵AB=2AD，找到CD,AB的中點，如圖所示，可把矩形分割成4個等腰直角三角形，再拼成一個新的正方形；（2）設(shè)拼成的正方形邊長為，根據(jù)題意得，∴（負(fù)值舍去）答：拼成的正方形邊長為．【點撥】此題主要考查實數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點進(jìn)行分割．【舉一反三】【變式1】如圖，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為2和4，則陰影部分的面積為（）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得兩個正方形的邊長分別是，2，再根據(jù)陰影部分的面積等于矩形的面積減去兩個正方形的面積進(jìn)行計算．解：∵矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形面積分別為4和2，∴兩個正方形的邊長分別是，2，∴陰影部分的面積故選A．【點撥】本題主要考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確根據(jù)正方形的面積求出邊長.【變式2】已知a，b均為有理數(shù)，且滿足等式5﹣a＝2b+﹣a，則ab=．【答案】【分析】已知等式整理后，根據(jù)a與b為有理數(shù)求出a與b的值，即可求出a+b的值.解：