高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 第1講 任意角 弧度制及任意角的三角函數(shù)知識點(diǎn) 新人教A版

第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識梳理1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角Ｗ.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2

3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)小于90°的角是銳角．(×)(2)銳角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是30°.(×)(4)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則tanα＞α＞sinα.(√)(5)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等．(×)2．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確．答案C3．(·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)若tanα＞0，則()A．sin2α＞0B．cosα＞0C．sinα＞0D．cos2α＞0解析由tanα＞0可得α的終邊在第一象限或第三象限，此時(shí)sinα與cosα同號，故sin2α＝2sinαcosα＞0，故選A.答案A4．(·大綱全國卷)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4，3)，則cosα＝()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(4,5)解析由三角函數(shù)的定義知cosα＝eq\f(－4,\r(（－4）2＋32))＝－eq\f(4,5).故選D.答案D5．(人教A必修4P10A6改編)一條弦的長等于半徑，答案eq\f(π,3)考點(diǎn)一象限角與三角函數(shù)值的符號判斷【例1】(1)若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)若sinα·tanα＜0，且eq\f(cosα,tanα)＜0，則角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析(1)∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.深度思考象限角的判定有兩種方法，請你閱讀規(guī)律方法，其中角eq\f(α,2)的判斷結(jié)論為：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第三象限角．(2)由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα異號，從而α為第二或第三象限的角，由eq\f(cosα,tanα)＜0，可知cosα，tanα異號．從而α為第三或第四象限角．綜上，α為第三象限角．答案(1)C(2)C規(guī)律方法(1)已知θ所在的象限，求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限的方法是：將θ的范圍用不等式(含有k)表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進(jìn)行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．(2)象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與此角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角．(3)由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號，需確定各三角函數(shù)的符號，然后依據(jù)“同號得正，異號得負(fù)”求解．【訓(xùn)練1】(1)設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在解析(1)由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)≤0，綜上知eq\f(θ,2)為第二象限角．(2)∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜0.答案(1)B(2)A考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義【例2】已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，試判斷角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．解由題意得，r＝eq\r(3＋m2)，∴sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m.∵m≠0，∴m＝±eq\r(5).故角θ是第二或第三象限角．當(dāng)m＝eq\r(5)時(shí)，r＝2eq\r(2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，eq\r(5))，∴cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).當(dāng)m＝－eq\r(5)時(shí)，r＝2eq\r(2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，－eq\r(5))．∴cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(－\r(5),－\r(3))＝eq\f(\r(15),3).綜上可知，cosθ＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝－eq\f(\r(15),3)或cosθ＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(\r(15),3).規(guī)律方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)．【訓(xùn)練2】已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(（4t）2＋（－3t）2)＝5|t|，當(dāng)t>0時(shí)，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t<0時(shí)，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)或sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).考點(diǎn)三扇形弧長、面積公式的應(yīng)用【例3】已知一扇形的圓心角為α(α>0)，所在圓的半徑為R.(1)若α＝60°，R＝10cm，(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？解(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，則α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，l＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×sineq\f(π,3)＝eq\f(50,3)π－eq\f(50\r(3),2)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16).當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值eq\f(C2,16).規(guī)律方法涉及弧長和扇形面積的計(jì)算時(shí)，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示．弧長和扇形面積公式：l＝|α|R，S＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)lR.【訓(xùn)練3】已知扇形的周長為4cm，當(dāng)它的半徑為______cm和圓心角為________弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________cm2.解析設(shè)扇形圓心角為α，半徑為r，則2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴當(dāng)r＝1時(shí)，(S扇形)max＝1，此時(shí)|α|＝2.答案121微型專題三角函數(shù)線的應(yīng)用三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何特征，具有重要的意義，考生在平時(shí)的備考中總認(rèn)為它是概念性內(nèi)容，事實(shí)并不然，其應(yīng)用十分廣泛，除了用來比較三角函數(shù)值的大小，解三角不等式外，還是數(shù)形結(jié)合的有效工具，借助它不但可以準(zhǔn)確畫出三角函數(shù)圖象，還可以討論三角函數(shù)的性質(zhì)．【例4】函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定義域?yàn)開_______．點(diǎn)撥依據(jù)題意列出不等式組，通過畫圖作出三角函數(shù)線，找到邊界角，從而求出各不等式的取值范圍，最后求交集即可．解析要使原函數(shù)有意義，必須有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2sinx－1＞0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＞\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2).))如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)點(diǎn)評利用單位圓求解函數(shù)定義域問題時(shí)，應(yīng)熟練掌握0到2π范圍內(nèi)的特殊角的三角函數(shù)值，注意邊界角的取舍，一定要與相應(yīng)三角函數(shù)的周期結(jié)合起來，這也是本題的難點(diǎn)所在．[思想方法]1．任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．若角α已經(jīng)給出，則無論點(diǎn)P選擇在α終邊上的什么位置，角α的三角函數(shù)值都是確定的．如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)．其中|OP|＝r一定是正值．2．三角函數(shù)符號是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解簡單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧．[易錯(cuò)防范]1．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若sinα＜0且tanα＞0，則α是 ()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析∵sinα＜0，則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案C2．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2) C.eq\r(3) D．2解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝α·r， ∴α＝eq\r(3).答案C3．若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是 ()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0解析α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，則可排除A，C，D，故選B.答案B4．(·南陽一模)已知銳角α的終邊上一點(diǎn)P(sin40°，1＋cos40°)，則銳角α＝ ()A．80° B．70° C．20° D．10°解析根據(jù)三角函數(shù)定義知，tanα＝eq\f(1＋cos40°,sin40°)＝eq\f(2cos220°,2sin20°cos20°)＝eq\f(cos20°,sin20°)＝eq\f(sin70°,cos70°)＝tan70°，故銳角α＝70°.答案B5．給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()A．1 B．2C．3 D．4解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)cosθ＝－1，θ＝π時(shí)既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．答案A二、填空題6．已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角．解析由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，則180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案一7．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝______．解析因?yàn)閟inθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案－88．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)開_______．解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)三、解答題9．已知角α的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是P(3a，4a)，其中a≠0，求sinα，cosα，tanα.解r＝eq\r(（3a）2＋（4a）2)＝5|a|.當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4a,3a)＝eq\f(4,3)；當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).綜上可知，sinα＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3)或sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).10．(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)一個(gè)扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm解(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,θ＝8))(舍去)．∴扇形的圓心角為eq\f(1,2).(2)設(shè)圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))∴圓心角α＝eq\f(l,r)＝2.如圖，過O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)．

能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A．(－2，3] B．(－2，3)C．[－2，3) D．[－2，3]解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.答案A12．已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時(shí)針運(yùn)動(dòng)eq\f(π,2)弧長到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為α，則tanα＝ ()A．－1 B．1C．－2 D．2解析圓的半徑為2，eq\f(π,2)的弧長對應(yīng)的圓心角為eq\f(π,4)，故以O(shè)N為終邊的角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))，故tanα＝1.答案B13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．解析如圖，作CQ∥x軸，PQ⊥CQ，Q為垂足．根據(jù)題意得劣弧eq\o(DP,\s\up8(︵))＝2，故∠DCP＝2，則在△PCQ中，∠PCQ＝2－eq\f(π,2)，|CQ|＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，|PQ|＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2－|CQ|＝2－sin2，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1＋|PQ|＝1－cos2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－sin2，1－cos2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin2，1－cos2)．答案(2－sin2，1－cos2)14．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號．解(1)由sinα＜0，知α的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(（2k＋1）π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z)).(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在第二象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號；當(dāng)eq\f(α,2)在第四象限時(shí)，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號.

第2講同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式最新考綱1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα；2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．知識梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tan__α．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αCos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．(×)(2)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．(√)(3)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．(√)(4)若α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，則cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).(√)2．tan300°＋sin450°的值為()A．1＋eq\r(3)B．1－eq\r(3)C．－1－eq\r(3)D．－1＋eq\r(3)解析tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin90°＝－tan60°＋1＝1－eq\r(3).答案B3．(·廣州調(diào)研)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝()A．－eq\f(2,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(2,5)解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，∴cosα＝eq\f(1,5).故選C.答案C4．已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tan(2π－α)的值為()A．－eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(\r(5),2)解析sin(π－α)＝sinα＝log8eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)，又因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).答案B5．(人教A必修4P22B3改編)已知tanθ＝2，則sinθcosθ＝________．解析sinθcosθ＝eq\f(sinθ·cosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(2,22＋1)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及應(yīng)用【例1】(1)已知tanα＝2，則eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝_______________.(2)已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)解析(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×2－3,4×2－9)＝－1.(2)由于tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)＝eq\f(22＋2－2,22＋1)＝eq\f(4,5).答案(1)－1(2)D規(guī)律方法若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型．【訓(xùn)練1】若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值為()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．－2解析3sinα＋cosα＝0?cosα≠0?tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).答案A【例2】(1)(·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知sinθ·cosθ＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，則cosθ－sinθ的值為________．(2)已知－eq\f(π,2)＜α＜0，sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則eq\f(1,cos2α－sin2α)的值為()A.eq\f(7,5)B.eq\f(7,25)C.eq\f(25,7)D.eq\f(24,25)解析(1)當(dāng)eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)時(shí)，sinθ＞cosθ，∴cosθ－sinθ＜0，又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，∴cosθ－sinθ＝－eq\f(\r(3),2).深度思考第(2)小題有兩種解法，其一結(jié)合平方關(guān)系解方程組求sinα與cosα；其二求cosα－sinα；你用到的哪一種？但作為選擇題本題還可以根據(jù)已有的結(jié)論猜測sinα與cosα.(2)法一聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得，sinα＝eq\f(1,5)－cosα，將其代入②，整理得25cos2α－5cosα－12＝0.因?yàn)椋璭q\f(π,2)＜α＜0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(3,5)，,cosα＝\f(4,5)，))于是eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(25,7).法二因?yàn)閟inα＋cosα＝eq\f(1,5)，所以(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)，可得2sinαcosα＝－eq\f(24,25).而(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又－eq\f(π,2)＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＝eq\f(7,5).于是eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(1,（cosα＋sinα）（cosα－sinα）)＝eq\f(25,7).答案(1)－eq\f(\r(3),2)(2)C規(guī)律方法求解此類問題的關(guān)鍵是：通過平方關(guān)系，對稱式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之間可建立聯(lián)系，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號)，這種關(guān)系在三角函數(shù)式的化簡、求值、證明中十分有用．【訓(xùn)練2】已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα＝()A．－1B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D．1解析法一由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα－cosα＝\r(2)，,sin2α＋cos2α＝1，))得：2cos2α＋2eq\r(2)cosα＋1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)cosα＋1))eq\s\up12(2)＝0，∴cosα＝－eq\f(\r(2),2).又α∈(0，π)，∴α＝eq\f(3π,4)，∴tanα＝taneq\f(3π,4)＝－1.法二因?yàn)閟inα－cosα＝eq\r(2)，所以eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝1.因?yàn)棣痢?0，π)，所以α＝eq\f(3π,4)，所以tanα＝－1.法三因?yàn)閟inα－cosα＝eq\r(2)，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因?yàn)棣痢?0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝eq\f(3π,2)，所以α＝eq\f(3π,4)，所以tanα＝－1.答案A考點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式【例3】(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．(2)設(shè)f(α)＝eq\f(2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________．解析(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.(2)∵f(α)＝eq\f(（－2sinα）（－cosα）＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα（1＋2sinα）,sinα（1＋2sinα）)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).答案(1)1(2)eq\r(3)規(guī)律方法利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的基本思路和化簡要求：(1)基本思路：①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式．(2)化簡要求：①化簡過程是恒等變形；②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值．【訓(xùn)練3】(1)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1089°)tan(－540°)＝________．(2)化簡：eq\f(tan（π－α）cos（2π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos（－α－π）sin（－π－α）)＝________．解析(1)原式＝(－sin1071°)·sin99°＋sin171°·sin261°＋tan1089°·tan540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＋tan9°·tan180°＝0＋0＝0.(2)原式＝eq\f(－tanα·cosα·（－cosα）,cos（π＋α）·（－sin（π＋α））)＝eq\f(tanα·cosα·cosα,－cosα·sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cosα,－sinα)＝－1.答案(1)0(2)－1考點(diǎn)三利用誘導(dǎo)公式求值【例4】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝______．(2)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝________．解析(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝π，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝－taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(\r(3),3)規(guī)律方法巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡化解題過程．常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．【訓(xùn)練4】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)＋α))＝eq\f(2,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11π,12)))＝________．(2)若tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，則tan(3π－α)＝________．解析(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))，而sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋α))＝eq\f(2,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11π,12)))＝－eq\f(2,3).(2)因?yàn)閠an(π＋α)＝tanα＝－eq\f(1,2)，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝eq\f(1,2).答案(1)－eq\f(2,3)(2)eq\f(1,2)[思想方法]1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù)；誘導(dǎo)公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡和證明，如已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其它三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意平方關(guān)系的使用．2．三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)進(jìn)行切化弦或弦化切，如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切．(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq\f(π,4)＝….[易錯(cuò)防范]1．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng)(1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號”的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負(fù)角化正角”→“正角化銳角”→求值．(2)使用誘導(dǎo)公式時(shí)一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπ±α的形式時(shí)，需要對k的取值進(jìn)行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負(fù)．2．化簡三角函數(shù)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)化簡不同名的三角函數(shù)的式子，解答此類問題的一般規(guī)律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函數(shù)都化為正弦和余弦，以達(dá)到消元的目的．(2)化簡形如eq\r(A)(A可化為形如a2的三角函數(shù)式)，這種問題是利用eq\r(A)＝eq\r(a2)＝|a|(a是實(shí)數(shù))化去根號．(3)化簡含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，此類問題多用因式分解、約分等．基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.eq\r(1－2sin（π＋2）cos（π－2）)＝ ()A．sin2－cos2 B．sin2＋cos2C．±(sin2－cos2) D．cos2－sin2解析eq\r(1－2sin（π＋2）cos（π－2）)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(（sin2－cos2）2)＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.答案A2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為 ()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).答案B3．已知α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且β＝－eq\f(π,3)，則sinα等于 ()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2) C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析因?yàn)棣梁挺碌慕K邊關(guān)于直線y＝x對稱，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，即得sinα＝eq\f(1,2).答案D4．(·肇慶模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sin(π＋α)＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析由已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，得cosα＝eq\f(3,5)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(4,5)，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).答案D5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝ ()A.eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3) C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).答案D二、填空題6．如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))的值是________．解析∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．sineq\f(4,3)π·coseq\f(5,6)π·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))的值是________．解析原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案－eq\f(3\r(3),4)8．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．解析由題意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案0三、解答題9．已知sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(π,2)＜θ＜π.(1)求tanθ的值；(2)求eq\f(sin2θ＋2sinθcosθ,3sin2θ＋cos2θ)的值．解(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝eq\f(9,25).又eq\f(π,2)＜θ＜π，∴cosθ＝－eq\f(3,5).∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3).(2)由(1)知，eq\f(sin2θ＋2sinθcosθ,3sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋2tanθ,3tan2θ＋1)＝－eq\f(8,57).10．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinAcosA的值；(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tanA的值．解(1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)， ①∴兩邊平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，∴sinAcosA＝－eq\f(12,25)，(2)由sinAcosA＝－eq\f(12,25)＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝eq\f(7,5)， ②∴由①，②可得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq\f(4,3).能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))等于 ()A．－eq\f(7,9) B．－eq\f(1,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,9)解析∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(π,2).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,3).則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－1＝－eq\f(7,9).答案A12．(·武漢模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于 ()A．7 B．－7 C.eq\f(1,7) D．－eq\f(1,7)解析由sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)兩邊平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，又∵eq\f(π,2)＜α＜π，此時(shí)sinα＞0，cosα＜0，sinα－cosα＝eq\r(（sinα－cosα）2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\r(1＋\f(24,25))＝eq\f(7,5)，聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝－\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))解得sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7)，故選C.答案C13．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________．解析sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(91,2).答案eq\f(91,2)14．是否存在α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由．解假設(shè)存在角α，β滿足條件，則由已知條件可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ，)) eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝eq\f(1,2)，∴sinα＝±eq\f(\r(2),2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝±eq\f(π,4).當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，由②式知cosβ＝eq\f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，∴β＝eq\f(π,6)，此時(shí)①式成立；當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時(shí)，由②式知cosβ＝eq\f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，∴β＝eq\f(π,6)，此時(shí)①式不成立，故舍去．∴存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)滿足條件.

第3講兩角和與差的正弦、余弦、正切最新考綱1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶)．知識梳理1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．3．有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan__αtan__β)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)．(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立(√)(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對任意角α，β都成立．(×)(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.(√)2．(·長沙模擬)已知α為第二象限角，sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，則cos2α＝()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),9)C.eq\f(\r(5),9)D.eq\f(\r(5),3)解析由(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,3)得2sinαcosα＝－eq\f(2,3)，∵α在第二象限，∴cosα－sinα＝－eq\r(（sinα＋cosα）2－4sinαcosα)＝－eq\f(\r(15),3)，故cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(3),3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)))＝－eq\f(\r(5),3)，選A.答案A3．(人教A必修4P137A13(5)改編)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________．解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)4．設(shè)sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tan2α的值是________．解析∵sin2α＝－sinα，∴sinα(2cosα＋1)＝0，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα≠0，2cosα＋1＝0，即cosα＝－eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2\r(3),1－（－\r(3)）2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)5．(·青島質(zhì)量檢測)設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值為________．解析∵α為銳角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,4)－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,4)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1))＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2)－1))＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).答案eq\f(17\r(2),50)考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡與給角求值【例1】(1)已知α∈(0，π)，化簡：eq\f(（1＋sinα＋cosα）·（cos\f(α,2)－sin\f(α,2)）,\r(2＋2cosα))＝________．(2)[2sin50°＋sin1