（初中教案）九年級(jí)春季班第1講：相似三角形-學(xué)生版-張于

（初中教案）九年級(jí)春季班第1講：相似三角形-學(xué)生版-張于（初中教案）九年級(jí)春季班第1講：相似三角形-學(xué)生版-張于/（初中教案）九年級(jí)春季班第1講：相似三角形-學(xué)生版-張于相似三角形相似三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊模塊一：比例線段知識(shí)知識(shí)精講一、比和比例一般來說,兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類的量與相除,叫做與的比,記作(或表示為);如果(或),那么就說、、、成比例．比例的性質(zhì)基本性質(zhì)：如果,那么;如果,那么,,．合比性質(zhì)：如果,那么;如果,那么．等比性質(zhì)：如果,那么．比例線段的概念對(duì)于四條線段、、、,如果(或表示為),那么、、、叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段．黃金分割如果點(diǎn)把線段分割成和()兩段(如下圖),其中是和的比例中項(xiàng),那么稱這種分割為黃金分割,點(diǎn)稱為線段的黃金分割點(diǎn)．其中,,稱為黃金分割數(shù),簡(jiǎn)稱黃金數(shù)．AAPB三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．lABCDEABCDEABCDEll如圖,已知lABCDEABCDEABCDEll三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論ABCDEABCDE如圖,點(diǎn)、分別在的邊、上,如果DE//BC,那么．三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn),三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離,等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊．三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線(這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè))所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊．ABCDEABCDEABCDE如圖,在中,直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn),ABCDEABCDEABCDE平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖,直線////,直線與直線被直線、、所截,那么．BBCDEFG平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截,如果一條直線上截得的線段相等,那么另一條直線上截得的線段也相等．例題解析例題解析ABCDE如圖,點(diǎn)D、E分別在的邊AB和BC上．下列所給的四個(gè)條件中,不一定能得到DE//ACABCDEA． B．C． D．【難度】★【答案】【解析】在比例尺為1：40000的一張地圖上,量得A、B兩地的距離是37cm,那么A、B兩地的實(shí)際距離是______km．【難度】★【答案】【解析】FEDABC(2015學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?題)如圖,已知////,DE=4,DF=6,那么下列結(jié)論正確的是(FEDABCA．BC：EF=1：1B．BC：AB=1：2C．AD：EF=2：3D．BE：CF=2：3【難度】★【答案】【解析】如果線段a=4cm,b=9cm,那么它們的比例中項(xiàng)是______cm．【難度】★【答案】【解析】BCDEFGA四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上,CE交邊AD于點(diǎn)BCDEFGA求證：CG是EG與FG的比例中項(xiàng)．【難度】★【答案】【解析】(2014學(xué)年·長(zhǎng)寧區(qū)二?！さ?6題)已知線段AB=10,P是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AP>PB),則AP=______．【難度】★【答案】【解析】已知,,,求的值．【難度】★★【答案】【解析】如果直角三角形的斜邊長(zhǎng)為18,那么這個(gè)三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離為______．【難度】★★【答案】【解析】ABCDEF(2015學(xué)年·浦東新區(qū)二模·第15題)如圖,已知AD//EF//BC,AEABCDEFAD=2,EF=5,那么BC=______．【難度】★★【答案】【解析】(2015學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?7題)如圖,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊AB、BC上,EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G,如果BE=5,BF=3,那么FG：EF的比值是_______．ABCABCDEFG【答案】【解析】(2015學(xué)年·長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)二?！さ?3題)如圖,BD是的角平分線,點(diǎn)E、F分別在BC、AB上,且DE//AB,．(1)求證：BE=AF;(2)設(shè)BD與EF交于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)AE,交BD于點(diǎn)N,求證：．MAFBMAFBECD【答案】【解析】(2013學(xué)年·寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模·第23題)如圖,在直角梯形ABCD中,AD//BC,,E為CD的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于F;(1)聯(lián)結(jié)BE,求證BE=EF．(2)聯(lián)結(jié)BD交AE于M,當(dāng)AD=1,AB=2,AM=EM時(shí),求CD的長(zhǎng)．ABCDABCDEFM【答案】【解析】

模塊模塊二：相似三角形知識(shí)知識(shí)精講相似三角形的定義如果一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,且它們各有的三邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形．DABCE如圖,是的中位線,那么在與中,,,;．由相似三角形的定義,可知這兩個(gè)三角形相似．用符號(hào)來表示,記作,其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn);符號(hào)"”讀作"相似于”．DABCE用符號(hào)表示兩個(gè)相似三角形時(shí),通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母分別寫在三角形記號(hào)"”后相應(yīng)的位置上．根據(jù)相似三角形的定義,可以得出：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比,叫做這兩個(gè)三角形的相似比(或相似系數(shù))．(2)如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似,那么這兩個(gè)三角形也相似．相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形與原三角形相似．如圖,已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn),則．AABCDEABCDEABCDE相似三角形判定定理1如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似．如圖,在與中,如果、,那么．AABCA1B1C1常見模型如下：相似三角形判定定理2如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩個(gè)三角形相似．ABCA1B1C1如圖,在與中,,,那么ABCA1B1C1相似三角形判定定理3如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)三角形相似．如圖,在與中,如果,那么∽．AABCA1B1C1直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似．可簡(jiǎn)述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)直角三角形相似．ABCA1B1C1如圖,在和中ABCA1B1C1那么∽．相似三角形性質(zhì)定理相似三角形性質(zhì)定理1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．相似三角形性質(zhì)定理2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．相似三角形性質(zhì)定理3：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．例題解析例題解析(2014學(xué)年·普陀區(qū)二模·第6題)在下列的正方形網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,那么與圖1中相似的三角形所在的網(wǎng)格圖是()圖1圖1 A． B． C． D．【難度】★【答案】【解析】(2013學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?1題)已知∽,且相似比為3：4,cm2,則______cm2．【難度】★【答案】【解析】ABCDEF如圖,已知點(diǎn)D是中的邊BC上的一點(diǎn),,的平分線交邊AC于點(diǎn)E,交AD于F,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(ABCDEFA．∽ B．∽C．∽ D．∽【難度】★【答案】【解析】ABCD如圖,已知點(diǎn)D在的邊AB上,且,．ABCD求的值．【難度】★【答案】【解析】ABCDEF如圖,已知點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上,,BE=3cm,AB=6cm,矩形ABCD的周長(zhǎng)為28cmABCDEF【難度】★【答案】【解析】ABCDE(2015學(xué)年·靜安區(qū)二?！さ?題)如圖,已知點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,DE//BC,BD=2AD,那么等于(ABCDEA．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【難度】★★【答案】【解析】ABCDMG(2014學(xué)年·楊浦區(qū)二?！さ?3題)如圖,中,如果AB=AC,ADBC于點(diǎn)D,M為AC中點(diǎn),AD與BM交于點(diǎn)G,那么的值為ABCDMG【難度】★★【答案】【解析】ABCDEF如圖,已知中,AB=AC,CD是邊AB上的高,且CD=2,AD=1,四邊形BDEF是正方形．和ABCDEF【難度】★★【答案】【解析】EADACBA(2013學(xué)年·奉賢區(qū)二?！さ?3題)已知：如圖,點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線EADACBA(1)求證：∽;(2)求證：．【難度】★★【答案】【解析】(2015學(xué)年·浦東新區(qū)二模·第23題)如圖,已知：四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上,CE交AD于點(diǎn)F,．ABCDEF(1ABCDEF(2)若DF=AF,求AC：BC的值．【難度】★★【答案】【解析】(2015學(xué)年·寶山區(qū)、嘉定區(qū)二?！さ?3題)如圖,BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線,若,于E,于F,DE與BF相交于H,BF與AD的延長(zhǎng)線相交于G．ABCDEFGH求證：(1)CD=BH;(2ABCDEFGH【難度】★★【答案】【解析】CBADEF(2015學(xué)年·松江區(qū)二模·第23題)如圖,已知等腰中,AB=AC,ADBC,CEAB,垂足分別為D、CBADEF(1)求證：;(2)點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)DF,求證：．【難度】★★【答案】【解析】ABCDEF(2014學(xué)年·閔行區(qū)二?！さ?3題)如圖,已知在梯形ABCD中,AD//BC,,AB=AD．點(diǎn)E在邊AB上,且,DF平分,交BC于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)CE、ABCDEF(1)求證：DE=DC;(2)如果,求證：．【難度】★★【答案】【解析】ABCDEFG(2013學(xué)年·靜安區(qū)二?！さ?3題)已知：如圖,在中,AB=AC,點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn),DFAC,DF與CE相交于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與ABCDEFG(1)求證：;(2)聯(lián)結(jié)CG,求證：．【難度】★★【答案】【解析】(2015學(xué)年·閘北區(qū)二?！さ?3題)如圖,直角梯形ABCD中,,AD//BC,BC=2AD,點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形AECD為平行四邊形;(2)在CD邊上取一點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AF、AC、EF,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)G,且．求證：∽;(3)在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),求：FG：EG的比值．ABCDABCDEFG【答案】【解析】如圖,已知在中,P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ//AC,PQ與邊AB相交于點(diǎn)Q,AB=AC=10,BC=16,BP=x,的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;ABCPQ(2)試探索：與能否相似?如果能相似,請(qǐng)求出xABCPQ【難度】★★★【答案】【解析】

隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)如果兩個(gè)相似三角形的面積的比為4：9,那么它們對(duì)應(yīng)的角平分線的比是______．【難度】★【答案】【解析】ABCMN(2014學(xué)年·浦東新區(qū)二?！さ?題)如圖,和都是等邊三角形,點(diǎn)M是的重心,那么的值為()ABCMNA． B． C． D．【難度】★★【答案】【解析】ABCDFE(2013學(xué)年·虹口區(qū)二?！さ?6題)如圖,AB//DC,DE=2AE,CF=2BF,且DC=5,ABABCDFE【難度】★★【答案】【解析】ABCDEFOP已知,如圖,D、E、F分別是的邊BC、AB、AC的中點(diǎn),AD與EF相交于點(diǎn)O,線段CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)ABCDEFOP【難度】★★【答案】【解析】(2013學(xué)年·楊浦區(qū)二模·第23題)如圖,在平行四邊形ABCD中,AEBC于E,AFCD于F．(1)求證：;(2)若M、N分別是AB、AD中點(diǎn),且,求證：EM//FN．ABCABCDEF【答案】【解析】(2013學(xué)年·黃浦區(qū)二模·第23題)如圖,中,,D是邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn),聯(lián)結(jié)CE、CF、EF.ABCDEF(1ABCDEF(2)聯(lián)結(jié)DE,當(dāng)BD=2CD時(shí),求證：DE=AF.【難度】★★【答案】【解析】ABCDPGOFHE(2015學(xué)年·崇明縣二?！さ?3題)已知正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,的平分線分別交BD、BC于點(diǎn)E、F,作,垂足為H,BH的延長(zhǎng)線分別交ACABCDPGOFHE(1)求證：AE=BG;(2)求證：．【難度】★★【答案】【解析】

課后作業(yè)課后作業(yè)(2013學(xué)年·長(zhǎng)寧區(qū)二?！さ?題)若∽(其中點(diǎn)A和、B和、C和分別對(duì)應(yīng)),且AB=4,=6,則的周長(zhǎng)和的周長(zhǎng)之比是()A．9：4 B．4：9 C．2：3 D．3：2【難度】★【答案】【解析】ABCDEF已知,如圖,在中,,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),,垂足為點(diǎn)