2024-2025學年新教材高中數(shù)學第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)單元整合一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE6第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)單元整合1.☉%@@518￥0￥%☉(2024·衡水中學第三次質檢)已知集合A={x|x<1},B={x|ex<1},則()。A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}C.A∪(?RB)=RD.(?RA)∩B={x|0<x<1}答案：C解析：∵A=(-∞,1),B=(-∞,0),?RB=[0,+∞),∴A∪(?RB)=R,故選C。2.☉%58@7*@7￥%☉(2024·臨川一中高一周測)函數(shù)y=a|x|(a>1)的圖像是()。A.B.C.D.圖3-3答案：B解析：函數(shù)y=a|x|是偶函數(shù),當x>0時,y=ax。由已知a>1,故選B。3.☉%#￥58￥78￥%☉(2024·四川瀘州二中高一期中)不等式2x2+2x-4≤A.[-1,3]B.[-3,-1]C.[-3,1]D.[1,3]答案：C解析：∵2x2+2x-4≤12,∴2x2+2x-4≤2-1,∴x2+2x-4≤-1,∴x2+24.☉%41@*5#@0%☉(2024·重慶巴蜀中學月考)若定義運算a☉b=a,a<b,b,a≥b,則函數(shù)f(xA.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)答案：A解析：當x>0時,3x>3-x,f(x)=3-x,f(x)∈(0,1);當x=0時,f(x)=3-x=1;當x<0時,3x<3-x,f(x)=3x,f(x)∈(0,1)。綜上,f(x)的值域是(0,1]。5.☉%781*￥@@0%☉(2024·許昌中學高一月考)某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)隨時間x(h)改變的規(guī)律近似滿意解析式f(x)=5x-2,0≤x≤1,35·13答案：4解析：當0≤x≤1時,125≤5x-2≤15,此時不宜開車;由35·13x≤0.02,可得6.☉%0#5￥7@@3%☉(2024·昆明二中高一月考)給出函數(shù)f(x)=2x,x≥3,f(x答案：[8,+∞)解析：當x≥3時,2x≥23=8;當x<3時,皆可通過有限次加1轉化為第一類。7.☉%￥62#*53#%☉(2024·漢中高一期末統(tǒng)一考試)已知函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)滿意f(2)=4,則函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=。

答案：2x解析：f(2)=a2=4,a>0且a≠1,∴a=2,∴f(x)=2x。8.☉%9#￥092￥￥%☉(2024·青島高三調考)已知函數(shù)f(x)=a|x+1|+|x-2a|(a>0,a≠1)為偶函數(shù),則a=。

答案：12解析：令t=|x+1|+|x-2a|,則f(x)可化為g(t)=at,由g(t)為偶函數(shù)可得t=|x+1|+|x-2a|為偶函數(shù),依據(jù)常見的偶函數(shù)的特性可得2a=1?a=129.☉%￥1￥2*83*%☉(2024·江西六校高三聯(lián)考)已知a,b,c,m都是正數(shù),am=bm+cm,若長分別為a,b,c的三條線段能構成三角形,則m的取值范圍是。

答案：(1,+∞)解析：由于am=bm+cm,且a,b,c,m都是正數(shù),所以a>b>0且a>c>0。因此要使以a,b,c為線段長的三條線段能構成三角形,則只要b+c>a即可。留意到f(x)=bax+cax在R上單調遞減。若m=1,則f(1)=ba+ca=1,即b+c=a。明顯此時不能構成三角形;若m>1,則f(m)<f(1),又f(m)=bam+cam=bm+cmam=1,f(1)=b+ca,∴b+ca>1,即b+c>a,此時可以構成三角形;若0<m<1,則f(m)>f(1),即b+10.☉%823@9#￥#%☉(2024·江蘇錫山高級中學月考)若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是常數(shù))在f(x)的定義域上單調遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質。下列函數(shù)中全部具有M性質的函數(shù)的序號為。

①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;④f(x)=x+2(x>0)。答案：①④解析：對于①,f(x)=2-x,則g(x)=exf(x)=ex·2-x=e2x為實數(shù)集上的增函數(shù),即f(x)=2-x具有M性質。對于②,f(x)=3-x,則g(x)=exf(x)=ex·3-x=e3x為實數(shù)集上的減函數(shù),不具有M性質。對于③,f(x)=x3,則g(x)=exf(x)=ex·x3,ex為增函數(shù),當x>0時,x3ex為增函數(shù);但當x<0時,x3<0,x3ex不肯定為增函數(shù),故f(x)=x3不具有M性質。對于④,f(x)=x+2(x>0),則g(x)=ex(x+2),當x>0時明顯為增函數(shù),∴f(x)=x+2具有M性質?！嗑哂?1.☉%5#@9@0*9%☉(2024·昆明三中高一月考)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=12(1)求函數(shù)f(x)的解析式;答案：解:∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0。當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-12-x∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=-(2)畫出函數(shù)的圖像,依據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間。答案：函數(shù)圖像如圖所示,由圖像可知,函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),無單調遞增區(qū)間。12.☉%@689#4*#%☉(2024·河南信陽二中高一期中)已知f(x)=aa2-1(ax-a-x)(a>0且(1)推斷f(x)的奇偶性;答案：解:函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱。又因為f(-x)=aa2-1(a-x-ax)=-f(x),所以f(2)探討f(x)的單調性;答案：當a>1時,a2-1>0,y=ax為增函數(shù),y=a-x為減函數(shù),從而y=ax-a-x為增函數(shù),所以f(x)為增函數(shù)。當0<a<1時,a2-1<0,y=ax為減函數(shù),y=a-x為增函數(shù),從而y=ax-a-x為減函數(shù),所以f(x)為增函數(shù)。故當a>0且a≠1時,f(x)在定義域內單調遞增。(3)當x∈[-1,1]時,f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍。答案：由(2)知f(x)在R上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù)。所以f(-1)≤f(x)≤f(1),所以f(x)min=f(-1)=aa2-11所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,則只需b≤-1,故b的取值范圍是(-∞,-1]。1.☉%9*#88#2#%☉(2024·全國Ⅲ高考改編)計算9412=(A.8116B.32C.98答案：B解析：9412=32.☉%89￥￥22#￥%☉(山東高考)設a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關系是()。A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a答案：C解析：由y=0.6x在區(qū)間(0,+∞)是單調減函數(shù)可知,0<0.61.5<0.60.6<1,又1.50.6>1,故選C。3.☉%*￥181@#8%☉(福建高考)已知函數(shù)f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0。若A.-3B.-1C.1D.3答案：A解析：∵f(x)=2x,x≥0,x+1,x≤0,∴f(1)=2?！遞(a)+f(1)=0,∴f(a)=-2。4.☉%40#￥￥82￥%☉(全國Ⅱ高考)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是()。A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案：D解析：由題意知,存在正數(shù)x,使a>x-12x,所以a>x-12xmin,而函數(shù)f(x)=x-12x在(0,+∞)上是增函數(shù),所以f(x5.☉%￥*05@1*6%☉(四川高考改編)函數(shù)y=ax-1a(a>0,a≠1)的圖像可能是()圖3-4答案：D解析：∵a>0,∴1a>0,∴函數(shù)y=ax需向下平移1a個單位,不過(0,1)點,∴解除A;當a>1時,0<1a<1,∴解除B;當0<a<1時,1a>1,∴解除6.☉%8#8#￥62@%☉(2024·全國Ⅱ高考改編)f(x)=4x-122A.原點對稱B.直線y=x對稱C.直線y=-x對稱D.y軸對稱答案：A解析：因為f(x)=2x-2-x,f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),故圖像關于原點對稱。7.☉%31@25@@￥%☉(2024·全國Ⅰ高考改編)函數(shù)f(x)=4x+12x的圖像A.關于原點對稱B.關于直線y=x對稱C.關于x軸對稱D.關于y軸對稱答案：D解析：f(x)=2x+2-x,因為f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),所以f(x)的圖像關于y軸對稱。8.☉%5#8￥￥82#%☉(2024·上海高考)已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=2x2x+ax的圖像經過點Pp,65,Qq,-15。若2p答案：6解析：函數(shù)f(x)=2x2x+ax的圖像經過點Pp,65,Qq,-1整理得2p+q+2paq+2qap由于2p+q=36pq,所以a2=36,由于a>0,故a=6。9.☉%2#*468##%☉(上海高考改編)不等式2x2-x<4答案：(-1,2)解析：∵2x2-x<4,∴2x2-x<22?！遹=2x是一個遞增函數(shù),∴x210.☉%*068#￥￥7%☉(山東高考)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=。

答案：-32解析：若a>1,則f(x)在[-1,0]上為增函數(shù),所以a-1+b=-1,1+b=0,此方程組無解;若0<a<1,則f(x)在[-1,0]上為減函數(shù)11.☉%@#780￥6#%☉(江蘇高考改編)設函數(shù)f(x)=ex-1,x<1,x13,x答案：(-∞,8]