小學(xué)奧數(shù)必須掌握的30個(gè)知識(shí)模塊

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2012-06-2814:02:13來(lái)源：奧數(shù)網(wǎng)整理進(jìn)入論壇

1.和差倍問(wèn)題

和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題

已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和叮倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差叮倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式①（和-差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)+差=較大數(shù)

和-較小數(shù)=較大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

較大數(shù)-差=較小數(shù)

和-較大數(shù)=較小數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

和-小數(shù)=大數(shù)

差?。ū稊?shù)T）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=人數(shù)

小數(shù)+差=大數(shù)

關(guān)鍵問(wèn)題求出同一條件下的

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般

用“照這樣的速度”……等詞語(yǔ)來(lái)表示。

關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹(shù)問(wèn)題

基本類(lèi)型在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上.植

樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù)封閉曲線上植樹(shù)

基本公式棵數(shù)=段數(shù)+1

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)T

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)

關(guān)鍵問(wèn)題確定所屬類(lèi)型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5.雞兔同籠問(wèn)題

基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái);

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

6.盈方問(wèn)題

基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，

又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)

或?qū)ο蟮目偭?

基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這

個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)?較小不足數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問(wèn)題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草

量的差;再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；

關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）+（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；

總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和+總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的

數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；

再求出這些差的平均數(shù);最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)

系見(jiàn)基本公式②。

10.抽屜原理

抽屜原則一：如果把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物

體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情

況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或

多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有?個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,那么必有一個(gè)抽屜至少有：

①卜二"/皿]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行

運(yùn)算。

11.定義新運(yùn)算

基本概念：定義?種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本(混合)運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然

后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12.數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)

列。

基本概念：苜項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，?般用d表示;

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，?般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：al,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果

己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè);求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這

第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an=al+(n-l)d;

通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1)X公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)Xn-?2;

數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))X項(xiàng)數(shù)+2;

項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+al)4-d+l;

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1；

公差公式:d=(an-al))4-(n-1);

公差=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+(項(xiàng)數(shù)-D;

關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13.二進(jìn)制及其應(yīng)用

十進(jìn)制：用0?9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的

2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX1On-l+An-1X10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-6X10n-7+......+A3

X102+A2X101+A1X100

注意：N0=l;N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進(jìn)制：用0?1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

(2)-AnX2n_l+An_lX2n_2+An_2X2n_3+An_3X2n_4+An_4X2n_5+An_6X2n-7

+........+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是0就是1。

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)

按自下而上依次寫(xiě)出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依

此方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。

14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有ml種不同方法，在第二

類(lèi)方法中有m2種不同方法……，踴n類(lèi)方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有:

ml+m2......+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類(lèi)方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方法，不管第1

步用咖?種方法，第2步總有巾2種方法……不管前面nT步用哪種方法，第n步總有mn種方

法，那么完成這件任務(wù)共有：mixm2......Xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。

線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

射線：把直線的?端無(wú)限延長(zhǎng)。

射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn);沒(méi)有長(zhǎng)度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點(diǎn)數(shù)—1);

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);

③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1X1+2X2+3X3+“?+行數(shù)X列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：■-個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分

解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且

al<...<p>

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X...X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：兒個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這兒個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè)，叫做這兒個(gè)數(shù)

的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘

以m。

例如:12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1,2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么那和18最大的公約數(shù)是:6,記作那2,18)=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大

公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)

的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……;

那么那和18最小的公倍數(shù)是36,記作那2,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17?數(shù)的整除

一、基本概念和符號(hào)：

1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒(méi)有余數(shù)，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“I"，不能整除符號(hào)"”；因?yàn)榉?hào)“；"，所以的符號(hào)

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后?位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被H整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后?位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q...r,且0<p>

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c!a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余。

②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余，記作a三b(modm),

讀作a同余于b模m=

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a三a(modm);

②對(duì)稱(chēng)性：若a三b(modm),則b三a(modm);

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm);

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm);

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(modm),貝iJaXc三bXd(modm);

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm);

⑦同倍性：若a三b(modm),整數(shù)c,貝UaXc三bXc(modmXc);

三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：

①若A=aXb,貝I]MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3);

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字

的和,則M三Y-X或M三H-(X-Y)(mod11);

五、費(fèi)爾馬小定理:如果P是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三l(mod

p)o

20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類(lèi)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi)應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例

和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下

的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種

情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化,

而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生

變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用?種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.分?jǐn)?shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定?個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，

可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每?個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.分?jǐn)?shù)拆分

一、將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式:

①=+;

②=+（d為自然數(shù)）；

23.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù);反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad=bc。

正比例：若A擴(kuò)大或縮小兒倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。

反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大兒倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25.綜合行程

基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的

關(guān)系.

基本公式：路程=速度X時(shí)間;路程+時(shí)間=速度;路程+速度=時(shí)間

關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。

相遇問(wèn)題：速度和X相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫(xiě)出其他公式）

追及問(wèn)題：追及時(shí)間=路程差+速度差（寫(xiě)出其他公式）

流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時(shí)間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

主要方法：畫(huà)線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度

和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26.工程問(wèn)題

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時(shí)間

②工作效率=工作總量+工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無(wú)關(guān)）；

②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利

用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡(jiǎn)介：

①條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有

與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么弓他的相反情況是成立的。例如，

假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a?定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表

來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表

示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

③條件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之

間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A

和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。

④邏輯計(jì)算：在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，

根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。

⑤簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特

殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。

28.幾何面積

基本思路：

在?些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，?般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、

旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;另外需要掌

握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置

上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰宜角三

角形的面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%?

29.立體圖形

名稱(chēng)圖形特征表面積體積

長(zhǎng)

方

體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面;相對(duì)的面相等；12條棱;相對(duì)的棱相等；S=2（ab+ah+bh）V=abh

=Sh

正

方

體8個(gè)頂點(diǎn);6個(gè)面;所有面相等；12條棱;所有棱相等；S=6a2V=a3

圓

柱

體上下兩底是平行且相等的圓;側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形；S=S側(cè)+2S底

S側(cè)=，11V=Sh

圓

錐

體下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；1：母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S側(cè)+S底

S側(cè)=rlV=Sh

球

體圓心到圓周上任意??點(diǎn)的距離是球的半徑。S=4r2V=r3

30.時(shí)鐘問(wèn)題一快慢表問(wèn)題

基本思路：

1、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題；

2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；

合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系；

奧數(shù)學(xué)習(xí)需要掌握的十大公式

201112-2009:47:29來(lái)源:智康1對(duì)1進(jìn)入論壇

在目前小升初擇校的過(guò)程中，數(shù)學(xué)或者說(shuō)奧數(shù)仍是小升初中的重頭戲，在很大程度上決

定著小升初成敗。而學(xué)好基礎(chǔ)才是有效提升成績(jī)的最直接方法，以下為學(xué)習(xí)奧數(shù)需要掌握的

十大公式，同學(xué)們一定要熟記并掌握。

一、和差問(wèn)題的公式

（和+差）+2=大數(shù)

（和一差）+2=小數(shù)

二、和倍問(wèn)題的公式

和?。ū稊?shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（或者和一小數(shù)=大數(shù)）

三、差倍問(wèn)題的公式

差?。ū稊?shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)（或小數(shù)+差=大數(shù)）

四、植樹(shù)問(wèn)題的公式

1?非封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形：

lo1。如果在非封閉線路的兩端都要植樹(shù)，那么：

株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)+株距-1

全長(zhǎng)=株距義（株數(shù)一1）

株距=全長(zhǎng)+（株數(shù)一1）

lo2。如果在非封閉線路的一端要植樹(shù)，另一端不要植樹(shù)，那么:

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)小株距

全長(zhǎng)=株距X株數(shù)

株距=全長(zhǎng)+株數(shù)

lo3o如果在非封閉線路的兩端都不要植樹(shù)，那么：

株數(shù)=段數(shù)一1=全長(zhǎng)+株距-1

全長(zhǎng)=株距X（株數(shù)+1）

株距=全長(zhǎng)+（株數(shù)+1）

2。封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下：

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)+株距

全長(zhǎng)=株距X株數(shù)

株距=全長(zhǎng)+株數(shù)

五、盈虧問(wèn)題的公式

（盈+虧）+兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

（大盈一小盈）+兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

（大虧一小虧）+兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

六、相遇問(wèn)題的公式

相遇路程=速度和X相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=相遇路程+速度和

速度和=相遇路程+相遇時(shí)間

七、追及問(wèn)題的公式

追及距離=速度差X追及時(shí)間

追及時(shí)間=追及距離+速度差

速度差=追及距離+追及時(shí)間

八、流水問(wèn)題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度一水流速度

靜水速度=（順流速度+逆流速度）+2

水流速度=（順流速度一逆流速度）+2

九、濃度問(wèn)題的公式

溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質(zhì)的重量+溶液的重量義100%=濃度

溶液的重量X濃度=溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量+濃度=溶液的重量

十、利潤(rùn)與折扣問(wèn)題的公式

利潤(rùn)=售出價(jià)一成本

利潤(rùn)率=利潤(rùn)+成本X100%=（售出價(jià)+成本-1）X100%

漲跌金額=本金X漲跌百分比

折扣=實(shí)際售價(jià)+原售價(jià)X100%（折扣＜1）

利息=本金X利率X時(shí)間

稅后利息=本金X利率X時(shí)間X（1-20%）

一、我會(huì)填空.（2題2分，其余每空1分.共21分）

I.比#米多：千米是（）千米.比4千米多g是（）千米.

2.在O里填上-<?或

9+9++

14x1014XTOT4TOT7

3.5+8=^~^=40+（）=（）（皿費(fèi)）

4.甲.乙兩數(shù)的比是7：9,當(dāng)甲數(shù)增加63后，要使比值不變，乙￡要增加（）.

5.用50粒大豆做發(fā)芽試驗(yàn)，2粒沒(méi)發(fā)芽.大豆的發(fā)芽率是（）.

6.一本書(shū)120頁(yè),第一天看了全書(shū)的號(hào)二天看了余下的牛又5頁(yè)，第三天應(yīng)從第

（）頁(yè)看起.

7.一個(gè)小圓和一個(gè)大圓的直徑比是2：3.小國(guó)和大圓的冏長(zhǎng)比是（），面積比是（）.

8.一-個(gè)圓的周長(zhǎng)是1256厘米,它的半徑是（）厘米，面積是（）平方厘米.*

9,百分之八卜四寫(xiě)作（）,它含有（）個(gè)1%.

10.在4.137,137.6%，由這四個(gè)數(shù)中.?大的數(shù)是（）?:最小的數(shù)是（）.

11.銀行一年定期存款的利率是4.14%,利息稅率是5%.如果存入5萬(wàn)元，一年后可取回

本金和稅后利息一共（）元.

12.甲數(shù)的,和乙數(shù)的今相等.甲數(shù)是乙數(shù)的（）%,乙數(shù)約是甲數(shù)的（）%.

二、我會(huì)判斷，（對(duì)的打“，”，錯(cuò)的打*?>）（5分）

1.比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘（或除以）相同的數(shù).比值不變.（

2.點(diǎn)D在第15行第2列，用數(shù)對(duì)表示是（2.15）.（

3.一條繩子長(zhǎng)十米,用號(hào)后.還■下十.（

4.任何的周氏都是它直徑的x倍.（

5.生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中100件合格.I件次品.這批產(chǎn)品的合格率是100%.（

三、我會(huì)選。（把正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里）（5分）

I.把去：0.45化成最簡(jiǎn)筋數(shù)比是（）.

A.300：900B.去：宓C.I：3

2.（奈+今卜75=奈，75+/x75=21+35=56,這里應(yīng)用了（）.

A.乘法交換律B.乘法分配律C.乘法結(jié)合律D.加法結(jié)合律

3.在f邊長(zhǎng)為5厘米的正方形內(nèi)畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的半徑應(yīng)該是（）厘米.

A.5B.2.5C.2

4.一件衣服原價(jià)100元，先打九折，后又在打折后的基礎(chǔ)上打八五折，這件衣服現(xiàn)在的售

價(jià)是（）?--

A.100元B.90元C.15元D.76.5元

5.兩桶油質(zhì)量相等,都重4噸，第一桶油用去小，第二桶油用去十噸，剩下的油（）t.

A.第一桶B.第二桶C,一樣

四、我會(huì)計(jì)算“（28分）

I.直接寫(xiě)得數(shù).（4分）

64|41

1-132-■-X-?X

wX+6744

TT"學(xué)

I3+7-T2

-4--

2-。=!0*10%N8X5)=

2.解方程.（8分）

⑴3*xT-X3=T

(3)=g(4)x-20%x=6.4

3.脫式計(jì)算.（能荷算的要前算）（12分）

⑴4+T-（1+T）⑵+T+4+

⑶(蕓+4-1)x48⑷U+yx

4.計(jì)算下圖中陰影部分的面枳?（單位：cm）（4分）

五、圖形與操作.（12分）

?.怎樣量出右圖的直徑？說(shuō)一說(shuō).然后畫(huà)一條直徑.找出圜心.

并標(biāo)上相應(yīng)的字母.（3分）

2.下圖是六（2）班體育委員調(diào)查了全班同學(xué)最喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)后制作的闞形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)

你看圖解答下列問(wèn)題.（9分）

哪種球類(lèi)運(yùn)動(dòng)最受歡迎？

如果喜歡打排球的同學(xué)有9人,則全班有多少人？

（3）喜歡足球的比喜歡籃球的多百分之幾？

六、解決問(wèn)題.（23分）

I.看圖毋應(yīng)用題并解答.（7分）

2

T

42噸

?噸

2某電視機(jī)廠計(jì)劃五月份生產(chǎn)5000臺(tái)電視機(jī)，實(shí)際上半月生產(chǎn)了計(jì)劃的力，下半月生產(chǎn)

了計(jì)劃的-%,這個(gè)月實(shí)際超額生產(chǎn)電視機(jī)多少臺(tái)？?（4分））三?',??

3.加工一批零件，E師傅每小時(shí)加工36個(gè)，與李娜傅每小時(shí)加工個(gè)效的比是4：5,兩人

共同加工5小時(shí)，可以加工多少個(gè)零件？（4分）

4.一只掛鐘的分針長(zhǎng)15厘米,經(jīng)過(guò)15分鐘，這根分時(shí)的尖■所走的路程是多少加米？分

件用過(guò)的面積處多少平方厘米？（4分）

5.（4分）

這片電躺無(wú)在只重拗o兀.

比剛上市時(shí)傳抵了加%.

炭上市時(shí)每臺(tái)多少兀?

1.如何問(wèn)問(wèn)題？

有甲、乙兩人，其中，甲只說(shuō)假話，而不說(shuō)真話；乙則是只說(shuō)真話，不說(shuō)假話。但是，

他們兩個(gè)人在回答別人的問(wèn)題時(shí)，只通過(guò)點(diǎn)頭與搖頭來(lái)表示，不講話。有一天，一個(gè)人面對(duì)

兩條路：A與B,其中條路是通向京城的，而另一條路是通向一個(gè)小村莊的。這時(shí)，他面

前站著甲與乙兩人,但他不知道此人是甲還是乙，也不知道"點(diǎn)頭"是表示"是"還是表示"否:

現(xiàn)在，他必須問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，才可能斷定出哪條路通向京城。那么，這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該怎樣問(wèn)？

2.他們的職業(yè)是分別什么？

小王、小張、小趙三個(gè)人是好朋友，他們中間其中一個(gè)人下海經(jīng)商，一個(gè)人考上了重點(diǎn)

大學(xué)，一個(gè)人參軍了。此外他們還知道以下條件：小趙的年齡比士兵的大；大學(xué)生的年齡比

小張?。盒⊥醯哪挲g和大學(xué)生的年齡不一樣。請(qǐng)推出這三個(gè)人中誰(shuí)是商人？誰(shuí)是大學(xué)生？誰(shuí)

是士兵？

3.誰(shuí)做對(duì)了？

甲、乙、丙三個(gè)人在??起做作業(yè)，有一道數(shù)學(xué)題比較難，當(dāng)他們?nèi)齻€(gè)人都把自己的解法

說(shuō)出來(lái)以后，甲說(shuō)："我做錯(cuò)了。"乙說(shuō)：”甲做對(duì)了。"內(nèi)說(shuō)："我做錯(cuò)了?！痹谝慌缘亩】吹?/p>

他們的答案并聽(tīng)了她們的意見(jiàn)后說(shuō)："你們?nèi)齻€(gè)人中有一個(gè)人做對(duì)了，有一個(gè)人說(shuō)對(duì)了?！?/p>

請(qǐng)問(wèn)，他們?nèi)酥械降渍l(shuí)做對(duì)了？

4.鞋子的顏色

小麗買(mǎi)了一雙漂亮的鞋子，她的同學(xué)都沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這雙鞋了，于是大家就猜，小紅說(shuō)：”

你買(mǎi)的鞋不會(huì)是紅色的。''小彩說(shuō)："你買(mǎi)的鞋子不是黃的就是黑的。"小玲說(shuō)："你買(mǎi)的鞋子

一定是黑色的?！边@三個(gè)人的看法至少有一?種是正確的，至少有一種是錯(cuò)誤的。請(qǐng)問(wèn)，小麗

的鞋子到底是什么顏色的？

5.誰(shuí)偷吃了水果和小食品？

趙女士買(mǎi)了一些水果和小食品準(zhǔn)備去看望一個(gè)朋友，誰(shuí)知，這些水果和小食品被他的兒

子們偷吃了，但她不知道是哪個(gè)兒子。，為此，趙女士非常生氣，就盤(pán)問(wèn)4個(gè)兒子誰(shuí)偷吃了水

果和小食品。老大說(shuō)道：''是老二吃的?！ɡ隙f(shuō)道：”是老四偷吃的?！ɡ先f(shuō)道：”反正我

沒(méi)有偷吃?！崩纤恼f(shuō)道：”老二在說(shuō)謊?！边@4個(gè)兒子中只有?個(gè)人說(shuō)了實(shí)話，其他的3個(gè)都在

撒謊。那么，到底是誰(shuí)偷吃了這些水果和小食品？

6.誰(shuí)在說(shuō)謊，誰(shuí)拿走了零錢(qián)？

姐姐上街買(mǎi)菜回來(lái)后，就隨手把手里的一些零錢(qián)放在了抽屜里，可是，等姐姐下午再去

拿錢(qián)買(mǎi)菜的時(shí)候發(fā)現(xiàn)抽屜里的零錢(qián)沒(méi)有了，于是，她就把三個(gè)妹妹叫來(lái)，問(wèn)她們是不是拿了

抽屜里的零錢(qián)，甲說(shuō)："我拿了，中午去買(mǎi)零食了。"乙說(shuō)："我看到甲拿了。"丙說(shuō)："總之,

我與乙都沒(méi)有拿?！边@三個(gè)人中有一個(gè)人在說(shuō)謊，那么到底誰(shuí)在說(shuō)謊？誰(shuí)把零錢(qián)拿走了？

7.夜明珠在哪里？

一個(gè)人的夜明珠丟了，于是他開(kāi)始四處尋找。有一天，他來(lái)到了山上，看到有三個(gè)小屋,

分別為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)。從這三個(gè)小屋里分別走出來(lái)一個(gè)女子，1號(hào)屋的女子說(shuō)：”夜明珠不

在此屋里。“2號(hào)屋的女子說(shuō)：”夜明珠在1號(hào)屋內(nèi)?！?號(hào)屋的女子說(shuō)：“夜明珠不在此屋里。“

這三個(gè)女子，其中只有一個(gè)人說(shuō)了真話，那么，誰(shuí)說(shuō)了真話？夜明珠到底在哪個(gè)屋里面？

8.誰(shuí)的成績(jī)好

玲玲和芳芳經(jīng)常在一起玩，有一次，有人問(wèn)她們："你們倆經(jīng)常在一起玩，這次期末考

試你們誰(shuí)的成績(jī)好呀？"玲玲說(shuō)："我的成績(jī)比較好一點(diǎn)?！毙〖t說(shuō)芳芳說(shuō)："我的成績(jī)比較差

一些。”她們這兩個(gè)人之中至少有一個(gè)人沒(méi)有說(shuō)實(shí)話。那么，到底她們誰(shuí)的考試成績(jī)好？

9.她們分別買(mǎi)了什么

小麗、小玲、小娟三個(gè)人一起去商場(chǎng)里買(mǎi)東西。她們都買(mǎi)了各自需要的東西，有帽子，

發(fā)夾，裙子，手套等，而且每個(gè)人買(mǎi)的東西還不同。有一個(gè)人問(wèn)她們?nèi)齻€(gè)都買(mǎi)了什么，小麗

說(shuō)：”小玲買(mǎi)的不是手套，小娟買(mǎi)的不是發(fā)夾。"小玲說(shuō)："小麗買(mǎi)的不是發(fā)夾，小娟買(mǎi)的不

是裙子。"小娟說(shuō)："小麗買(mǎi)的不是帽子，小娟買(mǎi)的是裙子。"她們?nèi)齻€(gè)人，每個(gè)人說(shuō)的話都

是有一半是真的，一半是假的。那么，她們分別買(mǎi)了什么東西？

10.誰(shuí)偷了奶酪

有四只小老鼠一塊出去偷食物（它們都偷食物了），回來(lái)時(shí)族長(zhǎng)問(wèn)它們都偷了什么食物。

老鼠A說(shuō)：我們每個(gè)人都偷了奶酪。老鼠B說(shuō)：我只偷了?顆櫻桃。老鼠C說(shuō)：我沒(méi)偷奶酪。

老鼠D說(shuō)：有些人沒(méi)偷奶酪。族長(zhǎng)仔細(xì)觀察了一下，發(fā)現(xiàn)它們當(dāng)中只有一只老鼠說(shuō)了實(shí)話。

那么下列的評(píng)論正確的是：

a.所有老鼠都偷了奶酪:

b.所有的老鼠都沒(méi)有偷奶酪;

c.有些老鼠沒(méi)偷奶酪；

d.老鼠B偷了一顆櫻桃。

11.一句問(wèn)路的話

一個(gè)人站在岔道口，分別通向A國(guó)和B國(guó)，這兩個(gè)國(guó)家的人非常奇怪，A國(guó)的人總是說(shuō)

實(shí)話，B國(guó)的人總是說(shuō)謊話。路口站著個(gè)A國(guó)人和一個(gè)B國(guó)人：甲和乙，但是不知道他們

真正的身份，現(xiàn)在那個(gè)人要去B國(guó)，但不知道應(yīng)該走哪條路，需要問(wèn)這兩個(gè)人。只許問(wèn)一句。

他是怎么判斷該走那條路的？

1.這個(gè)人只要站在A與B任何一條路匕然后，對(duì)著其中的個(gè)人問(wèn)：“如果我問(wèn)他（甲、

乙中的另外一個(gè)人）這條路通不通向京城，他會(huì)怎么回答？"

如果甲與乙兩個(gè)人都搖頭的話，就往這條路向前走去，如果都點(diǎn)頭，就往另一外一條走

去。

2.小張是商人，小趙是大學(xué)生，小王是士兵。假設(shè)小趙是士兵，那么就與題目中〃小趙

的年齡比士兵的大"這一條件矛盾了，因此，小趙不是士兵；假設(shè)小張是大學(xué)生，那就與題

目中''大學(xué)生的年齡比小張小”矛盾了，因此，小張不是大學(xué)生；假設(shè)小王是大學(xué)生，那么，

就與題目中“小王的年齡和大學(xué)生的年齡不一樣”這一條件矛盾了，因此，小王也不是大學(xué)生。

所以，小趙是大學(xué)生。由條件小趙的年齡比士兵的大，大學(xué)生的年齡比小張小得出小王是士

兵，小張是商人。

3.假設(shè)丙做對(duì)了，那么甲、乙都做錯(cuò)了，這樣，甲說(shuō)的是正確的，乙、丙都說(shuō)借了，

符合條件，因此，丙做對(duì)了。

4.假設(shè)小麗的鞋子是黑色的，那么三種看法都是正確的，不符合題意；假設(shè)是黃色的，

前兩種看法是正確的，第三種看法是錯(cuò)誤的；假設(shè)是紅色的，那么三句話都是錯(cuò)誤的。因此,

小麗的裙子是黃色的。

5.是老三偷吃了水果和小食品，只有老四說(shuō)了實(shí)話。用假設(shè)法分別假設(shè)老大、老二、

老三、老四都說(shuō)了實(shí)話，看是否與題意矛盾，就可以得出答案。

6.丙說(shuō)謊，甲和丙都拿了一部分。假設(shè)甲說(shuō)謊的話，那么乙也說(shuō)謊，與題意不符：假

設(shè)乙說(shuō)謊，那么甲也說(shuō)謊，與題意不符。那么，說(shuō)謊的肯定是丙了，只有甲和丙都拿零錢(qián)了

才符合題意。

7.1號(hào)屋的女子說(shuō)的是真話，夜明珠在3號(hào)屋子內(nèi)。假設(shè)夜明珠在1號(hào)屋內(nèi)，那么2號(hào)屋

和3號(hào)屋的女子說(shuō)的都是真話，因此不在1號(hào)屋內(nèi)；假設(shè)夜明珠在2號(hào)屋內(nèi)，那么1號(hào)屋和3號(hào)

屋的女子說(shuō)的都是真話，因此不在2號(hào)屋內(nèi)；假設(shè)夜明珠在3號(hào)屋內(nèi)，那么只有1號(hào)屋的女子

說(shuō)的是真話，因此，夜明珠在3號(hào)屋里內(nèi)。

8.芳芳。假設(shè)玲玲說(shuō)的是實(shí)話，那么，芳芳說(shuō)的也是實(shí)話了，與題意不符；假設(shè)芳芳

說(shuō)的是實(shí)話，那么玲玲說(shuō)的也是實(shí)話了，與題意不符。因此，兩個(gè)人都沒(méi)有說(shuō)實(shí)話，把她們

兩個(gè)人說(shuō)的話反過(guò)來(lái)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，芳芳的成績(jī)好。

9.小麗買(mǎi)了帽子，小玲買(mǎi)了手套，小娟買(mǎi)了裙子。

10.假設(shè)老鼠A說(shuō)的是真話，那么其他三只老鼠說(shuō)的都是假話，這符合題中僅一只老鼠

說(shuō)實(shí)話的前提；假設(shè)老鼠B說(shuō)的是真話，那么老鼠A說(shuō)的就是假話，因?yàn)樗鼈兌纪凳澄锪耍?/p>

假設(shè)老鼠C或D說(shuō)的是實(shí)話，這兩種假設(shè)只能推出老鼠A說(shuō)假話，與前提不符。所以a選項(xiàng)

正確，所有的老鼠都偷了奶酪。

11.如果甲是A國(guó)人，說(shuō)的是真話，問(wèn)甲：”如果我問(wèn)乙哪條路是安全之路，他會(huì)指哪

條路？”他指出的乙說(shuō)的路就是錯(cuò)誤的，另一條路就是正確的。

如果甲是B國(guó)人，說(shuō)的是假話同樣的問(wèn)題問(wèn)甲，因?yàn)橐艺f(shuō)真話，甲會(huì)和乙的答案相反，

那么另一條路就是正確的。

12.為什么小張是A隊(duì)的

有一天，學(xué)校的學(xué)生在做游戲，A隊(duì)只準(zhǔn)說(shuō)真話、B隊(duì)只準(zhǔn)說(shuō)假話；A隊(duì)在講臺(tái)西邊，B

隊(duì)在講臺(tái)東邊。這時(shí)，叫講臺(tái)下的?個(gè)學(xué)生上來(lái)判斷一下，從A、B兩隊(duì)中選出的一個(gè)人一

小張，看他是哪個(gè)隊(duì)的。這個(gè)學(xué)生從A或B隊(duì)中任意抽出了一個(gè)隊(duì)員去問(wèn)小張是在講臺(tái)的西

邊而是東邊叫其中一個(gè)隊(duì)員的人去問(wèn)小張是在講臺(tái)西邊還是東邊。這個(gè)隊(duì)員回來(lái)說(shuō)，小張說(shuō)

他在講臺(tái)西邊。這個(gè)學(xué)生馬上判斷出來(lái)小張是A隊(duì)的，為什么？

13.兇手是誰(shuí)

小陽(yáng)的妹妹是小蒂和小紅；他的女友叫小麗。小麗的哥哥是小剛和小溫。他們的職業(yè)分

別是：

小陽(yáng)：醫(yī)生

小剛:醫(yī)生

小蒂：醫(yī)生

小溫：律師

小紅：律師

小麗：律師

這6人中的一個(gè)殺了其余5人中的?個(gè)。

(1)假如這個(gè)兇手和受害者有一定的親緣關(guān)系，那么說(shuō)明兇手是男性；

(2)假如這個(gè)兇手和受害者沒(méi)有一定的親緣關(guān)系，那么說(shuō)明兇手是個(gè)醫(yī)生；

(3)假如這個(gè)兇手和受害者的職業(yè)?樣，那么說(shuō)明受害者是男性：

(4)假如這個(gè)兇手和受害者的職業(yè)不一樣，那么說(shuō)明受害者是女性；

(5)假如這個(gè)兇手和受害者的性別一樣，那么說(shuō)明兇手是個(gè)律師；

(6)假如這個(gè)兇手和受害者的性別不一樣，那么說(shuō)明受害者是個(gè)醫(yī)生。

根據(jù)上面的條件，請(qǐng)問(wèn)兇手是誰(shuí)？

提示：根據(jù)以個(gè)陳述中的假設(shè)與結(jié)論，判定哪3個(gè)陳述組合在一起不會(huì)產(chǎn)生矛盾。

14.小王是怎么算出來(lái)的

某企業(yè)老板在對(duì)其員工的思維能力進(jìn)行測(cè)試時(shí)出了這樣?道題：某大型企亞的員工人數(shù)

在1700?1800之間，這些員工的人數(shù)如果被5除余3,如果被7除余4,如果被11除余6。那么，

這個(gè)企業(yè)到底有多少員工？員工小王略想了?下便說(shuō)出了答案，請(qǐng)問(wèn)他是怎么算出來(lái)的？

15.幼兒園里有多少小朋友

老師讓幼兒園的小朋友排成一行，然后開(kāi)始發(fā)水果。老師分發(fā)水果的方法是這樣的：從

左面第一個(gè)人開(kāi)始，每隔2人發(fā)一個(gè)梨；從右邊第一個(gè)人開(kāi)始，每隔4人發(fā)一個(gè)蘋(píng)果。如果分

發(fā)后的結(jié)果有10個(gè)小朋友既得到了梨，又得到了蘋(píng)果，那么這個(gè)幼兒園有多少個(gè)小朋友？

16.桌子分別是什么價(jià)格

?個(gè)家具店里有三種桌子，其價(jià)格分別如下：

(1)他們的單價(jià)各不相同；

(2)它們的單價(jià)加起來(lái)共4000元；

(3)第二種桌子比第一種桌子便宜400元；

(4)第三種桌子的單價(jià)是第二種的2倍。

那么這三種桌子的單價(jià)各是多少？

17.打碎了多少個(gè)陶瓷瓶

?個(gè)陶瓷公司要給某地送2000個(gè)陶瓷花瓶，于是就找?個(gè)運(yùn)輸公司運(yùn)陶瓷花瓶。運(yùn)輸協(xié)

議中是這樣規(guī)定的：

(1)每個(gè)花瓶的運(yùn)費(fèi)是1元；

(2)如果打碎1個(gè)，不但不給運(yùn)費(fèi)，還要賠償5元。

最后，運(yùn)輸公司共得運(yùn)費(fèi)1760元。那么，這個(gè)運(yùn)輸公司在運(yùn)送的過(guò)程中打碎了多少個(gè)陶

瓷花瓶？

18.分蘋(píng)果

媽媽要把72個(gè)蘋(píng)果給分兄弟兩人，她的分法是這樣的：

(1)第一堆的2/3與第二堆的5/9分給了哥哥;

(2)兩堆蘋(píng)果余下的共39個(gè)蘋(píng)果分給了弟弟。

那么，這兩堆蘋(píng)果分別有多少個(gè)呢？

12.若這個(gè)人是B隊(duì)的，則找到的人是A隊(duì)的，那人會(huì)說(shuō)在講臺(tái)西，而這個(gè)人會(huì)說(shuō)在東；

若這個(gè)人是A隊(duì)的，找到的是A隊(duì)的，會(huì)說(shuō)在西，若這個(gè)人是A隊(duì)的，找到的是A隊(duì)的，

會(huì)說(shuō)在西；若找到B隊(duì)的，他會(huì)說(shuō)在西，結(jié)果還是說(shuō)西，所以只要說(shuō)西，這人一定是講真

話那一隊(duì)的。

13.根據(jù)上述中的假設(shè)，(1)和(2)中能適用于實(shí)際情況只有一個(gè)，同樣，(3)和(4),

(5)和(6),也是一樣的情況。

根據(jù)上述中的結(jié)論，(2)和(5)適用于實(shí)際情況的可能不太大。因此，能適用于實(shí)際

的情況，有以下幾組中的?組或多組：

A.(1)、(4)和(5)

B.⑴、(3)和(5)

C.(1)、(4)和(6)

D.(1)、(3)和(6)

E.(2)、(4)和(6)

F.(2)、(3)和(6)

假如選項(xiàng)A能適用于實(shí)際情況，則根據(jù)(1)的結(jié)論，兇手是男性；根據(jù)(4)的結(jié)論，

受害者是女性；可是根據(jù)(5)的假設(shè)，兇手與受害者性雖相同。因此A不適用。

假如選項(xiàng)B能適用于實(shí)際情況，由假設(shè)可知，兇手與受害者有親緣關(guān)系而且職業(yè)與性

別一樣。這與每個(gè)家庭的組成情況不相符，因此B不適用。

假如選項(xiàng)C能適用于實(shí)際情況，則根據(jù)有關(guān)的結(jié)論，兇手是男性，受害者是個(gè)女性醫(yī)

生。又根據(jù)(1)和(4)的假設(shè)，兇手是律師，兇手與受害者有親緣關(guān)系，這與各個(gè)家庭的

組成情況不相符，因此C不適用。

假如選項(xiàng)D能適用于實(shí)際情況，則根據(jù)(1)的結(jié)論，兇手是男性，根據(jù)(3)的結(jié)論,

受害者也同樣是男的；又根據(jù)（6）的假設(shè)條件，兇手與受害者的性別不一樣。因此D不適

用。

假如選項(xiàng)E能適用于實(shí)際情況，則根據(jù)（2）的結(jié)論，兇手是醫(yī)生；根據(jù)（6）的結(jié)論，

受害者也是醫(yī)生，又