北師大版必修第二冊5.2平面與平面垂直-2課時練習

【精選】5.2平面與平面垂直-2課時練習

一.填空題

1.在正三棱錐P-ABC中，口，E分別是AB,BC的中點，有下列三個論斷：①②AC//

平面PDE；③.上平面PDE其中正確的個數(shù)是.

2.正方形AB。。的邊長為2,沿著對角線3。把平面ABD向上折起得到三棱錐A-BCD,則三棱錐

A-BCD的體積的最大值為.

3.如圖，在四棱錐ABC。中，夕。_1_平面ABC。，AB±AD,ABI/CDtAD=CD=PD=2,

AB=1,E，F(xiàn)分別為棱PC,PB上一點,若距與平面PCD所成角的正切值為2,則（人口+石廠了的

最小值為.

4.如圖圓錐高為2,側(cè)面積為4&兀，P為頂點，。為底面中心，A,B在底面圓周上，M為PA

中點，MBYOAf則。到面P43的距離為.

5.正四面體相鄰兩側(cè)面所成角的大小為

6.在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于a,則sin。=.

7.如圖，在正方體ABCD-ABCD中，過點A作平面ABG的垂線1,則直線1與直線CG所成角的余

弦值為.

ZFBA=—

8.如圖，兩個正方形5c0,ECBF邊長為2,12.將AABD繞AB旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)

過程中，°與平面石。即的距離最大值為.

9.如圖，三棱錐尸一MC的體積為24,又NPBC=ZABC=90°,BC=3,AB=4,PB=4如,

且ZPBA為銳角，則PA與平面ABC所成的角為.

10.在三角形ABC中，A6,ACA。'8C,口是垂足，則AB2^BD-BC推廣到空間,三棱錐人—BCD

中，AO上面ABC，_L面BCD,。為垂足，且0在三角形BCD內(nèi)，則類似的結(jié)論為

11.已知四棱錐的底面是邊長為。的正方形，其外接球的表面積為56乃，APAB是等邊三

角形，平面上鉆，平面ABCD,則。=.

CF=-CR

12.如圖，在三棱柱"C-ABC中，A4J底面ABC,CA=CB=CC、",笈，“一3°”，

CD=jcq

,則直線AG與。石所成角的大小為

'B

13.如圖，在多面體ABCDEF中，平面AW平面ABCD,皿7是正三角形，四邊形ABCD是正方

形，ABEF,AB=2EF=2,則多面體ABCDEF的體積為.

14.如圖，在三棱錐0-ABC中，三條棱0A.OB.0C兩兩互相垂直，且0A=0B=0C,M是AB邊的中

點，則0M與平面ABC所成的角的余弦值_____.

15.如圖，在三棱錐S-ABC中，若底面ABC是正三角形，側(cè)棱長SA=SB=SC=g,M.N分

別為棱SC.的中點，并且.則異面直線MN與AC所成角為；三棱錐S-A5C

的外接球的體積為.

S

A,C

N

B

參考答案與試題解析

1.【答案］2

【解析】利用直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，直線的平行等判斷.

【詳解】

①根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知對棱互相垂直，故正確；

②AC//DE；AC.面PDE,DEu面PDE,

；?AC”平面PDE,故正確；

③若平面PDE,則因為QE//AC,所以，而正三棱錐中AC與AB不垂

直，故不正確.

故答案為：2.

【點睛】

主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定考查的知識點比較多，屬于基礎題.

2.【答案】述

3

【解析】根據(jù)三棱錐的體積公式可知，當?shù)酌娣e一定，高最大時，三棱錐的體積最大，所以折起后，

當面面BCD時，三棱錐A-BCD的體積最大，即可求出.

【詳解】

如圖所示，當面面時，此時點A到面的距離最大，最大距離為近

V=-x-x2x2xV2

三棱錐人―BCD的體積最大為323.

2后

故答案為：3.

【點睛】

本盲主要考查幾何圖形折疊形成的三棱錐體積的求法，意在考查學生的的直觀想象能力和數(shù)學運算能

力，屬于基礎題._

3.【答案】14+4：

3

【解析】先找出郎與平面PC。所成角，再利用正切值為2,證得E為PC的中點.根據(jù)所給各邊的長

度，求出的斜弦值，再將APBC翻折至與平面PAB共面，利用余弦定理求出AE,即為

(AE+EE)2的最小值.

【詳解】

取CD的中點H,連接BH,EH.

依題意可得，/LCD.因為平面ABCD,所以PD上

從而5HL平面ABCD,

所以BE與平面PCD所成角為NBEH,

BH2

tan/BEH-----------2

EH，則.=1,則E為PC的中點.

AP2A/2

cosZAPB=—=—

在RtAB4B中，PB3

因為PB=3,PC=2亞,BCM,

cosZBPC=—ZBPC=-

所以2,所以4

將"BC翻折至與平面PAB共面如圖所示則圖中

當F為AE與PB的交點時，AF+EF取得最小值此時

(AF+EF)2=AE2=(2拒了+(72)2-2x2^2xgx4一血="+4后

14+472

故答案為：3.

【點睛】

本題考查空間中線面垂直.線面角.余弦定理等知識的交會，考查空間相象能力和運算求解能力，將

空間中線段和的最值問題，轉(zhuǎn)化成平面問題，對轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查要求較高，屬于難題.

4.【答案】3包

7

【解析】先利用側(cè)面積計算〃=2,再利用體積法得到％代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：N為0A中點，連接MN,OB,BN

圓錐高為2側(cè)面積為4缶

即兀八14+產(chǎn)=4五匹r=2

用為以中點，N為抽中點，MNOP,故WQ4

又所以。4,平面故Q4L6N

故AQ鉆為等邊三角形.

VP-OAB=1X2X1-X2X73=1A/3

在AABP中：AP=BP=2?,AB=2,超邊上的高力=巾

^MBP=1X2XV7=V7

VO-ABP=^hXS^ABP=Vp_OAB=三百

h*7

2叵

故答案為7

【點睛】

本題考查了點到平面的距離，利用體積法可以簡化運算，是解題的關鍵，意在考查學生的空間想象能

力和計算能力.

5.【答案】arccos^

【解析】轉(zhuǎn)化為側(cè)面與底面所成角，取底面中心°,連,延長交與E,連AE,則可得NAEO為

二面角的平面角，然后在直角三角形中計算可得.

【詳解】

如圖：

A

因為正四面體的相鄰兩個側(cè)面所成的角和側(cè)面與底面所成的角相等，

所以只需求側(cè)面與底面所成角的大小，

設正四面體人―BCD的棱長為1,底面中心為。，連A°,則40,平面BCD,

，連,并延長交5C于E,則DE,BC,連AE,則,且E為5c的中點,

所以ZAEO就是側(cè)面ABC與底面BCD所成二面角的平面角，

DE=AE=^BC=B

因為22,

OE=-DE^—

所以361

cosZAEO==—

AE好3

所以在直角三角形中2,

ZAEO=arccos—

所以3.

1

arccos—

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了二面角的求法,解題關鍵是利用三垂線定理作出平面角，屬于基礎題.

6.【答案】昱

3

【解析】畫出幾何圖形，可知面43cl與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于夕，在

Rt￡84可求得5垣1

【詳解】

畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于a

正方體ABCD—AB、C]Di

.3片與面A3G所成的角為

EB[=—

不妨設正方體棱長為1,故2_

在RAEBBI中由勾股定理可得：2

也

sinZBlBE=^=^=—

EB瓜3

2

,V3

sina=——

二3

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關鍵.屬于基礎題.

7.【答案】昱

3

【解析】連結(jié)DBi,則DBi,平面ABC,從而1〃DB1，直線1與直線CG所成角為/DDB,由此能求出

結(jié)果.

【詳解】

如圖，連結(jié)DBi,則DB」平面ABC”

???l〃DBi,

直線1與直線C3所成角為NRD4,

連結(jié)BD,在RtaDiDBi中,設DDi=a,則DBi=&,

Q

AcosZDiDBi6〃3.

V3

故答案為：3.

【點睛】

本法考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線.線面.面面間的位置關系等基礎知識，

考查運算求解能力，是中檔題.

8.【答案】76

【解析】AABD繞A3旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，0點的軌跡是圓.過AD作平面平面

ABCD,交平面ECBb于G”.0的軌跡在平面AZX7H內(nèi).畫出圖像，根據(jù)圖像判斷出圓的下頂點

距離平面水前的距離最大，解三角形求得這個距離的最大值.

【詳解】

AABD繞AB旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，故D點的軌跡是圓.過A。作平面ADGH±平面

ABC。，交平面ECBb于G".D的軌跡在平面ADG8內(nèi).畫出圖像如下圖所示，根據(jù)圖像作法可

知，當。位于圓心A的正下方點P位置時，到平面ECB廠的距離最大.在平面山田內(nèi)，過「作

PQ^BH,交BH于。,在Rt^PQH中，丫―512-12,

Sir5兀?!（571_?.71

HP=HA+AP=AB-tan—+2=2tan——+2PQ=HPsin—=2tan—+2-sin—

1212,所以工12I12J12①,其

7171

tan—+tan—

5兀（兀兀、

tan——tan—I—46

12<46）171兀

1-tan—?tan—廠

中46=2+73

（6+2⑹.縣正空

，所以①可化為'）*4

故答案為：底

【點睛】

本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的概念，考查空間點到面的距離的最大值的求法，考查空間想象能力和運算能

力，屬于中檔題.

7T

9.【答案】

2

【解析】首先由線面垂直的判定定理得到3cL平面以5,由線面垂直的性質(zhì)得到由

V=-SAPABBC=--PB-ABsinZPBABC

332計算出再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系得

至!jcos/PBA,在AR45中，由余弦定理求出刈的值，即可得到以上A3,

從而得到上4工平面ABC,即可得解.

【詳解】

解：因NPBC=NABC=90°,即BCLAB,BC上PB,

又ABi平面P4B,尸5u平面PBcAB=B

所以平面

又BC=3,AB=4,PB=4回,由勾股定理可得PC=13,AC=5,由三棱錐的體

V=-SAPABBC=--PBABsinZPBA-BC=8AMsinZPBA=24sinZPBA=

332，解得1°,又

cosNPBA=

“84為銳角，所以1°,_

PA2=160+16-2x4x4710x^=144

在APAB中，由余弦定理得1°，即m=12,則

22

PB=P^+AB,故由BC_L平面B45,APu平面：.BCLPAy

JBCU平面ABC,ABI平面ABC,ABcBC=B,

71

故平面ABC,故以與平面ABC所成的角為2.

TC

故答案為：2

【點睛】

本題考查線面垂直的判定及性質(zhì)定理的應用，錐體的體積計算，屬于中檔題.

10.【答案】S故=S岫co■S帖CD

【解析】這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質(zhì)類比推

理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，由已知在平面幾何中在AABC中，AB_LAC,點D是

點A在BC邊上的射影，則/止2=皮＞80,我們可以類比這一性質(zhì)，推理出若在三棱錐A?BCD中，

BA,平面ACD,點0是點A在平面BCD內(nèi)的射影，即可得到答案

【詳解】

解：由已知在平面幾何中，

若三角形ABC中，D是垂足，

則而=&5.3。，

我們可以類比這一性質(zhì)，推理出：

若三棱錐人―BCD中，面ABC,AO面BCD,。為垂足，

貝15AABC=SABCO,S/^BCD。

證明：如圖，連接D0并延長，交BC與點E,連接AE,BO,C0,

面ABC,則

又A。J-面BCD,則AO_LED,

所以在三角形AED中，DA±AE,AO±ED。是垂足，則人加二屈6瓦）,

:\BC-AE^=（BC-EOy（BC-ED）

:.\^BC-AEj=\^BC-EOj-\^BC-ED^

SAAB」=SABCO，SSBCD,

故答案為：SAABC=^ABCO.SABCD.

【善睛】

類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另

一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）.

11.【答案】2娓

【解析】利用外接球的表面積56不，求出四棱錐的外接球半徑，進而利用勾股定理求解；

【詳解】

解：根據(jù)題意，畫出示意圖如圖所示，

。為四棱錐P—A5CD的外接球的球心，M為AC與BD交點,過尸作PE_LA5交A3與點E,過

0作ONJ_PA,交PA,與點N,

則|0A|=|0尸|=R,

^\OM\=h9

???外接球的表面積是56乃,

4/rR2=567r

得R=>/14

\AM\=—\AB\=—a

在中，??2??2

2

h2+—=14

2

在HfAQVP中，

一a2+

4中一”

聯(lián)立以上兩式解得a=2#,

故答案為：2G.

【點睛】

考查四棱錐外接球的理解，勾股定理的應用，正確畫出示意圖是解決本題的關鍵.

12.【答案】600

【解析】連接BCi,根據(jù)平移找到直線4c與OE所成角，假設C4長度，計算A5,8G，AG長度,

可得結(jié)果.

【詳解】

連接5

CDCE

,所以函二而

易知￡>E〃8G,所以

ZAC'B就是直線AG與DE所成角.

設G4=C3=CG=a,則AC】=3C|="=伍，

則Mg是正三角形，則NAC&=60°.

故直線AC與所成角的大小為60°.

故答案為：60°

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，這種題型，有以下做法：①向量法②平移或者作輔助線，找到這個角,

根據(jù)特點或結(jié)合三角函數(shù)以及余弦定理求值，屬基礎題.

13.【答案】上叵

3

【解析】如圖所示,分別過E作EG//ED交0c于G,作EH//A/交AB于H,于是將多面體ABCDEF

分為一個棱柱和一個棱錐，分別求出其體積，即可求出.

【詳解】

如圖所示，分別過后作EG//ED交℃于G,作印//AF交于連接GH.

因為平面尸,平面ABCD,ADF是邊長為2的正三角形，所以E到平面ABCD的距離為代，且

S河=￡乂2乂#>=邪>

=

VABCDEF=^ADF-HGE+^E-BCGHX+ZX義2義1=1\/3

故33.

56

故答案為：3.

【點睛】

本題主要考查簡單幾何體的體積求法，涉及棱錐和棱柱的體積公式應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和

直觀想象能力，屬于中檔題.

14.【答案】B

3

【解析】根據(jù)線面垂直的判定定理，根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積性，最后根據(jù)線面角的定義,

求出0M與平面ABC所成的角的余弦值

【詳解】

VOA,OB,0C兩兩垂直,

；.0A_L平面0BC,

設0A=0B=0C=l,貝I]AB=BC=AC=^,